Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật

Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
MỤC LỤC:

1


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một trong những môn học về khoa học tự nhiên. Trong các
môn học ở trường THCS, môn Toán có vị trí rất quan trọng. Các kiến thức, kỹ
năng của môn Toán ở THCS cũng được ứng dụng nhiều trong cuộc sống và
trong các môn học khác.
Chuyên đề về dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là một bộ phận của chương
trình môn Toán cấp THCS. Thông qua các hoạt động dạy học toán tạo cơ hội
phát triển năng lực trừu tượng hoá, khái quát hoá trong học Toán; đồng thời tiếp
tục phát triển khả năng diễn đạt của học sinh theo mục tiêu của môn Toán ở
THCS.
Tuy nhiên qua nhiều năm giảng dạy môn Toán tôi nhận thấy các em thường hay
gặp nhiều khó khăn trong việc tìm dãy số, dãy phân số viết theo quy luật của
một biểu thức trong đó việc vận dụng các hằng đẳng thức các em làm sai rất
nhiều mà chuyên đề dãy số, dãy phân số viết theo quy luật là cơ sở để các em
học tiếp các chuyên đề chứng minh bất đẳng thức dãy …. Xuất phát từ những lí
do trên để giúp học sinh học tốt môn toán tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số
kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy
phân số viết theo quy luật ”. Qua đó để có thể học hỏi, trao đổi kinh nghiệm với
đồng nghiệp để nâng cao trình độ chuyên môn của bản thân

2

Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy
s, dóy phõn s vit theo quy lut
PHN TH HAI GII QUYT VN
1)C S L LUN CA VN
Muốn nâng cao chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi toán thì trớc
hết phải xây dựng đợc một nội dung hợp lý, khoa học và những
phơng pháp giảng dạy phù hợp, phát triển đợc khả năng t duy
linh hoạt, sáng tạo của học sinh.
Qua thực tế tham gia dạy bồi dỡng học sinh lớp 6 của trờng
tôi thấy đợc thực trạng việc dạy học và giải toán nâng cao của
giáo viên và học sinh còn nhiều vấn đề phải quan tâm. Đó là:
Nội dung dạy bồi dỡng học sinh giỏi cha đảm bảo logic, giáo viên
khi nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào hay thì chọn
để dạy cho học sinh chứ cha phân đợc dạng, loại trong mỗi
mạch kiến thức. Về phơng pháp dạy giải các bài toán nâng cao
cha hợp lí, có những phơng pháp giải cha phù hợp với đặc
điểm tâm lý và khả năng tiếp thu của học sinh; về phía
chuyên môn cha có tài liệu chỉ đạo cụ thể về nội dung và phơng pháp dạy bồi dỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy đó
làm cơ sở. Học sinh cha có một phơng pháp t duy logic để giải
quyết các dạng bài tập nhất là các bài tập về dãy số, dóy phõn s
vit theo quy lut... Chính vì vậy, chất lợng dạy bồi dỡng học sinh
giỏi cha cao.
Để từng bớc nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi, tôi
đã chọn đề tài : Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng
mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut
2)THC TRNG CA VN
Ngay t u thỏng 9 tụi ó tin hnh kho sỏt hc sinh cht lng mụn
toỏn
chn ra mt s hc sinh khỏ gii tiờu chun cho cỏc em vo i tuyn bi

dng hc sinh gii.
Tng s hc sinh: 80 hc sinh
Kt qu t c:
im gii: 20 hc sinh chim 25%
im khỏ: 30 em chim 37,5%
3


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
Điểm trung bình: 20 em chiếm 25%
Điểm yếu, kém: 10 em chiếm 12,5%
Kết quả trên trung bình là: 87,5 %
Căn cứ vào kết quả bài khảo sát của học sinh và tình hình thực tế tôi nhận thấy
có những thuận lợi và khó khăn sau.
•Thuận lợi:
Cơ sở vật chất và đồ dùng dạy học của nhà trường khá đầy đủ.
Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa và đồ dùng học tập.
Nhà trường luôn tích cực trong những hoạt động nâng cao chất lượng.
Tập thể giáo viên đoàn kết có tinh thần tương trợ lẫn nhau.
Đa số học sinh có ý thức học tập tích cực
Phụ huynh học sinh luôn quan tâm ủng hộ việc học tập của con em mình.
•
Khó khăn
Do ảnh hưởng của môi trường xã hội nên một số học sinh còn mải chơi chưa
chịu khó học tập, gặp một dạng khó là các em dễ bị nản, dễ có tâm lý lười suy
nghĩ, lười vận động
3) BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Bước 1: Tiến hành khảo sát.
Bước 2: Đưa ra các kiến thức vận dụng.

