Hướng dẫn giải bài tập đại số tuyến tính hướng dẫn ví dụ bài tập bài giải

Chương 1
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1. MA TRẬN
1.1. Đònh nghóa ma trận
Một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột
⎛ a11
⎜
⎜a
A = ⎜ 21
⎜
⎜a
⎝ m1

a12

a 22
a m2

a1n ⎞
⎟
a 2n ⎟
⎟
⎟
a mn ⎟⎠

( )

hay A = ⎡⎣a ij ⎤⎦
, trong đó
m× n
a ij chỉ số hạng nằm ở dòng thứ i , cột thứ j của ma trận A .

được gọi là một ma trận cấp m × n , ký hiệu A = a ij

m×n

Tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n được ký hiệu là Mm×n . Với A ∈ Mm×n ,

số hạng nằm ở dòng thứ i , cột thứ j , i = 1, m , j = 1, n , của A còn được ký hiệu là
⎡⎣ A ⎤⎦ .
ij
⎛ 1 2 3⎞
Ví dụ 1. Với A = ⎜
⎟ ∈ M2×3 ,
4
5
6
⎝
⎠

[ A ]11 = 1; [ A ]12

= 2; [ A ]13 = 3; [ A ]21 = 4; [ A ]22 = 5; [ A ]23 = 6.

Chú ý rằng việc xử lý bằng bảng là một công cụ quen thuộc trong đời sống.
Chẳng hạn, để ghi chú số lượng bán một mặt hàng trong một ngày, ta dùng một số.
Số lượng bán n mặt hàng trong một ngày được biểu diễn bằng n số mà ta còn gọi là
một vectơ n – chiều, hay một ma trận cấp 1 × n . Số lượng bán n mặt hàng trong m
ngày được biểu diễn bằng m vectơ n – chiều, hay một ma trận cấp m × n . Trong xử
lý ảnh, một bức ảnh đen trắng có thể biểu diễn bằng một ma trận các bít 0 , 1 .
Trong thống kê ứng dụng, khi khảo sát một biến phụ thuộc theo k biến độc lập,

người ta thu thập n bộ số liệu, mỗi bộ số liệu gồm k + 1 số chỉ giá trò của k biến
độc lập và giá trò của biến phụ thuộc tương ứng. Một bộ số liệu như vậy tạo thành
một ma trận cấp n × ( k + 1) , ...
Giống như các khái niệm khác trong toán học, ma trận có thể biểu diễn nhiều
đối tượng khác nhau trong từng bài toán ứng dụng cụ thể. Về mặt toán học, ta xét
một biểu diễn quan trọng của ma trận trong việc khảo sát các hệ phương trình
tuyến tính, một hệ thống gồm nhiều phương trình bậc nhất theo nhiều ẩn số.
Xét hệ phương trình

1


⎧ x
− y + z = 2
⎪
⎨ − x + 2y + z = 6
⎪−2x + 3y + z = 7
⎩

(1.1)

trong đó x, y, z là các ẩn số cần tìm.
Vai trò ký hiệu của các ẩn x, y, z là không có ý nghóa quyết đònh. Chẳng hạn,
hệ phương trình này có thể viết lại thành
⎧ x1
⎪
⎨ − x1
⎪−2x
1
⎩

−

x2

+ x3

+ 2x2

+ x3

+ 3x 2

+ x3

= 2

(1.2)

= 6
= 7

với các ẩn là x1 , x 2 , x 3 , ...
Nói khác đi, một hệ phương trình tuyến tính được hoàn toàn xác đònh chỉ
bằng các số hạng đi kèm theo các ẩn mà ta gọi là các hệ số và các số hạng vế phải
mà ta gọi là các hệ số tự do. Cụ thể, một hệ phương trình tuyến tính gồm m
phương trình theo n ẩn số được hoàn toàn xác đònh bằng ma trận cấp m × n các hệ
số và ma trận cấp m × 1 các hệ số tự do. Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay
(1.2) được hoàn toàn xác đònh bởi các ma trận
⎛ 1 −1 1 ⎞

⎛ 2⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
A = ⎜ −1 2 1 ⎟ và B = ⎜ 6 ⎟ .
⎜ −2 3 1 ⎟
⎜7⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
Ngoài ra, ta có thể gom chung hai ma trận này lại một ma trận, gọi là ma
trận các hệ số mở rộng
⎛ 1 −1 1 2 ⎞
⎛ 1 −1 1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜ −1 2 1 6 ⎟ hay A B = ⎜ −1 2 1 6 ⎟ .
⎜ −2 3 1 7 ⎟
⎜ −2 3 1 7 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

(

)

1.2. Ma trận bằng nhau

Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các số
hạng tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một, nghóa là ⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ B⎤⎦ với mọi
ij

i, j .
Ví dụ 2. Cho hai ma trận A, B ∈ M2×3 ,
⎛p q 4⎞
⎛1 3 4 ⎞
A=⎜
⎟, B = ⎜
⎟.
⎝ 1 0 2⎠
⎝s 0 2⎠

Ta có A = B nếu và chỉ nếu p = 1 , q = 3 và s = 1 .

2

ij


1.3. Các ma trận đặc biệt

i) Ma trận không : là ma trận mà mọi số hạng của nó đều là số 0. Ma trận
không cấp m × n được ký hiệu là 0 m×n hay vắn tắt là 0 .
⎛ 0 0 0⎞
Ví dụ 3. 02×3 = ⎜
⎟ là ma trận không cấp 2 × 3 .

⎝ 0 0 0⎠

ii) Ma trận vuông : là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau. Ma trận vuông
cấp n × n được gọi tắt là ma trận vuông cấp n . Tập hợp tất cả các ma trận vuông
cấp n được ký hiệu là Mn . Với ma trận vuông A ∈ Mn , các số hạng ⎡⎣ A ⎤⎦ ,
11

⎡⎣ A ⎤⎦ ,..., ⎡⎣ A ⎤⎦
được gọi là nằm trên đường chéo (chính) của A . Các số hạng
22
nn
⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦
,..., ⎡⎣ A ⎤⎦ được gọi là nằm trên đường chéo phụ của A .
n1
n −1,2
1n

Ví dụ 4. Ma trận

⎛ 1 −2 3 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜0 6 5 ⎟
⎜ 2 3 −5 ⎟
⎝
⎠
là một ma trận vuông cấp 3.
Các số hạng nằm trên đường chéo chính là : ⎣⎡ A ⎦⎤ = 1 , ⎡⎣ A ⎤⎦ = 6 , ⎡⎣ A ⎤⎦ = −5 .
11
22

33
Các số hạng nằm trên đường chéo phụ là : ⎣⎡ A ⎦⎤ = 2 , ⎡⎣ A ⎤⎦ = 6 , ⎡⎣ A ⎤⎦ = 3 .
31
22
13
iii) Ma trận chéo cấp n : là ma trận vuông cấp n mà mọi số hạng không nằm
trên đường chéo chính đều là số 0.
Ví dụ 5. Ma trận

⎛ 5 0 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 −7 0 ⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
là một ma trận chéo cấp 3.
iv) Ma trận đơn vò cấp n : là ma trận chéo cấp n , ký hiệu là In , mà mọi số
hạng nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Để biểu diễn ma trận đơn vò, người ta
còn dùng ký hiệu Kronecker :
⎧1
δij = ⎨
⎩0

khi
khi

i= j
i≠ j

và khi đó, ma trận đơn vò cấp n được viết dưới dạng

3


⎛1
⎜
0
In = ⎜
⎜ ...
⎜⎜
⎝0

0 ... 0 ⎞
⎟
1 ... 0 ⎟
= δij
... ... ... ⎟
⎟
0 ... 1 ⎟⎠

( )

i, j =1,n

.

