BÀI TẬP DÃY SỐ CASIO

Dãy Số CaSiO
Tìm số hạng thứ n của dãy số?
VD1: Cho U
1
= 8; U
2
= 13; U
n+2
= U
n+1
+U
n
(n
≥
2)
a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính U
n
?
b) Áp dụng quy trình trên để tính U
13
, U
17
?
Cách làm:
8 → A
13 → B
B+A → A
A +B→ B
Gán 8 vào ô nhớ A (U
1
)

Gán 13 vào ô nhớ B (U
2
)
Dòng lệnh 1 (U
3
)
Dòng lệnh 2 (U
4
)
#

IFTSH
# =
...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu
=
n – 4 lần và đọc kết
quả. (U
13
= 2 584; U
17
= 17 711)
VD2: Cho U
1
= 1; U
2
= 2; U
n+2
= 2U
n+1

- 4U
n
(n
≥
2)
a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính U
n
?
b) Áp dụng quy trình trên để tính U
15
,U
16
, U
17
?
Cách làm:
1 → A
2 → B
2B - 4A → A
2A - 4B → B
Gán 1 vào ô nhớ A (U
1
)
Gán 2 vào ô nhớ B (U
2
)
Dòng lệnh 1 (U
3
)
Dòng lệnh 2 (U

4
)
#

IFTSH
# =
...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu
=
n – 4 lần và đọc kết
quả. (U
15
= 0; U
16
= -32 768; U
17
= - 65 536)
VD3: Cho U
1
= 1; U
2
= 2; U
3
= 3; U
n+3
= 2U
n+2
- 3U
n+1
+2U

n
(n
≥
2)
a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính U
n
?
b) Áp dụng quy trình trên để tính U
19
,U
20
, U
66,
U
67
, U
68
?
c) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy (S
20
)?
Cách làm:Câua+b)
1 → A
2 → B
3 → C
2C – 3B + 2A → A
Gán 1 vào ô nhớ A (U
1
)
Gán 2 vào ô nhớ B (U

2
)
Gán 3 vào ô nhớ C (U
3
)
DL1:U
4
= 2U
3
- 3U
2
+2U
1

2A – 3C + 2B → B
2B – 3A + 2C → C
DL2:U
5
= 2U
4
- 3U
3
+2U
2

DL3:U
6
= 2U
5
- 3U

4
+2U
3

#

#
IFTSH
# =
...
Đưa 3 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu
=
n – 6 lần và đọc
kết quả. (U
19
= 315; U
20
= -142;
U
66
= 2 777 450 630; U
67
= -3 447965 925;
U
68
= -9 002 867 128 )
Bài 1:
Cho dãy số a1 = 3; a
n + 1
=

3
3
1
n n
n
a a
a
+
+
.
a) Lập quy trình bấm phím tính a
n + 1

b) Tính a
n
với n = 2, 3, 4, ..., 10
Bài 2:
Cho dãy số x
1
=
1
2
;
3
1
1
3
n
n
x

x
+
+
=
.
a) Hãy lập quy trình bấm phím tính x
n + 1
b) Tính x
30
; x
31
; x
32
Bài 3: Cho dãy số
1
4
1
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+
(n ≥ 1)
a) Lập quy trình bấm phím tính x
n + 1

với x
1
= 1 và tính x
100
.
b) Lập quy trình bấm phím tính x
n + 1
với x
1
= -2 và tính x
100
.
Bài 4: Cho dãy số
2
1
2
4 5
1
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+
(n ≥ 1)
a) Cho x

1
= 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của x
n + 1
b) Tính x
100
Bài 5: Cho dãy số
( ) ( )
5 7 5 7
2 7
n n
n
U
+ − −
=
với n = 0; 1; 2; 3; ...
a) Tính 5 số hạng đầu tiên U
0
, U
1
, U
2
, U
3
, U
4
b) Chứng minh rằng U
n + 2
= 10U
n + 1
– 18U

n
.
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n + 2
theo U
n + 1
và U
n
.
HD giải:
a) Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được
U
0
= 0, U
1
= 1, U
2
= 10, U
3
= 82, U
4
= 640
b) Chứng minh: Giả sử U
n + 2
= aU
n + 1
+ bU
n
+ c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình:

2 1 0
3 2 1
4 3 2
10
10 82
82 10 640
U aU bU c
a c
U aU bU c a b c
a b c
U aU bU c
= + +
+ =


 
= + + ⇔ + + =
 
 
+ + =
= + +


Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0
c) Quy trình bấm phím liên tục tính U
n + 2
trên máy Casio 570MS , Casio 570ES
Đưa U
1
vào A, tính U

2
rồi đưa U
2
vào B
1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B,
lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp U
n + 2
với n = 2, 3, ...
x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U
3
)
x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U
4
)
Bài 6: Cho dãy số
3 5 3 5
2
2 2
n n
n
U
   