Bước 3: Phân loại các dạng toán.
•
Hướng dẫn phương pháp giải
•
Xác định những sai lầm thường gặp
•
Đưa ra lời giải đúng
•
Khai thác bài toán dưới một dạng khác
•
Tổng quát hóa bài toán
Kiến thức vận dụng
1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)
- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
2. Các phép tính của phân số:
a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu:
A B A+B
+
=
(M ≠ 0)
M M
M
A B A−B
−
=
(M ≠ 0, A ≥ B)
M M
M

4


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:
- Quy đồng mẫu các phân số.
- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung.
A C A.C
. =
(B, D ≠ 0)
B D B.D
A C A.D
d. Chia 2 phân số: : =
(B, C, D ≠ 0)
B D B.C

c. Nhân các phân số:

3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số:
a. Tính chất giao hoán:
a c c a
+ = +
(b, d ≠ 0)
b d d b
a c c a
- Phép nhân: . = .
(b, d ≠ 0)
b d d b

- Phép cộng:

b. Tính chất kết hợp :
a c m a c m
- Phép cộng :  +  + = +  +  (b, d, n ≠ 0)
b

d

n

b

d

n

a c m a c m
- Phép nhân:  . . = . .  (b, d, n ≠ 0)
b d n

b d n 

c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ):
a c m a m c m
 + . = .. + .
(b, d, n ≠ 0)
b d n b n d n

4. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b
Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c
- Tính chất đơn điệu của phép cộng:
Nếu a > b thì a + c > b + c
- Tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
5. Một số tính chất của bất đẳng thức:
1

1

1

a. n( n + 1) 〈 n 2 〈 n( n + 1)
1

1

1

1

b. k 2 < k ( k − 1) = k − 1 − k
c.

n +1
n

<
n
n −1

5


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật

d.

n
n −1
<
n+2
n

Dạng 1: Tính tổng của các dãy số viết theo quy luật.
Ví dụ 1: Tính tổng S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...... + 100
Hướng dẫn:
Ta thấy số đầu cộng số cuối = 101 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 101...
Mà từ 1 đến 100 có 100 số vậy có 50 cặp có tổng 101
S100 = 101.2 = 5050
n( n + 1)
2
= 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 100

Tổng quát: S n = 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n =
Ví dụ 2: Tính tổng S100

Sai lầm thường gặp: S100 =
Lời giải đúng:
Ta thấy tổng trên có

100(100 + 2)
= 5100
2

(100 − 2) + 1 = 50
2

số hạng

Ta thấy số đầu cộng số cuối = 102 tương tự ta có số thứ 2 cộng số cuối 102...
Mà từ 2 đến 100 có 50 số vậy có 25 cặp có tổng 102
S100 = 102.25 = 2550

Ví dụ 3: Tính tổng S 99 = 1 + 3 + 5 + 7 + .... + 99
Làm tương tự ví dụ 2 ta có
S 99 = 100.25 = 2500

Dạng 2: Dạng bài toán tính tổng của các tích, tổng của các lũy thừa
Ví dụ 1: Tính tổng:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ....... + 98.99
B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 48.49.50
C = 1.3 + 2.4 + ... + 98.100
D = 12 + 2 2 + 3 2 + .... + 98 2
E = 1.99 + 2.98 + ...... + 98.2 + 99.1

HDG:

6


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
3 A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + .... + 98.99.3
= 1.2.( 3 − 0 ) + 2.3.( 4 − 1) + 3.4.( 5 − 2 ) + ..... + 98.99.(100 − 97 )
= 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 98.99.100 − (1.2.3 + 2.3.4 + .... + 97.98.99 )
= 98.99.100
3 A = 98.99.100
A = 33.98.100

Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c
nh sau:
Bài 1: Tính tổng
D = 12 + 2 2 + 3 2 + .... + 98 2
= 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 98.98
= 1( 2 − 1) + 2( 3 − 1) + ..... + 98( 99 − 1)
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + 98.99 − (1 + 2 + 3 + .... + 98)
= 33.98.100 − 46.99
D = 3393401
B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 48.49.50
4 B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ..... + 48.49.50.4
4 B = 1.2.3.( 4 − 0 ) + 2.3.4.( 5 − 1) + ..... + 48.49.50( 51 − 47 )
= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + .... + 48.49.50.51 − (1.2.3.4 + 2.3.4.5 + ... + 47.48.49.50 )
4 B = 48.49.50.51
B = 12.49.50.51

Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c
nh sau:
Bài 2: Tính tổng
A = 13 + 2 3 + 33 + ..... + 100 3

Hướng dẫn giải
Sử dụng (n-1)n(n+1)= n 3 − n
⇒ n 3 = n + (n-1)n(n+1)
⇒ A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + ..... + 99.100.101
= (1 + 2 + 3 + ..... + 100 ) + (1.2.3 + 2.3.4 + ..... + 99.100.101)
= 5050 + 101989800 = 101994850
C = 1.3 + 2.4 + ... + 98.100
= 1.( 2 + 1) + 2( 3 + 1) + ..... + 98( 99 + 1)
= 1.2 + 2.3 + ... + 98.99 + 1 + 2 + .. + 98
= 33.98.100 + 46.99
C = 3402799

Ví dụ 2: Tính tổng:
7


Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy
s, dóy phõn s vit theo quy lut
A=1.3+.3.5+5.7+.....+97.99
Hng dn gii:
6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6++97.98.6
=1.3.(5+1)+3.5(7-1)+5.7.(9-3)+.....+97.99.(101-95)
=3+1.3.5+3.5.7-1.3.5+3.5.7-5.7.9+.....+97.99.101
=3+97.99.101
A=161651

Từ kết quả của vớ d 2 ta có thể khai thác dới một dạng khác nh
sau:
Bi 1: Tớnh tng: A= 1.3.5+3.5.7+5.7.9+.......+95.97.99
8A= 1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+......+95.97.99.8
=1.3.5(7+1)+3.5.7(9-1)+5.7.9(11-3)+......+95.97.99(101-93)
A=11517600
Từ kết quả của bài toán 1 ta có thể khai thác dới một dạng khác
nh sau:
Bi 2: Tớnh tng: A= 13 + 33 + 53 + .... + 99 3
S dng (n-2)n(n+2)=n 3 4n n 3 = ( n 2) n( n + 2) + 4n
A=1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+..+97.99.101+4.99
=1+(1.3.5+3.5.7++97.99.101)+4(3+5+7+.+99)
=12497500
Vớ d 3: Tớnh tng:
Tính tổng: G= 3 + 32 + 33 + 34.....+32008
Lời giải:
3G = 32 + 33 + 34 +35.....+32009
2G = 3G G = (32 + 33 + 34 +35.....+32009) (3 + 32 + 33 + 34.....+32008)
= 32009 3
G=

3 2009 3
2

Ta có thể tổng quát bài toán 1 thành bài toán sau:
Tính tổng:
G= a + a2 + a3 + a4++an
(với mọi a và n là số
nguyên dơng a 1)
Lời giải:

aG = a2 + a3 + a4 +a5+...+an
8


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
2
(a-1)G = aG – G = (a + a3 + a4 +a5+...+an+1) –( a + a2 + a3 + a4+....+an)
= an+1 – a
⇒ G=

a n +1 − a
a −1

Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh
sau:
Bài 1 : Tính tổng
B= 2100-299+298-297+…..+22
Suy ra 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy ra
2B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3

9


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
Dạng 3: Dạng bài toán khử liên tiếp
Ví dụ 1:

Tính tổng
1
1
1
1
+
+
+ .... +
.
1.2 2.3 3.4
99.100
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1
1
= − ;
= − ;
= − ; …;
= −
Ta cã:
1.2 1 2 2.3 2 3
3.4 3 4
99.100 99 100

a)

A=

1
99
 −1 1   −1 1 
 −1 1  1
+ + 
+  + .... + 
+ −
=1 −
=
100 100
 2 2   3 3
 99 99  100

VËy A = 1+ 

Tõ kÕt qu¶ cña Ví dụ 1:ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c nh
sau:
Tính tổng
F=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39

Sai lầm thường gặp:
1
1
1
=
−
1.2.3 1.2 2.3

Lời giải đúng
1
1 1
1
= (
−
)
1.2.3 2 1.2 2.3
1
1
1
1
F=
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1
1
1
1

1
1
2F =
−
+
−
+ ..... +
−
1.2 2.3 2.3 3.4
37.38 38.39
1
1
2F = −
2 38.39
F=

Bài toán tương tự
Tính tổng:
G=

1
1
1
+
+ ..... +
1.2.3.4 2.3.4.5
27.28.29.30

Tõ kÕt qu¶ cña các ví dụ trên ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c
nh sau:

Bài 1: CMR:

3
5
7
19
+ 2 2 + 2 2 + .......... + 2 2 < 1
2
1 .2
2 3
3 .4
9 .10
2

HDG:
VT=

2 2 − 1 32 − 2 2
10 2 − 9 2
1
1
1
1
1
1
+
+
......
+

= 1 − 2 + 2 − 2 + .... 2 − 2 = 1 − 2 < 1
2 2
2 2
2
2
1 .2
2 .3
9 .10
2
2
3
9
10
10

10


Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy
s, dóy phõn s vit theo quy lut
Bi 2: cho biu thc
1
1
1
+
+ ... +
1 .2 3 .4
99.100
7
5

CM . < A <
12
6
A=

HDG:
A=

1
1
1
+
+ ... +
=
1.2 3.4
99.100

1 1 1 1
1
1
1 1 1 1
1
5
+ + .... +

= (1 + ) ....
<
1 2 3 4
99 100
2 3 4 5

100 6
1 1 1 1
1
1
1
7
1
1
7
1 1 1 1
+ + .... +

= 1 + +
+ .... +
=
+
+ ... +
>
1 2 3 4
99 100 2 3 4 5.6
99.100 12 5.6
99.100 12

Vớ d 2:Tính tổng
H=

1
1
1
1

+ 2 + 3 + .......... + 2008
5
5
5
5

Ta có thể tính tổng H theo bài toán 2 bằng cách đặt

1
= a thì
5

H = a + a2 + a3 + a4++a2008
Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
1
1
1
1
+ 2 + 3 + .......... + 2007
5
5
5
5
1
1
1
1
1
1
1

1
4H=5H H = ( 1 + + 2 + 3 + .......... + 2007 ) ( + 2 + 3 + .......... + 2008 )
5
5
5
5
5
5
5
5
1
5 2008 1
= 1- 2008 = 2008
5
5

5.H = 1 +

H=

5 2008 1
4.5 2008

Ta có thể tổng quát bài toán 3 thành bài toán sau:
Tính tổng
H=

1
1
1

1
+ 2 + 3 + .......... + a
a
a
a
a

(với mọi a và n là số nguyên d-

ơng a 1)
Bài giải:
a.H= 1 +

1
1
1
1
+ 2 + 3 + .......... + a 1
a
a
a
a

11


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
(a-1)H = aH – H = ( 1 +

1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 3 + .......... + a −1 ) – (
+ 2 + 3 + .......... + a )
a
a
a
a
a
a
a
a

1
an −1
=1- n = n
a
a
an −1
⇒ H=
(a − 1)a n

Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 3 ta cã thÓ khai th¸c díi mét d¹ng kh¸c
nh sau:

Ví dụ 6 : Tính tổng
B= 2100-299+298-297+…..+22
Suy ra 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy ra
2B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức tử và mẫu có chứa dãy viết theo quy luật
Ví dụ 1:
Thùc hiÖn phÐp tÝnh:



1 


1

 
 

1




A= 1 −
÷.  1 −
÷... 1 −
÷
1+ 2

1+ 2 + 3
1 + 2 + 3 + ... + 2006
1
2

1
3

1
4

B = 1+ (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + .... +

1
(1 + 2 + 3 + ... + 20)
20

Hướng dẫn giải


 


÷
÷ 
÷
1
1
1
A = 1 − (1 + 2).2 ÷. 1 − (1 + 3).3 ÷... 1 − (1 + 2006)2006 ÷


÷
÷ 
÷

2

2
 
2


=

2 5 9 2007.2006 − 2 4 10 18 2007.2006 − 2
. . ....
= . . ....
3 6 10
2006.2007
6 12 20
2006.2007

(1)

Mµ: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6...2008)(1.2.3...2005)
2008 1004

.
.
....
=
=
=
A=
2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4...2006)(3.4.5...2007) 2006.3 3009
b) A = 1+

1  2.3  1  3.4  1  4.5 
1  20.21 

+ 
+ 
 + .... + 
=
2 2  3 2  4 2 
20  2 

12


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
= 1+

3 4
21 1
+ + ... +

= ( 2 + 3 + 4 + ... + 21) =
2 2
2 2

1  21.22 
−1 = 115.

