bài tập dãy số môn toán 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (556.57 KB, 109 trang )
Trang 1
DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta
thực hiện như sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ≥ p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh
mệnh đề đúng với n = k + 1.
2. Dãy số
u : ¥* → ¡
n a u ( n)
Dạng khai triển:(un) = u1, u2, …, un, …
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
•(un) là dãy số tăng ⇔ un+1> un với ∀ n ∈ N*.
⇔ un+1 – un> 0 với ∀ n ∈ N* ⇔
un +1
>1
un
•(un) là dãy số giảm ⇔ un+1< un với ∀n ∈ N*.
⇔ un+1 – un< 0 với ∀ n ∈ N* ⇔
un +1
<1
un
với ∀n ∈ N*( un> 0).
với ∀n ∈ N*(un> 0).
4. Dãy số bị chặn
•(un) là dãy số bị chặn trên ⇔∃M ∈ R: un≤ M, ∀n ∈ N*.
•(un) là dãy số bị chặn dưới ⇔∃m ∈ R: un≥ m, ∀n ∈ N*.
•(un) là dãy số bị chặn ⇔∃m, M ∈ R: m ≤ un≤ M, ∀n ∈ N*.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là:
. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
−1,3,19,53
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A.
B.
C.
D.
u10 = 97
u10 = 71
u10 = 1414
u10 = 971
Câu 2: Cho dãy số
với
(a: hằng số).
là số hạng nào sau đây?
un +1
an 2
( un )
un =
n +1
Trang 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
a.n 2 + 1
an 2
un +1 =
un +1 =
n +1
n+2
Số hạng tổng quát của dãy số này là:
a. ( n + 1)
a. ( n + 1)
un +1 =
n+2
n +1
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
5;10;15; 20; 25;...
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
un = 5(n − 1)
u n = 5n
un = 5 + n
un = 5.n + 1
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
.Số hạng tổng quát của dãy số này là:
8,15, 22, 29,36,...
A.
.
B.
un = 7 n + 7
un = 7.n .
C.
.
D. : Không viết được dưới dạng công thức.
un = 7.n + 1
un
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
.Số hạng tổng quát của dãy số này là:
1 2 3 4
0; ; ; ; ;...
2 3 4 5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
n +1
n
n −1
n
−
n
un =
un =
un =
un =
n
n +1
n
n +1
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
. Số hạng tổng quát của dãy số này
0,1;0, 01;0, 001;0, 0001;...
có dạng?
A.
. B.
. C.
.
D.
.
1
1
un = 0,
00...01
u
=
0,
00...01
n
14 2 43
14 2 43
un = n −1
un = n +1
10
10
n chöõ soá 0
n−1 chöõ soá 0
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
−1;1; −1;1; −1;...
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
n
n +1
un = 1
u n = −1
un = (−1)
un = ( −1)
2
2
un +1 =
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.
C.
un = −2 n
−2;0; 2; 4;6;...
.
.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
B.
un = ( −2 ) (n + 1)
.
D.
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.
.
1 1
un = n +1
33
Câu 10: Cho dãy số
A.
C.
(n − 1)n
un =
2
B.
( un )
với
1
un = n +1
3
un = ( −2 ) + 2 ( n − 1)
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
3 32 33 34 35
.
C.
u1 = 5
un+1 = un + n
.
….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
.
D.
.
1
1
un = n
un = n −1
3
3
.Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un
.
(n + 1)n
un = 5 +
2
un = ( −2 ) + n
.
B.
.
D.
Trang 3
(n − 1)n
un = 5 +
2
.
( n + 1)( n + 2)
un = 5 +
2
.
Câu 11: Cho dãy số
đây?
A.
un = 1 + n
.
u1 = 1
2n
un +1 = un + ( −1)
B.
Câu 12: Cho dãy số
( un )
dưới đây?
A.
.
un = 2 − n
C.
.
un = 1 − n
Câu 13: Cho dãy số
đây?
A.
với
( un )
với
un = 1 − n
. Số hạng tổng quát
.
C.
u1 = 1
2 n +1
un +1 = un + ( −1)
D.
( un )
n ( n + 1) ( 2n + 1)
un = 1 +
6
u1 = 1
2
un +1 = un + n
un = 1 + ( −1)
2n
. Số hạng tổng quát
B.
với
của dãy số là số hạng nào dưới
un
un
B.
D.
un
un = n
.
của dãy số là số hạng nào
không xác định.
un = − n
. Số hạng tổng quát
.
.
với mọi
un
n
.
của dãy số là số hạng nào dưới
n ( n − 1) ( 2n + 2 )
un = 1 +
6
.
C.
.
D.
.
n ( n − 1) ( 2n − 1)
n ( n + 1) ( 2n − 2 )
un = 1 +
un = 1 +
6
6
Câu 14: Cho dãy số
với
. Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào dưới
un
u1 = 2
( un )
un+1 − un = 2n − 1
đây?
A.
un = 2 + ( n − 1)
Câu 15: Cho dãy số
.
n −1
un = −
n
Câu 16: Cho dãy số
2
.
B.
( un )
A.
A.
( un )
1
un = + 2 ( n − 1)
2
.
un = 2 + n
2
.
C.
un = 2 + ( n + 1)
2
.
D.
un = 2 − ( n − 1)
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
u1 = −2
1
un +1 = −2 − u
n
B.
.
C.
.
D.
.
n +1
n +1
n
un =
un = −
un = −
n
n
n +1
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
1
u1 =
2
un +1 = un − 2
B.
1
un = − 2 ( n − 1)
2
.
Trang 4
C.
1
un = − 2n
2
.
D.
1
un = + 2n
2
.
2
.
Câu 17: Cho dãy số
A.
( un )
n
1
un = ( −1) . ÷
2
Câu 18: Cho dãy số
.
un = n n −1
Câu19 : Cho dãy số
u1 = −1
un
un +1 = 2
B.
.
( un )
A.
A.
với
( un )
n +1
.
C.
n −1
.
D.
n −1
1
1
1
un = ( −1) . ÷
un = ÷
un = ( −1) . ÷
2
2
2
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
u1 = 2
un+1 = 2un
B.
.
C.
.
D.
.
un = 2
un = 2 n
un = 2n +1
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
1
u1 =
2
un+1 = 2un
.
D.
.
−1
un = 2 n − 2
un = n
2
Câu 20: Cho dãy số
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
(un )
n 2 + 3n + 7
un =
n +1
A.
B.
C.
D.
11 17 25 47
13 17 25 47
11 14 25 47
11 17 25 47
; ; ;7;
; ; ;7;
; ; ;7;
; ; ;8;
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1
D. Không có
Câu 22: Cho dãy số
xác định bởi:
.Viết năm số hạng đầu của dãy;
(un )
u1 = 1
un = 2un −1 + 3 ∀n ≥ 2
un = −2n −1
.
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
B.
.
−1
un = n −1
2
được xác định bởi
A. 1;5;13;28;61
Câu 23: Cho hai dãy số
B. 1;5;13;29;61
C. 1;5;17;29;61
D. 1;5;14;29;61
được xác định như sau
và
với
.
2
2
n
≥
2
(un ), (vn )
u1 = 3, v1 = 2
u
=
u
+
2
v
n +1
n
n
vn +1 = 2un .vn
Tìm công thức tổng quát của hai dãy
A.
(
) (
C.
)
(un )
u = 2 +1 + 2 −1
n
2n
1
vn =
2
+
1
− 2 −1
2 2
2n
(
C.
và
(vn )
.
B.
2n
) (
)
2n
D.
2n
2n
1
u
=
2
+
1
+
2
−
1
n 2
n
n
v = 1 2 + 1 2 − 2 − 1 2
n 3 2
(
) (
(
) (
)
)
1
un = 4
v = 1
n 2
(
2 +1
(
2 +1
2 −1
) (
2 −1
2n
−
)
2n
)
2n
2n
2n
1
u
=
2
+
1
+
2
−
1
n 2
n
n
v = 1 2 + 1 2 − 2 − 1 2
n 2 2
(
) (
(
Trang 5
) +(
2n
) (
)
)
.
Trang 6
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
un =
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm
Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
3n 2 − 2n + 1
n +1
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai
un = n − n 2 − 1
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
3n − 1
un = n
2
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
n
n + ( −1)
un =
n2
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
2n − 13
(un )
un =
3n − 2
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
(un )
n 2 + 3n + 1
un =
n +1
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
1
(un )
un =
1 + n + n2
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
(un )
2n
un =
n!
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
.
1 1
1
(un )
un = 1 + 2 + 2 + ... + 2
2 3
n
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2n + 1
un =
n+2
Trang 7
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
un = (−1)n
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
un = 3n − 1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
un = 4 − 3n − n 2
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
D. Bị chặn dưới
D. Bị chặn dưới
D. Bị chặn dưới
Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
n2 + n + 1
un = 2
n − n +1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
n +1
un =
n2 + 1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
1
1
1
un =
+
+ ... +
1.3 2.4
n.(n + 2)
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
1
1
1
un =
+
+ ... +
1.3 3.5
( 2n − 1) ( 2n + 1)
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
u1 = 1
un −1 + 2
, n≥2
un = u + 1
n −1
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
u1 = 1
3
un+1 = 3 un + 1, n ≥ 1
A. Tăng
C. Không tăng, không giảm
Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
A. Tăng
C. Không tăng, không giảm
Câu 21: dãy số
xác định bởi
(un )
D. Bị chặn dưới
D. Bị chặn dưới
D. Bị chặn dưới
D. Bị chặn dưới
D. Bị chặn dưới
B. Giảm
D. A, B, C đều sai
u1 = 2
un2 + 1
u
=
n ≥1
n +1
4
B. Giảm
D. A, B, C đều sai
(n dấu căn)Khẳng định nào sau
un = 2010 + 2010 + ... + 2010
đây là đúng?
A. Tăng
C. Không tăng, không giảm
B. Giảm
D. A, B, C đều sai
Trang 8
Câu 22: Cho dãy số
:
. Khẳng định nào sau đây đúng?
(un ) u1 = 1, u2 = 2
un = 3 un −1 + 3 un −2 , n ≥ 3
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
Câu 23: Cho dãy số
. Khi
, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
a=4
an + 2
(un ) : un =
, n ≥1
2n − 1
A.
10
14
18
22
u1 = 2, u2 = , u3 = , u4 = , u5 =
3
5
7
9
B.
10
14
18
22
u1 = 6, u2 = , u3 = , u4 = , u5 =
3
5
7
9
C.
1
1
18
22
u1 = 6, u2 = , u3 = , u4 = , u5 =
3
5
7
9
D.
10
4
8
22
u1 = 6, u2 = , u3 = , u4 = , u5 =
3
5
7
9
Câu 24: Tìm để dãy số đã cho là dãy số tăng.
a
A.
B.
C.
D.
a<2
a < −2
a<4
a < −4
Câu 25: Cho dãy số
Viết 6 số hạng đầu của dãy
u1 = 2
(un ) :
un = 3un −1 − 2, n = 2,3..
A.
u1 = 2, u2 = 5, u3 = 10, u4 = 28, u5 = 82, u6 = 244
B.
u1 = 2, u2 = 4, u3 = 10, u4 = 18, u5 = 82, u6 = 244
C.
u1 = 2, u2 = 4, u3 = 10, u4 = 28, u5 = 72, u6 = 244
D.
u1 = 2, u2 = 4, u3 = 10, u4 = 28, u5 = 82, u6 = 244
Câu 26: Cho dãy số
,
Viết 5 số hạng đầu của dãy
un = −5.2 n−1 + 3n + n + 2 n = 1, 2,...
A.
B.
C.
u1 = 1, u2 = 3, u3 = 12, u4 = 49, u5 = 170
u1 = 1, u2 = 3, u3 = 12, u4 = 47, u5 = 170
u1 = 1, u2 = 3, u3 = 24, u4 = 47, u5 = 170
D.
u1 = 1, u2 = 3, u3 = 12, u4 = 47, u5 = 178
Câu 27:
1. Cho dãy số
:
,trong đó
và n là số nguyên dương.
a ∈ (0;1)
(un ) un = (1 − a) n + (1 + a)n
a)Viết công thức truy hồi của dãy số
Trang 9
A.
B.
u1 = 2
n
n
un +1 = un + a ( 1 + a ) + ( 1 − a )
C.
u1 = 2
n
n
un +1 = un + 2a ( 1 + a ) − ( 1 − a )
D.
u1 = 2
u1 = 2
n
n
n
n
un +1 = 2un + a ( 1 + a ) − ( 1 − a )
un+1 = un + a ( 1 + a ) − ( 1 − a )
b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy
là dãy số tăng.
B. Dãy
là dãy số giảm.
(un )
(un )
C. Dãy
là dãy số không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai.
(un )
Câu 28: Cho dãy số
được xác định như sau:
.
(un )
u1 = 1
1
un = 3un −1 + 2u − 2, n ≥ 2
n −1
Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng
un > 0, ∀n
A.
B.
3
47
227
3
17
227
u1 = 1, u2 = , u3 = , u4 =
u1 = 1, u2 = , u3 = , u4 =
2
6
34
2
6
34
C.
D.
3
19
227
3
17
2127
u1 = 1, u2 = , u3 = , u4 =
u1 = 1, u2 = , u3 = , u4 =
2
6
34
2
6
34
Câu 29: Cho dãy số
được xác định bởi :
(un )
u0 = 2011
un2
u
=
n +1 u + 1 , ∀n = 1, 2,...
n
a) Khẳng định nào sau đây đúng
A. Dãy
là dãy giảm
B. Dãy
là dãy tăng
(un )
(un )
C. Dãy
là dãy không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
(un )
b) Tìm phần nguyên của
với
.
0 ≤ n ≤ 1006
un
A.
B.
C.
D.
u
=
2014
−
n
u
=
2011
−
n
u
=
2013
−
n
[ n]
[ n]
[ n]
[ un ] = 2012 − n
Câu 30: Cho dãy số
a) Gọi
a, b
(un )
được xác định bởi:
là hai nghiệm của phương trình
u1 = 2, u2 = 6
un + 2 = un + 2un +1 , ∀n = 1, 2,...
x − 2x −1 = 0
b) Chứng minh rằng:
.
un2+1 − un + 2un = (−1) n−1.8
2
Trang 10
. Chứng minh rằng:
un = a n + b n
Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
n +1
n+2
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
(un ) : un = n3 + 2n + 1
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
(un ) : un =
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
u1 = 2
(un ) :
un + 1
un +1 = 2 , ∀n ≥ 2
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:
.
u1 = 2, u2 = 3
un+1 = un + un−1 , ∀n ≥ 2
A. Tăng, bị chặn
Câu 35: Cho dãy số
B. Giảm, bị chặn
x0 = 1
( xn ) :
2n
xn = (n − 1) 2
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
. Xét dãy số
. Khẳng định nào
yn = xn +1 − xn
n −1
∑ x , n = 2,3,...
i =1
i
đúng về dãy
( yn )
A. Tăng, bị chặn
Câu 36: Cho dãy số
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
với
.Khẳng định nào sau đây là đúng?
−n
( Un )
Un =
n +1
A. Năm số hạng đầu của dãy là :
.
−1 −2 − 3 − 5 −5
; ; ; ;
2 3 4 5 6
B. 5 số số hạng đầu của dãy là :
−1 −2 −3 −4 −5 .
; ; ; ;
2 3 4 5 6
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
Câu 37: Cho dãy số
với
.Khẳng định nào sau đây là sai?
1
( un )
un = 2
n +n
A. Năm số hạng đầu của dãy là:
;
1 1 1 1 1
; ; ; ;
2 6 12 20 30
B. Là dãy số tăng.
C. Bị chặn trên bởi số
.
1
M=
2
D. Không bị chặn.
Câu 38: Cho dãy số
với
.Khẳng định nào sau đây là sai?
−1
( un )
un =
n
Trang 11
D. Giảm, chặn trên
A. Năm số hạng đầu của dãy là :
−1;
−1 −1 −1 −1 .
; ; ;
2 3 4 5
B. Bị chặn trên bởi số
.
M = −1
C. Bị chặn trên bởi số
.
M =0
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m
Câu 39: Cho dãy số
A. Dãy số có
C. Với
( un )
( un )
( un )
a −1
un +1 =
(n + 1) 2
B. Hiệu số
với
un =
a −1
un +1 = 2
n +1
C. Là dãy số tăng.
Câu 41: Cho dãy số
A.
(
un = a.3n a
.
un +1 = a.3n +1
thì dãy số tăng
a>0
Câu 40: Cho dãy số
A. Dãy số có
với
a −1
n2
.
un +1 − un = 3.a
D. Với
thì dãy số giảm.
a<0
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
.
B. Dãy số có :
un +1 =
với
(
a −1 a
un = 2
n
.
( n + 1)
un +1 − un = ( a − 1) .
( n + 1)
2
.
2
D. Là dãy số tăng.
: hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
un +1 − un = ( 1 − a ) .
2n − 1
.
a −1
B. Hiệu
C. Hiệu
Câu 42: Cho dãy số
.
M = −1
: hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
D. Dãy số tăng khi
a <1
2n − 1
( n + 1)
2
n2
.
n2
( : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
an 2 a
un =
n +1
A.
.
B.
.
2
2
a. ( n + 3n + 1)
a. ( n + 1)
un+1 − un =
un +1 =
(n + 2)(n + 1)
n+2
C. Là dãy số luôn tăng với mọi .
D. Là dãy số tăng với
.
a
a>0
Câu 43: Cho dãy số
với
( : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
k k
( un )
un = n
3
A. Số hạng thứ của dãy số là .
B. Số hạng thứ của dãy số là
.
n
5
k
k
35
3n +1
C. Là dãy số giảm khi
.
D. Là dãy số tăng khi
.
k >0
k >0
Câu 44: Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n −1
u
(
−
1)
( n)
un =
n +1
( un )
với
Trang 12
.
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
1
10
.
B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
C. Đây là một dãy số giảm.
Câu 45: Cho dãy số
( un )
có
D. Bị chặn trên bởi số
với
n∈ N*
un = n − 1
A. 5 số hạng đầu của dãy là:
.
0;1; 2; 3; 5
C. Là dãy số tăng.
Câu 45: Cho dãy số
( un )
có
un = − n 2 + n + 1
A. 5 số hạng đầu của dãy là:
M =1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
B. Số hạng
.
un +1 = n
D. Bị chặn dưới bởi số
0
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
−1;1;5; −5; −11; −19
.
.
.
B.
.
un +1 = − n 2 + n + 2
C.
.
un −1 − un = 1
D. Là một dãy số giảm.
Câu 46: Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây là sai?
−
1
( un )
un = 2
n +1
A.
.
B.
.
−1
un > un +1
un +1 =
2
( n + 1) + 1
C. Đây là một dãy số tăng.
D. Bị chặn dưới.
Câu 47: Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây là sai?
π
( un )
un = sin
n +1
A. Số hạng thứ
của dãy:
B. Dãy số bị chặn.
n +1
π
un +1 = sin
n+2
C. Đây là một dãy số tăng.
D. Dãy số không tăng không giảm.
Trang 13
−1
11
.
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là:
. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
−1,3,19,53
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A.
B.
C.
D.
u10 = 97
u10 = 71
u10 = 1414
u10 = 971
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Xét dãy
có dạng:
(un )
un = an3 + bn 2 + cn + d
Ta có hệ:
a + b + c + d = −1
8a + 4b + 2c + d = 3
27 a + 9b + 3c + d = 19
64a + 16b + 4c + d = 53
Giải hệ trên ta tìm được:
a = 1, b = 0, c = −3, d = 1
là một quy luật.
⇒ un = n3 − 3n + 1
Số hạng thứ 10:
.
u10 = 971
Câu 2: Cho dãy số
với
(a: hằng số).
là số hạng nào sau đây?
2
u
an
( un )
n +1
un =
n +1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
a.n 2 + 1
an 2
a. ( n + 1)
a. ( n + 1)
un +1 =
un +1 =
un +1 =
un +1 =
n +1
n+2
n+2
n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có
.
2
2
a. ( n + 1)
a ( n + 1)
un +1 =
=
( n + 1) + 1 ( n + 2 ) 2
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.
un = 5(n − 1)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
5 = 5.1
10 = 5.2
15 = 5.3
20 = 5.4
25 = 5.5
.
B.
u n = 5n
5;10;15; 20; 25;...
.
C.
Trang 14
Số hạng tổng quát của dãy số này là:
un = 5 + n
.
D.
un = 5.n + 1
.
Suy ra số hạng tổng quát
.
u n = 5n
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.
un = 7 n + 7
.
8,15, 22, 29,36,...
B.
.Số hạng tổng quát của dãy số này là:
un = 7.n .
D. : Không viết được dưới dạng công thức.
un
C.
.
un = 7.n + 1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
8 = 7.1 + 1
15 = 7.2 + 1
22 = 7.3 + 1
29 = 7.4 + 1
36 = 7.5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát
.
un = 7 n + 1
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.
.Số hạng tổng quát của dãy số này là:
1 2 3 4
0; ; ; ; ;...
2 3 4 5
B.
.
C.
.
D.
.
2
n
n −1
n
−
n
un =
un =
un =
n +1
n
n +1
.
n +1
un =
n
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
0
0=
0 +1
1
1
=
2 1+1
2
2
=
3 2 +1
3
3
=
4 3 +1
4
4
=
5 4 +1
Suy ra
.
n
un =
n +1
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
0,1;0, 01;0, 001;0, 0001;...
có dạng?
A.
un =
. Số hạng tổng quát của dãy số này
. B.
. C.
.
1
0,
00...01
u
=
0,
00...01
n
14 2 43
14 2 43
un = n −1
10
n chöõ soá 0
n−1 chöõ soá 0
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
Số hạng thứ có chữ số
1
1
0
Trang 15
D.
1
un = n +1
10
.
Số hạng thứ
2
Số hạng thứ
có
2
có
chữ số
0
chữ số
3
3
0
…………………………….
Suy ra
có chữ số .
n
0
un
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.
un = 1
.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
−1;1; −1;1; −1;...
B.
.
C.
.
D.
.
n +1
u n = −1
un = (−1) n
un = ( −1)
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Các số hạng đầu của dãy là
( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1)
1
2
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
A.
un = −2 n
3
4
−2;0; 2; 4;6;...
.
5
.
un = ( −2 ) (n + 1)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là
D.
2
un = ( −2 ) + n
.
un = ( −2 ) + 2 ( n − 1)
và số hạng đầu tiên là
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
3 32 33 34 35
.
C.
A.
.
.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
B.
C.
;... ⇒ un = ( −1)
n
( −2 )
.
nên
.
un = ( −2 ) + 2. ( n − 1)
….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
.
B.
.
D.
.
1 1
1
1
1
un = n +1
un = n +1
un = n
un = n −1
33
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
5 số hạng đầu là
nên
.
1
1 1 1 1 1
un = n
; ; ; ; ;...
3
31 32 33 34 35
Câu 10: Cho dãy số
với
.Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un
u1 = 5
( un )
un+1 = un + n
A.
C.
(n − 1)n
un =
2
.
(n + 1)n
un = 5 +
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
B.
.
D.
Trang 16
(n − 1)n
un = 5 +
2
.
( n + 1)( n + 2)
un = 5 +
2
.
Ta có
.
n ( n − 1)
un = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n − 1 = 5 +
2
Câu 11: Cho dãy số
với
. Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào dưới
u
u
=
1
u
( n)
n
1
2n
un +1 = un + ( −1)
đây?
A.
un = 1 + n
.
B.
un = 1 − n
.
C.
un = 1 + ( −1)
2n
.
D.
un = n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
Dễ dàng dự đoán được
.
2n
u
=
n
un +1 = un + ( −1) = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4;...
n
Thật vậy, ta chứng minh được
+ Với
n = 1 ⇒ u1 = 1
+ Giả sử
( *)
. Vậy
( *)
un = n ( *)
đúng với
đúng với mọi
( un )
với
n =1
n = k ( k ∈¥* )
, tức là:
n = k +1
uk +1 = k + 1
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số
.
n ∈ ¥*
Câu 12: Cho dãy số
bằng phương pháp quy nạp như sau:
, ta có:
( un )
ta có:
u1 = 1
2 n +1
un +1 = un + ( −1)
uk = k
. Ta đi chứng minh
uk +1 = uk + ( −1)
2k
( *)
. Vậy
= k +1
. Số hạng tổng quát
un
( *)
cũng đúng với
đúng với mọi
của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
A.
.
B.
không xác định.
un = 2 − n
un
C.
.
D.
với mọi .
n
un = 1 − n
un = − n
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
,.. Dễ dàng dự đoán được
.
u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2
un = 2 − n
Câu 13: Cho dãy số
với
. Số hạng tổng quát
của dãy số là số hạng nào dưới
u
=
1
u
u
( n)
1
n
2
un +1 = un + n
đây?
A.
.
B.
.
n ( n + 1) ( 2n + 1)
n ( n − 1) ( 2n + 2 )
un = 1 +
un = 1 +
6
6
C.
.
D.
.
n ( n − 1) ( 2n − 1)
n ( n + 1) ( 2n − 2 )
un = 1 +
un = 1 +
6
6
Trang 17
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
. Cộng hai vế ta được
n ( n − 1) ( 2n − 1)
u1 = 1
2
un = 1 + 12 + 22 + ... + ( n − 1) = 1 +
2
6
u2 = u1 + 1
2
u3 = u2 + 2
...
u = u + ( n − 1) 2
n −1
n
Câu 14: Cho dãy số
đây?
A.
un = 2 + ( n − 1)
( un )
2
.
với
u1 = 2
un+1 − un = 2n − 1
B.
un = 2 + n 2
. Số hạng tổng quát
.
C.
un
của dãy số là số hạng nào dưới
un = 2 + ( n + 1)
2
.
D.
un = 2 − ( n − 1)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
. Cộng hai vế ta được
2
u1 = 2
un = 2 + 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 3) = 2 + ( n − 1)
u = u + 1
1
2
u3 = u2 + 3
...
un = un −1 + 2n − 3
Câu 15: Cho dãy số
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
u1 = −2
( un )
1
un +1 = −2 − u
n
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
n −1
n +1
n +1
n
un = −
un =
un = −
un = −
n
n
n
n +1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Dễ dàng dự đoán được
.
3
4
5
n +1
u1 = − ; u2 = − ; u3 = − ;...
un = −
2
3
4
n
Câu 16: Cho dãy số
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
1
( un )
u1 =
2
un +1 = un − 2
A.
1
un = + 2 ( n − 1)
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
.
B.
1
un = − 2 ( n − 1)
2
.
C.
Trang 18
1
un = − 2n
2
.
D.
1
un = + 2n
2
.
2
.
Ta có:
1
u1 = 2
u2 = u1 − 2
u3 = u2 − 2
...
un = un −1 − 2
Câu 17: Cho dãy số
A.
. Cộng hai vế ta được
( un )
n
với
u1 = −1
un
un +1 = 2
B.
.
1
un = ( −1) . ÷
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta
có:
1
1
un = − 2 − 2... − 2 = − 2 ( n − 1)
2
2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
n +1
.
C.
1
un = ( −1) . ÷
2
u1 = −1
u2 = u1
2
u2
u3 =
2
...
un = un −1
2
.
.
n −1
.
D.
1
un = ÷
2
Nhân
hai
n −1
vế
ta
được
n −1
u .u .u ...u
1
1
u1.u2 .u3 ...un = ( −1) . 1 2 3 n −1 ⇔ u n = ( −1) . n −1 = ( −1) . ÷
2.2.2...2
2
2
14 2 43
n −1 lan
Câu 18: Cho dãy số
A.
n −1
.
( un )
với
u1 = 2
un+1 = 2un
B.
.
n
un = 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
C.
n +1
.
un = n
un = 2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
. Nhân hai vế ta được
u1.u2 .u3 ...un = 2.2n −1.u1.u2 ...un−1 ⇔ un = 2 n
u1 = 2
u = 2u
1
2
u3 = 2u2
...
un = 2un −1
Trang 19
.
1
un = ( −1) . ÷
2
D.
un = 2
.
Câu19 : Cho dãy số
A.
un = −2n −1
( un )
với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
1
u1 =
2
un+1 = 2un
B.
.
C.
.
D.
.
−1
−1
un = 2 n − 2
un = n −1
un = n
2
2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
. Nhân hai vế ta được
1
1
u1.u2 .u3 ...un = .2 n −1.u1.u2 ...un −1 ⇔ u n = 2 n − 2
u1 = 2
2
u2 = 2u1
u3 = 2u2
...
un = 2un −1
Câu 20: Cho dãy số
được xác định bởi
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
(un )
n 2 + 3n + 7
un =
n +1
A.
B.
C.
D.
11 17 25 47
13 17 25 47
11 14 25 47
11 17 25 47
; ; ;7;
; ; ;7;
; ; ;7;
; ; ;8;
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
2 3 4
6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có năm số hạng đầu của dãy
,
1 + 3.1 + 7 11 u = 17 , u = 25 , u = 7, u = 47
=
2
3
4
5
3
4
6
1+1
2
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2
B. 4
C. 1
D. Không có
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
, do đó
nguyên khi và chỉ khi
nguyên hay
là ước của 5. Điều đó
n +1
5
5
un
un = n + 2 +
n +1
n +1
xảy ra khi
n +1 = 5 ⇔ n = 4
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là
.
u4 = 7
u1 =
Câu 22: Cho dãy số
(un )
2
xác định bởi:
.Viết năm số hạng đầu của dãy;
u1 = 1
un = 2un −1 + 3 ∀n ≥ 2
B. 1;5;13;29;61
C. 1;5;17;29;61
D. 1;5;14;29;61
A. 1;5;13;28;61
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
Trang 20
;
u1 = 1; u2 = 2u1 + 3 = 5 u3 = 2u2 + 3 = 13; u4 = 2u3 + 3 = 29
.
u5 = 2u4 + 3 = 61
Câu 23: Cho hai dãy số
được xác định như sau
và
với
.
2
2
n
≥
2
(un ), (vn )
u1 = 3, v1 = 2
u
=
u
+
2
v
n +1
n
n
vn +1 = 2un .vn
Tìm công thức tổng quát của hai dãy
A.
(
) (
)
2
2
un = 2 + 1 + 2 − 1
2n
1
vn =
2 +1 − 2 −1
2 2
n
(
C.
(un )
và
(vn )
.
B.
n
) (
)
2n
D.
2n
2n
1
u
=
2
+
1
+
2
−
1
n 2
n
n
v = 1 2 + 1 2 − 2 − 1 2
n 3 2
(
) (
(
)
) (
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Chứng minh
un − 2vn =
(
)
2 −1
2n
•
Giả sử
uk − 2vk =
(
)
2 −1
(
2k
)
2 −1
2
nên (2) đúng với
(
.
