bai tap ve toa do trong khong gian luyen thi dh 2355

ONTHIONLINE.NET

BÀI TẬP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – LTĐH 2013

1) Cho d1:

x −1 y +1 z
x −1 y − 2 z
=
= ; d2 :
=
= . Viết pt mặt phẳng (P) song song với
2
1
1
1
2
1

mặt phẳng (Q): x + y – 2z + 3 = 0 và (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ
nhất
* Giải:
- (P) // (Q) => (P): x + y – 2z + d = 0

 x + y − 2z + d = 0

- Tọa độ giao điểm M cùa (P) với d1 là nghiệm cùa hệ:  x − 1 y + 1 z
=> t = - d
=
=
=

t
 2
1
1

=> M (-2d+1; -d-1; -d )
- Tương tự: giao điểm của (P) với (d2) là N(-d-2; -2d-4; -d-3)
- Ta có: MN = 2d 2 + 27 ≥ 3 3 => MNmin = 3 3 khi d = 0 . Lúc đó: M (-1; 1; 0) ,
N (-2; -4 ;3 )
* Vậy pt mặt phẳng (P) cần tìm là: x + y – 2z = 0
2) Cho (S): x2 + y2 +z2 + 2x + 4y + 6z + 4 = 0; A(2; 1; 0) , B(-1; -1; 2). Lập pt mặt phẳng (P) đi
qua hai điểm A và B và cắt (S) theo một đường tròn có chu vi 6 π .
* Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I (-1; -2; -3), bán kính R = 10
- (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r = 3 => d (I,(P)) =
-pt mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 .Ta có hệ pt:

R2 − r 2 = 1

 2a + b + d = 0

 − a − b + 2c + d = 0
 d ( I , ( P)) = 1


3a + 2b
, thay vào pt cuối ta được:
2
a
a

34
−15a − 12b = 13a 2 + 8b 2 + 12ab ⇔ 212a 2 + 136b 2 + 348ab = 0 ⇔ = −1 U = −
b
b
53
1
- Với a = - b , chọn b = -1 => a = 1 , c =
=> (P): 2x – 2y + z – 2 = 0
2
34
- Với a = b, chọn b = - 53 => a = 34 , c = - 2 => (P): 34x – 53y – 2z – 15 = 0
53
-

Từ hai pt đầu ta suy ra: d = -2a – b; c =

3) Cho (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 2z + 5 = 0 và mp (P): x – 2y – 2z – 3 = 0. Tìm điểm M thuộc
(S) và N thuộc (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
*Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1), bán kính R = 1
- Do d(I,(P)) = 2 > R => (S) không cắt (P)
- Gọi N là hình chiếu vuông góc của I trên (P), IN cắt (P) tại M, với M1, N1 bất kỳ lần lượt thuộc
(S) và (P) thì IM1 + M1N1 ≥ IN1 ≥ IN = IM + MN ⇒ M 1 N1 ≥ MN (vì IM1 = IM = R = 1)
=> MN đạt giá trị nhỏ nhất khi M1 ≡ M ; N1 ≡ N


 x = −1 − t

- Gọi d là đường thẳng qua I, d vuông góc (P) => ptts của d là:  y = 2 − 2t
 z = 1 + 2t


∈
N(-1 + t ; 2 - 2t; 1 + 2t) (P) => t = 2/3 => N( -1/3; 2/3; 7/3 ),
M(-1 + s; 2 – 2s; 1 + 2s) ∈(S) => s = 1/3 hoặc s = -1/3
-

Với s = -1/3 => M(-4/3; 8/3; 1/3) => MN = 3
Với s = 1/3 => M(-2/3; 4/3; 5/3) => MN = 1
* Vậy MN có độ dài nhỏ nhất bằng 1, lúc đó M(-2/3; 4/3; 5/3) và N( -1/3; 2/3; 7/3 )
4) Cho (P): 2x – y + 2z – 3 = 0 và (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 8z – 4 = 0. Xét vị trí tương đối
của (S) và (P). Viết pt mặt cầu (S/) đối xứng mặt cầu (S) qua mp (P)
* Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I (1; -2; 4 ), bán kính R = 5
- Do d (I, (P)) = 3 < R = 5 => (P) và (S) cắt nhau
-

 x = 1 + 2t

- Gọi J là điểm đối xứng của I qua (P). Ptts của IJ là:  y = −2 − t
 z = 4 + 2t


x = 1 + 2t


y = −2 − t

- Tọa độ giao điểm H của IJ và (P) thỏa hệ pt: 
=> t = -1 => H (-1; -1; 2)
z

=
4
+
2
t

2 x − y + 2 z − 3 = 0

- Vì H là trung điểm của IJ nên suy ra J(-3; 0; 0). Mặt cầu (S/) có tâm J, bán kính R/ = 5 nên có pt
là: (x + 3)2 + y2 + z2 = 25
5) Cho hình thang cân ABCD ( AB là đáy lớn; CD là đáy nhỏ). Với A (3; - 1; - 2), B (1; 5; 1),
C (2; 3; 3). Tìm tọa độ điểm D.
* Giải:
- ABCD là hình thang cân, nên AD = BC = 3 và AB // CD.
- Gọi d là đường thẳng đi qua C và d // AB, (S) là mặt cầu tâm A, bán kính R = 3. Điểm D cần
tìm là giao điểm của d và (S).

