20 Phương Pháp Bất Đăng thức

www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
PHẦN 1
CÁC KIẾN THỨC CẦN CẦN NHỚ
1/Định nghĩa

A  B  A  B  0

A  B  A  B  0

2/Tính chất
+ A>B  B  A
+ A>B và B >C  A  C
+ A>B  A+C >B + C
+ A>B và C > D  A+C > B + D
+ A>B và C > 0  A.C > B.C
+ A>B và C < 0  A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C + A > B > 0  A n > B n n
+ A > B  A n > B n với n lẻ
+ A > B  A n > B n với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1  A m > A n
+ m > n > 0 và 0 +A < B và A.B > 0



1 1

A B

3/Một số hằng bất đẳng thức
+ A 2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ A  0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ - A + A  B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ A  B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
PHẦN II
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với M
Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng :
a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx
b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz
c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z)
Giải:
1
2

a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz –
zx)

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp





1
( x  y) 2  ( x z) 2  ( y  z) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R
2
Vì (x-y)2  0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2  0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2  0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

=

b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz
–2yz
= ( x – y + z) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R
Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z
2
-2z +1
= (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a2  b2  a  b 

 ;
2
 2 
2

a)

b)

a2  b2  c2  a  b  c 


3
3



2

c) Hãy tổng quát

bài toán
Giải:
a2  b2  a  b 


2
 2 
1
1
2a 2  b 2  a 2  2ab  b 2
=
= 2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab = a  b 2  0

4

4
4
4
2
a2  b2  a  b 

Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b
 .
2
 2 
2

a) Ta xét hiệu





b)Ta xét hiệu





a2  b2  c2  a  b  c  1
2
2
2


 = a  b   b  c   c  a   0 .Vậy
9
3
3


2

a2  b2  c2  a  b  c 


3
3



2

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
a 2  a 2  ....  a n2  a1  a 2  ....  a n 
c)Tổng quát 1 2


n
n


Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa
2

Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2
Bước 3:Kết luận A  B
Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1)
Giải:
 m2
  m2
  m2
  m2

 
 mn  n 2   
 mp  p 2   
 mq  q 2   
 m  1  0
 4
  4
  4
  4


Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
2

2

2

2

m
 m
 m
 m 
   n     p     q     1  0 (luôn đúng)
2
 2
 2
 2

m
m

 2 n 0
n

m
2

m
  p0
 m2
p 
Dấu bằng xảy ra khi  2



2
m
n  p  q  1

 q 0
m
q

2

 m  22
m

1

0

 2

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta ln có : a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c)
Giải: Ta có : a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c) , a, b, c  0

 a 4  b 4  c 4  a 2 bc  b 2 ac  c 2 ab  0
 2a 4  2b 4  2c 4  2a 2 bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0



 a2  b2



2



 2a 2 b 2  b 2  c 2



2



 2b 2 c 2  c 2  a 2



2

 2a 2 c 2

 2a 2 bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0



 a2  b2



  b

2

 
2

2

 c2

 a2  b2  b2  c2
Đúng với mọi a, b, c.

  c
2

  c
2

2

 a2



2

 (a 2 b 2  b 2 c 2  2b 2 ac)  (b 2 c 2  c 2 a 2  2c 2 ab)
 (a 2 b 2  c 2 a 2  2a 2 ab)  0

2

 a2

  ab  bc   bc  ac   ab  ac 
2

2

2

2

0

Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Kiến thức:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
Nếu A < B  C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là
đúng thì có bất đẳng thức A < B .

Chú ý các hằng đẳng thức sau:

 A  B2  A2  2 AB  B 2
 A  B  C 2  A2  B 2  C 2  2 AB  2 AC  2BC
 A  B3  A3  3A2 B  3AB 2  B 3

Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
b2
 ab

4
b) a 2  b 2  1  ab  a  b
c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e

a) a 2 

Giải:
b2
2
 ab  4a 2  b 2  4ab  4a 2  4a  b 2  0  2a  b  0
4
b2
(BĐT này luôn đúng). Vậy a 2   ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
4
2
2
2
b) a  b  1  ab  a  b  2(a  b 2  1   2(ab  a  b)

a) a 2 

 a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1  0

Toán NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Bất đẳng thức cuối đúng.
 (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2  0

2
2
Vậy a  b  1  ab  a  b . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)
a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e 

4 a 2  b 2  c 2  d 2  e 2   4ab  c  d  e
 a 2  4ab  4b 2   a 2  4ac  4c 2   a 2  4ad  4d 2   a 2  4ac  4c 2   0
 a  2b  a  2c   a  2d   a  2c   0
2

2

2

2

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10  b10 a 2  b 2   a 8  b8 a 4  b 4 
Giải:

a

10

 b10 a 2  b 2   a 8  b 8 a 4  b 4 



a12  a10b 2  a 2 b10  b12  a12  a 8b 4  a 4 b8  b12

2 2 2 2
6 6
 a 8b 2 a 2  b 2   a 2 b 8 b 2  a 2   0  a b (a -b )(a -b )  0
2 2 2 2 2 4
2 2
4
 a b (a -b ) (a + a b +b )  0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x  y
Giải:
2

x2  y2
Chứng minh
2 2
x y

x2  y2
2
2
 2 2 vì :x  y nên x- y  0  x +y  2 2 ( x-y)
x y
2

2

2

 x +y - 2 2 x+ 2 2 y  0  x +y +2- 2 2 x+ 2 2 y -2  0

2
2
2
 x +y +( 2 ) - 2 2 x+ 2 2 y -2xy  0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
2
 (x-y- 2 )  0 Điều này ln ln đúng . Vậy ta có điều phải chứng

minh
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a/ P(x,y)= 9 x 2 y 2  y 2  6 xy  2 y  1  0 x, y  R
b/ a 2  b 2  c 2  a  b  c
(gợi ý :bình phương 2 vế)
c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
x. y.z  1