+ −
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
với n = 1; 2; 3; ...
a) Tính 5 số hạng đầu tiên U
1

, U
2
, U
3
, U
4
, U
5
b) Lập công thức truy hồi tính U
n + 1
theo U
n
và U
n – 1
.
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n + 1
trên máy Casio
Bài 7:
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức

32
)313()313(
nn
n
U
−−+
=
với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
a) Tính

87654321
,,,,,,, UUUUUUUU
b) Lập công thức truy hồi tính
1
+
n
U
theo
n
U
và
1
−
n
U
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính
1
+
n
U
theo
n
U
và
1
−
n
U
Bài 8:
Cho dãy số

{ }
n
U
được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ
U
0
= U
1
= 1.
a) Lập một quy trình tính u
n
.
b) Tính các giá trị của U
n
với n = 1; 2; 3; ...; 9
c) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh.
Hướng dẫn giải:
a) Dãy số có dạng: U
0
= U
1
= 1, U
n + 2
= U
n + 1
. U
n
+ 1, (n =1; 2; ...)
Quy trình tính U
n

trên máy tính Casio 500MS trở lên:
1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím
x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B
b) Ta có các giá trị của U
n
với n = 1; 2; 3; ...; 9 trong bảng sau:
U
0
= 1 U
1
= 1 U
2
= 2 U
3
= 3 U
4
= 7
U
5
= 22 U
6
= 155 U
7
= 3411 U
8
= 528706 U
9
= 1803416167
Bài 9:
Cho dãy số U

1
= 1, U
2
= 2, U
n + 1
= 3U
n
+ U
n – 1
. (n ≥ 2)
a) Hãy lập một quy trình tính U
n + 1
bằng máy tính Casio
b) Tính các giá trị của U
n
với n = 18, 19, 20
Bài 10:
Cho dãy số U
1
= 1, U
2
= 1, U
n + 1
= U
n
+ U
n – 1
. (n ≥ 2)
c) Hãy lập một quy trình tính U
n + 1

bằng máy tính Casio
d) Tính các giá trị của U
n
với n = 12, 48, 49, 50
ĐS câu b)
U
12
= 144, U
48
= 4807526976, U
49
= 7778742049 , U
49
= 12586269025
Bài 11:
Cho dãy số sắp thứ tự với U
1
= 2, U
2
= 20 và từ U
3
trở đi được tính theo công thức U
n + 1
= 2U
n
+ U
n + 1

(n ≥ 2).
a) Tính giá trị của U

3
, U
4
, U
5
, U
6
, U
7
, U
8
b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính U
n
c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của U
n
với n = 22; 23, 24, 25
Bài 13/Cho dãy u
1
= 8, u
2
= 13, u
n+1
= u
n
+ u
n-1
(n
≥
2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính u

n+1
?
b. Sử dụng qui trình trên tính u
13
, u
17
?

14 /Cho dãy u
1
= 8, u
2
= 13, u
n+1
= 3u
n
+ 2u
n-1
(n
≥
2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính u
n+1
?
15 /Cho dãy u
1
= 1, u
2
= 2,
2 2
n 1 n n 1

u u u
+ −
= +
(n
≥
2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính u
n+1
?
b. Tính u
7
?
c /Cho dãy u
1
= 1, u
2
= 2,
2 2
n 1 n n 1
u 3u 2u
+ −
= +
(n
≥
2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính u
n+1
?
d/ Cho u
1
= u

2
= 1; u
3
= 2; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
+ u
n-2
(với n
≥
3).
14 / Cho u
1
= 4; u
2
= 5,
2
n n 1
n 1
5u 1 u 2
u
3 5
−
+
+ +
= −
. Lập qui trình ấn phím tính u

n+1
?
Bài 16: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u
1
= 144; u
2
= 233; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
.
a. Lập một qui trình bấm phím để tính u
n+1
.
b. Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số
3 6
2 4
1 2 3 5
u u
u u
; ; ;
u u u u
Bài 17: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u
1
= 2; u
2
= 20; u
n+1

= 2u
n
+ u
n-1
.
a. Tính u
3
;

u
4
; u
5
; u
6
; u
7
.
b. Viết qui trình bấm phím để tính u
n
.
c. Tính giá trị của u
22
; u
23
; u
24
; u
25
.

Bài 18: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho dãy số
( ) ( )
n n
n
2 3 2 3
u
2 3
+ − −
=
a. Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b. Lập công thức truy hồi để tính u
n+2
theo u
n+1
và u
n
.
c. Lập một qui trình tính u
n
.
d. Tìm các số n để u
n
chia hết cho 3.
Bài 19: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho u
0
= 2; u
1
= 10; u
n+1
= 10u

n
– u
n-1
.
a. Lập một quy trình tính u
n+1
b. Tính u
2
; u
3
; u
4
; u
5
, u
6
c. Tìm công thức tổng quát của u
n
.
Bài 20: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u
1
= u
2
= 1;
2 2
n 1 n n 1
u u u
+ −
= +
. Tìm số dư của u

n
chia cho 7.
Bài 21: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u
1
= 1; u
2
= 3, u
n+2
= 2u
n+1
– u
n+1
. Chứng minh:
A=4u
n
.u
n+2
+ 1 là số chính phương.
Bài 22: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a
1
= 2000, a
2
= 2001 và a
n+2
= 2a
n+1
– a
n
+ 3 với n = 1,2,3… Tìm
giá trị a

100
?
Bài 23: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số u
n
được xác định bởi: u
1
= 5; u
2
= 11 và u
n+1
=
2u
n
– 3u
n-1
với mọi n = 2, 3,…. Chứng minh rằng:
a. Dãy số trên có vô số số dương và số âm.
b. u
2002
chia hết cho 11.
Bài 24(Thi giỏi toán, 1995)Dãy u
n
được xác định bởi:
u
0
= 1, u
1
= 2 và u
n+2
=

n 1 n
n 1 n
u 9u ,n 2k
9u 5u , n 2k 1
+
+
+ =


+ = +

với mọi n = 0, 1, 2, 3, ….
Chứng minh rằng:
a.
2000
2
k
k 1995
u
=
∑
chia hết cho 20
b. u
2n+1
không phải là số chính phương với mọi n.
Bài 25: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u
1
= u
2
= 7; u

n+1
= u
1
2
+ u
n-1
2
. Tính u
7
=?
Bài 26: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)
Cho dãy u
1
= u
2
= 11; u
3
= 15; u
n+1 =
−
−
−
+ +
2
n n 1
n 1 n
5u u
3 u 2 u
với n
≥

3
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ u
n
của dãy?
b. Tìm số hạng u8 của dãy?
Bài 27: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)
Cho dãy u
1
= 5; u
2
= 9; u
n +1
= 5u
n
+ 4u
n-1
(n
≥
2).
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ u
n
của dãy?
b. Tìm số hạng u
14
của dãy?
Bài 28: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005)
a.Cho
1 n+1 n
u =1,1234 ; u =1,0123.u (n N; n 1)∈ ≥
. Tính

50
u
?
b. Cho
2
n
1 n+1
2
n
3u +13
u =5 ; u = (n N; n 1)
u +5
∈ ≥
. Tính
15
u
?
c. Cho u
0
=3 ; u
1
= 4 ; u
n
= 3u
n-1
+ 5u
n-2
(n
≥
2). Tính u

12
?
Bài 29: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định bởi công thức
2
n
n 1
2
n
4x 5
x
x 1
+
+
=
+
, n là số tự nhiên, n
>= 1. Biết x
1
= 0,25. Viết qui trình ấn phím tính x
n
? Tính x
100
?
Bài 30 /Cho dãy số U
n
xác định bởi:
U
1
=1
U

n+1
=5U
n
-2n
Tính U
20
và tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Bài 31. (5 điểm)Cho dóy số với số hạng tổng quỏt được cho bởi cụng thức :
( ) ( )
n n
n
13+ 3 - 13- 3
U =
2 3
với n = 1, 2, 3, ……, k, …..
a) Tớnh U
1
, U
2
,U
3
,U
4
,U
5
,U
6
,U
7
,U

8
b) Lập cụng thức truy hồi tớnh U
n+1

theo U
n
và U
n-1
c) Lập quy trỡnh ấn phớm liờn tục tớnh U
n+1

theo U
n
và U
n-1
Bài 32 Cho dãy số (
n
u
) được xác định như sau:

2
1
1
1
=
u
;
3
1
2

2
=
u
;
nnn
uuu 23
12
−=
++
với mọi
*
Nn
∈
. Tính
25
u
?
Bài 33 Dãy số u
n
được xác định như sau: u
0
= 1; u
1
= 1; u
n+1
= 2u
n
- u
n-1
+ 2, với n = 1, 2, …

1) Lập một qui trình bấm phím để tính u
n
;
2) Tính các giá trị của u
n
, khi n = 1, 2, …,20.
Câu 34 Cho u
1
=a; u
2
=b; u
n+1
=Mu
n
+Nu
n-1
. Lập quy trình bấm phím tính u
n
và tính u
13
; u
14
; u
15
với a=2; b=3;
M=4; N=5.
Câu 35):
Cho U
n+1
= U

n
+ U
n-1
, U
1
= U
2
= 1. Tính U
25
Bài 36 Cho u
0
=1; u
1
=3; u
n+1
=u
n
+u
n-1
. Tính u
n
với n = 1;2;3;…; 10.
Bài 37 Cho dãy số sắp xếp thứ tự U
1
, U
2
,

U
3

,……… ,U
n
,U
n+1
,……
biết U
5
= 588 ; U
6
= 1084 ;

U
n+1
= 3U
n
- 2 U
n-1
. Tính U
1
; U
2
;

U
25