2 2


=

Ví dụ 2:: Tính giá trị của biểu thức:
1 1
1
1
1+ + +L + +
3 5
97 99
a) A = 1
1
1
1
1 .
+
+
+L +
+
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1

1 1 1
1
1
+ + +L + +
b) B = 299 3 984 97 99 100
1 .
+ + +L +
1
2
3
99

Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
(1 +

1
1 1
1 1
1 1
100 100 100
100
) + ( + ) + ( + ) +L + ( + ) =
+
+
+L
99
3 97
5 95
49 51 1.99 3.97 5.95

49.51

Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
100 − 1 100 − 2 100 − 3
100 − 99
+
+
+L +
=
1
2
3
99
100   1 2 3
99 
 100 100 100
=
+
+
+L +
÷−  + + + L + ÷ =
2
3
99   1 2 3
99 
 1
1 
1
1 
1 1

1 1
= 100 + 100  + + L + ÷− 99 = 1 + 100  + + L + +
÷
99 
99 100 
2 3
2 3

b) Biến đổi số chia:

Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B =

1
.
100

Dạng 5: Chứng minh tổng của các dãy viết theo quy luật chia hết cho 1 số
Ví dụ 1: Tổng:
a.

1
1
1
+ + ..... +
bằng phân số a/b cmr a chia hết cho 149
50 51
99


b. cho A =  + + + .... +

1
1

1
2

1
3

1 
2.3.4....98
98 

CM A chia hết cho 99
1
1

1
2

1
3

c. C = + + + .... +

1
Bằng phân số a/b CMR a chia hết cho 97
96

HDG:

a.
13


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
1
1
1  1
1 
1 
 1
+ + ..... +
=  +  + ...... +  + 
50 51
99  50 99 
 74 75 
149
149
=
+ ..... +
50.99
74.75
K = 50.51.......99
B=

K là mẫu chung thì thừa số phụ các mẫu là

k1 , k 2 .....k 25

a 149( k1 , k 2 .....k 25 )
=
b
50.51......99

Tử chia hết cho số nguyên tố 149 còn mẫu không chứa thừa số nguyên tố 149
khi rút gọn phân số đến tối giản a vẫn chia hết cho 149
4) HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN
Sau khi nghiên cứu và xây dựng nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, cụ thể
là trong những giờ học nỗ lực của thầy và trò, các em đã có những tiến bộ rõ rệt,
các em đã tự tin hơn, chăm chỉ hơn và chắc chắn hơn về kiến thức cơ bản, kĩ
năng giải bài tập, khả năng lập luận, suy luận đảm bảo có tính hệ thống chặt chẽ
hơn, vận dụng được vào thực tiễn. Cùng với sự trợ giúp của các đồng nghiệp
nên việc áp dụng của tôi đạt hiệu quả tương đối tốt được thể hiện qua bài khảo
sát chuyên đề.
Tổng số học sinh tham gia khảo sát: 20 học sinh. Đạt 20 học sinh.
PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN
Qua thực tế nghiên cứu và giảng dạy môn toán và giảng dạy về các bài toán
“Dãy số viết theo quy luật” trong trường THCS, bằng những kinh nghiệm của
bản thân và đồng nghiệm với mục đính xây dựng một phương pháp giảng dạy,
tôi đã thể hiện vấn đề này qua đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá,
giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật”
nhằm thể hiện phương pháp giảng dạy cho giáo viên và nâng cao chất lượng học
tập nhận thức của học sinh.
Trong nội dung của đề tài này tôi đã đưa ra các dạng bài toán “Dãy số, dãy phân
số viết theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng của từng bài toán để đưa ra
cách giải cụ thể cho từng bài để có một bài toán tổng quát cho từng dạng bài.
Qua đề tài này tôi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời
giải một bài toán trên cơ sở kiến thức đã được học. Đề tài này nhằm nối giữa lý
thuyết với thực hành toán học.

Mỗi bài toán tôi đưa ra:
- Phương pháp tìm lời giải
14


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
- Các sai lầm thường gặp
- Cách giải
- Bài toán tổng quát
Từ cách đưa ra như thế này, giáo viên, học sinh có thể nhận dạng bài toán thật dễ
dàng nếu nhanh có thể đọc được ngay đáp số với những bài toán thuộc quy luật.
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của đề tài. Mong rằng những vấn đề
được đề cập đến trong đề tài này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy, bồi
dưỡng học sinh giỏi.

15


Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật
TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa toán 6, 7, 8, 9 - Nhà Xuất bản Giáo
- Nâng cao và phát triển toán 6, 7, 8, 9 - Nhà xuất bản Giáo dục
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Trần Thị Vân Anh

16

Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững một số dạng bài toán dãy
số, dãy phân số viết theo quy luật

17