1 1 1
    x yz

x y z

Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
1
x

1
y

1
z

1

1

1

x

y

z

1
x

1
y

1
z

=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(   )=x+y+z - (   )  0 (vì   < x+y+z
theo gt)
 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1
bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn
hơn 1
Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 1 

a
b
c


2
ab bc ac

Giải:
Toán NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
1
1
a
a



(1)
ab abc
ab abc
b
b
c
c

(2) ,


(3)
Tương tự ta có :
bc abc
ac abc

Ta có : a  b  a  b  c 

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
a
b
c


 1 (*)
ab bc ac
a
ac

Ta có : a  a  b 
ab abc
b
ab

(5) ,
Tương tự :
bc abc

(4)
c

cb

ca abc

(6)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được :
a
b
c


2
ab bc ac

(**)

Từ (*) và (**) , ta được : 1 

a
b
c


 2 (đpcm)
ab bc ac

Phương pháp 3:
Dùng bất đẳng thức phụ
Kiến thức:

a) x 2  y 2  2 xy
b) x 2  y 2  xy dấu( = ) khi x = y = 0
c) x  y 2  4 xy
a
b

b
a

d)   2
Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a)  8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  4 xy
Tacó a  b2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac
2
2
2
2
 a  b  b  c  c  a   64a 2 b 2 c 2  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Phương pháp 4:
Bất đẳng thức Cô sy
Kiến thức:
a/ Với hai số không âm : a, b  0 , ta có: a  b  2 ab . Dấu “=” xảy ra khi
a=b
b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :
a1  a 2  ...  a n  n n a1 a 2 ..a n
 a  a 2  ...  a n 
 a1 a 2 ..a n   1


n


Dấu “=” xảy ra khi a1  a2  ...  an
n

Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số khơng âm.
Ví dụ 1 : Giải phương trình :

2x
4x
2x
3



x
x
x
x
2
4 1 2 1 2  4

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt
a  2 x

, a, b  0

b  4 x

Khi đó phương trình có dạng :

a
b
1
3



b 1 a 1 a  b 2

Vế trái của phương trình:
 a
  b
  1

 a  b 1  a  b 1  a  b 1

 1  
 1  
 1  3  


3
 b 1   a 1   a  b 
 b 1   a 1   a  b 

1
1 
1
1 
 1
 1
 a  b  c




  3   b  1   a  1   a  b   
3
 b 1 a 1 a  b 
 b 1 a 1 a  b 


1 3
3
3
3 a  1b  1a  b .
3 
3 a  1b  1a  b 
2
2

Vậy phương trình tương đương với :
a 1  b 1  a  b  a  b  1  2x  4x  1  x  0 .

Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P =

x
y
z


x 1 y 1 z 1

Giải : P = 3- (

1
1
1
) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c >


x 1 y 1 z 1

0 thì
a  b  c  3 3 abc 

1 1 1
1
1 1 1
9
1 1 1
  33
 a  b  c       9    
a b c
abc
a b c a b c

a b c

9
1
1
1
 


x 1 y 1 z 1 4
3
1
Vậy max P = .khi x = y = z = .
4
3

Suy ra Q =

Ví dụ 3:

-Q  

9
9 3
nên P = 3 – Q  3- =
4
4 4

Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng:

1
1
1
abc
 2
 2

2abc
a  bc b  ac c  ab
2

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có :
a 2  bc  2a bc 

2
1
1 1
1

   
a  bc a bc 2  ab ac 
2

Tương tự :
2
1
1 1
1 
2
1

1 1
1 

    2

   
b   ac b ac 2  bc ab  c   ab c ab 2  ac bc 
2
2
2
abc
 2
 2
 2

a  bc b   ac c   ab
2abc
2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Toán NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC :

a
b

c


 3 (*)
bca ca b a bc

Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :
a
b
c
abc


 33
(1)
bca c a b a bc
(b  c  a)(c  a  b)(a  b  c)

Cũng theo bất đẳng thức Côsi :
(b  c  a)(c  a  b) 

1
(b  c  a  c  a  b)  c (2)
2

Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được
(b  c  a)(c  a  b)(a  b  c)  abc


abc

 1 (3)
(b  c  a)(c  a  b)(a  b  c)

Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều .
Ví dụ 5:
0  a  b  c
. Chứng minh rằng:
0  x, y, z

Cho 

 by  cz  x  y  z   a  c  x  y  z 2
2

a

c
4ac
Giải: Đặt f ( x)  x 2  (a  c) x  ac  0 có 2 nghiệm a,c
b

Mà: a  b  c  f (b)  0  b 2  (a  c)b  ac  0
ac
y
 a  c  yb  ac  a  c  y
b
b
x
y
z


  xa  ac   ( yb  ac )  ( zc  ac )  a  c x  a  c  y  (a  c) z
a
b
c

x y z
 xa  yb  zc  ac     a  c x  y  z 
a b c
b

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2

xa  yb  zcac x  y  z   a  c x  y  z 
a

b

c

x y z
2
2
 4xa  yb  zcac     a  c  x  y  z 
a b c

 x y z  a  c 
x  y  z 2 (đpcm)
 xa  yb  zcac    

4ac
a b c
2

Phương pháp 5
Bất đẳng thức Bunhiacopski
Kiến thức:
Cho 2n số thực ( n  2 ): a1 , a2 ,...an , b1 , b2 ,..., bn . Ta ln có:
(a1b1  a2b2  ...  an bn ) 2  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )
a
a
a
Dấu “=” xảy ra khi  1  2  ....  n
b1 b2
bn

