SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”

SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc

PHN A- T VN
I-L DO CHN TI:
Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng
không ngừng đổi mới. Các nhà trờng đã ngày càng chú trọng hơn
đến chất lợng giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu t thích đáng
cho giáo dục mũi nhọn. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán
đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa
học tự nhiên khác.
Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến
thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao để các
em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô
chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu
học tập của học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Điều đó đòi
hỏi trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi
từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tợng và phát triển thành tổng
quát giúp học sinh có thể phát triển tốt t duy toán học.Vic hng dn
hc sinh khỏ gii gii mt bi toỏn i n kt qu vi nhng ngi thy thỡ khụng
gp khú khn nhiu nhng vic phỏt huy tớnh tớch cc tớnh sỏng to vn cú ca cỏc
em hc sinh khỏ gii l iu chỳng ta cn quan tõm hn.Qua quỏ trỡnh dy hc sinh
khỏ gii ti trng v qua nhiu nm bi dng hc sinh gii tụi thy vic nhn thc
v t duy toỏn hc ca a s hc sinh cũn m nht hc sinh cũn ớt suy ngh, tỡm tũi
gii mt bi toỏn nht l cỏc bi toỏn ũi hi tớnh kiờn trỡ, s sỏng to cao do ú hc
sinh cha phỏt huy ht nhng kh nng vn cú ca mỡnh rt nhiu em khỏ gii khi
gp nhng bi toỏn mi mc dự ch l nhng bi toỏn c khai thỏc v phỏt trin t
nhng bi toỏn c bn quen thuc nhng cỏc em vn l lm lỳng tỳng khụng bit
cỏch gii cng nh khụng bit cỏch phõn tớch khai thỏc t bi toỏn l v thnh bi
toỏn quen thuc hoc khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc c bn v
Giỏo viờn:Li Quang Tu

SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
thành hệ thống các bài toán khác. Trước những khó khăn đó mỗi giáo viên chúng ta
luôn phải trăn trở là làm thế nào để khi dạy học sinh khá giỏi cũng như dạy đội tuyển
học sinh giỏi có thể phát huy tối đa tố chất, sự sáng tạo của các em từ đó có kết quả
học tập tốt hơn.Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin mạnh dạn đưa ra giải pháp “Giúp
học sinh khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc’’.
II-MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU:
1. Mục đích của đề tài
- Hướng học sinh biết cách phân tích, khai thác, phát triển từ những bài toán
quen thuộc đồng thời biết cách phân tích để đưa bài toán lạ về thành các bài toán
quen thuộc.
- Bồi dưỡng học sinh về phương pháp, kỹ năng phân tích, khai thác và phát
triển một bài toán và cách giải các bài toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư
duy, sáng tạo trong học toán.
2.Yêu cầu:
-Học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, cách giải các bài toán quen thuộc.
-Biết hệ thống hóa các kiến thức và tìm ra được mối quan hệ giữa chúng.
-Có một số kỉ năng cần thiết để biến đổi.
-Có sự đam mê nghiên cứu, tìm hiểu và có sự sáng tạo trong làm toán.
III-NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1.Nhiệm vụ:
-Thực hiện trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi
-Nâng cao trình độ chuyên môn của giáo viên và kiến thức của học sinh
-Giúp học sinh biết cách tìm hiểu khám phá ra những bài toán mới qua bài toán quen
thuộc và biết cách biến đỗi để đưa nhũng bài toán lạ về thành các bài toán quen
thuộc.
-Trang bị cho học sinh vốn kiến thức phong phú và có tính hệ thống.
2. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy môn toán,
- Quan sát thực tiễn hoạt động sư phạm của bản thân trong những năm giảng dạy tại
các lớp đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
-Qua trao đỗi, Kiểm tra đánh giá và tổng kết kinh nghiệm.
IV-ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Giáo viên:Lại Quang Tuệ


SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc
1.i tng nghiờn cu.
-i vi ti ny ỏp dng cho vic bi dng hc sinh lp 8,9 c bit l cỏc em
hc sinh khỏ gii lp 8, lp 9 trng THCS.
2.Phm vi nghiờn cu:
-p dng cho c giỏo viờn v hc sinh trong trng THCS nghiờn cu bi dng
v hc tp
V-im mi trong nghiờn cu:
-Hc sinh s khụng cũn lỳng tỳng trong vic gii cỏc bi toỏn l khi ó bit cỏch u
bi toỏn l v thnh bi toỏn quen thuc gii.
-Hc sinh bit h thng cỏc bi toỏn, Bit cỏch tỡm ra mi quan h, c im chung
ca tng dng toỏn trờn c s cú hng gii bi toỏn v khai thỏc, phỏt trin chỳng.
PHN B-GII QUYT VN :
Cú rt nhiu bi toỏn quen thuc vi nhiu cỏch khai thỏc v phỏt trin t bi toỏn
quen thuc ú.Trong ti ny tụi xin a ra mt s bi toỏn c bn v hng dn
hc sinh cỏch khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc ú.
I-Cỏc bi toỏn v cỏch hng dn hc sinh khai thỏc v phỏt trin
BI TON A: Bi toỏn vn dng BT |a| + |b| |a+b| du bng xóy ra khi
ab 0
Bi toỏn A : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A= |x-1| + |x-2| õy l mt
bi toỏn n gin m hc sinh thng bt gp
Giải : Ta có A= |x-1| + |x-2| = |x-1| + |4-x| |x-1+2-x| =

1
Vy A 1
Dấu bằng xảy ra khi 1 x 2
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là 1 khi 1 x 2
Vi vic ỏp dng BT trờn v dng toỏn trờn ta phỏt trin thnh cỏc bi toỏn sau:
Bi toỏn 1:Tỡm giỏ tr nh nht ca
B=|x-1| + |x-2| +|x-3|
Giải :
2
M

Ta có |x-1| + |x-3| = |x-1| + |3-x| |x-1+3-x| =
Dấu bằng xảy ra khi 1 x 3
|x-2| 0 nờn
B=|x-1| + |x-2| +|x-3| 2
1 x 3
x=2
x 2 = 0

Vy B t giỏ tr nh nht khi B=2 khi

Giỏo viờn:Li Quang Tu


SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc
õy l bi toỏn mi thot u hc sinh s rt lỳng tỳng trong cỏch gii giỏo viờn phi
hng dn hc sinh cỏch ghộp s dng HT trờn sao cho phự hp nu ghộp
|x-1| + |x-2| hoc |x-2| + |x-3| vi nhau thỡ s dng HT trờn s khụng tỡm c giỏ
tr nh nht.
Tng t ta cú th phỏt trin bi toỏn trờn thnh cỏc bi toỏn sau:

Bi toỏn 3-Tỡm giỏ tr nh nht ca
T=|x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|.
Tng t bi toỏn trờn giỏo viờn hng dn hc sinh cỏch ghộp tng cp giỏ tr tuyt
i cho phự hp
Giải :
Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| =
3
(1)
x 2 + x 3 = x 2 + 3 x x 2 + 3 x = 1 (2)
Và
Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4
Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 1 x 4
(2) Dấu bằng xảy ra khi 2 x 3
Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 x 3
C nh th ta cú bi toỏn tng quỏt nh sau:
Bi toỏn 4: Cho a1 a2 ....... an .
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
A= x a1 + x a2 + x a3 + ...... + x an
Gii: Xột 2 trng hp: n chn v n l.
+Vi n chn ta t n=2k ta cú:
A= x a1 + x a2 + x a3 + ...... + a2 k x

x a1 + x a2 + .... + ak +1 x + ak + 2 x + .... + a2 k x =
a1 a2 ......... ak + ak +1 + ak + 2 + .... + a2 k



