bai toan tim so hang tong quat cua day so 2428

ONTHIONLINE.NET
Phần thứ nhất:
Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số
Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số là một bài toán hay nhưng đồng thời cũng
là một bài toán khó. Trong chương trình Đại số giải tích lớp 11 bài toán tìm số hạng
tổng quát của dãy số thường được đề cập tới với nhiều góc độ khác nhau, trong các
đề thi học sinh giỏi bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số xuất hiện khiến không
ít học sinh lao đao. Trong quá trình giảng dạy, ôn luyện , sưu tầm tôi xin giới thiệu
một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số ở một số dạng cơ bản và mức
độ khiêm tốn. Hy vọng rằng có thể giúp ích cho các bạn nào có hứng thú quan tâm.
Phần thứ hai.
Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số:
1/ Phương pháp đơn giản từng số hạng:
2/Phương pháp lùi dần các số hạng:
3/ Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng)
4/ Phương pháp quy nạp:
Vấn đề cụ thể:
Phương pháp 1: Phương pháp đơn giản từng số hạng
Từ biểu thức Un+1=f(Un , Un-1) ta đặt Vn=Un-Un-1, ta suy ra Vn+1=g(Vn) Khi đó Vn có
thể là cấp số cộng hoặc cấp số nhân. Từ đó tìm được Vn.
⇒ Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+ …+(U1-U0) + U0
= Vn+ Vn-1+…+ V1+U0=Sn+U0
Trong đó Sn tổng n số hạng đầu tiên của dãy Vn.
Ví dụ1: Cho dãy (Un) thoả mãn điều kiện: Un+1- 2Un+Un-1=1 với n ≥ 1 . Hãy tính Un
qua U0, U1 và n.
Giải:
Từ điều kiện của bài toán ta suy ra: (Un+1-Un)- (Un-Un-1)=1
Đặt Vn=Un-Un-1thì Vn+1-Vn=1( n ≥ 1) . Khi đó dãy (Vn) là một cấp số cộng có số hạng
đầu V1=U1-U0 và công sai d =1 nên Sn=V1+V2+…+Vn= n
đó:
Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+….+(U1-U0)+U0

V1 + Vn n(2V1 + n − 1)
=
. Từ
2
2

= Vn+Vn-1+…+V1+U0

n
n(n − 1)
(n ≥ 1)
= Sn+U0= (2V1 + n − 1) + U 0 = nU 1 − (n − 1)U 0 +
2
2
n(n − 1)
Chẳng hạn với U0=1, U1=1 ta có : Un=1 +
2

1


1
2

Ví dụ2: Cho dãy số (Un) thoả mãn: Un+1= (U n + U n−1 ); (n ≥ 1) Hãy biểu diễn Un qua
U0, U1 và n.
Giải: Từ giả thiết suy ra: 2Un+1=Un+Un-1 ⇔ 2(Un+1-Un)=-(Un-Un-1)
1
⇒ Vn +1 = − Vn ; n ≥ 1

2
Đặt Vn=Un-Un-1 ta có 2Vn+1=-Vn
1
2

Do đó (Vn) là một cấp số nhân có số hạng đầu V1=U1- U0 và công bội q= − . Tổng
n số hạng đầu của (Vn) là:
1
V1 (1 − (− ) n )
V (1 − q )
2 
1 
2
=
= V1 1 − (− ) n 
Sn= V1 + V2 + ... + Vn = 1
3
1− q
3 
2 
2
n