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Hay

b
b1 b2

 ....  n (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )
a1 a 2
an

Chứng minh:
2
2
2

a  a1  a 2  ...  a n
Đặt 
2
2
2

 b  b1  b2  ...  bn

 Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.
 Nếu a,b > 0:
ai
b
,  i  i i  1,2,...n  , Thế thì: 12   22  ...   n2  12   22  ...   n2
a
b
1
Mặt khác:  i  i   i2   i2
2
1
1
 1 1   2  2  ...   n  n  ( 12   22  ....   n2 )  ( 12   22  ...   n2 )  1
2
2
Suy ra:
 a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  a.b

Đặt:  i 





Lại có: a1b1  a2 b2  ...  an bn  a1b1  a2 b2  ...  an bn
Suy ra: (a1b1  a2b2  ...  an bn ) 2  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )
    i  1,2,..., n 

a

a

a

i
Dấu”=” xảy ra   i
 1  2  ....  n


....


cùng
dáu
b1 b2
bn
n n

 1 1
Ví dụ 1 :

Chứng minh rằng: x  R , ta có: sin 8 x  cos 8 x 
Giải: Ta có: sin 2 x  cos 2 x  1, x  R
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:



 



1  sin 2 x.1  cos 2 x.1  sin 4 x  cos 4 x 12  12




1
1
 sin 4 x  cos 4 x   sin 4 x  cos 4 x
2
4



1
8



2

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:










 



2
1
1
1
 sin 4 x.1  cos 4 x.1   sin 8 x  cos8 x 12  12  sin 4 x  cos 4 x 
4
4
8

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của:
P  1  tan A. tan B  1  tan B. tan C  1  tan C. tan A

Giải:
* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (ai , bi ,..., ci )(i  1,2,...., m)
Thế thì:
(a1a2 ...am  b1b2 ...bm  ...  c1c2 ...cm ) 2  (a1m  b1m  ...  c1m )(a2m  b2m  ...  c2m )(amm  bmm  ...  cmm )

Dấu”=” xảy ra   bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì  t i
sao cho: a  ti ai , b  ti bi ,..., c  t i ci , Hay a1 : b1 : ... : c1  a2 : b2 : ... : c2  an : bn : ...cn
a12  a 22  ...  a n2  3

Ví dụ 1: Cho 


n  Z, n  2

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Chứng minh rằng:

a
a1 a 2

 ....  n  2
2
3
n 1

Giải:
k  N * ta có:



1

k2

1
k2 

1
4



1
1 
1

 k   k  
2 
2


1
1
1



2
1
1
k
k
k
2
2








1 1
1
1
1   1
1 
1
1  1
1
2
 2  2  ...  2  




 ...  


 3 
3
5
5
7
1
1
1
2 3
n 
3
 

 n
n 
2  2
2
2 n
 2
2
2
2



Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
a

a1 a2
1
1
1
2

 ....  n  a12  a 22  ...  a n2
 2  ...  2  3
 2 (đpcm)
2
2
3
n 1
3
2
3
n

Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
(a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd  a 2  b 2 . c 2  d 2
mà



a  c2  b  d 2  a 2  b 2  2ac  bd   c 2  d 2



 a2  b2  2 a2  b2 . c2  d 2  c2  d 2
 (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2

1

2

Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách
1:
Xét
cặp
số
(1,1,1)
và
(a,b,c)



ta

có

 1  1 (a  b  c )  1.a  1.b  1.c 
 3 a 2  b 2  c 2   a 2  b 2  c 2  2ab  bc  ac 
 a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi
2

2

2

2

a=b=c
Phương pháp 6:
Kiến thức:

2

2

Bất đẳng thức Trê- bư-sép

a1  a 2  .....  a n
thì
b1  b2  .....  bn

a)Nếu 

a1  a 2  ...  a n b1  b2  ....  bn a1b1  a 2 b2  ....  a n bn
.
.

n
n
n
a  a  ....  a n

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi  1 2
b1  b2  ....  bn
a  a  .....  a n
b)Nếu  1 2
thì
b1  b2  .....  bn
a1  a 2  ...  a n b1  b2  ....  bn a1b1  a 2 b2  ....  a n bn
.

n
n
n

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
a1  a 2  ....  a n
b1  b2  ....  bn

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 

Ví dụ 1: Cho  ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trịn bán kính R = 1 và
sin A. sin 2a  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 2S

.
sin A  sin B  sin C
3
S là diện tích tan giác. chứng minh rằng  ABC là tam giác đều.



Giải: Khơng giảm tính tổng qt ta giả sư 0  A  B  C  . Suy ra:
2

sin A  sin B  sin C

sin 2a  sin 2 B  sin 2C

Áp dụng BĐT trebusep ta được:

sin A  sin B  sin C sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  
 3sin A. sin 2 A  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 

sin A. sin 2 A  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 1
 (sin 2 A  sin 2 B  sin 2C )
sin A  sin B  sin C
3
sin A  sin B  sin C
 ABC dêu
Dấu ‘=’ xảy ra  
sin 2 A  sin 2 B  sin 2C


Mặt khác:

sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  2 sin( A  B). cos( A  B)  sin 2C
 2 sin C cos( A  B)  cos C   2 sin C cos( A  B)  cos( A  B)
 2 sin C.2 sin A. sin B  4 sin A sin B sin C

 (2 R sin A)(2 R sin B). sin C  a.b. sin C  2S

(2)

Thay (2) vào (1) ta có

sin A. sin 2a  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 2S

.
sin A  sin B  sin C
3
Dấu ‘=’ xảy ra   ABC đều.

