cac cong thuc toan hoc can ghi nho 56418

Onthionline.net

CÁC CÔNG THỨC TOÁN
§. SỐ CHĨNH HƠP-SỐ TỔ HỢP
A. Số CHĨNH HỢP
Số chĩnh hợp chập k của N ;Kí hiệu : A
k

A= N(N-1)(N-2).....(N-k+1).
N

B. Số Tổ Hợp:
Số tổ hợp chập k của N ; Kí hiệu : C
k

C = (N(N-1)(N-2)....(N-k+1))/(1.2.3.4.5.....k).
N

§. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON :
(X+Y)N = XN

+N.XN-1

.Y+N.(N-1)/(1.2).XN-2

N.(N-1)/(1.2).X2 .Y N-2

+N.X.YN-1

.Y2 +...+

+YN

= C0XN +C1XN-1.Y + C2.XN-2.Y2+...+CN-2 .YN-2.X2 +
CN-1 .X.YN-1 +CN .YN ;( Với CN =C0 )


§.CÁC CHUYÊN ĐỀ
§.CÁC PHÉP CHỨNG MINH
I. PHÉP QUY NẠP :
Đôi khi chúng ta giải các bài toán chưng minh bằng các phép chứng minh
thông thường không mang lại hiệu quả. Nhưng chúng ta có một phép chứng
minh mới : phép chứng minh đó là QUY NẠP.
Các bước của phép chứng minh quy nạp : ( Bài toán phải có điếu kiện thuộc
tập số nguyên dương. )
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1;
Bước 2: Từ giả thiết, giả sử mệnh đề đúng với n = k (k≥1)( n là số tự nhiên ).
Từ đó chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1.
Bước 3: Kết luận mệnh đề đứng với mọi số nguyên đương n.
Ví dụ: Chứng minh: A= 1+2+3+4+...+N ; với N là số nguyên.

II. PHÉP PHẢN CHỨNG :
Thông thường, chúng ta chứng minh một bài toán nào đó bằng các phép
chứng minh thông thường. Nhưng đôi khi chúng ta gặp các bài toán chứng
minh mà ta chứng minh bằng các phép chứng minh thông thường không mang
lại hiêu quả kể cả quy nạp. Thì chúng ta phải sử dụng một phép chứng minh
khác, đó là: phép phản chứng. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho
6.
Giải: Giả sử ba số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 6. Gọi ba số tự
nhiên liên tiếp đó là: 2n; 2n+1; 2n+2.

Tích của ba số tự nhiên liên tiếp: T=2n.(2n+1).(2n+2). Nhận thấy T luôn
luôn chia hết cho 2,và luôn luôn chia hết cho 3. Suy ra T luôn luôn chia hết cho
6. Trái với giả thiết. Vậy tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì
n chia hết cho 5.


Giải: Giả sử n không chia hết cho 5. Suy ra n=5k+k’ (Với k=1,2,3,4.).
Ta có: n2= ( 5k+k’)2=25k2+10k.k’+k’2 .Nhận thấy: (25k2+10k.k’)
luôn chia hết cho 5; k’2 không chia hết cho5. Suy ra n2 không chia hết cho 5.
Điều này trái với giả thiết. Vậy n chia hết cho5.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng : Nếu A(A là số tự nhiên.) chia hết cho n và
đồng thời cũng chia hết cho m (m,n ìa số tự nhiên.). Thì A chia hết cho tích của
m và n .
Giải: Giả sử A không chia hết cho tích của m và n.
Nhận thấy A vừa là bội của m, vừa là bội của n. Suy ra A là bội của (m.n)
hay Achia hết cho tích của m và n. Điều này trái với giả thiết. Suy ra: A chia hết
cho tích của m và n.
Qua nhưng ví dụ trên ta có thể rút ra các bước chứng minh bài toán bàng
phép phản chứng:
Xét mệnh đề: x X, P(x) Q(x)