Du bng xóy ra khi ak x ak +1
+Vi n l ta t n=2k+1 ta cú:
A= x a1 + x a2 + x a3 + ...... + a2 k +1 x

x a1 + x a2 + .... + x ak + 0 + ak + 2 x + ak + 3 x + .... + a2 k +1 x
= a1 a2 ......... ak + ak + 2 + ak + 3 + .... + a2 k +1 Du bng xóy ra khi x=ak+1
Khai thỏc tip ta cú bi toỏn sau:
Bi toỏn 5: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
B=. 2 x 7 + 6 x 9
Bi toỏn ny nu chỳng ta ỏp dng trc tip HT trờn thi vic tỡm giỏ tr nh nht s
gp khú khn.GV hng dn hc sinh cỏch tỏch cú th vn dng c HT trờn.
Gii:Ta cú B= 2 x 7 + 3 2 x 3 = 2 x 7 + 2 x 3 + 2 2 x 3
Giỏo viờn:Li Quang Tu


SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
Ta có 2 x − 7 + 2 x − 3 ≥ 2 x − 7 + 3 − 2 x = 4 Dấu bằng xãy ra khi

3
7
≤x≤
2
2

Mặt khác 2 2 x − 3 ≥ 0 từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của B=4 khi x =

3
2

Từ bài toán 5 ta có thể thay đổi một chút ta có bài toán sau:
Bài toán 6:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C= |3x-10| + 2|x-4| +5|x-8|
Việc giải bài toán này giáo viên chỉ định hướng cho học sinh cách tách sau đó nhóm

để vận dụng được HĐT trên.
Vận dụng HĐT trên ta có bài toán sau:
Bài toán 7:Giải phương trình
|2x-7| + |x-4| +2|x-5|=3
Với dạng toán này giáo viên có thể hướng dẫn các em giải PT theo cách xét khoảng
nhưng trong trường hợp bài toán này giáo viên có thể hướng dẫn các em cách giải
phương trình bằng việc áp dụng HĐT.
Giải: Ta có |2x-7| +2|x-5| ≥ |2x-7+10-2x| =3 mặt khác |x-4| ≥ 0 nên
|2x-7| + |x-4| +2|x-5| ≥ 3 dấu bằng xãy ra khi x=4 từ đó ta tìm được x=4 là
nghiệm của phương trình.
Bài toán 8:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x2 − 2x + 1 + x2 − 6x + 9
(Đề thi HSG lớp 9-Phòng GD-ĐT Cẩm xuyên năm học 2016-2017)
Giải : Ta có :
P = (x − 1)2 + (x − 3)2 = x − 1 + 3− x ≥ x − 1+ 3 − x = 2
Vậy MinP= 2 1≤ x ≤ 3
Thông qua bài toán 8 ta có thể xây dựng thành bài toán mới như sau :
Bài toán 9 : Giải phương trình sau :
4x2 − 4x + 1 + 9 − 12x + 4x2 = 2
Thay đỗi một chút ta có bài toán khó hơn như sau :
Bài toán 10 : Giải phương trình sau :
4x2 − 4x + 1 + 2 9 − 12x + 4x2 = −7 + 12x − 4x2
Đây là một bài hay và khó đối với các em nếu chưa vận dụng thành thạo HĐT trên
mặt các em chưa được học về cách giải PT vô tỷ bằng cách sử dụng tính đối nghịch ở
hai vế phương trình để giải thì sẽ không biết hướng giải như thế nào ? Nhưng nếu đã
học được cả hai phương pháp trên thì việc giải bài toán này là đơn giản .
Giải :