Ví dụ 2(HS tự giải):
1 1 1
  9
a b c
CMR:x+2y+z  4(1  x)(1  y)(1  z)

a/

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR:

b/
c/

Cho x,y,z>0 và x+y+z=1
Cho a>0 , b>0, c>0

CMR:

a
b
c
3



bc ca ab 2

d)Cho x  0 ,y  0 thỏa mãn 2 x  y  1
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0

;CMR: x+y 

1
5

và a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng

a3
b3
c3
1



bc a c a b 2

Giải:


a2  b2  c2
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a  b  c   a  b  c
 b  c a  c a  b

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
a
b
c
a2  b2  c2  a
b
c  1 3 1
 b2.
 c2.

.


= . =
bc
ac
ab
3
bc ac ab 3 2 2
a3

b3
c3
1
1
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=



bc ac ab 2
3
a2.

Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

a 2  b 2  c 2  d 2  ab  c   bc  d   d c  a   10
Giải: Ta có a 2  b 2  2ab
c 2  d 2  2cd
1
1 1
Do abcd =1 nên cd =
(dùng x   )
ab
x 2
1
Ta có a 2  b 2  c 2  2(ab  cd )  2(ab  )  4 (1)
ab
Mặt khác: ab  c  bc  d   d c  a  = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
1
1

1
=  ab     ac     bc    2  2  2
ab  
ac  
bc 

2
2
2
2
Vậy a  b  c  d  ab  c  bc  d   d c  a  10

Phương pháp7
Bất đẳng thức Bernouli
Kiến thức:
a)Dạng nguyên thủy: Cho a  -1, 1  n Z thì 1  a n  1  na . Dấu ‘=’ xảy ra
a  0
n  1

khi và chỉ khi 

b) Dạng mở rộng:
- Cho a > -1,   1 thì 1  a   1  na . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
- cho a  1,0    1 thì 1  a   1  na . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi
a  0
  1 .


Ví dụ 1 : Chứng minh rằng a b  b a  1, a, b  0 .
Giải

- Nếu a  1 hay b  1 thì BĐT ln đúng
- Nếu 0 < a,b < 1
Áp dụng BĐT Bernouli:

b 1  a  a  b
a
 1   1 a 

 ab 
.
   1 
  1
a 
a
a
ab
a 
b
Chứng minh tương tự: b a 
. Suy ra a b  b a  1
ab
b

b

Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a5  b5  c5  a  b  c 

 .
3

3


5

(1)

Giải
Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin

(đpcm).


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
5

5

5

1   3a    3b    3c   3
abc abc abc
Áp dụng BĐT Bernouli:

5b  c  2a 
 3a 
 b  c  2a 

  1 

  1
abc 
abc
abc

5

5

(2)

Chứng minh tương tự ta đuợc:
5c  a  2b 
 3b 

  1
abc
abc

(3)

5a  b  2c 
 3c 

  1
abc
abc

(4)

5

5

Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có
5

5

5

 3a   3b   3c 

 
 
  3  (đpcm)
abc abc abc

Chú ý: ta có bài tốn tổng qt sau đây:
“Cho a1 , a2 ,...an  0; r  1. Chứng minh rằng
r

a1r  a 2r  ....  a nr  a1  a 2  ....  a n 
 .
 

n
n



Dấu ‘=’  a1  a2  ....  an .(chứng minh tương tự bài trên).

Ví dụ 3: Cho 0  x, y, z  1 . Chứng minh rằng

2

x





 2 y  2 z 2x  2 y  2z 

81
.
8

Giải
Đặt a  2 x , b  2 y , c  2 z 1  a, b, c  2 .
1  a  2  a  1a  2  0

 a 2  3a  2  0  a 

2
 3 (1)
a

Chứng minh tương tự:
2

3
b
2
c 3
c

b

(2)
(3)

Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được
 1 1 1  côsi
 1 1 1
9  a  b  c   2     2 a  b  c 2   
a b c
a b c


81
 1 1 1
 (a  b  c)     (đpcm)
8
a b c

Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này
“ Cho n số x1 , x2 ,...., xn  a, b, c  1
Ta ln có:
Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin

www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp

c

x1

 c  ....  c
x2

xn

c

 x1

c

 x2

 ....  c

 xn

  nc

 cb
4c a b
a



2

Phương pháp 8:
Sử dụng tính chất bắc cầu
Kiến thức: A>B và B>C thì A>C
Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
Chứng minh rằng ab >ad+bc
Giải:
a  c  d
b  c  d

a  c  d  0
 

b  d  c  0
ab-ad-bc+cd >cd  ab> ad+bc

Tacó 


(a-c)(b-d) > cd

(điều phải chứng minh)
5
2
2
2

thỏa mãn a  b  c  . Chứng minh
3

Ví dụ 2: Cho a,b,c>0
1 1 1
1
  
a b c abc

Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0
1 2 2 2
( a +b +c )
2
5
1 1 1
1
  
 ac+bc-ab   1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
6
a b c
abc
 ac+bc-ab 

Ví dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1a-b-c-d
Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0  (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nên 1- c >0 ta có  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
Ví

dụ

4:

Cho

0


<1

.