Vậy:
Un=(Un-Un-1) + (Un-1- Un-2) +…+ (U1-U0) + U0

n
= Sn+U0= (U 1 − U 0 ) 1 − (− )  + U 0
3
2 


2

Nếu: U0 =1,U1 =2 Ta có Un =

1

2
1 
1 − (− ) n  + 1 . Với mỗi cặp (U0; U1) cụ thể ta được

3
2 

một bài toán mới.
Ví dụ 3: Cho dãy số (Un) xác định bởi: Un+1=(a+b)Un - abUn-1 n ≥ 1
Hãy biểu diễn Un qua U0, U1 và n.
Giải:
Giả thiết suy ra Un+!- aUn= b(Un - aUn-1) n ≥ 1 . Đặt Vn=Un-aUn-1(1) ta cóVn+1=bVn (
n ≥ 1 ) ta có (Vn) là cấp số nhân có số hạng đầu V1 và công bội b nên: Vn= V1bn-1 n ≥ 1
. Từ đó ta có: U1- aU0=V1 (2) , U2- aU1=V1b (3) , U3- aU2=V1b2 (4) ….
Un- aUn-1 = V1bn-1.
Nhân (2) với a rồi cộng cho(3) được : U2=a2U0+(a+b)V1
Nhân (2) với a2, (3) với a rồi cộng vào (4) được: U3=a3U0+(a2+ab + b2)V1
Giả sử ta chứng minh được:
Un= anU0 + (an-1+an-2b+…+abn-2 + bn-1)V1 thì theo (1) ta có:
Un+1=aUn+V1bn
= an+1U0+(an+an-1b+…+abn-1+bn)V1
Vậy Un= anU0 + (an-1+an-2b+…+ abn-2+bn-1)(U1- aU0)
= (an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)U1- ab(an-2+an-3b+…+ abn-3+bn-2)U0

2


an − bn
a n −1 − b n −1
U 1 − ab
U 0 nÕua ≠ b

a−b
Hay gọn hơn: U n =  a − b
nan-1U − (n − 1)a nU
nÕu
a= b
1
0


Bài tập tương tự:
1. Cho dãy số (Un) thoả mãn: U0=2, U1=3, Un=3Un-2Un-1. Tìm số hạng tổng quát Un.
2. Cho dãy số (Un) thoả mãn: a ≠ −b, a ≠ −2b,U n+1 =
qua U0 và U1.
Hướng dẫn:
1.Vn=Un-Un-1
2. Vn+1=-

b
Vn
a+b

aU n + bU n −1
, n ≥ 1 . Biểu diễn Un
a+b

Un=2n +1
b n

1 − (− a + b ) 

Un= U 0 + (U 1 − U 0 )(a + b) 
 2b + a




Phương pháp 2: Phương pháp lùi dần các số hạng.
Ví dụ1: cho dãy số(Un) thoả mãn: U0=1; Un+Un-1+6 = 0 n ≥ 1 . Tìm số hạng tổng
quát Un .
Giải: ta có Un+Un-1+6 = 0 ⇔ Un+3=-(Un-1+3)
⇒ Un+3 = -(Un-1+3) = Un-2+3 = -(Un-3+3) =…=(-1)n(U0 + 3) =(-1)n.4
Vậy: Un=(-1)n.4- 3
Ví dụ2: Cho dãy số (Un) thoả mãn: U1=2, Un+1=2-Un với n ≥ 1 . Xác định hạng tổng
quát Un .
Hướng dẫn: Un+1=2-Un ⇔ Un+1-1= - ( Un-1-1)
Đáp số: Un=(-1)n-1+1
Phương pháp 3: Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng).
Cho dãy số(Un) được xác định theo quy luật:
aUn+1+bUn+cUn-1= 0 (a ≠ 0) . Khi đó Un được xác định theo công thức: Un=
a1α n + a 2 β n . Trong đó α , β là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c= 0, a1,a2 là các
hệ số cần xác định.

b
a

Chứng minh: Theo định lý Viet α + β = − , αβ =

c
Từ aUn+1+bUn+cUn-1= 0
a

b
c
⇔ U n +1 + U n + U n −1 = 0 ⇔ U n +1 − (α + β )U n + αβ U n −1 = 0 ⇔ U n +1 − αU n = β (U n − αU n −1 )
a
a

Từ đó: U n+1 − αU n = β (U n − αU n−1 ) = β 2 (U n−1 − αU n− 2 ) = ... = β n (U 1 − αU 0 )(1)
U n +1 − βU n = α n (U 1 − β U 0 )(2)
Tương tự:
1) Nếu α ≠ β lấy (2) trừ (1) ta được:
(α − β )U n = α n (U 1 − βU 0 ) − β n (U 1 − αU 0 )
⇒ Un =

U 1 − β U 0 n αU 0 − U 1 n
α +
β = a1α n + a 2 β n
α −β
α −β

3

2) Nếu α = β thì theo ví dụ 3 phương pháp 1 :
U n = nα n −1U 1 − (n − 1)α nU 0 = a1α n + a 2 β n

Ví dụ 1: cho dãy số (Un) xác định bởi : U0=2, U1=5 và Un=5Un-1- 6Un-2 ; n ≥ 2
Tìm số hạng tổng quát Un.
Giải: Dùng phương pháp hàm sinh, xét phương trình x2-5x+6=0 có hai nghiệm là
α = 2, β = 3 ⇒ U n = a1α n + a 2 β n = a1 .2 n + a 2 .3 n