Ví dụ 6. Ma trận đơn vò cấp 2 và cấp 3 lần lượt là

⎛ 1 0 0⎞

⎛1 0⎞
⎜
⎟
I2 = ⎜
⎟ ; I3 = ⎜ 0 1 0 ⎟ .
⎝0 1⎠
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
v) Ma trận tam giác trên (dưới) : là ma trận vuông mà các phần tử ở phía dưới
(ở phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.
Ví dụ 7. Ma trận

⎛ b11
⎜
⎜ 0
B=⎜
...
⎜
⎜ 0
⎝

b12

b22
...
0

... b1n ⎞
⎟

... b2n ⎟
... ... ⎟
⎟
... bnn ⎟⎠

là một ma trận tam giác trên và ma trận
⎛ c11
⎜
⎜c
C = ⎜ 21
...
⎜
⎜c
⎝ n1

0
c22

...
cn2

...

0 ⎞
⎟
... 0 ⎟
... ... ⎟
⎟
... cnn ⎟⎠

là một ma trận tam giác dưới.
vi) Ma trận chỉ có một dòng được gọi là một ma trận dòng, ma trận chỉ có
một cột được gọi là một ma trận cột.
Các ma trận dòng và ma trận cột còn được xem như là các vectơ và được lần
lượt gọi là các vectơ dòng và vectơ cột. Khi đó, một ma trận có thể xem như được
tạo bởi nhiều vectơ dòng hay tạo bởi nhiều vectơ cột. Với ma trận A ∈ Mm×n , dòng
thứ i của A gồm các phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ..., ⎡⎣ A ⎤⎦ và được ký hiệu là ⎡⎣ A ⎤⎦ ; cột
i1
i2
in
i
j

thứ j gồm các phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ..., ⎡⎣ A ⎤⎦ , ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ .
1j
2j
mj
Ví dụ 8.

i) Ma trận A = ( 5 3 −1) là một ma trận dòng.

⎛1⎞
⎜ ⎟
ii) Ma trận B = ⎜ 0 ⎟ là một ma trận cột.
⎜ −1 ⎟
⎝ ⎠
4


iii) Ma trận

⎛1 2 0 1⎞
⎜
⎟
C = ⎜ 3 −1 0 2 ⎟ ∈ M3×4
⎜ −1 0 1 −1 ⎟
⎝
⎠
tạo bởi 3 vectơ dòng
⎡⎣C ⎤⎦ = (1 2 0 1) ; ⎡⎣C ⎤⎦ = ( 3 −1 0 2 ) ; ⎣⎡C ⎦⎤ = ( −1 0 1 −1) ,
1
2
3

hay tạo bởi 4 vectơ cột
⎛1⎞
⎛2⎞
⎛ 0⎞
⎛1⎞
2
3
4
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ 3 ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ −1 ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ 0 ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ 2 ⎟ .
⎜ −1 ⎟
⎜1⎟
⎜ −1 ⎟
⎜0⎟

⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
1

1.3. Các phép toán trên ma trận
1.3.1. Phép cộng hai ma trận và nhân một số với một ma trận

Với hai ma trận A, B ∈ Mm×n và với số thực h ∈

, ta đònh nghóa :

Ma trận tổng của A và B , ký hiệu A + B , là ma trận cấp m × n xác đònh bởi
⎡⎣ A + B ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + ⎡⎣ B⎤⎦ với mọi i, j .
ij
ij
ij
Ma trận tích của hằng số h với A , ký hiệu hA , là ma trận cấp m × n xác
đònh bởi ⎡⎣ hA ⎤⎦ = h ⎡⎣ A ⎤⎦ với mọi i, j .
ij
ij
⎛ 1 2 3⎞
⎛ 1 −1 1 ⎞
Ví dụ 9. Với A = ⎜
⎟, B = ⎜
⎟ thì
⎝ −1 1 −1 ⎠
⎝ 4 5 6⎠
⎛2 1 4⎞

⎛2 4 6 ⎞
⎛ −4 4 −4 ⎞
A+B=⎜
⎟ , 2A = ⎜
⎟ và −4B = ⎜
⎟.
⎝3 6 5⎠
⎝ 8 10 12 ⎠
⎝ 4 −4 4 ⎠
∗ Chú ý : Hai ma trận chỉ có thể cộng với nhau khi chúng có cùng cấp và ma
trận tổng có cấp bằng cấp của hai ma trận đã cho. Ma trận −1 .A , ký hiệu − A ,

( )

được gọi là ma trận đối của ma trận A . Từ đó, ta đònh nghóa được phép trừ các ma
trận bởi
A − B ≡ A + ( −B ) = A + ( −1) B .
Tính chất. Với mọi ma trận A, B, C ∈ Mm×n và h, k ∈
(i) A + B = B + A (tính giao hoán),
(ii) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (tính kết hợp),
(iii) A + 0 = A ( 0 : ma trận không cấp m × n ),
(iv) A + ( − A ) = 0 ,
5

, ta có


(v) h ( kA ) = ( hk ) A ,
(vi) h ( A + B ) = hA + hB ,
(vii) ( h + k ) A = hA + kA ,

(viii) 1.A = A .

Các tính chất trên được kiểm chứng một cách dễ dàng và được coi như là bài
tập. Tập hợp M m×n cùng với hai phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với
một số thỏa 8 tính chất nêu trên nên sau này ta nói rằng nó có cấu trúc của một
không gian vectơ (xem chương 3).
1.3.2. Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p . Ta đònh nghóa ma trận tích của hai ma
trận A, B là ma trận cấp m × p , ký hiệu AB , xác đònh bởi
⎡⎣ AB⎤⎦ =
ik

n

∑ ⎡⎣ A ⎤⎦ ij
j =1

⎡⎣B⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + ... + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦
jk
i1
1k
i2
2k
in
nk

với mọi i = 1, m , k = 1, p .
Trong công thức tính số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦ của ma trận tích AB , các số hạng
ik

⎡⎣ A ⎤⎦ , ..., ⎡⎣ A ⎤⎦ tạo thành dòng thứ i , ⎡⎣ A ⎤⎦ , của ma trận A và các số hạng
i2
in
i
k

⎡⎣ A ⎤⎦ ,
i1
⎡⎣ B ⎤⎦ ,
1k

⎡⎣ B ⎤⎦ , ..., ⎡⎣ B ⎤⎦ tạo thành cột thứ k , ⎡⎣ B ⎤⎦ , của ma trận B . Khi đó, số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦
2k
nk
ik
k

chính là tích vô hướng của hai vectơ ⎡⎣ A ⎤⎦ và ⎡⎣B ⎤⎦ .
i

Ví dụ 10. Cho

⎛ 1 2⎞
⎛ 2 3⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −1 1 ⎟ ∈ M3×2 , B = ⎜
⎟ ∈ M2×2 .
2
1

−
⎝
⎠
⎜ 2 3⎟
⎝
⎠
Các số hạng của ma trận AB ∈ M3×2 lần lượt là
6


1

⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( −2) = − 2 ,
11
1
2

⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 = 5 ,
12
1
1

⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ ( −2 ) = − 4 ,
21
2
2

⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 = − 2 ,
22
2

1

⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ ( −2 ) = − 2 ,
31
3
2

⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 = 9 ,
32
3
và do đó
⎛ −2 5 ⎞
⎜
⎟
AB = ⎜ −4 −2 ⎟ .
⎜ −2 9 ⎟
⎝
⎠
Chú ý rằng với phép nhân ma trận như vậy, ta có thể biểu diễn một hệ
phương trình tuyến tính bằng một phương trình ma trận. Chẳng hạn, trở lại với hệ
phương trình tuyến tính
⎧ x1
⎪
⎨ − x1
⎪−2x
1
⎩

−

x2

+ 2x2
+ 3x 2

+ x3

= 2

+ x3

= 6

+ x3

(1.3)

= 7

với ma trận hệ số và ma trận các hệ số tự do,
⎛ 2⎞
⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
A = ⎜ −1 2 1 ⎟ và B = ⎜ 6 ⎟ .
⎜ −2 3 1 ⎟
⎜7⎟
⎝
⎠

⎝ ⎠
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
Gọi X = ⎜ x2 ⎟ là ma trận các ẩn số. Phương trình (1.3) được viết lại thành
⎜x ⎟
⎝ 3⎠
A⋅X = B

(1.4)

Tính chất
(i) Tính kết hợp : Với mọi ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p và C ∈ Mp×q , ta có

A ( BC ) = ( AB ) C .
(ii) Tính phân bố : Với mọi ma trận A, B ∈ Mm×n và C ∈ Mn×p , ta có

( A + B) C = AC + BC ,
7


và với mọi ma trận C ∈ Mm×n và A, B ∈ Mn×p , ta có

C ( A + B ) = CA + CB .
(iii) Với mọi ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p và h ∈

, ta có

h ( AB ) = ( hA ) B = A ( hB ) .
* Chú ý
i) Để có thể nhân ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện là số cột của

ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B và khi đó :
Số dòng của ma trận tích AB bằng số dòng của ma trận A .
Số cột của ma trận tích AB bằng số cột của ma trận B .
Do đó, với hai ma trận A, B cho trước, không nhất thiết tích AB tồn tại và khi
tích AB tồn tại, tích BA không nhất thiết tồn tại.
ii) Tích của hai ma trận nói chung không có tính giao hoán, nghóa là tổng quát
ta có AB ≠ BA .
Ví dụ 11. Với hai ma trận
⎛0 1⎞
⎛ 0 0⎞
A=⎜
⎟, B = ⎜
⎟,
⎝ 0 0⎠
⎝1 0⎠
⎛ 1 0⎞
⎛ 0 0⎞
ta có AB = ⎜
⎟ ≠ BA = ⎜
⎟.
⎝ 0 0⎠
⎝0 1⎠

Trong trường hợp cả hai ma trận tích AB và BA tồn tại và thỏa đẳng thức
AB = BA , ta nói hai ma trận A và B giao hoán với nhau. Chẳng hạn, ma trận đơn
vò In giao hoán với mọi ma trận vuông A cấp n và In A = AIn = A .
Tổng quát, nếu B là ma trận cấp m × n , ta có Im B = BIn = B , trong đó Im , In
lần lượt là các ma trận đơn vò cấp m và n .
Ví dụ 12. Cho
⎛ 1 2 3⎞

A=⎜
⎟.
⎝ 4 5 6⎠

Ta có
⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞
I2 A = ⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 4 5 6⎠ ⎝ 4 5 6⎠

⎛1 0 0⎞
⎛ 1 2 3⎞ ⎜
⎟ ⎛ 1 2 3⎞
AI3 = ⎜
⎟ ⎜ 0 1 0⎟ = ⎜
⎟
⎝ 4 5 6⎠ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎝ 4 5 6⎠
⎝
⎠
8


⎛ −1 4 −3 ⎞
⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟

Ví dụ 13. Cho A = ⎜ −1 2 1 ⎟ và C = ⎜ −1 3 −2 ⎟ . Ta có
⎜ −2 3 1 ⎟
⎜ 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
A ⋅ C = C ⋅ A = ⎜ 0 1 0 ⎟ = I3 ,
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠

(1.5)

và do đó, hai ma trận A và C giao hoán với nhau. Thực ra, ma trận C thỏa (1.5) nêu
trên được gọi là ma trận nghòch đảo của A (xem phần 3), ký hiệu A −1 .
Khi đó, bằng cách nhân (bên trái) hai vế của đẳng thức (1.4) cho C, ta được
C ( AX ) = C ⋅ B .
Do C ( AX ) = ( CA ) X = I3 ⋅ X = X , đẳng thức trên cho
⎛ −1 4 −3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
X = C ⋅ B = ⎜ −1 3 −2 ⎟ ⎜ 6 ⎟ = ⎜ 2 ⎟
⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
và do đó, ta nhận được x1 = 1 ; x 2 = 2 ; x 3 = 3 . Nói khác đi, ta giải được hệ phương

trình tuyến tính (1.3).
1.4. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Xét ma trận A ∈ Mmxn với m vectơ dòng ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ..., ⎡⎣ A ⎤⎦ . Các phép biến
1
2
m
đổi trên dòng nhằm mục đích thay đổi các dòng của ma trận A , biến nó thành ma
trận mới A ′ ∈ Mm×n ( A ′ cùng cấp với A ). Ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng
như sau :

( i ) ∼ ( j)

i) Phép biến đổi 1 : Hoán vò hai dòng i và j , ký hiệu A ⎯⎯⎯⎯→ A ′ , nhằm
đổi chỗ hai dòng i , j trong ma trận A, nghóa là mọi dòng khác các dòng i , j của
A và A′ bằng nhau, dòng thứ i của A′ bằng dòng thứ j của A và dòng thứ j của
A ′ bằng dòng thứ i của A ,
⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ khi k ≠ i, j , ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ và ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ .
k
k
i
j
j
i

Ví dụ 14.
⎛3 2
⎜
0 1
A=⎜
⎜1 3

⎜⎜
⎝ 5 −1

⎛1 3
1 5⎞
⎟
⎜
2 3⎟
(1 ) ∼ ( 3 ) ⎜ 0 1
⎯⎯⎯⎯→
⎜3 2
2 4⎟
⎟⎟
⎜⎜
2 0⎠
⎝ 5 −1

9

2 4⎞
⎟
2 3⎟
1 5⎟
⎟
2 0 ⎟⎠


( i ) :=α ( i )

ii) Phép biến đổi 2 : Nhân dòng i với một số α ≠ 0 , ký hiệu A ⎯⎯⎯⎯⎯

→ A′ ,
nhằm nhân dòng thứ i của A với α , nghóa là mọi dòng khác dòng i của A và A ′
bằng nhau, dòng thứ i của A ′ bằng dòng thứ i của A nhân với α ,
⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ khi k ≠ i và ⎡⎣ A ′⎤⎦ = α ⋅ ⎡⎣ A ⎤⎦ .
k
k
i
i

Ví dụ 15.

⎛ 1 2 −3 ⎞
⎛ 1 2 −3 ⎞
( 3):= 15 ( 3) ⎜
⎜
⎟
⎟
A = ⎜ 0 1 4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 4 ⎟
⎜0 0 5 ⎟
⎜0 0 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
iii) Phép biến đổi 3 : Thay dòng i bởi dòng i cộng với α lần dòng j , ký hiệu

( ) ( ) ( ) → A ′ nhằm thay dòng thứ i của A bằng dòng đó cộng với α nhân
A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
cho dòng thứ j của A, nghóa là mọi dòng khác dòng i của A và A ′ bằng nhau,
dòng thứ i của A′ bằng dòng thứ i của A cộng với α lần dòng thứ j của A,

i := i + α j

⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ khi k ≠ i và ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + α ⋅ ⎡⎣ A ⎤⎦ .
k
k
i
i
j

Ví dụ 16.

⎛ −1 1 0 ⎞
⎛ −1 1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
( 3 ) : = (1 ) + ( 3 )
A = ⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 −1 1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 1 0 −2 ⎠
⎝ 0 1 −2 ⎠
⎛ −1

( 3) := ( 2 ) + ( 3) ⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0
⎜0

⎝

1 0⎞
⎟
−1 1 ⎟
0 −1 ⎟⎠

Chú ý rằng ma trận cuối cùng có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính
đều là số 0 nên là một ma trận tam giác trên.
Đối với ma trận tam giác trên mà mọi phần tử nằm trên đường chéo đều khác
0, thì cũng bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta có thể biến nó thành ma
trận đơn vò.
Ví dụ 17.

⎛ −1 1 0 ⎞
⎛ 1 −1 0 ⎞
1 ) : = − 1 (1 )
⎜
⎟
⎜
⎟
(
→
−
0
1
1
⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟

( 2):= −1.( 2)
⎜ 0 0 −1 ⎟
⎜0 0 1 ⎟
(3):=−1.(3)
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 0 −1 ⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
(1):= (1) + (2)
(1):= (1) + (2)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 0 ⎟ = I3
(2):= (2) + (3)
⎜0 0 1 ⎟
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Tổng quát : Ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để chuyển
một ma trận vuông về một ma trận tam giác trên và khi các phần tử trên đường
10

chéo chính của ma trận tam giác này khác không, ta có thể tiếp tục biến đổi về ma
trận đơn vò.

• Giải thuật biến ma trận vuông thành ma trận tam giác trên
Để chuyển một ma trận vuông về một ma trận tam giác trên, ta duyệt các cột,
từ cột đầu đến cột cuối :
Trên mỗi cột, chọn một phần tử mà ta gọi là phần tử trục xoay. Sau đó, dùng
các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến các phần tử nằm phía dưới phần tử trục
xoay về số 0. Đối với giải thuật chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên,
phần tử trục xoay trên từng cột được chọn nằm trên đường chéo. Khi đó, ta có các
khả năng sau :
Khả năng 1. Phần tử trục xoay bằng 0 và các phần tử ở phía dưới phần tử trục
xoay cũng bằng 0 : Chuyển qua cột kế.
Khả năng 2. Phần tử trục xoay bằng 0 và có một phần tử ở phía dưới nó khác
0 : Hoán vò hai dòng thích hợp để đưa phần tử khác 0 này về vò trí phần tử trục
xoay. Chuyển qua khả năng 3.
Khả năng 3. Phần tử trục xoay khác 0 : Thay các dòng dưới phần tử trục xoay
bằng dòng đó cộng với một hằng số thích hợp nhân với dòng chứa phần tử trục
xoay để biến các phần tử phía dưới trục xoay thành 0. Chuyển qua cột kế.
Ví dụ 18.

⎛1
⎜
2
⎜
A=
⎜1
⎜
⎜3

⎝

⎛1
1 0 2⎞
( 2):= ( 2) − 2(1) ⎜
⎟
4 −1 5 ⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 ) → ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 4 ) : = ( 4 ) − 3 (1 ) ⎜ 0
3 0 5⎟
⎟
⎜
⎜0
7 3 9 ⎟⎠
⎝
⎛1
⎜
0
4 ): = ( 4 ) − 5 ( 3 )
(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎜0
⎜
⎜0
⎝

1
2
2

4
1
2
0
0

0

⎛1
2⎞
⎟
⎜
0
3 ): = ( 3 ) − ( 2 )
−1 1 ⎟
(
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ): = ( 4 ) − 2 ( 2 ) ⎜ 0
0 3⎟
⎟
⎜
⎜0
3 3 ⎟⎠
⎝
0
2 ⎞
⎟
−1 1 ⎟
1

2 ⎟
⎟
0 −9 ⎟⎠

1 0 2⎞
⎟
2 −1 1 ⎟
0 1 2⎟
⎟
0 5 1 ⎟⎠

Ngoài ra, nếu ma trận tam giác trên nhận được có các phần tử trên đường
chéo khác 0 thì cũng với các phần tử trục xoay nằm trên đường chéo, duyệt từ cột
đầu tới cột cuối và trên mỗi cột :
Nhân dòng chứa phần tử trục xoay với một hằng số thích hợp để biến phần
tử trục xoay thành 1,
Thay các dòng phía trên phần tử trục xoay bằng dòng đó cộng với một hằng
số thích hợp nhân với dòng chứa phần tử trục xoay để biến các phần tử phía
trên phần tử trục xoay thành 0.
Chẳng hạn, với ma trận nhận được ở ví dụ 18, ta biến đổi tiếp tục

11


⎛1
⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜0

⎝

1
2
0
0

⎛1
2⎞
⎜
⎟
( 2):= 12 ( 2) ⎜ 0
−1 1 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
1 2⎟
⎜0
⎟
⎟
⎜0
0 −9 ⎠
⎝
0

1

0

1

− 12

0
0

⎛1
⎜
1
=
−
1
:
1
3
( ) ( ) 2( ) ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 2):= ( 2) + 12 ( 3) ⎜ 0
⎜
⎜
⎝0

⎛1
2⎞
⎜
⎟
1
⎜0
1 ) : = (1 ) − ( 2 )
⎟

(
2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
⎟
2⎟
⎜0
⎜
⎟
1⎠
⎝0

1
0

0
1
0
0

1
2
− 12

1
0

3⎞
2⎟
1
⎟

2

⎟
2⎟
⎟
1⎠

⎞
⎛1 0 0 0⎞
⎟
(1):= (1) − 12 ( 4 ) ⎜
⎟
1 0
⎟
( 2):= ( 2) − 23 ( 4 ) ⎜ 0 1 0 0 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎟
( 3 ): = ( 3 ) − 2 ( 4 ) ⎜ 0 0 1 0 ⎟
0 1 2⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟
0
0
0
1
⎝
⎠
0 0 1⎠
Chú ý rằng, nếu ma trận tam giác trên có một phần tử trên đường chéo chính

bằng 0 thì ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để chuyển về một ma
trận có một dòng gồm toàn số 0.
0 0

1
2
3
2

Nhận xét rằng khi ta thực hiện các phép biến đổi trên dòng cho ma trận các
hệ số mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính, ta đã thay đổi thứ tự các
phương trình trong hệ, nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0 hay
thay một phương trình bằng phương trình đó cộng cho một hằng số nhân cho một
phương trình khác. Do các sự thay đổi như vậy không làm thay đổi tập nghiệm của
hệ phương trình tuyến tính nên sau khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên
dòng cho ma trận các hệ số mở rộng, ta nhận được một ma trận các hệ số mở rộng
của một hệ phương trình tuyến tính mới, tương đương với hệ phương trình tuyến
tính ban đầu, nghóa là tập nghiệm của chúng bằng nhau. Chẳng hạn, trở lại với hệ
phương trình
⎧ x1
⎪
⎨ − x1
⎪−2x
1
⎩

x2

+ x3

= 2

+ 2x2

+ x3

= 6

−

+ 3x 2

+ x3

= 7

và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng cho ma trận các hệ số mở rộng
A = A B sao cho ma trận các hệ số A trở thành ma trận tam giác trên,

(

)

⎛ 1 −1 1 2 ⎞
⎛ 1 −1 1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ) : = ( 2 ) + (1 )

(
→ 0 1 2 8⎟
A = A B = ⎜ −1 2 1 6 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 3 ) : = ( 3 ) + 2 (1 ) ⎜
⎜ −2 3 1 7 ⎟
⎜ 0 1 3 11 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

(

)

⎛ 1 −1 1
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜0 1 2
⎜0 0 1
⎝

( 3) : = ( 3) − ( 2 )

ta nhận được hệ phương trình tương đương

12

2⎞
⎟

8 ⎟ ≡ A ′ = A ′ B′
3 ⎟⎠

(

)


⎧ x1
⎪
⎨
⎪
⎩

− x2
x2

x3

= 2

+ 2x3

= 8

+

x3

= 3

Hệ này dễ dàng giải được bằng cách giải từng phương trình từ dưới lên trên,
ta được x 3 = 3 , x 2 = 8 − 2x3 = 2 và x1 = 2 + x2 − x 3 = 1 . Phương pháp giải hệ phương
trình tuyến tính này được gọi là phương pháp Gauss.

(

)

Hơn nữa, nếu ta biến đổi tiếp A ′ = A ′ B′ để chuyển A ′ về ma trận đơn vò,
⎛ 1 0 3 10 ⎞
⎛1 0 0
⎟
⎜
1 ) : = ( 1 ) − 3( 3 )
(
→
8 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 1 0
( 2 ) := ( 2 ) − 2 ( 3 ) ⎜
⎜0 0 1 3 ⎟
⎜0 0 1
⎝
⎠
⎝

(1 ) : = (1 ) + ( 2 ) → ⎜ 0 1 2
A ′ = ( A ′ B′ ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜

1⎞
⎟
2 ⎟ ≡ A ′′ = A ′′ B′′ ,
3 ⎟⎠

(

)

ta nhận được hệ
⎧ x1
⎪
⎨
⎪
⎩

= 1
x2

= 2
x3

= 3

và ta cũng lại nhận được nghiệm của hệ phương trình ban đầu. Phương pháp giải
hệ phương trình tuyến tính này được gọi là phương pháp Gauss-Jordan. Các
phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính sẽ được khảo sát một cách có hệ
thống trong chương sau.