∀n ≥ 1
Theo kết quả bài trên và đề bài ta có:
(
)
(
) ( )
(
) ( )
2
2
2
u
=
2
+
1
+
2
−
1
n
2n
2 2v = 2 + 1 − 2 − 1
n
n
(
2
) =(
2
)
2 +1
n
2n
Trang 21
+
2n
)
2n
2 −1
2 −1
) (
n =1
Vậy (2) đúng với
un + 2vn =
2n
) −(
, ta có:
uk +1 − 2vk +1 = uk − 2vk
Do đó ta suy ra
(
2 +1
(2)
(
u1 − 2v1 = 3 − 2 2 =
) (
(
un − 2vn = un2−1 + 2vn2−1 − 2 2un −1vn −1 = un −1 − 2vn −1
Ta có:
(
2 +1
2n
)
2n
2n
1
u
=
2
+
1
+
2
−
1
n 2
n
n
v = 1 2 + 1 2 − 2 − 1 2
n 2 2
)
Ta có:
•
1
un = 4
v = 1
n 2
2n
)
2 −1
2k +1
) (
)
)
Hay
2n
2n
1
u
=
2
+
1
+
2
−
1
n 2
n
n
v = 1 2 + 1 2 − 2 − 1 2
n 2 2
(
) (
(
) (
)
.
)
Trang 22
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
un =
3n 2 − 2n + 1
n +1
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
nên dãy
là dãy tăng
(un )
5n 2 + 10n + 2
un +1 − un =
>0
( n + 1) ( n + 2 )
Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
un = n − n 2 − 1
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
1
un +1 − un =
−
<0
2
2
n
+
n
−
1
( n + 1) + ( n + 1) − 1
Chọn B.
Nên dãy
giảm.
(un )
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
un =
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
dãy
(un )
3 +1
>0⇒
2n +1
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
un +1 − un = un +1 − un =
n
3n − 1
2n
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai
tăng.
n + ( −1)
un =
n2
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai
n
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Dãy số không tăng không giảm.
1
2 u2 > u1
u1 = 0; u2 = ; u3 = ⇒
⇒
2
9
u3 < u2
Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
(un )
, biết:
Trang 23
un =
2n − 13
3n − 2
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
với mọi
.
n ≥1
2n − 11 2n − 13
34
un +1 − un =
−
=
>0
3n + 1 3n − 2 (3n + 1)(3n − 2)
Suy ra
dãy
là dãy tăng.
un +1 > un ∀n ≥ 1 ⇒
(un )
Mặt khác:
2
35
2
un = −
⇒ −11 ≤ un <
∀n ≥ 1
3 3(3n − 2)
3
Vậy dãy
là dãy bị chặn.
(un )
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
(un )
n 2 + 3n + 1
un =
n +1
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
( n + 1) 2 + 3( n + 1) + 1 n 2 + 3n + 1
un +1 − un =
−
n+2
n +1
2
2
n + 5n + 5 n + 3n + 1
=
−
n+2
n +1
2
(n + 5n + 5)(n + 1) − ( n 2 + 3n + 1)( n + 2)
=
(n + 1)(n + 2)
n 2 + 3n + 3
> 0 ∀n ≥ 1
(n + 1)(n + 2)
dãy
là dãy số tăng.
⇒ un +1 > un ∀n ≥ 1 ⇒
(un )
dãy
bị chặn dưới.
(un )
n 2 + 2n + 1
un >
= n +1 ≥ 2 ⇒
n +1
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
(un )
=
un =
1
1 + n + n2
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
un > 0 ∀n ≥ 1
un+1
n2 + n + 1
n2 + n + 1
=
=
< 1 ∀n ∈ ¥ *
un
n 2 + 3n + 3
(n + 1) 2 + ( n + 1) + 1
dãy
là dãy số giảm.
⇒ un+1 < un ∀ ≥ 1 ⇒
(un )
Trang 24
Mặt khác:
dãy
là dãy bị chặn.
0 < un < 1 ⇒
(un )
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
(un )
, biết:
2n
un =
n!
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
un +1
2n +1 2n
2n +1 n !
2
=
: =
. n =
< 1 ∀n ≥ 1
un
( n + 1)! n ! (n + 1)! 2
n +1
Mà
dãy
là dãy số giảm.
un > 0 ∀n ⇒ un +1 < un ∀n ≥ 1 ⇒
(un )
Vì
dãy
là dãy bị chặn.
0 < un ≤ u1 = 2 ∀n ≥ 1 ⇒
(un )
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
, biết:
.
1 1
1
(un )
un = 1 + 2 + 2 + ... + 2
2 3
n
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1
un +1 − un =
>0⇒
(n + 1) 2
dãy
(un )
là dãy số tăng.
Do
1
1
1
1
+
+ ... +
= 2+
1.2 2.3
( n − 1)n
n
dãy
là dãy bị chặn.
⇒ 1 < un < 3 ∀n ≥ 1 ⇒
(un )
un < 1 +
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2n + 1
n+2
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
un = (−1)n
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
un =
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có
nên dãy
bị chặn
0 < un < 2 ∀n
(un )
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
A. Bị chặn
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
là dãy bị chặn
−1 ≤ un ≤ 1 ⇒ (un )
Trang 25