Với: n=0
Với: n=1
a = 1
⇒ 1
a 2 = 1

U0=a1+a2=2
U1=2a1+3a2=5
Vậy: U n = 2 n + 3n

Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số Phibônaxi:
U0=0, U1=1, Un+1=Un+Un-1 (n ≥ 1)
Giải: phương trình hàm sinh x2-x-1=0 có nghiệm α =

1− 5
1+ 5
,β =
2
2

Theo phương trình hàm sinh thì Un= a1 .α n + a 2 .β n

Với n=0: U0=a1+a2=0
Với n=1: U1= a1 .α + a 2 .β = 1
1
1

a1 = α − β = − 5

⇒
a = 1 = 1
2
β −α
5


1 1− 5 n
1 1+ 5 n
(
) +
(
)
2
2
5
5

Vậy: Un= −

=

1

5

[

(

1− 5 n
1 1+ 5 n
) −
(
)
2
2
5

]

Ví dụ 3: Cho dãy số (Un) xác định theo quy luật
U0=2, Un+1=3Un+ 8U n2 + 1 . Hãy xác định số hạng tổng quát Un
Giải: từ giả thiết ta có: Un+1- 3Un = 8U n2 + 1 nên
(U n +1 − 3U n ) 2 = 8U n2 + 1 hay U n2+1 + U n2 = 6U nU n +1 + 1
Tương tự U n2 + U n2−1 = 6U nU n −1 + 1
Trừ vế cho vế hai đẳng thức trên ta được: U n2+1 − U n2−1 = 6U n (U n+1 − U n−1 )
Do Un+1>3Un=9Un-1+3 8U n2 + 1 > U n−1 nên suy ra Un+1+Un-1=6Un hay Un+16Un+Un-1=0 . Theo phương pháp hàm sinh , xét phương trình x2-6x+1=0. Phương
trình này có nghiệm α = 3 + 8 , β = 3 − 8 và dạng tổng quát của Un là
U n = a1 (3 + 8 ) n + a 2 (3 − 8 ) n

Từ U0=2 và U1=6+ 33 ta suy ra a1 =

8 + 66

8 − 66
, a2 =
8
8

4


Vậy Un=

(8 + 66 )(3 + 8 ) n (8 − 66 )(3 − 8 ) n
+
8
8

Bài tập tương tự:
Xác định số hạng tổng quát Un biết:
1. U1=1,U2=3, Un+2=4Un+1-3Un
2. U1=a, U2=b, Un+2=-(Un+2Un+1)
3. U1=a, U2=b, Un+2=3Un+1+2Un
Phương pháp 4: Phương pháp quy nạp.
Ví dụ1: cho dãy số (Un) xác định bởi: U1=1, Un+1= 3Un+10 với mọi n ≥ 1
Tìm số hạng tổng quát Un.
Giải: có U1=1, U2=13=2.32-5, U3= 49=2.33-5.
Ta chứng minh Un=2.3n-5 với mọi n ≥ 1
Thật vậy giả sử Uk=2.3k-5 ta có Uk+1= 3Uk+10= 3(2.3k-5)+10 = 2.3k+1- 5 (đpcm)
Ví dụ 2: cho dãy số (Un) xác định bởi : U1=2 và Un+1=5Un với mọi n ≥ 1
Tìm số hạng tổng quát Un.
Giải: ta có U1=2, U2=10=2.52-1, U3=50=2.53-1
Giả sử Uk=2.5k-1, ta chứng minh Uk+1=2.5k.

Thật vậy: Uk+1=5Uk=5.2.5k-1=2.5k (đpcm)

3
U 1 =
3

Ví dụ 3: Cho dãy số xác định như sau: 
U = U n + 2 − 3 , n= 2,3,...
 n +1 1 + ( 3 − 2)U n

Tìm U1998.
π
π
6 = 2− 3
Giải: ta có tan =
, viết lại biểu thức Un+1 dưới dạng sau:
π
12
2+ 3
1 + cos
6
π
U n + tan
π
12 (1)
U n +1 =
U n = tan β thì từ (1) suy ra : U n +1 = tan( β + )(2)
đặt
π
12

1 − U n tan
12
π
π
3
π
= tan nên từ (2) theo nguyên lý quy nạp suy ra U n = tan( + (n − 1) )
Vì U 1 =
6
12
3
6
3
5π
+ tan
π 1997π
π
5π
π 5π
12 (3)
) = tan( + 166π + ) = tan( + ) = 3
Vậy: U 1998 = tan( +
6
12
6
12
6 12
3
5π
1−