1.5. Ma trận bậc thang theo dòng

Đònh nghóa. Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận mà ứng với hai dòng bất
kỳ, số hạng khác 0 đầu tiên của dòng dưới luôn luôn nằm bên phải số hạng khác 0
đầu tiên của dòng trên.
Ví dụ 19.
⎛0
⎜
⎜0
A = ⎜0
⎜
⎜0
⎜0
⎝

1 0

3

5

0 0

2 −4

0 0

0

3

0 0

0

0

0 0

0

0

7⎞
⎟
6⎟
3⎟,
⎟
5⎟
0 ⎟⎠

⎛1
⎜
⎜0
B = ⎜0
⎜
⎜0
⎜0
⎝

0

2 0 9

2 4 4 7
0

0

1 0

0

0 0 0

0

0 0 0

6⎞
⎟
−1 ⎟
3⎟
⎟
8⎟
0 ⎟⎠

Nhận xét : Trong ma trận bậc thang theo dòng, các dòng không (dòng chứa
toàn số 0), nếu có, phải nằm dưới các dòng khác không (dòng có ít nhất một số
hạng khác 0). Khi đó, các số hạng bằng 0 đầu tiên trên mỗi dòng tạo thành hình
bậc thang, mỗi bậc thang chứa ít nhất một cột.

Chẳng hạn, với các ma trận trong ví dụ 19, các số hạng bằng 0 đầu tiên trên
mỗi dòng có dạng

13


⎛0
⎜
⎜0
A → ⎜0
⎜
⎜0
⎜0
⎝

0 0
0 0
0 0
0 0

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜0
⎟
⎟
B → ⎜0 0 0
⎜
⎟

⎜0 0 0 0 0
⎟
⎜ 0 0 0 0 0 0⎟
⎝
⎠

⎞
⎟
⎟
⎟,
0
⎟
0 0
⎟
0 0 0 ⎟⎠

Chú ý rằng, ma trận tam giác trên với các số hạng nằm trên đường chéo khác
0 cũng là một ma trận bậc thang và khi đó mỗi bậc thang chứa đúng một cột.
Với một ma trận A cấp m × n bất kỳ, ta luôn luôn có thể dùng các phép biến
đổi sơ cấp để biến ma trận A thành ma trận bậc thang theo dòng.
• Giải thuật chuyển về ma trận bậc thang theo dòng
Để chuyển ma trận bất kỳ về ma trận bậc thang theo dòng, người ta thay đổi
cách chọn phần tử trục xoay trong giải thuật chuyển ma trận vuông về ma trận tam
giác trên. Thay vì vò trí phần tử trục xoay luôn luôn nằm trên đường chéo, ta chọn
- Phần tử trục xoay của cột 1 nằm ở dòng 1.
- Nếu sau khi biến đổi xong một cột mà phần tử trục xoay lúc đó khác 0 thì
phần tử trục xoay của cột kế nằm ở dòng kế. Ngược lại, nếu phần tử trục
xoay bằng 0 (và mọi phần tử nằm dưới nó cũng bằng 0) thì phần tử trục
xoay của cột kế nằm ở cùng dòng.
Ví dụ 20.

⎛ 1 −1 − 2 4
⎛1
5 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − 3( 1 )
⎜
⎟
⎜
3 ) : = ( 3 ) − (1 )
1 ⎟
0
(
⎜ 3 −1 −1 2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
=
−
4
:
4
12
1
⎜ 1 1 3 −6 −9 ⎟
⎜
( ) ( ) ()
0
⎜
⎟
⎜
⎜ 12 −2 1 −2 −10 ⎟

⎜0
⎝
⎠
⎝
⎛1
⎜
0
3 ): = ( 3 ) − ( 2 )
(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
=
−
4
:
4
5
1
( ) ( ) ( ) ⎜0
⎜
⎜0
⎝

−1 −2
2
2

5
5

4
−10
−10

10 25 −50
−1 − 2 4
2 5 −10
0
0

0
0

0
0

5 ⎞
⎟
−14 ⎟
−14 ⎟
⎟
−70 ⎟⎠
5 ⎞
⎟
−14 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟⎠

Đặc biệt, ta có sự liên hệ giữa các phép biến đổi sơ cấp trên dòng với tích các

ma trận như sau
Đònh lý. Cho A ∈ Mm×n và B ∈ Mn×q . Nếu A ′ là ma trận nhận được từ A qua
các phép biến đổi sơ cấp trên dòng D thì ma trận A ′B cũng nhận được từ ma trận
D
AB qua các phép biến đổi sơ cấp trên dòng D , nghóa là nếu A ⎯⎯⎯
→ A ′ thì
D
AB ⎯⎯⎯
→ A ′B .

14


1.6. Ma trận chuyển vò
Đònh nghóa. Cho A ∈ Mm×n , chuyển vò của A , ký hiệu A T , là ma trận cấp

n × m xác đònh bởi ⎡ A T ⎤ = ⎡⎣ A ⎤⎦ , ∀i = 1, n , j = 1, m .
ji
⎣ ⎦ ij
⎛ 1 2 3⎞
Ví dụ 21. Với ma trận A = ⎜
⎟ ∈ M2×3 , chuyển vò của nó là
⎝ 4 5 6⎠

⎛1 4⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 5 ⎟ ∈ M3×2 .
⎜ 3 6⎟
⎝

⎠
T

Nhận xét. Ma trận chuyển vò của A nhận được từ A bằng cách biến dòng của
A thành cột của A T (hay biến cột của A thành dòng của A T ).
Tính chất

( )

(i) A T

T

= A,
T

(ii) ( A + B ) = A T + BT ,
T

(iii) ( AB ) = BT A T .

1.7. Ma trận đối xứng
Đònh nghóa. Ma trận vuông A được gọi là đối xứng, nếu A = A T .

Từ đònh nghóa ta thấy nếu A là ma trận đối xứng thì A là ma trận vuông và
các phần tử nằm ở vò trí đối xứng nhau qua đường chéo đều bằng nhau,
⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ , ∀i, j .
ij
ji
Ví dụ 22. Ma trận

⎛ x 1 3⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 y 5⎟
⎜ 3 5 z⎟
⎝
⎠
là một ma trận đối xứng.

2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
Xét ma trận vuông cấp n
⎛ a11
⎜
⎜
⎜
A = ⎜ a i1
⎜
⎜
⎜ a n1
⎝

a1 j
a ij
a nj
15

a1n ⎞
⎟
a 2n ⎟

⎟
a in ⎟
⎟
⎟
a nn ⎟⎠


Với mỗi số hạng a ij (số hạng nằm ở dòng i và cột j ), ma trận vuông cấp

n − 1 nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận
bù của A đối với số hạng a ij , ký hiệu là A ij .

⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
Ví dụ 23. Với A = ⎜ 4 5 6 ⎟ ∈ M3 thì
⎜ 7 8 9⎟
⎝
⎠
⎛ 5 6⎞
⎛1 2⎞
⎛ 1 2⎞
A11 = ⎜
⎟ , A 23 = ⎜
⎟ , A 33 = ⎜
⎟ ∈ M2 .
⎝ 8 9⎠
⎝7 8⎠
⎝ 4 5⎠

2.1. Đònh nghóa
Cho A ∈ Mn . Đònh thức của A, ký hiệu det A hay A , là số thực được đònh
nghóa bằng quy nạp theo n như sau
Với n = 1 , nghóa là A = ( a11 ) , thì det A = a11 .
Với n ≥ 2, A = (a ij )n×n , thì
1 +1

det A = ( −1)

=

n

1+ 2

a11 det A11 + ( −1)

1+ j

∑ ( −1)
j =1

1+ n

a12 det A12 + ... + ( −1)

a1j det A1 j

(2.1)

⎛a
Chẳng hạn, khi n = 2 , nghóa là A = ⎜ 11
⎜a
⎝ 21
1 +1

det A = ( −1)

a1n det A1n

1+ 2

a11 det ( a 22 ) + ( −1)

a12 ⎞
⎟ , ta có
a 22 ⎟⎠
a12 det ( a 21 ) = a11a 22 − a 21a12

⎛a b⎞
Nhận xét. Nếu A = ⎜
⎟ thì det A = ad − bc ( det A nhận được bằng cách
⎝ c d⎠
lấy tích các số hạng trên đường chéo chính trừ đi tích các số hạng trên đường chéo
phụ).

Với n = 3 , ta có công thức tính đònh thức cấp 3
a1

a2

a3

b1

b2

b3 = a1

c1

c2

c3

b2
c2

b3
c3

− a2

b1
c1

b3
c3

+ a3

b1
c1

b2
c2

= a1 ( b2c3 − b3c2 ) − a 2 ( b1c3 − b3c1 ) + a 3 ( b1c2 − b2c1 )
= a1 b2c3 + a 2 b3c1 + a 3 b1c2 − a1 b3c2 − a 2 b1c3 − a 3 b2c1 .

Trong thực hành ta có thể tính đònh thức cấp 3 bằng cách dùng quy tắc Sarrus
như sau
16


Viết theo thứ tự hai cột 1 và 2 sau cột thứ 3.
Ba số hạng mang dấu cộng trong đònh thức là tích các phần tử nằm trên
đường chéo chính hay song song với đường chéo chính.
Ba số hạng mang dấu trừ trong đònh thức là tích các phần tử nằm trên đường
chéo phụ hay song song với đường chéo phụ.

1

2

3

Ví dụ 24. Tính 3

4 0 , ta có

−1 −2 5

1
3

2
4

3 1
0 3

2
4 = 1 ⋅ 4 ⋅ 5 + 2 ⋅ 0 ⋅ ( −1) + 3 ⋅ 3 ⋅ ( −2 ) − 3 ⋅ 4 ⋅ ( −1) − 1.0. ( −2 ) − 2 ⋅ 3 ⋅ 5

−1 −2 5 −1 −2

= −16

Công thức (2.1) của đònh nghóa 2.1 được gọi là công thức tính det A bằng cách
khai triển theo dòng một. Thực chất, đònh thức của một ma trận vuông không đổi
khi ta khai triển theo một dòng hay một cột bất kỳ.

( )

2.2. Đònh lý. Cho ma trận A = a i j
det A =

n× n

n

∑ (−1)

. Khi đó
i0 + j

det A =

n

∑ (−1)
i =1

a i j det A i

0j

0

j =1

i + j0

a i j det A i j
0

0

(2.2)
(2.3)

(với 1 ≤ i0 , j0 ≤ n )

Công thức (2.2) gọi là công thức khai triển theo dòng i0 và công thức (2.3) là
công thức khai triển theo cột j0 .
Từ đònh lý nêu trên, ta có thể tính được đònh thức bằng cách khai triển theo
một dòng hay một cột bất kỳ. Trong thực tế, ta lựa chọn các dòng hay cột để khai
triển sao cho số các phép tính cần thực hiện càng ít càng tốt, chẳng hạn khai triển
theo dòng hay cột chứa nhiều số 0 nhất.

17


⎛1
⎜
0
Ví dụ 25. Xét A = ⎜
⎜3
⎜⎜
⎝0

0

3

−2 ⎞
⎟
2 −2 0 ⎟
.
2 0 1⎟

⎟
3 0 0 ⎟⎠

Khai triển theo dòng 4, ta có
1

3

−2

det A = 3 × 0 −2
3 0

0
1

Khai triển theo dòng 2 đònh thức ở vế phải, ta được
det A = 3 ( −2 )

1 −2
3

1

= − 42

Tổng quát hơn, với ma trận A ∈ Mn và với số nguyên k , 1 < k < n , ta chọn
trong

A

các

dòng

i1 < i2 < ... < ik .

Khi

đó,

với

mỗi

bộ

k

số

nguyên

1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n , ma trận vuông cấp k nhận được từ A bằng cách giữ lại các

phần tử nằm trên các dòng i1 , i2 , ..., ik và trên các cột j1 , j2 , ..., jk được ký hiệu
i ,i ,...,i ; j , j ,..., j

là A 1 2 k 1 2 k và ma trận vuông cấp n − k nhận được từ A bằng cách bỏ đi các
dòng i1 , i2 , ..., ik và các cột j1 , j2 , ..., jk được ký hiệu là A i ,i ,...,i ; j , j ,..., j . Chẳng

1

2

k

1

2

k

hạn, với ma trận A trong ví dụ trên, ta có
⎛ 0 2⎞
⎛ 3 −2 ⎞
A 2,4;1,2 = ⎜
⎟ và A 2,4;1,2 = ⎜
⎟ A ∈ Mn .
⎝ 0 3⎠
⎝0 0 ⎠

Ta được công thức khai triển đònh thức theo k dòng như sau

2.3. Đònh lý Laplace. Với A ∈ Mn , chọn k dòng i1 < i2 < ... < ik . Ta có
det A =

(
∑ ( −1)

i1 + i2 + ...+ ik ) + ( j1 + j2 + ...+ jk )

j1 < j2 < ...< jk

i i ...ik ; j1 j2 ...jk

det A 1 2

det A i i

1 2 ...ik ; j1 j2 ...jk

.

Ví dụ 26. Với ma trận trong ví dụ 24, ta khai triển theo hai dòng 2 và 4 (hai
dòng nhiều số 0 nhất), ta có

det A = ( −1)

( 2 + 4 ) + (1 + 2 ) 0 2
0 3

⋅

+ ( −1)

( 2 + 4 ) + (1 + 4 ) 0 0

+ ( −1)

(2+ 4 ) + ( 2+ 4) 2 0

0 0
3 0

3 −2
( 2 + 4 ) + (1+ 3) 0 −2 0 −2
+ ( −1)
⋅
+
0 1
0 0
2 1
⋅

0 3
( 2 + 4 ) + ( 2+ 3) 2 −2 1 −2
+ ( −1)
⋅
+
2 0
3 0
3 1
.

⋅

1 3
( 2 + 4 ) + ( 3+ 4 ) −2 0 1 0
+ ( −1 )
⋅

3 0
0 0 3 2

= 0 + 0 + 0 + ( −1) ⋅ 6 ⋅ 7 + 0 + 0 = −42

18


2.4. Tính chất
i) Với ba ma trận A, B, C ∈ Mn sao cho
⎡⎣C ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + ⎡⎣ B⎤⎦ và ⎣⎡ A ⎦⎤ = ⎣⎡B⎦⎤ = ⎣⎡C⎦⎤ , ∀i ≠ 1 ,
1j
1j
1j
ij
ij
ij

ta có det C = det A + det B .
Do đó, nếu ma trận C nhận được từ A, B bằng cách lấy một dòng của A cộng
với một dòng của B và các dòng khác giữ nguyên thì det C = det A + det B .
ii) Cho A ∈ Mn , h ∈

. Nếu ma trận B ∈ Mn thỏa

⎡⎣ B⎤⎦ = h ⎡⎣ A ⎤⎦ và ⎡⎣ B ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ , ∀i ≠ 1
1j
1j
ij
ij

thì det B = h det A . Do đó, nếu ma trận B nhận được từ A bằng cách nhân một dòng
của A cho hằng số h, các dòng khác giữ nguyên, thì det B = h det A . Đặc biệt,
det ( hA ) = h n det A , với mọi A ∈ Mn .

2.5. Đònh lý
i)

(i) ∼ (i )
Nếu A ⎯⎯⎯⎯⎯
→ B thì det B = − det A .
′

(i):=α (i)
ii) Nếu A ⎯⎯⎯⎯⎯
→ B thì det B = α det A .

iii) Ma trận có 2 dòng tỉ lệ với nhau thì có đònh thức bằng 0.
(i) := (i) + α (i′)
iv) Nếu A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ B , với i ≠ i′ , thì det B = det A .

v) Đònh thức của ma trận tam giác bằng tích các số hạng nằm trên đường chéo
chính.

( )

vi) det A = det A T , với mọi A ∈ Mn .
vii) Với A, B ∈ Mn , ta có det ( AB ) = det A.det B

Đònh lý nêu trên được ứng dụng trong việc tính đònh thức của một ma trận
bằng cách biến một ma trận vuông về một ma trận tam giác trên. Chú ý rằng với
giải thuật nêu trong phần 1.4, ta chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp thứ 1 (đònh thức
đổi dấu) và phép biến đổi thứ 3 (đònh thức không đổi).
⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
Ví dụ 27. Cho A = ⎜ 4 9 6 ⎟
⎜ 3 2 0⎟
⎝
⎠
Ta có
⎛ 1 2 3⎞
⎛1 2 3 ⎞
⎛1 2 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(2) := (2) − 4(1)
(3) := (3) + 4(2)
A = ⎜ 4 9 6 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 −6 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 −6 ⎟ = B
(3) := (3) − 3(1)
⎜ 3 2 0⎟
⎜ 0 −4 −9 ⎟
⎜ 0 0 −33 ⎟

⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
19


do đó, det A = det B = 1 ⋅ 1 ⋅ ( −33) = − 33 .
Chú ý. Với A, B ∈ Mn , có thể AB ≠ BA nhưng ta vẫn có det ( AB ) = det ( BA ) .
⎛1 2⎞
⎛ 5 6⎞
Ví dụ 28. Cho A = ⎜
⎟, B = ⎜
⎟
⎝3 4⎠
⎝7 8⎠

Ta có
⎛ 19 22 ⎞
⎛ 23 34 ⎞
AB = ⎜
⎟ và BA = ⎜
⎟ , nhưng det ( AB ) = det ( BA ) = 4 .
⎝ 43 50 ⎠
⎝ 31 46 ⎠

3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.1. Đònh nghóa. Cho A, B ∈ Mn . Ta nói A, B là hai ma trận nghòch đảo của nhau

nếu AB = BA = In . Khi đó, ta nói A và B là các ma trận khả nghòch.
Chú ý rằng nếu hai ma trận B1 , B2 cùng là các ma trận nghòch đảo của A,
nghóa là AB1 = B1 A = In và AB2 = B2 A = In , ta có
B1 = B1I = B1 ( AB2 ) = ( B1 A ) B2 = IB2 = B2 .
Nói khác đi, nếu A là ma trận khả nghòch thì ma trận B thỏa AB = BA = In là
duy nhất và ta gọi nó là ma trận nghòch đảo của A, ký hiệu B = A −1 .

3.2. Tính chất
Nếu A1 , A 2 , A là những ma trận vuông cấp n khả nghòch thì

( )

(i) A −1

−1

(ii) ( A1 A 2 )

( )

(iii) A T

= A.
−1

−1

= A 2−1 A1−1 .

( )

= A −1

Chứng minh. Nếu

AA

−1

T

.

A −1 là ma trận nghòch đảo của ma trận

A

thì

−1

= A A = In .
Suy ra A −1 A = AA −1 = In , tức là A −1 khả nghòch và A là ma trận nghòch đảo

( )

của A −1 . Do đó A −1

−1

= A . Ta có

( A1A 2 ) ( A 2−1A1−1 )
Suy ra ( A1 A 2 )

−1

−1

(

)

= A1 A 2 A 2−1 A1−1 = A1In A1−1 = A1 A1−1 = In

= A 2−1 A1−1 .

Ta có
20


( ) = (A A)

A T A −1
Do đó

(A )
T

−1

T

−1

( )

= A −1

T

= InT = In

T

⎛ 1 −1 1 ⎞
⎛ −1 4 −3 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
Ví dụ 29. Với A = ⎜ −1 2 1 ⎟ và B = ⎜ −1 3 −2 ⎟ , ta có
⎜ −2 3 1 ⎟
⎜ 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 0 0⎞
⎜

⎟
AB = BA = ⎜ 0 1 0 ⎟ .
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
Vậy A, B khả nghòch và B = A −1 hay A = B−1 .
Khi ma trận A khả nghòch, nghóa là tồn tại ma trận B ∈ Mn sao cho AB = In ,
ta suy ra det A ⋅ det B = 1 , và do đó det A ≠ 0 . Thực ra ta có

3.3. Tính chất. Ma trận A ∈ Mn khả nghòch khi và chỉ khi det A ≠ 0 .
3.4. Giải thuật tìm ma trận nghòch đảo A −1
Phương pháp 1. Tìm A −1 bằng đònh thức.

Cho A ∈ Mn , det A ≠ 0 . Với A ij ∈ Mn −1 là ma trận bù của A đối với phần tử
a ij (ma trận nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng và cột chứa phần tử a ij ). Đặt
i+ j
B = ⎛⎜ ( −1) det A ij ⎞⎟ ∈ Mn . Ta có
⎝
⎠

A −1

với bij = ( −1)

i+ j

⎛ b11
⎜
1
1 ⎜ b21

T
B =
=
det A
det A ⎜
⎜
⎜b
⎝ n1

b12

b22
bn2

T

b1n ⎞
⎟
b2n ⎟
⎟ ,
⎟
bnn ⎟⎠

det A ij , i, j = 1, 2,..., n .

Ví dụ 30. Tìm ma trận nghòch đảo của

⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟

A = ⎜ −1 2 1 ⎟ .
⎜ −2 3 1 ⎟
⎝
⎠
Ta có det A = 1 , do đó A khả nghòch và A −1 được tính bởi công thức sau
A −1

⎛ b11
1
1 ⎜
T
=
B =
⎜b
det A
det A ⎜ 21
⎝ b31

b12

b22

b31
21

T

b13 ⎞
⎟
i+ j

b23 ⎟ , với bij = ( −1) det A ij
b33 ⎟⎠


2 1

1 +1

b11 = ( −1)

1+ 2

= −1 , b12 = ( −1)

3 1

−1 1
−2 1

1+ 3

= −1 , b13 = ( −1)

−1 2
−2 3

= 1,

b21 = ( −1)

2 +1

2+ 2 1
2+ 3 1
−1 1
1
−1
= 4 , b22 = ( −1)
= 3 , b23 = ( −1)
= −1 ,
3 1
−2 1
−2 3

b31 = ( −1)

3 +1

−1 1
2

1

= −3 , b32 = ( −1)

3+ 2

1

1

−1 1

= −2 , b33 = ( −1)

1

−1

−1

2

3+ 3

= 1.

Vậy ma trận nghòch đảo của ma trận A là
T

A −1

⎛ −1 −1 1 ⎞
⎛ −1 4 −3 ⎞
⎟
⎜
⎟
1⎜
= ⎜ 4 3 −1 ⎟ = ⎜ − 1 3 − 2 ⎟ .
1⎜

⎟
⎜ 1 −1 1 ⎟
⎝ −3 − 2 1 ⎠
⎝
⎠

Phương pháp 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp theo dòng.

(

)
n cột đầu của ( A I ) chính là ma trận A .
n cột cuối của ( A I ) là ma trận đơn vò I .

i) Lập ma trận A In là ma trận gồm n dòng và 2n cột, trong đó
n

n

n

(

ii) Bằng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng, ta có thể chuyển ma trận A In

(

)

)

về ma trận In B và khi đó B = A −1 .
Ví dụ 31. Cho ma trận

⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −1 2 1 ⎟
⎜ −2 3 1 ⎟
⎝
⎠
Để tìm ma trận nghòch đảo của A , ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên
dòng

(A I )
3

⎛ 1 −1 1
⎜
= ⎜ −1 2 1
⎜ −2 3 1
⎝
⎛1

⎛1
1 0 0⎞
⎟
2
:
=

2
+
1
( ) ( ) ( ) → ⎜0
0 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
( 3 ) : = ( 3 ) + 2 (1 )
⎟
⎜0
0 0 1⎠
⎝

( 3 ): = ( 3) − ( 2 ) → ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯

−1 1
1 2
0 1

⎛1
⎜
0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 2 ) := ( 2 ) − 2 ( 3 ) ⎜
⎜0
⎝

0 0
1 0

0 1

⎜
⎜0
⎝

(1):= (1) − 3( 3)

−1 1
1 2
1 3

⎛1
1 0 0⎞
⎟
⎜
1 ) : = (1 ) + ( 2 )
(
1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜0
⎜0
1 −1 1 ⎟⎠
⎝
−1 4 −3 ⎞
⎟
−1 3 −2 ⎟ = I3 A −1
1 −1 1 ⎟⎠

(

22

)

0 3
1 2
0 1

1 0 0⎞
⎟
1 1 0⎟
2 0 1 ⎟⎠
2 1 0⎞
⎟
1 1 0⎟
1 −1 1 ⎟⎠


Vậy ma trận nghòch đảo của A là
A

−1

⎛ −1 4 −3 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ −1 3 −2 ⎟ .
⎜ 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠

* Chú ý. Nếu ta không thể biến ma trận A thành ma trận đơn vò, chẳng hạn
A có một cột (hay dòng) chứa toàn số 0 thì ma trận A không khả nghòch, nghóa là
A −1 không tồn tại.
Ví dụ 32. Cho ma trận

⎛ 1 3 −4 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 5 −1 ⎟ .
⎜ 3 13 −6 ⎟
⎝
⎠
Ta có

(A I )
3

⎛ 1 3 −4 1 0 0 ⎞
⎛ 1 3 −4 1 0 0 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − (1 )
⎜
⎟
⎟
3
:
3
3
1
=

−
( ) ( ) () ⎜
= ⎜ 1 5 −1 0 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 2 3 −1 1 0 ⎟
⎜ 3 13 −6 0 0 1 ⎟
⎜ 0 4 6 −3 0 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 3 −4 1 0 0 ⎞
⎟
3 −1 1 0 ⎟
⎜ 0 0 0 −1 − 2 1 ⎟
⎝
⎠

( 3) : = ( 3 ) − 2 ( 2 ) ⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 2

Qua một số phép biến đổi sơ cấp, ma trận A chứa một dòng toàn số 0. Vậy
ma trận A không khả nghòch.

4. HẠNG CỦA MA TRẬN
Ta chỉ có khái niệm đònh thức cho các ma trận vuông. Đối với một ma trận A
bất kỳ, đònh thức của ma trận vuông cấp k nhận được từ A bằng cách bỏ đi một số
dòng và một số cột của A được gọi là một đònh thức con cấp k của A. Ta có

4.1. Đònh nghóa
Cho ma trận A ∈ Mm×n . Ta gọi hạng của ma trận A là số nguyên r thỏa
i) Mọi đònh thức con của A cấp lớn hơn r đều bằng 0,

ii) Trong A tồn tại một đònh thức con cấp r khác 0.
Ta ký hiệu hạng của ma trận A là rank ( A ) hay vắn tắt là r ( A ) . Khi A là

ma trận 0, ta quy ước r ( A ) = 0 .

Lưu ý rằng 0 ≤ r ( A ) ≤ min {m, n} .
Ví dụ 32. i) Ma trận
23


⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 4 6⎟
⎜ 2 5 0⎟
⎝
⎠
có r ( A ) = 2 , vì det A = 0 và trong A có đònh thức con
⎛1
⎜
⎜0
ii) Xét ma trận B = ⎜ 0
⎜
⎜0
⎜0
⎝

1 2
2 5

≠ 0.

0 7 6 3 2⎞
⎟
0 1 7 6 4⎟
0 0 1 0 1⎟
⎟
0 0 0 0 0⎟
0 0 0 0 0 ⎟⎠

Ta thấy tất cả các đònh thức con cấp 4 và cấp 5 đều bằng 0 và trong B có một
đònh thức con cấp 3 khác 0,
1 7 2
0 1 4 = 1 ≠ 0,
0 0 1
vậy r ( A ) = 3 .

4.2. Tính chất
i) Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp, nghóa là
nếu B là ma trận nhận được từ A sau hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp thì
rank ( A ) = rank ( B ) .
ii) Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vò, nghóa là

( )

rank ( A ) = rank A T .

iii) Nếu A là ma trận bậc thang theo dòng thì hạng của A chính là số dòng
khác không của nó.

⎛ 1 2 −1 0 ⎞
⎜
⎟
Ví dụ 33. Cho ma trận A = ⎜ −1 2 4 2 ⎟ . Tính rank ( A ) .
⎜ 3 6 −3 0 ⎟
⎝
⎠
Ta có đònh thức con cấp 2
bằng 0. Do đó, rank ( A ) = 2 .

1

2

−1 2

≠ 0 , còn các đònh thức con cấp 3 của A đều

Chú ý. Trong ví dụ trên, ta đã dùng đònh nghóa để tìm rank ( A ) . Tuy nhiên,

phương pháp này rất ít được sử dụng trong thực tế vì nó đòi hỏi phải tính khá
nhiều đònh thức con. Do đó, người ta thường sử dụng tính chất iii) để tìm rank ( A ) ,

24


nghóa là dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A về dạng ma trận bậc
thang theo dòng B . Khi đó, rank ( A ) bằng số dòng khác không của B .
⎛ 1 2 −1 0 ⎞
⎜

⎟
Ví dụ 34. Cho ma trận A = ⎜ −1 2 4 2 ⎟ . Tính rank ( A ) .
⎜ 3 6 −3 0 ⎟
⎝
⎠
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A , ta được
⎛ 1 2 −1 0 ⎞
⎛ 1 2 −1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) + (1 )
0
4
3
2
→
=B
⎜ −1 2 4 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
( 3):= ( 3) − 3(1)
⎜ 3 6 −3 0 ⎟
⎜ 0 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Ma trận B là ma trận bậc thang theo dòng và có 2 dòng khác không

nên rank ( A ) = rank ( B ) = 2 .

Bài tập
⎛ 1 −2 3 ⎞
⎛ 3
1. Cho A = ⎜
⎟ và B = ⎜
⎝ 4 5 −6 ⎠
⎝ −7
⎛ 2 5 −1 ⎞
⎛ 1 −2
2. Cho A = ⎜
⎟, B = ⎜
⎝ 3 0 −4 ⎠
⎝ 0 −1

0 2⎞
⎟ . Tìm 2A − 3B .
1 8⎠
⎛ 0 1 −2 ⎞
−3 ⎞
⎟ và C = ⎜
⎟ . Tìm 3A + 4B − 2C .
5⎠
⎝ 1 −1 −1 ⎠

⎛ 2 5⎞
⎛1 3⎞
⎛ 1 2⎞
⎜

⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
3. Cho A = ⎜ −1 0 ⎟ , B = ⎜ 2 1 ⎟ và C = ⎜ 0 3 ⎟ . Tìm 5A − 3B + 2C .
⎜ 4 2⎟
⎜ −3 − 2 ⎟
⎜ 2 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 2 −1 ⎞
⎛ 1 −2 5 ⎞
⎜
⎟
4. Cho A = ⎜ 1 0 ⎟ và B = ⎜
⎟ . Tìm AB , BA .
⎝ 3 4 0⎠
⎜ −3 4 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 5 6⎞
⎛ 1 −3 2 ⎞
⎜
⎟
⎜

⎟
5. Cho A = ⎜ 3 −4 1 ⎟ và B = ⎜ 1 2 5 ⎟ . Tìm AB , BA .
⎜1 3 2⎟
⎜ 2 −5 3 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 3 2 5⎞
⎛ 5 8 −4 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
6. Cho A = ⎜ 6 9 −5 ⎟ và B = ⎜ 4 −1 3 ⎟ . Tìm AB , BA .
⎜ 9 6 5⎟
⎜ 4 7 −3 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 2 1 −1 ⎞
⎛ 2 1 0⎞
T
T
7. Cho hai ma trận A = ⎜
⎟, B = ⎜
⎟ . Tính 3A ± 2B , A A và AA .
⎝ 0 1 −4 ⎠
⎝ −3 2 2 ⎠

⎛ −2 1 ⎞
⎛ 2 −1 3 ⎞
⎛ 1 1⎞
⎜
⎟
8. Cho A = ⎜
⎟ , B = ⎜ 0 2 ⎟ và C = ⎜
⎟.
⎝ 0 1 2⎠
⎝ 0 1⎠
⎜ 1 −1 ⎟
⎝
⎠
25