Giáo viên:Lại Quang Tuệ

SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc
4x2 4x + 1 + 2 9 12x + 4x2 = 2x 1 + 23 2x
Ta cú VT= = 2x 1 + 3 2x + 3 2x 2x 1+ 3 2x + 3 2x
= 2 + 3 2x 2
Du bng xóy ra khi x=3/2
2
VP= 2 ( 2x 3) 2 Du bng xóy ra khi x=3/2
Vy VT=VP khi VT=VP=2 t ú ta tỡm c nghim ca PT l x=3/2
BI TP P DNG :
Bi toỏn 1 :Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau :
A=. 3 x 7 + 6 x 10
Bi toỏn 2: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau :
B= 4x2 4x + 1 + 9 12x + 4x2
Bi toỏn 3 : Gii phng trỡnh :
x2 6x + 9 + 25 20x + 4x2 = 2
*Vi BT |a| + |b| |a+b| nú cú nhiu ng dng trng vic gii quyt rt
nhiu bi toỏn c bit l bi toỏn tỡm giỏi tr nh nht ca mt biu thc hoc bi
toỏn gii phng trỡnh.
BI TON B: Phõn tớch a thc thnh nhõn t

a3 + b3 + c3 - 3abc.

õy l mt bi toỏn lp 8 khỏ thụng dng vic phõn tớch bi toỏn ny khụng khú
nhng tớnh ng dng ca bi toỏn ny thỡ rt phong phỳ.
Ta phõn tớch c nh sau :Ta cú a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac).
Khai thỏc bi toỏn trờn ta cú bi toỏn sau :
Bi toỏn 1 :Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
Từ kết quả trên ta có ngay bài toán:

Bài toỏn 2:
Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh
rằng :
a3 +b3+c3 chia hết cho 3abc.
*Nếu thay a=x-3; b=2x+1; c=2-3x thì a+b+c=0. Sử dụng
kết quả trên ta có (x-3) 3+(2x+1)3+(2-3x)3=3(x-3)(2x+1)(2-3x). Ta
đến với bài toán:
Giỏo viờn:Li Quang Tu


SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc
Bài toỏn 3: Giải phơng trình:
(x-3)3+(2x+1)3=(3x-2)3.
* Nếu thay a = 2-x, b = -(y+2), c = x+y thì a+b+c = 0.
Ta đến với bài toán :
Bài toỏn 4:
Giải phơng trình nghiệm nguyên:
(x+y)3 = (x-2)3 + (y+2)3 + 6
*Nếu thay a=x-y; b=y-z ; c=z-x thì a+b+c=0. Theo kết
quả trên ta có a3+b3+c3=3abc; suy ra (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=3(xy)(y-z)(z-x). Nên ta có bài toán sau:
Bài toỏn 5:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
3abc a3 + b3 + c3 a2 b2 c2
+Ta thấy với a+b+c=0 thì 3 =
. Ta có
=
=
+
+

abc
abc
bc ac ab
bài toán:
Bài toỏn 6:
Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c = 0.
Tính giá trị của biểu thức:
`

a2 b2 c2
.
P=
+
+
bc ac ab

T bi toỏn ny nu ta cú th thay i mt chỳt ta cú bi toỏn
Bi toỏn 7:
Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a-b-c = 0.
Tính giá trị của biểu thức:
`

a2 b2 c2
. ( thi HSG toỏn 8-huyn CX nm hc 2015-2016)
P=


bc ac ab

Giỏo viờn:Li Quang Tu

SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc
Cng t bi toỏn 6 ta cú a+b+c=0 a+b=-c a2+2ab+b2=c2 c2-a2-b2=2ab
tng t ta cú b2-c2-a2=2ac ; a2-b2-c2=2bc
Vi khai thỏc trờn ta cú bi toỏn sau :
Bi toỏn 8
Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c=0. Tính giá trị của
biểu thức:
Bài toỏn 9:

a2
b2
c2
A= 2
+
+
a b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
Cho

a3 + b3 + c3 = 3abc Tớnh
a
b
c

B = 1+ ữ 1+ ữ 1+ ữ
b
c
a

a+ b b+ c c + a
Gii :Ta cú B =
ữ
ữ
ữ (*)=c
b c a
TH1 : Nu a+b+c=0 suy ra a+b=-c, b+c=-a, a+c=-b
T a3 + b3 + c3 = 3abc ta suy ra a+b+c=0 hoc a=b thay vo (*) ta tỡm c
B=-1
TH2 : a=b=c thay vo (*) ta tỡm c B=8
Tip tc khai thỏc tip bi toỏn trờn ta cú bi toỏn sau :
a
b
c