Chứng

minh

rằng:

2a  2b  2c  3  a b  b c  c a
3

3

3

2

2

2

Giải:
Do a < 1  a 2  1 và
Ta có 1  a 2 .1  b  0  1-b- a 2 + a 2 b > 0  1+ a 2 b 2 > a 2 + b
mà 0< a,b <1  a 2 > a 3 , b 2 > b 3
Từ (1) và (2)  1+ a 2 b 2 > a 3 + b 3 . Vậy a 3 + b 3 < 1+ a 2 b 2
Tương tự b 3 + c 3  1 b 2 c ; c 3 + a 3  1 c 2 a
Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2b  b 2 c  c 2 a
Ví dụ 5 Chứng minh rằng : Nếu a 2  b 2  c 2  d 2  1998 thì ac+bd =1998
Giải:
Ta có (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2  2abcd  a 2 d 2  b 2 c 2 - 2abcd
=
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
rõ ràng (ac+bd)2  ac  bd 2  ad  bc 2  19982  ac  bd  1998
Ví dụ 6 (HS tự giải) :
Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003
=1
2

c hứng minh rằng : a 12 + a22  a32  ....  a2003

1

2003

b/ Cho a;b;c  0 thỏa mãn :a+b+c=1
1
a

1
b

1
c

Chứng minh rằng: (  1).(  1).(  1)  8
Phương pháp 9:
Dùng tính chất của tỷ số
Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dương thì
a ac
a
 1 thì 
b bc
b
a
a ac
b – Nếu  1 thì 
b bc
b

a – Nếu

2) Nếu b,d >0 thì từ

a c
a ac c
  

b d
b bd d

`
Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng
1

a
b
c
d



2
abc bcd cd a d ab

Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
a
a
ad
1

abc

abc abcd
a
a

Mặt khác :
abc abcd

(1)
(2)

Từ (1) và (2) ta có \

a
a
ad
<
<
abc abcd
abcd

(3)

Tương tự ta có

b
b
ba


abcd bcd abcd

c
c
bc


abcd cd a abcd
d
d
d c


abcd d ab abcd

(4)
(5)
(6)

cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có
a
b
c
d



 2 điều phải chứng minh
abc bcd cd a d ab
a c
a ab  cd c


Ví dụ 2 :Cho: < và b,d > 0 .Chứng minh rằng < 2
b d
b b d2 d
ab cd
a c
ab ab  cd cd c


Giải: Từ <  2  2  2  2
b d
b
d
b
b d2 d2 d
a ab  cd c

Vậy
<
điều phải chứng minh
b b2  d 2 d
1

Toán NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
a
c

tìm giá trị lớn nhất của 
Giải:


b
d

Khơng mất tính tổng quát ta giả sử :

a ab b


c cd d

a
c



b
d

Từ :

a
c



b
d

a
 1 vì a+b = c+d
c
b
a b
 998    999
d
c d
a b 1 999
b/Nếu: b=998 thì a=1   = 
Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1;
d
c d c

a/ Nếu :b  998 thì

c=999
Vậy giá trị lớn nhất của

a b
1
 =999+
khi a=d=1; c=b=999
c d
999

Phương pháp 10: Phương pháp làm trội

Kiến thức:
Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính
được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2  ....  un
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp
nhau:
uk  ak  ak 1

Khi đó :S = a1  a2   a2  a3   ....  an  an1   a1  an1
(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 ....un
Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: u k =
Khi đó P =

a
a1 a2
a
. ..... n  1
a2 a3
an 1 an 1

Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng
1
1
1
1
3


 .... 


2 n 1 n  2
nn 4
1
1
1


Giải: Ta có
với k = 1,2,3,…,n-1
n  k n  n 2n
1
1
1
1
1
n 1

 ... 

 ... 


Do đó:
n 1 n  2
2n 2n
2 n 2n 2

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:





1
1
1

 .... 
 2 n  1 1
Với n là số nguyên
2
3
n
1
2
2
Giải: Ta có


 2 k 1  k
k 2 k
k  k 1
1





Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin

ak
ak 1


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
1 > 2  2  1



1
2 3 2
2



………………



1
 2 n 1  n
n



Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng

n

k 1

Giải: Ta có

1

k

2

2



n  Z

1
1
1
1



2
k
k k  1 k  1 k

Cho k chạy từ 2 đến n ta có

1
1
 1
2
2
2
1 1 1
 
32 2 3
.................
1
1
1
1 1
1

  2  2  ....  2  1
2
n
n 1 n
2 3
n

Vậy

n

1

k

k 1

2

2

Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải
1/Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
0  a  b  c

0  b  a  c
0  c  a  b






1
1
1

 .... 
 2 n  1 1

2
3
n

a 2  a (b  c)
 2
b  b(a  c)
 c 2  c ( a  b)


Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
2/ Ta có a > b-c   a 2  a 2  (b  c) 2 > 0
b > a-c 
 b2  b2  (c  a) 2 > 0
c > a-b 
 c 2  c 2  (a  b) 2  0
Nhân vế các bất đẳng thức ta được

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
2
2
2
 a 2b 2 c 2  a 2  b  c  b 2  c  a  c 2  a  b  
2
2
2

 a 2b 2 c 2  a  b  c  b  c  a  c  a  b 
 abc  a  b  c 
. b  c  a 
. c  a  b
Ví dụ2 (HS tự giải)
1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca)
2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2
Chứng minh rằng a 2  b2  c 2  2abc  2
Phương pháp 12:
Sử dụng hình học và tọa độ
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng : c(a  c)  c(b  c)  ab , a  b  0 và b  c
Giải
Trong mặt phẳng Oxy, chọn u  ( c, b  c ) ; v ( a  c , c )
Thì u  b , v  a ;
u.v  c(a  c)  c(b  c)
Hơn nữa:

u.v  u . v . cos(u, v)  u . v

 c(a  c)  c(b  c)  ab  (ĐPCM)