 x = 2 − 2t
uuu
r

Do d có vtcp AB = ( −2; 6;3) , nên có pt:  y = 3 + 6t
 z = 3 + 3t

Pt mặt cầu (S): ( x – 3)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2)2 = 9

x = 2 − 2t


y = 3 + 6t


Tọa độ điểm D thỏa hpt: 
=> t = - 1 hoặc t = - 33/49
z = 3 + 3t

( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 2 ) 2 = 9

* Với t = -1 thì D (4; -3; 0) không thỏa vì lúc đó AB = CD = 7
* Với t = -33/49 thì D ( 164/49; -51/49; 48/49) (nhận)


6) Cho d:

x −1 y − 3 z
=
= và điểm M (0; - 2; 0 ). Viết pt mặt phẳng (P) đi qua M, song song
1
1
4

với d và khoảng cách giữa d và (P) bằng 4.
* Giải:
- Do (P) đi qua M nên pt mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0

uuruu
r
 n p .ud = a + b + 4c = 0

- Từ giả thiết ta có: 
a + 3b + 2b

=4
(d , ( P)) =
2
2
2
a +b +c


- Thay b = - a – 4c vào: a + 5 ( − a − 4c ) = 4 a 2 + ( a + 4c ) + c 2
2

<=> −4a − 20c = 4 2a 2 + 17b 2 + 18ac ⇔ a 2 − 2ac − 8c 2 = 0 ⇔ a = −2c U a = 4c
- Với a = - 2c: chọn c = -1 =.> a = 2, b = 2 => (P1): 2x + 2y – z + 4 = 0
- Với a = 4c: chọn c = 1 => a = 4, b = - 8 => (P2): 4x – 8y + z – 16 = 0
* Vậy có hai pt mặt phẳng (P) cần tìm là: (P1): 2x + 2y – z + 4 = 0
(P2): 4x – 8y + z – 16 = 0
7) Cho A ( 2; 0; 0 ), H ( 1; 1; 1 ). Viết pt mặt phẳng (P) đi qua A và H sao cho (P) cắt hai trục Oy
và Oz lần lượt tại B và C thỏa điều kiện SABC = 4 6
* Giải:
- pt mặt phẳng (P):

x y z
+ + = 1( bc ≠ 0 ) , Do (P) đi qua H nên:
2 b c

1 1
1 1
+ = 1 − = ( 1)
b c
2 2

r uuur
1 uuu
S ABC =  AB, AC 
2
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
AB = ( −2; b; 0 ) , AC = ( −2; o; c ) ⇒  AB, AC  = ( bc; 2c; 2b )
1 2 2
⇒
b c + 4c 2 + 4b 2 = 4 6 ( 2 )
2
Đặt t = bc, từ (1) suy ra b + c =
= - 12
-

c
t2
, thay vào (2) ta được: t2 + 4(
- 2t ) = 384 <=> t = 16 hoặc t
2
4

Với bc = 16 và b + c = 8 => b = c =4
Với bc = - 12 và b + c = -6 =>

b = −3 − 21; c = −3 + 21 U b = −3 + 21; c = −3 − 21
* Vậy có ba mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu đề bài:

(P1): 2x + y + z – 4 = 0

(
(P ): 6 x + ( 3 −
(P2): 6 x + 3 +
1

) (
21 ) y + ( 3 +

)
21 ) z − 12 = 0

21 y + 3 − 21 z − 12 = 0


8) Cho C ( 0; 0; 2 ), K ( 6; -3; 0 ). Viết pt mặt phẳng (P) đi qua C, K sao cho (P) cắt hai trục Ox,