. tan
3
12
1 − cos

5


5π
π
Do tan = cot =
12
12

π
1+
6 =
π
1 − cos
1−
6

1 + cos

Thay lại vào (3) ta được U 1998

3
2 =
3
2

= −( 2 + 3 )

2+ 3
2− 3

=

1
2− 3

= 2 + 3 (4)

Phần thứ ba
Một số bài toán hay
Ví dụ 1:Cho dãy số ( x n ) được xác định như sau:
 xn = 1

2

xn
+ xn
 x n +1 =
2009

n
xi
lim
Tìm n→+∞ ∑ x
i =1 i +1
Giải: Rõ ràng x n+1 > x n , ∀n ∈ N

Nếu ( x n ) bị chặn trên, ta đặt lim xn = x > a

(1)

x → +∞

⇒a=

2

a
+a
2009

a = 0 (vô lí)
⇒ ( x n ) không bị chặn trên
Từ (1) và (2) ⇒ lim x n = +∞

(2)

n → +∞

Hơn nữa từ:
n
 1
1
x n2
x
x
1 

1 
 ⇒ ∑ i 2009 −

+ x n ⇒ 2009( x n +1 − x n ) = x n2 ⇒ n = 2009 −
2009
x n +1
x
x
x
x
x
i
=
1
n
n
+
1
i
+
1
1
n
+
1




n

x
2009
⇒ lim ∑ i =
= 2009
n → +∞
x1
i =1 xi +1

x n +1 =

1

a1 = 2


Ví dụ 2:Cho dãy số { a n } xác định như sau: a = 1  a + a 2 + 1 
n
 n +1 2  n
4 n 

Với mọi n tự nhiên lớn hơn 1.Chứng minh dãy số { a n } hội tụ và tìm giới hạn của dãy
số .
Giải:Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh rằng a n =

6

1
π
cot n +1 (1) n = 1,2,3,...
n

2
2


Thật vậy:
1
2

Với n = 1 ta có: a1 = cot

π
vậy (1) đúng với n = 1 .
4

Giả sử (1) đúng với số tự nhiên bất kì n = k > 1 nghĩa là: a k =

1
π
cot k +1
k
2
2

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1 .Từ giả thiết quy nạp và công thức
xác định dãy có:
1
1 
 a k + a k2 + k 

2

4 
 
1  1 
π
1
⇒ a k +1 =  k cot k +1 +
1
2 2 
2
sin k +1

 
2
a k +1 =



 ⇒ a k +1 = 1 cot π tức là (1) đúng với n = k + 1 và

2 K +1
2 k +2


π
n +1
1
π
π
2 2
(1) được chứng minh .Ta có: lim a n = lim n cot n +1 = lim cos n +1 lim 2 π . =

π π
2
2
2
sin n +1
2
2
Vậy dãy ( a n ) hội tụ và lim a n = .
π
U 1 = α > 1
Ví dụ 3: cho dãy số (Un) xác định bởi: 
2
2009U n +1 = U n + 2008U n , n ≥ 1
n
Ui
lim
Hãy tính n→+∞ ∑ U − 1
i =1
i +1

Giải:
*Bằng quy nạp ta chứng minh được: U n+1 > U n ≥ α , ∀n ∈ N
Un = u ≥ α
*Nếu dãy (Un) bị chặn trên thì nó hội tụ. Đặt nlim
→ +∞
Từ 2009U n+1 = U n2 + 2008U n , n ≥ 1 cho n → +∞ ta được :
u = 1
2009u = u 2 + 2008u ⇔ u 2 = u ⇔ 
v«lÝ viu ≥ α > 1
u = 0

⇒ (U n ) không bị chặn trên ⇒ lim U n = +∞
n → +∞

⇒ 2009(U n +1 − U n ) = U n2 − U n ⇔ 2009(U n +1 − U n ) = U n (U n − 1)

* giả thiết

 1
Un
1 
 =
⇔ 2009
−
 U n − 1 U n +1 − 1  U n +1 − 1
n
 1
Ui
1 

⇒∑
= 2009
−
i =1 U i +1 − 1
 U 1 − 1 U n +1 − 1 
⇒ lim

n → +∞

n

∑U
i =1

Ui
i +1

−1

=

2009
α −1

7


Nhận xét:

α = 2 ⇒ lim

n →+∞

n

∑U
i =1

Ui
i +1

−1

=

2009
= 2009
2 −1

Có thể tổng quát bài toán. với mỗi bộ (U n +1 ,U n , α ) ta có một bài toán mới.

8