Ví dụ 2:
Cho 2n số: xi ; yi , i  1,2,..., n thỏa mãn:
n


i 1

xi2  yi2 

n

n

i 1

i 1

 xi   yi  1. Chứng minh rằng:

2
2

Giải:
Vẽ hình

y

MK

MN
H

M
1

x
O

x+y=1

Trong mặt phẳng tọa độ, xét:
M 1 ( x1 , y1 ) : M 2 ( x1  x2 , y1  y 2 ) ;…; M n ( x1    xn , y1    y n )
Giả thiết suy ra M n  đường thẳng x + y = 1. Lúc đó:
OM1  x12  y12 ,

M 1 M 2  x22  y 22 , M 2 M 3  x32  y32 ,…,

M n1 M n  xn2  y n2

Và OM 1  M 1 M 2  M 2 M 3    M n1 M n  OM n  OH 

2
2

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
n

2
2

 (ĐPCM)

Phương pháp 13:

Đổi biến số

  xi2  yi2 
i 1

a
b
c
3


 (1)
bc ca ab 2
yzx
zx y
Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=
; b=
;c=
2
2
x yz
2
3
yzx zx y x yz

ta có (1) 


2

2x
2y
2z
y x
z x
z y
y z
x z
x y

 1  1  1  3  (  )  (  )  (  )  6
x y
x z
y z
x x
y y
z z
z x
y x
z y
  2;
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2;
  2 nên ta
x z
x y
y z

Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng

có điều phải chứng minh

Ví dụ2:
Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng
1
1
1
 2
 2
9
(1)
a  2bc b  2ac c  2ab
Giải: Đặt x = a 2  2bc ; y = b 2  2ac ; z = c 2  2ab . Ta có
2
x  y  z  a  b  c   1
1 1 1
(1)     9
Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
x y z
2

1
1 1 1
   3. 3
xyz
x y z

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: x  y  z  3. 3 xyz , và:

x  y  z . 1  1  1   9 . Mà x+y+z < 1. Vậy

1 1 1

   9 (đpcm)
x y z
x y z
1
Ví dụ3: Cho x  0 , y  0 thỏa mãn 2 x  y  1 CMR x  y 
5
2
2
Gợi ý: Đặt x  u , y  v  2u-v =1 và S = x+y = u  v  v = 2u-1


thay vào tính S min
Bài tập tự giải
1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0

CMR:

25a 16b
c


8
bc ca ab





2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0
CMR

ma
nb
pc
1



bc ca ab 2

Phương pháp 14:

m  n  p  m  n  p 
2

Dùng tam thức bậc hai

Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c
Toán NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Định lí 1:
a  0
  0
a  0
f ( x)  0, x  
  0

f(x) > 0, x  

a  0
f ( x)  0, x  
  0
a  0
f ( x)  0, x  
  0

Định lí 2:
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1    x2  a. f    0
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm :

a. f    0

x1  x 2      0
S
 
2

Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm :

a. f    0

  x1  x 2    0
S
 
2
  x    x

1

2
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm 
 f  . f    0.
 x1    x2  

Ví dụ 1:Chứng minh rằng f x, y   x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0
Giải: Ta có (1)  x 2  2 x2 y 1  5 y 2  6 y  3  0

(1)

2
  2 y  1  5 y 2  6 y  3  4 y 2  4 y  1  5 y 2  6 y  3    y  1  1  0
2

Vậy f x, y   0 với mọi x, y
Ví dụ2:
Chứng minh rằng: f x, y   x 2 y 4  2x 2  2. y 2  4 xy  x 2  4 xy 3
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với




Ta có   4 y 1  y   4 y y  1
Vì a = y  1  0 vậy f x, y   0

x 2 y 4  2 x 2  2 . y 2  4 xy  x 2  4 xy 3  0  ( y 2  1) 2 .x 2  4 y1  y  x  4 y 2  0
2

2

2

2 2

2

2

2

2

 16 y 2  0

(đpcm)
Dùng quy nạp toán học

Phương pháp 15:
Kiến thức:
Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực hiện các bước sau :
1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được
gọi là giả thiết quy nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT

cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0
Ví dụ1: Chứng minh rằng :

1 1
1
1
 2  ....  2  2 
2
1 2
n
n

n  N ; n  1

(1)
1
4

Giải: Với n =2 ta có 1   2 

1
2

(đúng). Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n =
k+1
1 1
1

1
1
 2  ....  2 
 2
2
2
1 2
k
(k  1)
k 1

Thật vậy khi n =k+1 thì (1) 
Theo giả thiết quy nạp


1 1
1
1
1
1
1
 2  ....  2 
 2 
 2
2
2
2
1 2
k
(k  1)

k k  1
k 1




1
1
1
1
1
 .... 



2
2
2
1
(k  1)
k  1 k  1
k
k 11 1
2
2
  k (k  2)  (k  1) 2  k +2k2
k
(k  1)

Điều này đúng .Vậy

bất đẳng thức (1)được chứng minh
a n  bn
 ab
(1)
n  N và a+b> 0. Chứng minh rằng 
 
2
 2 
n

Ví dụ2: Cho

Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
Thật vậy với n = k+1 ta có
ab
(1)  

 2 

k 1



a k 1  b k 1
2

a k 1  b k 1

 ab ab
.

(2)


2
2
 2 
a k  b k a  b a k 1  ab k  a k b  b k 1 a k 1  b k 1
 Vế trái (2) 
.


