tom tat chuong trinh toan thpt

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

I- GIẢI TÍCH TỔ HP

1. Giai thừa :

6.

7.

n.c
om

5.

toa

4.

1
1
1
1

1
2
3
4

/b
log

3.

1
3
6

1
4

1

p:/

2.

n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :
m x n.
Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.
n!
Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : C nk =
k!(n − k )!
Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số

n!
cách : A nk =
, A nk = C nk .Pk
(n − k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vò
Tam giác Pascal :
C00
1

C10
C20
C30
C04

C11
C12
C13
C14

C22
C32
C24

C33
C34

C44

Tính chất :
C 0n = C nn = 1, C nk = C nn− k

htt

C nk −1 + C nk = C nk+1

8. Nhò thức Newton :
* (a + b)n = C n0 an b 0 + C1n an −1b1 + ... + C nn a0 b n

a = b = 1 : ... C0n + C1n + ... + Cnn = 2 n
Với a, b ∈ {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
C 0n , C1n ,..., C nn

* (a + x )n = C n0 an + C1n an −1x + ... + C nn x n
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa C 0n , C1n ,..., C nn bằng cách :
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ...

TRANG 1


- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ...
- Cho a = ±1, ±2, ...,

±1

∫

hay

0

±2

β

0

α

∫ ... hay ∫

Chú ý :
* (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Ckn a n −k b k = Kx m

k n −k
n

Ca

m
p

b = Kc d
k

n.c
om

Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
r

q

⎧m / p ∈ Z
Giải hệ pt : ⎨
, tìm được k
⎩r / q ∈ Z
* Giải pt , bpt chứa A nk , C nk ... : đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn

*

*

htt

p:/

*

toa

*

/b
log

*

giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vò (xếp, không bốc), tổ
hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).

Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường
hợp.
Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy
số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.

1. Chuyển vế :
⎧ a = bc
;
a/b = c ⇔ ⎨
⎩b≠0

II- ĐẠI SỐ

⎡b = c = 0
a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎧ b ≠ 0
⎢⎨

⎣⎩ a = c / b
a2 n +1 = b ⇔ a = 2 n +1 b

TRANG 2


⎧ b = a 2n
a 2n = b ⇔ a = ± 2n b, a = 2n b ⇔ ⎨
⎩a ≥0

n.c
om

⎧ b = ±a
a= b ⇔⎨
, a = log α b ⇔ b = α a
⎩a≥ 0
b = 0, c > 0
⎧b>0
a + b < c ⇔ a < c − b ; ab < c ⇔ ⎨
⎩ a < c/ b
⎧b<0
⎨
⎩ a > c/ b

2. Giao nghiệm :
⎧x >a
⎧x ⇔ x > max{a, b} ; ⎨
⇔ x < min{a, b}

⎨
x
>
b
x
<
b
⎩
⎩

toa

⎧p
⎨
⎧x>a
a < x < b(nếu a < b) ⎧ p ∨ q
⎩Γ
; ⎨
⇔
⇔
⎨
x
b
<
Γ
VN(nế
u
a
b)
≥

⎧q
⎩
⎩
⎨
⎩Γ

/b
log

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất

phải đặt điều kiện.

⎧b ≥ 0
⎧b ≥ 0
≤
⇔
a=b⇔⎨
,
a
b
⎨
2
2
⎩a = b
⎩0 ≤ a ≤ b
⎧b < 0 ⎧b ≥ 0
∨⎨

a≥b⇔⎨
2
≥
a
0
⎩
⎩a ≥ b

b.

a . b (nếu a, b ≥ 0)
− a . − b (nếu a, b < 0)

p:/

ab =

2

. : phá . bằng cách bình phương : a = a2 hay bằng đònh nghóa :
a (nếu a ≥ 0)

htt

a =

− a (nếu a < 0)

⎧b ≥ 0
a =b⇔⎨

; a = b ⇔ a = ±b
⎩a = ± b
a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b

⎧b ≥ 0
a ≥ b ⇔ b < 0hay ⎨
⎩a ≤ − b ∨ a ≥ b

a ≤ b ⇔ a2 − b 2 ≤ 0

c. Mũ : y = ax , x ∈ R, y > 0, y ↑ nếu a > 1, y ↓ nếu 0 < a < 1.

TRANG 3


a0 = 1 ; a− m / n = 1/ n am ; am .an = am + n
am / an = am −n ; (am )n = am.n ; an / b n = (a/ b)n
an .b n = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1) ∨ a = 1
am < an ⇔

m < n (nếu a > 1)
m > n (nếu 0 < a < 1)

, α = a loga α

n.c
om

d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaaα

loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ )
loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ )
log a M 2 = 2 log a M , 2 log a M = log a M 2 (⇒)

log a M < log a N ⇔

toa

logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
1
logbc = logac/logab, log α M = log a M
a
α
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N

0 < M < N (nếu a > 1)

M > N > 0(nếu 0 < a < 1)

c.

htt

d.
5.
a.

Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách
biến đổi trực tiếp bất đẳng thức.
Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện,

cho vào miền xác đònh của f.
Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều
kiện của t.
Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
Xét dấu :
Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số
bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) :
không đổi dấu.
Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu
của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thò của f , suy ra dấu của f.
So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
f(x) = ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0)
* S = x1 + x2 = – b/a ;
P = x1x2 = c/a

p:/

b.

/b
log

Khi làm toán log, nếu miền xác đònh nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh
dùng công thức làm thu hẹp miền xác đònh. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản : t = ax + b∈ R , t = x 2 ≥ 0, t = x ≥ 0, t = x ≥ 0, t = a x > 0 , t = log a x ∈ R

b.

c.

6.

TRANG 4


toa

n.c
om

Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0
⎧g = 0
⎪
không đối xứng, giải hệ pt : ⎨ S = x1 + x 2
⎪ P = x .x
1 2
⎩
2
Biết S, P thỏa S – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
* Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
⎧Δ >0
⎪
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ ⎨ P > 0
⎪S> 0
⎩
⎧Δ >0
⎪
x1 < x2 < 0 ⇔ ⎨ P > 0

⎪S< 0
⎩
* Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0
⎧Δ > 0
⎧Δ > 0
⎪
⎪
α < x1 < x2 ⇔ ⎨ a.f (α) > 0 ; x1 < x2 < α ⇔ ⎨ a.f (α) > 0
⎪ α < S/ 2
⎪ S/ 2 < α
⎩
⎩

/b
log

⎧ a.f(β) < 0
⎪
α < x1 < β < x2 ⇔ ⎨ a.f(α) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔
⎪α<β
⎩

⎧ a.f (α) < 0
⎪
⎨ a.f (β) > 0
⎪α <β
⎩

htt

p:/

7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a
Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C
thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
• x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) :
⎧Δ > 0
3 nghiệm phân biệt ⇔ ⎨
⎩f (α ) ≠ 0
⎧Δ > 0
⎧Δ = 0
∨⎨
2 nghiệm phân biệt ⇔ ⎨
⎩f (α ) = 0 ⎩f ( α ) ≠ 0

1 nghiệm

⎧Δ = 0
⎩f ( α ) = 0

⇔ Δ < 0 hay ⎨

• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng
sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế :
dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0

TRANG 5