Oy tại A, B thỏa điều kiện VOABC = 3.
* Giải:
- Ta có pt mặt phẳng (P):

x y z
+ + = 1( ab ≠ 0 )
a b 2

6 3
− = 1 ⇔ 6b − 3a = ab
a b
ab

1
VOABC = a b 2 =
= 3 ⇔ ab = ±9
6
3

 a = 3; b = 3
 ab = 9
⇔
- Xét hệ: 
3
 a = −6; b = −
6b − 3a = 9
2


K ∈ ( P) ⇒

Ta được hai mặt phẳng : (P1): 2x + 2y + 3z – 6 = 0
(P2): x + 4y – 3z + 6 = 0
-

 ab = −9
(hệ này vô nghiệm)
6
b
−
3
a
=

−
9


Xét hệ: 

* Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán: (P1): 2x + 2y +3z – 6 = 0
(P2): x + 4y – 3z + 6 = 0
9) Cho hình chóp O.ABC, trong đó A ( 1; 2; 4 ), B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy. Mặt phẳng
·
( ABC ) vuông góc mặt phẳng ( OBC ), tan OBC
= 2 . Viết pt tham số đường thẳng BC.
*Giải:

c
= 2 ⇒ c = 2b => B ( b; 0; 0 ), C ( 0; 2b; 0 )
buuuur
uuuur
2
Mặt phẳng (OBC) có nOBC = ( 0;0;1) , mặt phẳng (ABC) có n ABC = ( 8b; 4b; 2b − 4b )
uuuur uuuur
Hai mặt phẳng này vuông góc => nOBC .nABC = 0 ⇒ 2b ( b − 2 ) = 0 ⇒ b = 2 (Vì b > 0 )
·
=2⇒
Do tan OBC

x = 2 + t

Ta có: B( 2; 0; 0 ), C( 0; 4; 0 ) => ptts của BC là:  y = −2t
 z=0


x −1 y − 3 z
=
=
10) Cho (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và d1:
2
−3
2
x−5 y z +5
= =
d2:
6
4
−5
Tìm điểm M∈d1 và điểm N ∈ d2 sao cho MN // (P) và MN cách (P) 1 khoảng bằng 2.
∈
∈
Giải:
uuuu
r M ( 1 + 2t; 3 – 3t; 2t ) d1 , N ( 5 + 6s - 2t; -3 + 4s +3t; -5 -5s -2t ) d2
MN = ( 4 + 6 s − 2t ; −3 + 4s + 3t ; −5 − 5s − 2t )
uur
nP = ( 1; −2; 2 ) , MN //( P ) ⇒ t = − s


d ( MN ,( P)) = d ( M ,( P)) =

1 + 2t − 6 + 6t + 4t − 1
1+ 4 + 4

t =1
= 2 ⇔ 12t − 6 = 6 ⇔ 
t = 0

• Với t = 1 => s = - 1 => M1 ( 3; 0; 2), N1 ( -1; -4; 0 )
• Với t = 0 => s = 0 => M2 ( 1; 3; 0), N2 ( 5; 0; -5)

x−2 y z−4
=
=
; A ( 1; 2; −1) , B ( 7; −2;3) . Tìm M ∈ d sao cho MA + MB đạt
3
−2
2
giá trị nhỏ
uuu
rnhất.
uu
r
Giải: * AB = ( 6; −4; 4 ) = 2.ud => AB // d => Xác định một mặt phẳng (P) ≡ ( AB,d)
uuur * H ( 2 + 3t; - 2t; 4 + 2t) ∈ d và A ( 1; 2; - 1)
AH = ( 1 + 3t ; −2 − 2t ;5 + 2t )
uu
r
ud = ( 3; −2; 2 )
uuur uu
r
AH .ud = 0
11) Cho d:

=> t = - 1 => H ( - 1; 2; 2), A/ đối xứng với A qua H => A/ ( - 3; 2; 5)
Tam giác A/AB có HM là đường trung bình => M ( 2; 0; 4).
12) Cho (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 8y +2z +1 = 0 và (P): x + 2y – 5z + 2 = 0. Viết pt mp (Q) song
song với trục Ox, vuông góc với (P) và cắt (S) theo 1 đường tròn có chu vi bằng 8 π .
* Giải:
- (S) có tâm I ( 3; -4; -1 ), bán kính R = 5
- Do (Q) // Ox và (Q) vuông góc (P) nên (Q) có cặp vtcp:

ur
 u1 = ( 1;0;0 )
ur uu
r
uur


⇒
u
,
u
=
0;5;
−
2
=
n
u
u
r
(
) Q => (Q): 5y + 2z + d = 0


1
2

u2 = ( 1; 2; −5 )

- (Q) cắt (S) theo đường tròn bán kính r = 4 => d (I, (Q)) =

R 2 − r 2 = 52 − 4 2 = 3 ⇔

−20 − 2 + d
5 +2
2

2

= 3 ⇔ d = 22 ± 3 29

* Vậy có hai mặt phẳng (Q) là: 5y + 2z +22 ±3 29 = 0