cac bai toan ve phuong trinh duong thang 69566

Onthionline.net
Các bài toán cơ bản về Phương trình đường
thẳng
r
Dạng 1 : Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coự vtcp u = (a; b; c).
Phương pháp: PT tham số của đường thẳng d là:
x = xo + at

(d) : y = yo + bt ; t∈¡
z = z + ct
o


Chú ý: Nếu abc ≠ 0 thì (d) có PT chính tắc là:

x − xo y − yo z- z0
=
=
a
b
c

Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT đường thẳng d cần biết toạ độ 1 điểm
thuộc d và toạ độ véc tơ chỉ phương của d.
Dạng 2: ẹửụứng thaỳng
uuur (d) ủi qua 2 điểm A, B.
Bước 1: Tìm AB
uuur
Bước 2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận AB làm véc tơ chỉ phương.
Dạng 3: Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua A vaứ song song với đường thẳng ∆.
r

B1: Tỡm VTCP u của ∆ .
r
B2: Viết PT đường thẳng d đi qua A và nhận u làm VTCP.
Dạng 4: Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua điểm A vaứ vuoõng goực mp(α)
r
B1: Tỡm VTPT cuỷa (a) laứ n .
r
B2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận n làm VTCP.
Dạng 5: Viết PT đửụứng thaỳng (d) đi qua điểm A vaứ vuoõng goực với cả 2 đường thẳng (d1),
(d2)
ur uu
r
B1: Tỡm các VTCP u1 , u2 của d1; d2.
ur uu
r
r

u
,
u
B2: Đường thẳng d coự VTCP là: u = 
1
2

r
B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận u làm VTCP.
Dạng 6: Viết PT của đường thẳng d là giao tuyến của hai mp:
(P): Ax+By+Cz+D=0
(Q): A’x+B’y+C’z+D’=0
Cách 1:

Ax + By + Cz + D = 0
tìm một nghiệm (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ta được 1 điểm M (x 0 ; y 0 ; z 0 )
A ' x + B' y + C 'z + D ' = 0

B1: Giải hệ 

∈ d. (Cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định rồi giải hệ với 2 ẩn còn lại tìm 2 ẩn còn lại)
r b c c a a b
;
;
B2: Đường thẳng d có VTCP là: u = 
÷
 b ' c' c' a' a' b' 
r
B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận u làm VTCP.
Cách 2:
B1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B ∈ d . (Tìm 2 nghiệm của hệ 2PT trên)
B2: Viết PT đường thẳng AB.
Cách 3: Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x=t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham
số của d.
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P).
B1: Viết PTmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P).
B2: Hình chiếu cần tìm d’= (P) ∩ (Q)
(Chú ý: Nếu d ⊥ (P) thì hình chiếu của d là điểm H= d ∩ (P)
Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1 , d2
Cách 1:
B1: Viết PT mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 .
B2: Tỡm giao điểm B= (α) ∩ d 2
B3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.
Cách 2:

B1: Viết PT mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1


Onthionline.net
B2: Viết PT mặt phẳng ( β ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.
B3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)
Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3.
B1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.
B2: Viết PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.
B3: Đường thẳng cần tìm d= (P) ∩ (Q)
Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2
Cách 1:
B1: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d1 .
B2: Tỡm giao điểm B = (α) ∩ d 2
B3 : Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
Cách 2:
B1: Viết PT mp ( α ) đi qua điểm A và vuông góc với d1.
B2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d2.
B3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)
Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mặt phẳng ( α ) và cắt đường thẳng d’
Cách 1:
B1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp( α ).
B2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
B3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
Cách 2:
B1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng ( α )
B2: Tỡm giao điểm B = (P) ∩ d '
B3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.
Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp( P ) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước .
B1: Tỡm giao điểm A = d1 ∩ (P) ; B = d 2 ∩ (P)

B2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .
Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp( P ) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại
giao điểm I của d’ và mp( P ).
B1: Tỡm giao điểm I = d’ ∩ ( P ).
r
r r
r
r
B2: Tìm VTCP u của d’ và VTPT n của (P) và v =  u, n 
r
B3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I và cú VTCP v
Dạng 14: Viết PT đường vuông góc chung d của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.
Cách 1:
r
uu
r uur
uu
r uur
B1: Tìm các VTCP u1 , u 2 của d1 và d2 . Khi đó đường thẳng d có VTCP là u =  u1 , u 2 
uu
r
r uu
r
B2: Viết PT mp(P) chứa d1 và có VTPT n1 =  u, u1 
uur
r uur
B3: Viết PT mp(Q) chứa d2 và có VTPT n 2 =  u, u 2 
B4: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) . (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
Cách 2:
B1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct) ∈ d1 ; N(x0’+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’) ∈ d 2 là chân các đường

vuông góc chung của d1 và d2.
uuuu
r uu
r
MN.u1 = 0
 MN ⊥ d1
⇒  uuuu
⇒ t, t '
r uur
B2: Ta có 
 MN ⊥ d 2
 MN.u 2 = 0
B3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường
thẳng đi qua 2 điểm M, N
(Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau)
Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.


Onthionline.net
B1: Viết PT mp(P) chứa d1 và vuông góc với (P).
B2: Viết PT mp(Q) chứa d2 và vuông góc với (P).
B3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
Dạng 16: Lập đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuụng gúc với đường thẳng d.
PP giải: Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10.