Chương III. §3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai

Chương 3:
Phương trình và hệ Phương
trình
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI.


Hoạt
Động
1:
A = B ⇔?
HS nhắc lại :

• Ta có:

A = B ⇔ A = ±B

(*)


Ta có hai cách giải phương
trình:
A = B

A=B
,

,

• Cách 1: Bình phương hai vế.
• Cách 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo CT

(*)


HOẠT ĐỘNG 2:
Tìm và sửa chữa sai lầm trong lời giải
sau:
4 − 3x = x
giải
Có
HS pt
giải như sau:
PT

⇔ 4 x − 3 = x ⇔ x + 3x − 4 = 0
2

2

x = 1
⇔
 x = −4
Vậy nghiệm của PT (1) là: x=1 hoặc x=4


Nhận xét:
• Khi bình phương hai vế mà có một vế luôn
không âm và một vế chưa biết thì ta chỉ
đưa tới một phương trình hệ quả không
tương đương với phương trình ban đầu do
đó nghiệm thu được phải thử lại phương

trình ban đầu.


HOẠT ĐỘNG 4
• Phiếu học tập số 1.
Giải các phương trình sau:
1)
2

x + x − 1 = 2x − 1

2)
3)
4)

(1)
(2)

x −1 + x = 2
2 x − 1 = − 5x − 2

(3)
(4)

x + 6x + 9 = 2x − 1
2


Đáp án phiếu học tập số
1

2 x − 1 ≥ 0
(1) ⇔  2
2
 x + x − 1 = ( 2 x − 1)
1

x≥

1
2
x =1



x ≥
⇔
⇔  x = 1 ⇔ 
2
2

x=
2

3 x − 5 x + 2 = 0

2
3


 x =

3



3
2)+Nếu:x − 1 ≥ 0, (2) ⇔ x − 1 + x = 2 ⇔ x =
2
+ Nếu : x − 1 < 0 :

(2) ⇔ 1 − x + x = 2 ⇔ 1 = 2
phương trình vô nghiệm.
x=
• Vậy nghiệm của phương trình (2) là:

3
2


1

x
=
−
2 x − 1 = −5 x − 2
(3) ⇔ 
⇔
7

2 x − 1 = 5 x + 2
 x = −1

( 4) ⇔

( x + 3) = 2 x − 1
2

⇔ x + 3 = 2 x − 1 ⇔ ( x + 3) = ( 2 x − 1)
2

⇔ x + 6x + 9 = 4x − 4x +1
2

2

x = 4
2
⇔ 3 x − 10 x − 8 = 0 ⇔ 
2
x = −
3


2


Nhận xét:
• Bài 1 và bài 2, bài 3 và bài 4 có dạng

giống nhau nhưng mỗi bài là một phương
pháp giải khác nhau. Tuy nhiên nếu bài 4
giải theo cách giải trong bài 3 thì sẽ đơn

giản hơn.


2) Phương trình chứa ẩn dưới
dấu căn
• Chú ý:Khi giải bài toán dạng này cần lưu ý
điều kiện của biểu thức dưới dấu căn.


HOẠT ĐỘNG 5:

Phiếu học tập số 2
• Giải bài toán bằng hai cách khác

nhau.
1. 2 x + 3 = x (5)

2. 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = 3(6)


Ta có thể giải 2 bài toán này
bằng cách nào?
• Biến đổi tương đương
• Đặt ẩn phụ
• Ta có phép biến đổi tương đương sau:

 f ( x) = g ( x)
f ( x) = g ( x) ⇔ 
 g ( x) ≥ 0
2

Đáp án:
• Cách 1:
x ≥ 0
x ≥ 0
(5) ⇔ 
⇔ 2
2
2 x + 3 = x
x − 2x − 3 = 0
x ≥ 0

⇔  x = −1 ⇔ x = 3
 x = 3



Cách 2: ĐK:
Đặt:

t=

−3
2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥
2

2x + 3 , t ≥ 0

t −3

⇒ t = 2x + 3 ⇒ x =
2
(5) trở thành:
2

t =

t

2

t
⇔ 
t

2

−3
2
⇔ t − 2t − 3 = 0
2
= −1
=3


+t=-1 (loại)
+Với t=3 ta có:

2x − 3 = 3 ⇔ 2x + 3 = 9
⇔ x=3

Đáp án câu 2.
Cách 1:Biến đổi tương đương
( 6) ⇔

3+ x +

6− x = 3+

3 + x ≥ 0

⇔ 6 − x ≥ 0

(3 + x )(6 − x ) + 4

− 3 ≤ x ≤ 6
⇔

 (3 + x )(6 − x ) (
− 3 ≤ x ≤ 6
x

⇔   x = −3
⇔
x
 x = 6


(3 + x )(6 − x )

(3 + x )(6 − x ) = 0
(3 + x )(6 − x ) + 4) = 0
= −3
=6


Cách 2: Đặt ẩn phụ:
• ĐK:

• Đặt:

3 + x ≥ 0
⇔ −3 ≤ x ≤ 6

6 − x ≥ 0
t =
⇒t
⇒

3+ x +
2

= 9+2

6 − x ,t ≥ 0
(3 + x )(6 − x )

(3 + x )(6 − x ) =

t

2

−9
2


PT (6) trở thành:

t −9
2
t−
= 3 ⇔ t − 2t − 3 = 0
2
t = −1
⇔
t = 3
2

• t= -1(loại)
• t=3 ta có:

3+ x +
⇔ 9+

6− x =3
(3 + x )(6 − x ) = 9

 x = −3

⇔ 
x = 6


Hoạt động 6:
Kiểm tra trắc nghiệm
• 1) Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
PT:

x −1 + x +1 = 2

Có nghiệm là:

A) x = −1
1
C ) x = −1 ∨ x =
2

1
B) x = 1 ∨ x = x =
2

D) − 1 ≤ x ≤ 1


2) Chọn câu2 trả lời đúng:
− x + 6x − 5 = 8 − 2x
a) PT:
Tương đương với:
8 − 2x ≥ 0

A) − x + 6 x − 5 = (8 − 2 x)
2

− x + 6 x − 5 ≥ 0
C)  2
2
− x + 6 x − 5 = (8 − 2 x)
2

2


B)  2
2
− x + 6 x − 5 = (8 − 2 x)

− x 2 + 6 x − 5 ≥ 0

D)8 − 2 x ≥ 0
− x 2 + 6 x − 5 = (8 − 2 x) 2



b) PT:
x − 3 − x = x +1
Tương đương với PT sau:
2

A) x − 2 x + 4 + 2 ( x + 3) x = 0

2

B) x − 2 x + 4 + 2 ( x + 3) x = 0 , x ≥ 3
2

C ) x + 4 + 2 ( x + 1) x = 0 , x ≥ 3
2

2

D) x + 4 + 2 ( x + 1) x = 0
2

2


Đáp án:
• Câu1: D
• Câu 2: a) B
b) C


Hoạt động 7
Hoạt động tổng kết
• - Các phương pháp giải phương trình chứa dấu

giá trị tuyệt đối và phương trình chưa căn
– Đối với PT chứa căn phải lưu ý tới ĐK căn thức
có nghĩa.
– Khi giải PT hệ quả thì nghiệm thu được phải

thử lại để loại nghiệm ngoại lai.
• BTVN: Các bài 2, 3, 4, 5, 6 (SGK).