2
2
4
2
k 1
k 1
k 1
k
k
k 1
a b
a  ab  a b  b


 0  a k  b k .a  b  0
(3)

2
4
k





Ta chứng minh (3)
(+) Giả sử a  b và giả thiết cho a  -b  a  b
 a k  b  bk
k

a



a

k



 b k .a  b  0

(+) Giả sử a < b và theo giả thiết
k



- a


a  bk  a k  bk 

 b k .a  b  0

Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)
Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin

k


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Ví dụ 3: Cho a  1 ,1  n   . Chứng minh rằng : (1  a) n  1  n.a
Giải
n=1: bất đẳng thức luôn đúng
n=k ( k   ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1  a) k  1  k.a
n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1  a) k 1  1  (k  1).a
Ta có: (1  a) k 1  (1  a).(1  a) k  (1  a).(1  k.a)  1  (k  1)a  k.a 2  1  (k  1)a
 Bất đẳng thức đúng với n= k+1
V ậy theo nguyên lý quy nạp: (1  a) n  1  n.a , n  
1
2

Ví dụ 4: Cho 1  n   a1 , a2 ,, an  0 thoả mãn a1  a2    an  . Chứng
minh rằng: (1  a1 )(1  a2 )(1  an ) 
1

2

1
2

1
2

Giải n=1: a1   1  a1   Bài toán đúng
n=k ( k   ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1  a1 )(1  a2 )(1  ak ) 

1
2

1
2
Ta có: (1  a1 )(1  a2 )(1  ak 1 )  (1  a1 )(1  a2 )(1  ak 1 )[1  (ak  ak 1 )  ak ak 1 ]
1
 (1  a1 )(1  a 2 ) (1  ak 1 )[1  (ak  ak 1 )]  (Vì
2
1
a1  a 2    ak 1  (a k  a k 1 )  )
2
 Bất đẳng thức đúng với n= k+1
1
Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1  a1 )(1  a2 )(1  an ) 
2
Ví dụ 5: Cho 1  n   , ai , bi  R, i  1,2,..., n . Chứng minh rằng:

n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1  a1 )(1  a2 )(1  ak 1 ) 

(a1b1  a2 b2    an bn ) 2  (a12  a22    an2 )(b12  b22    bn2 )

Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
n=k ( k   ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là:
(a1b1  a2 b2    ak bk ) 2  (a12  a22    ak2 )(b12  b22    bk2 )

n= k+1 . Ta cần chứng minh:
(a1b1  a2 b2    ak 1bk 1 ) 2  (a12  a22    ak21 )(b12  b22    bk21 ) (1)

Thật vậy: VP(1)  (a12  a22    ak2 )(b12  b22    bk2 )  (a12    ak2 ).b 2 +
 a 2 (b12  b22    bk2 )  ak21 .bk21
 (a1b1  a2 b2    ak bk )  2a1b1ak 1bk 1  2a2 b2 ak 1bk 1 
   2ak bk ak 1bk 1  ak21bk21
 (a1b1  a2 b2    ak bk ) 2  2 (a1b1  a2 b2    ak bk ) a k 1bk 1  ak21 .bk21
 (a1b1  a2 b2    ak 1bk 1 ) 2

Vậy (1) được chứng minh

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
Ví dụ 6: Cho 1  n   , ai , bi  R, i  1,2,..., n . Chứng minh rằng:
a1  a 2    a n 2 a12  a 22    a n2
(
) 
n
n

Giải:
n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
n=k ( k   ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là:
(

a1  a 2    a k 2 a12  a 22    a k2
) 
k
k

n= k+1 . Ta cần chứng minh: (

a1  a 2    a k 1 2 a12  a 22    ak21
(1)
) 
k 1
k 1

a 2  a3    a k 1
k
1
VP (1) 
(a12  k 2 a 2  2ka1a)
k 1
2
2
2
a 22  a32    a k21 
1  2

2 a 2  a3    a k 1
2

 k.a1  k
a1  k

k
k
(k  1) 2 


Đặt: a 



a12  a 22    a k21
k 1

Vậy (1) đựơc chứng minh
Ví dụ 7: Chứng minh rằng:
n n  4

Giải: n=2  

(n  1)

n 1

3

n n  (n  1) n1 , n  , n  2
 n n  (n  1) n1

n=k  2 : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k  (k  1) k 1
n= k+1:Ta c ó: k k (k  1) k 1  (k  1) k 1 (k  1) k 1  (k  1) 2k 2 (k  1) 2  [(k  1) 2 ]k 1 (k  1) 2
 (k 2  2k ) k 1 (k 2  2k ) (vì (k  1) 2  k 2  2k  1  k 2  2k )
 k k (k  2) k  (k  1) k 1  (k  2) k  Bất đẳng thức đúng với n= k+1
Vậy n n  (n  1) n1 , n  , n  2
Ví dụ 8: Chứng minh rằng: sin nx  n sin x , n    , x  R
Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: sin kx  k sin x
n= k+1 . Ta cần chứng minh: sin(k  1) x  (k  1) sin x
 a  b  a  b , a, b  R
Ta có: 

 sin x , cos x  1, x  R

Nên:

sin(k  1) x  sin kx cos x  cos kx sin x

 sin kx . cos x  cos kx . sin x  sin kx .  . sin x  k sin x .  . sin x  (k  1) sin x

 Bất đẳng thức đúng với n= k+1. Vậy: sin nx  n sin x , n    , x  R +

Phương pháp 16:
Kiến thức:

Chứng minh phản chứng

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp
1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất
đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vơ lý có
thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng
thức cần chứng minh là đúng
2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p  q”
Muốn chứng minh p  q (với p : giả thiết đúng, q : kết luận đúng) phép
chứng minh được thực hiên như sau:
Giả sử khơng có q ( hoặc q sai) suy ra điều vô lý hoặc p sai. Vậy phải có
q (hay q đúng)
Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ
định kết luận của nó .
Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P  Q”
B – Phủ định rôi suy trái giả thiết
C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng
D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
Giải:
Giả sử a  0 thì từ abc > 0  a  0 do đó a < 0. Mà abc > 0 và a < 0  cb
<0
Từ ab+bc+ca > 0  a(b+c) > -bc > 0
Vì a < 0 mà a(b +c) > 0  b + c < 0
a < 0 và b +c < 0  a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0

Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện
ac  2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau
là sai:
a 2  4b
, c 2  4d
Giải:
Giả sử 2 bất đẳng thức : a 2  4b , c 2  4d đều đúng khi đó cộng các vế ta
được
(1)
a 2  c 2  4(b  d )
Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2)
Từ (1) và (2)  a 2  c 2  2ac hay a  c 2  0 (vô lý)
Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2  4b và c 2  4d có ít nhất một các bất đẳng
thức sai
Ví dụ 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng
Nếu x+y+z >

1 1 1
thì có một trong ba số này lớn hơn 1
 
x y z

Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp

1
x

1
y

1
z

=x + y + z – (   ) vì xyz = theo giả thiết x+y +z >

1 1 1
 
x y z

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết)
Cịn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vơ lý)
Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
Ví dụ 4: Cho a, b, c  0 và a.b.c=1. Chứng minh rằng: a  b  c  3 (Bất đẳng
thức Cauchy 3 số)
Giải: Giả sử ngược l ại:
a  b  c  3  (a  b  c)ab  3ab  a 2 b  b 2 a  cab  3ab  a 2 b  (a 2  3a)b  1  0

Xét : f (b)  a 2 b  (a 2  3a)b  1
Có   (a 2  3a) 2  4a = a 4  6a 3  9a 2  4a  a(a 3  6a 2  9a  4) =  a(a  1) 2 (a  4)  0
(Vì

a, b, c  0

 0  a  3 )  f (b)  0  vô

a  b  c  3

lý. Vậy:

abc3

Ví dụ 5:
Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn
(1),(2),(3):
(1)
a  bc
(2)
b  ca
(3)
c  ab
Giải: Giả sử tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó:
(1’)
 (a  b  c)(a  b  c)  0
a  b  c  (b  c) 2  a 2
(2’)
b  c  a  (c  a) 2  b 2  (a  b  c)(a  b  c)  0
 (a  b  c)(a  b  c)  0
(3’)
c  a  b  (a  b) 2  c 2
Nhân (1’), (2’) và (3’) vế với vế ta được:
 [(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)]2  0
 Vô lý. Vậy bài toán được chứng minh

Phương pháp 17 :
Sử dụng biến đổi lượng giác
1. Nếu x  R thì đặt x = Rcos  ,   0,   ; hoặc x = Rsin
,

   
, 
 2 2

 

2. Nếu x  R thì đặt x =
3.Nếu x  a 2   y  b2

R
cos 

 
  0, c    ,3 

2

 x  a  R cos 
, (  2 )
 R 2 , (  0) thì đặt 
 y  b  R sin 

 x    aR cos 
, (  2 )


 y    bR sin 
5. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức : ax 2  b 2 , a, b  0
b
 
Thì đặt: x  tg ,     , 
a
 2 2

x    y   
2
4. Nếu 
 
  R a, b  0 thì đặt
a
b

 

2

2

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL
Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp





Ví dụ 1: Cmr : a 1  b 2  b 1  a 2  3 ab  1  b 2 1  a 2   2, a, b   1,1
Giải : a  1, b  1
a  cos 
b  cos 

 ,   0,  

Đặt : 

Khi đó :



a 1  b 2  b 1  a 2  3 ab 

1  b 1  a  
2

2

 cos  .sin   cos  .sin   3  cos  .cos   sin  .sin  



 sin(   )  3.cos(   )  2 cos(    )   2, 2  ( dpcm)
6
Ví dụ 2 : Cho a , b  1 .Chứng minh rằng : a b  1  b a1  ab

Giải :
1

a  cos 2 
Đặt : 
1
b 

cos 2 


  
  ,   0,  
 2 


1
1
tg 
tg
(tg  .cos 2   tg .cos 2  )
2
2
tg


tg





cos 2 
cos 2 
cos 2  cos 2 
cos 2  .cos 2 
1 (sin 2  sin 2 ) sin(   ) cos in(   )
1



 ab
2
2
2
2
2
2 cos  .cos 
cos  .cos 
cos  .cos 2 

 a b 1  b a 1 

a 2  (a  4b) 2
 2 2 2
Ví dụ 3: Cho ab  0 .Chứng minh rằng :  2 2  2 
a 2  4b 2
 
Giải :Đặt: a  2btg ,     , 
 2 22 
2

2
2
a  (a  4b)
tg   (tg  2) 2


 4(tg  1).cos 2 
2
2
2
a  4b
1  tg 
 2sin 2  2(1  cos 2 )  2(sin 2  cos 2 )  2



 2 2 sin(2  )  2   2 2  2, 2 2  2 
2

Phương pháp 18:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
Kiến thức:
Công thức nhị thức Newton
n

a  bn  Cnk a nk b k , n  N * , a, b  R .
k 0

Trong đó hệ số Cnk 

n!
(0  k  n ) .
(n  k )!k!

Một số tính chất đặt biệt của khai triển nhị thức Newton:
+ Trong khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng.

Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin