Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 - LỚP 12 www.foxitsoftware.com/shopping
NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thơì gian làm baì 150 phút, không kể thời gian giao đề
x2
có đồ thị kí hiệu là (C ) .
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
Câu 1 (2,0 điểm): Cho hàm số y
b) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 2 2.
Câu 2 (1,0 điểm):
3
. Tính giá trị của biểu thức: P cos sin .
3
6
2
5
b) Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn tham gia biểu diễn, tìm
xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ.
Câu 3 (1,0 điểm):
a) Cho
0 và cos
a) Giải phương trình: 312 x.27
x 1
3
81 .
b) Tính giá trị của biểu thức: Q log a a b log
a. b log
4
a
3
b
b , biết
rằng a, b là các số thực
dương khác 1.
Câu 4 (1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x.log x trên khoảng (0;10).
Câu 5 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng : y 2 0 và các điểm
A(0;6), B(4;4) . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng
sao cho tam giác ABC vuông tại B.
Câu 6 (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB 2a . Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và mặt
phẳng ( ABCD) bằng 300 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc giữa đường thẳng
AC và mặt phẳng (SAB).
Câu 7 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp
3 1
là I ; , tâm đường tròn nội tiếp là J (1;0) . Đường phân giác trong góc BAC
và đường phân giác
2 16
ngoài góc
ABC cắt nhau tại K (2; 8) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ
dương.
Câu 8 (1,0 điểm): Giải bất phương trình: 1 4 x2 20 x 4 x2 9.
Câu 9 (1,0 điểm): Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy 1 y. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P
x y
x xy 3 y
2
2
2y x
.
6( x y)
---------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….…………………………………….…….….….; Số báo danh:……………
www.dungtailieu.net
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2, NĂM HỌC 2015-2016
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC
(Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)
Môn : Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM
I. LƯU Ý CHUNG:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của thí
sinh. Khi chấm nếu thí sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Thí sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
không được điểm.
- Trong lời giải câu 6 và câu 7 nếu thí sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý
Nội dung trình bày
1
a
x2
Khảo sát hàm số y
(C ) .
x 1
Điểm
1.0
* TXĐ: D \ 1
* Giới hạn, tiệm cận:
lim y lim y 1 y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x
0.25
x
lim y ; lim y x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x 1
x 1
x 1 x 2
3
0x D , suy ra hàm số nghịch biến trên các
2
( x 1)
( x 1)2
khoảng (;1) & (1; )
*BBT:
x -∞
1
+∞
y’
Ta có y '
+∞
1
0.25
0.25
y
-∞
*Đồ thị
1
0.25
www.dungtailieu.net
Trang 1/6
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
y
4
2
1
-2
O
1
2
4
5
x
-2
-4
b
Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB 2 2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: y=-x+m là:
x 1
x 1
x2
x m
2
2
x 1
x 2 x mx x m
x mx m 2 0 (1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
1 m m 2 0
2
m2 4m 8 0(*)
m 4(m 2) 0
Khi đó d cắt (C) tại A( x1; x1 m), B( x2 ; x2 m) , với x1 , x2 là nghiệm phương trình
(1). Theo Viet, ta có
2 ( x1 x2 ) 4 x1.x2 2 m 4m 8
Yêu cầu bài toán tương đương với :
m 2
(thỏa mãn (*)).
2 m2 4m 8 2 2 m2 4m 12 0
m 6
Vậy m 2 hoặc m 6.
3
1,0 điểm Cho 0 và cos . Tính giá trị của biểu thức:
2
5
AB
2
a
x2 x1 x1 x2
2
2
2
P cos cos
b
3
sin .sin
3
sin .cos
6
0.25
0.25
0.25
2
P cos sin .
3
6
4
Vì 0 nên sin 1 cos 2 . Suy ra
2
5
1.0
cos .sin
0.25
0.5
0.25
6
3 1 4 3 4 3 3 1 3
P . .
.
. .
5 2 5 2 5 2 5 2 5
Đội văn nghệ của một lớp có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn tham
gia biểu diễn, tìm xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam và nữ, đồng thời số
bạn nam nhiều hơn số bạn nữ.
0.25
0.5
Số cách chọn 5 bạn bất kì là: C125 729 . Để chọn được 5 bạn thỏa mãn yêu cấu bài
toán, ta có hai khả năng sau:
0.25
-TH1: Chọn 4 bạn nam và 1 bạn nữ, có C .C 35 cách chọn.
4
5
1
7
-TH2: Chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ, có C53 .C72 210 cách chọn.
Trang 2/6
0.25
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
35 210 245
Vậy xác suất cần tìm là: P
.
729
729
3
a
Giải phương trình: 312 x.27
x 1
3
0.5
81 .
3.
Phương trình đã cho tương đương với : 312 x.3
32 x 34 2 x 4 x 2.
b
x 1
3
a. b log
4
a
3
b
b , biết rằng a, b là
Ta có Q log a a b 2log a a. 4 b 3logb b
4
Hàm số đã cho liên tục trên (0;10]. Ta có f '( x) log x x.
1
log x log e .
x ln10
1
f '( x) 0 log x log e x .
e
BBT:
x
0.25
1.0
0.25
0.25
1/e
0
f’(x)
0.5
0.25
a b
1
log a a b log a a 2 . b 3 log a 2
3 log a 3 1 3 2.
a
a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x.log x trên khoảng (0;10].
0.25
0.25
Tính giá trị của biểu thức: Q log a a b log
các số thực dương khác 1.
81 312 x.3x 1 34
0
-
10
+
0.25
f(x)
5
log e
e
log e
1
x .
(0;10]
e
e
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng : y 2 0 và các điểm
Từ BBT ta suy ra min f '( x)
0.25
A(0;6), B(4;4) . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm C
1.0
trên đường thẳng sao cho tam giác ABC vuông tại B.
x0 y 6
x y 6
Phương trình đường thẳng AB là:
40 46
2
1
x 2 y 12 x 2 y 12 0.
C C (t;2) BA(4;2), BC (t 4; 2)
Tam giác ABC vuông tại B nên BA.BC 0 4t 16 4 0 t 3 C (3;2).
6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh AB 2a . Hình chiếu của
S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa SA và
mặt phẳng ( ABCD) bằng 300 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của
góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB).
www.dungtailieu.net
Trang 3/6
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
S
H
K
A
I
B
G
O
D
M
C
Gọi M là trung điểm BC, O là giao điểm của AC và BD. Ta có
2
2 5a
. Vì SG vuông góc với mặt đáy,
AM
3
3
300 . Xét tam giác vuông SGA, ta có
nên góc giữa SA và mặt đáy là SAG
AM AB 2 BM 2 a 5 AG
tan 300
tan SAG
1
SG
2 5a
SG
.
3 AG
3 3
1
1 2 5a 2 8 15a3
.4a
(đvtt)
S ABCD 4a 2 . Suy ra VS . ABCD SG.S ABCD .
3
3 3 3
27
Hạ GI vuông góc với AB, I thuộc AB. Nối S với I, hạ GK vuông góc với SI, K thuộc
2
2a
SI. Khi đó K là hình chiếu vuông góc của G trên (SAB). Ta có GI MB
, do
3
3
đó GK
0.25
GS .GI
GS 2 GI 2
0.25
0.25
10a
.
6
3
10a
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (SAB), ta có OH GK
. Khi đó
2
4
AH là hình chiếu của AO lên (SAB) suy ra góc giữa AC và (SAB) là OAH
. Xét tam
0.25
OH
10a
5
11
cos OAH
.
OA 4. 2.a
4
4
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp
giác vuông OHA, ta có sin OAH
7
3 1
là I ; , tâm đường tròn nội tiếp là J (1;0) . Đường phân giác trong góc BAC
và
2 16
đường phân giác ngoài góc
ABC cắt nhau tại K (2; 8) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC biết đỉnh B có hoành độ dương.
www.dungtailieu.net
Trang 4/6
1.0
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
4
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
A
3
2
1
I
-4
J
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
C
B
-2
-3
-4
H
-5
-6
-7
-8
K
Gọi giao điểm của AK và đường tròn (I) là H. Xét tam giác BHJ có
JAB
JBA
(góc ngoài tam giác JAB)
HJB
JBC
( vì AJ, BJ là các đường phân giác)
JAC
của đường tròn (I))
JBC
(nội tiếp cùng chắn cung CH
CBH
0.25
HBJ
HBJ
Suy ra tam giác HJB cân tại H, vậy HJ=HB và HJB
(1)
Lại có BJ, BK thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài góc
ABC nên tam giác
0
HKB
HBK
BKJ vuông tại B. Suy ra HJB
(2).
90 HBJ
HBK
Từ (1) và (2) suy ra HKB
hay tam giác HBK cân tại H, do đó
HJ HB HK , vậy H
là trung điểm JK, hay
0.25
3
H ; 4 . Tương tự
2
HJ HC HK .
65 1
Ta có IH 0; ; HJ ; 4
16
2
B, C cùng thuộc các đường tròn (I;IH) và (H; HJ) nên tọa độ B, C là nghiệm của hệ:
2
2
2
3
1 65
x y
2
16 16
x 5; y 2
x 2; y 2 B(5; 2), C (2; 2).
2
3
1
2
x
y
4
16
2
4
AH đi qua J và K nên phương trình đường thẳng AH
là:
x 1 y 0
8 x y 8 0 . Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với AH, d
2 1 8 0
có véc tơ pháp tuyến n 2HJ 1; 8 , phương trình đường thẳng d là:
x 8 y 1 0 . Gọi M là giao điểm của d và AH,
tọa độ M là nghiệm hệ:
x 8 y 1 0
x 1
1
M (1;0) J . M là trung điểm AH nên A ; 4 .
2
8 x y 8 0
y 0
Trang 5/6
0.25
0.25
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
1
Kết luận: A ; 4 , B(5; 2), C(2; 2).
2
8
Giải bất phương trình: 1 4 x2 20 x 4 x2 9. (1)
1.0
Bất phương trình đã cho tương đương với:
4 x 2 16
4 x 2 9 5 6 4 x 2 20 x 2 0
16 4 x 2
4 x 2 9 5 6 4 x 2 20
0.25
x2 0
4x 8
4x 8
x 2
1 0
2
2
4 x 9 5 6 4 x 20
Từ
(1)
4x 8
suy
x 1 4 x2 20 4 x 2 9 0 x 1 .
ra
4x 8
4 x 9 5 6 4 x 20
2
9
0.25
2
1 4 x 8 .
1 4 x 2 20 4 x 2 9
4 x 9 5 6 4 x 20
2
2
Do
đó
1 0
Vậy nghiệm của bất phương trình là x 2.
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy 1 y. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P
x y
x xy 3 y
2
2
2y x
.
6( x y)
0.25
0.25
1.0
2
x y 1 1 1 1 1 1 1
Do x 0, y 0, xy y 1 nên 0 2 2 .
y
y
y y
4 y 2 4
x
1
t 1
t 2
t 1
1
1
Đặt t 0 t . Khi đó P
.
2
2
y
4
t t 3 6t 6
t t 3 6 2(t 1)
7 3t
1
Ta có P '(t )
.
3
2(t 1)2
2 t2 t 3
1
t 2 t 3 t (t 1) 3 3;7 3t 6; t 1 1 , do đó
4
7 3t
7 3t
1
1
1
1 1
;
P '(t )
0.
2
3
2
6 3
3 2(t 1)
3 2
t2 t 3
Vì 0 t
2
0.25
0.25
5 7
1
1
.
Vậy P(t ) đồng biến trên 0; , suy ra P(t ) P
4 3 30
4
0.25
5 7
5 7
1
1
MaxP
x ; y 2.
Khi x ; y 2 thì ta có P
3 30
3 30
2
2
0.25
---------- Hết ----------
www.dungtailieu.net
Trang 6/6