Bi toỏn 10: Cho a3b3+b3c3+c3a3=3a2b2c2 Tớnh p = 1+ ữ 1+ ữ 1+ ữ ta thy
b
c
a

bi toỏn 9 cú c im tng t baỡ toỏn 10 :Ta coi ab=x, bc=y,ca=z Khi ú ta
cú :x3+y3+z3=3xyz v

a z b x c y
= ; = ; = ta s tớnh c P
b y c z a x

Giỏo viờn:Li Quang Tu

SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
1
1
1
Tiếp tục khai thác bài toán trên nếu thay a = , b= , c= thì ta có bài
x
y
z

toán sau cho

1 1 1
yz xz xy
+ + = 0 tính A= 2 + 2 + 2
x y z
x
y
z

1 1 1
1 1 1 3
 1 1 1
Ta có A= xyz. 3 + 3 + 3 ÷ mà 3 + 3 + 3 = 3. . . =
.
x
y
z
x
y

z
xyz
x
y
z


Từ đó ta tính được A=3
Quay trở lại với bài toán ban đầu: a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac).
Nếu ta cho a+b+c=1; a2+b2+c2=1; a3+b3+c3=1 thì ta có
1-3abc=1-ab-bc-ac3abc=ab+bc+ac mà (a+b+c)2=1
a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac=1ab+bc+ac=0abc=0a=0 hoặc b=0 hoặc
c=0 từ khai thác trên ta có bài toán sau:
Bài toán 11:Giải hệ phương trình
 a+ b + c = 1
 2
2
2
a + b + c = 1
 3
3
3
a + b + c = 1
 a+ b + c = 1
 2
2
2
Bài toán 11 : Cho  a + b + c = 1
 3
3

3
a + b + c = 1

Tính A = a2002 + b2003 + c2004

Tiếp tục vận dụng bài toán trên ta có bài toán sau :
Bài toán 12 :
Tính D= 3 2 + 5 + 3 2 − 5 +2 đây là một bài toán không khó ta thường bắt
gặp trong bài toán rút gọn biểu thức của đại số 9 và có nhiều cách giải nhưng nếu ta
vận dụng bài toán trên ta vẫn có thể giải được bài toán này :
Giáo viên:Lại Quang Tuệ


SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc
Gii :t E= 3 2 + 5 + 3 2 5 E- 3 2 + 5 3 2 5 =0
E3-( 2 + 5 )-( 2 5 )=3E 3 (2 + 5)(2 5) E3-3E-4=0(E-1)
(E2+E+4)=0
E=1
*Tip tc khai thỏc bi toỏn trờn :Nu ta thay c bởi c+d vào a3 + b3 + c3 =
3abc ta đợc:
a3 + b3 + (c+d)3= 3ab(c+d)
<=> a3 + b3 + c3 +d3= 3ab(c+d) - 3cd(c+d)
<=> a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd)
Ta đến với bài toán:
Bài toỏn 13:
Chứng minh rằng nếu a+b+c+d = 0 thì:
a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd).
Tip tc vi kt qu ca bi toỏn trờn.
a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
*nu ta thay a bi

a v b bi

b v c bi

c ta cú bi toỏn sau :

Bi toỏn 14 : Cho 3 s dng a,b,c thừa món a a + b b + c c = 3 abc .
Tớnh giỏ tr ca biu thc sau :
p = (3

a
b
c
)(3
)(3
).
b
c
a

( thi hsg huyn Cm Xuyờn-nm hc 2016-2017)
Gii :p dng kt qu bi toỏn trờn ta cú :
a a + b b + c c = 3 abc ( a)3 + ( b)3 + ( c)3 3 a b. c = 0
( a + b + c)(a+ b+ c a b b c a c) = 0
M a,b,c dng nờn

a+ b+ c 0

Giỏo viờn:Li Quang Tu

SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc
nờn a+ b+ c a b b c a c = 0 a = b = c Thay a=b=c vo p ta tớnh
c P=8
BI TON P DNG :
ax + by = c

Bi toỏn 1 : Cho : bx + cy = a
cx + ay = b


Chng minh a3 + b3 + c3 = 3abc

Bi toỏn 2 : Cho a+b+c= a3 + b3 + c3 =0 Tớnh A=a2n+1 +b2n+1 +c2n+1
Bi toỏn 3 :Cho a+b+c=1
a2 + b2 2ab
a + b + c 3abc
4
3

chng minh

3

3

Bi toỏn 4:
Cho a3+b3+c3=3abc và a+b+c 0. Tính giá trị của biểu
thức:

BI TON C: Cho a,b >0 chng minh a3+b3 ab(a+b)
CM: a3+b3 ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b) 0(a+b)(a-b)2 0 ỳng
vi mi s dng a,b du ng thc xóy ra khi a=b.
õy l mt bt ng thc ph khỏ quan trng vỡ trong quỏ trỡnh bi dng
HSG tụi thy cú rt nhiu bi ỏp dng BT ny vy giỏo viờn phi giỳp hc sinh
phõn tớch khai thỏc v phỏt trin bi toỏn trờn thnh h thng nhiu bi toỏn khỏc hay
v khú.
a3 + b3
a2 b2
Tht vy t a +b ab(a+b)
a+ b
+
a+ b
ab
b a
3

3

Ta cú
Bi toỏn 1 :Chng minh

a2 b2
+
a+ b
b a

Cng tng t ta cú

Giỏo viờn:Li Quang Tu

SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
a3
Bài toán 2:Chứng minh
+ b2 ≥ a2 + ab
b
b3
c3
2
2
Từ bài toán 2 ta khai thác tiếp ta có
+ c ≥ b + bc ;
+ a2 ≥ c2 + ac
c
a
Ta có
Bài toán 3 :với a ;b ;c là các số dương chứng minh
a3 b3 c3
+
+ ≥ ab+ bc + ac
b c a
Cũng từ

a3 + b3
c3 + b3
a3 + c3
.Tương
tự
ta

có
≥ a+ b
≥ b+ c;
≥ a+ c
ab
bc
ac

Ta có
Bài toán 4 : với a ;b ;c là các số dương chứng minh
a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3
+
+
≥ a+ b+ c
2ab
2bc
2ac
Tiếp tục khai thác bài toán trên ta có :Từ a3+b3 ≥ ab(a+b)4(a3+b3) ≥ (a+b)3 Tương
tự ta có 4(b3+c3) ≥ (b+c)3; 4(c3+a3) ≥ (a+c)3 Từ đây ta có bài toán sau:
Bài toán 5: với a ;b ;c là các số dương chứng minh
8(a3+b3+c3) ≥ (a+b)3+(b+c)3+(a+c)3

Tiếp tục khai thác tiếp bài toán trên:
a3+b3 ≥ ab(a+b)a3+b3+abc ≥ ab(a+b)+abca3+b3+abc ≥ ab(a+b+c)



1
1
≤

;
3
a + b + abc ab(a+ b+ c)
3

Tương tự ta có:

1
1
1
1
≤
≤
;
Từ đó
b3 + c3 + abc bc(a+ b+ c) a3 + c3 + abc ac(a+ b+ c)

ta có
1
1
1
1
1
1
+ 3 3
+ 3 3
≤
+
+
3

a + b + abc b + c + abc a + c + abc ab(a+ b + c) bc(a+ b + c) ac(a+ b + c)
3

Giáo viên:Lại Quang Tuệ


SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc


1
1
1
1
a+ b + c
1
+ 3 3
+ 3 3

.
=
3
a + b + abc b + c + abc a + c + abc a+ b + c abc
abc
3

T khai thỏc ú ta cú bi toỏn sau:
Bi toỏn 6: vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh
1
1
1

1
+ 3 3
+ 3 3

3
a + b + abc b + c + abc a + c + abc abc
3

õy l bi toỏn khú nu hc sinh bt u gp thỡ rt khú chng minh.Tuy nhiờn
sau khi hc sinh ó hc v võn dng tt ht trờn thỡ s nhỡn ra c hng chng
minh.Nu ta cho thờm gi thit abc=1 thỡ ta s cú bi toỏn sau
Bi toỏn 7 : vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh
1
1
1
+ 3 3
+ 3 3
1
3
a + b +1 b + c +1 a + c +1
3

( thi HSG ó Nng nm hc 2011-2012)
Tiếp tục khai thác : a3+b3 ab(a+b)

3a 3 + b3 2a 3 + ab(a + b) 3a 3 2a 3 b3 + ab(a + b)
3a 3 a3 b3 + a 3 + ab(a + b) 3a3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ) + a (a 2 + ab + b 2 )
3a3
3a (a + ab + b )(2a b) 2
2a b

a + ab + b2
3

2

2

Tơng tự với a, b, c > 0 thì:

3b3
3c3
2b c; 2
2c a
b2 + bc + c 2
c + ca + a 2
Ta đề xuất đợc bài toán:
Bài toán 8: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
a+ b+ c
+
+

3
a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2
Tiếp tục khai thác :
Từ a3+b3 ab(a+b) ta có :
Giỏo viờn:Li Quang Tu

SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc
a +6b3 ab(a+b)+5b3 6b3-ab(a+b) 5b3 - a3 b(6b2-a2- ab)
3

5b3 - a3
b(a+3b)(2b-a) 5b3 - a3 2b-a

Tơng tự : 2c b

5c 3 b 3
bc + 3c 2

, 2a c

5b 3 a 3
ab + 3b 2

5a 3 c 3
ac + 3a 3

Cộng vế theo vế của cả ba BĐT trên ta có :
5b 3 a 3
5c 3 b 3
5a 3 c 3
a+b+c
+
+
ab + 3b 2

bc + 3c 2
ac + 3a 3

Ta đây ta tiếp tục đề xuất bài toán:
Bài toán 9: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
5b 3 a 3
ab + 3b 2

+

5c 3 b 3
bc + 3c 2

+

5a 3 c 3

ac + 3a 3

a+b+c

Tiếp tục khai thác từ : a3 + b3 ab(a + b) (*)
a 3 + 20b3 19b3 + ab(a + b) 20b3 ab(a + b) 19b 3 a 3
b(20b 2 ab a 2 ) 19b3 a 3 b(20b 2 5ab + 4ab a 2 ) 19b 3 a 3
b[5b(4b a) + a(4b a)] 19b3 a 3 b(4b a)(a + 5b) 19b3 a 3
(4b a)(ab + 5b 2 ) 19b3 a 3

19b3 a 3
4b a
ab + 5b 2

Tơng tự với a, b, c > 0 thì:


19c 3 b3
19a 3 c 3

4
c

b
;

4a c
cb + 5c 2
ac + 5a 2

Ta yêu cầu HS giải bài toán
Bài toán 11: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
19b3 a 3 19c 3 b3 19a 3 c 3
+
+
3(a + b + c)
ab + 5b 2 cb + 5c 2 ac + 5a 2

BI TP P DNG :
Bi toỏn 1 : vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh

Giỏo viờn:Li Quang Tu

SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
a b3 c3
+
+
≥ a+ b + c
b2 c2 a2
3

Bài toán 2: với a ;b ;c là các số dương chứng minh
2(a3+b3+c3) ≥ ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)
Bài toán 3 : với a ;b ;c là các số dương chứng minh
2a3
2b3
2c3
+
+
≥ a+ b + c
a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2
Bài toán 4 : với a ;b ;c là các số dương thõa mãn abc=2 chứng minh.
a3 + b3 + c3 ≥

a+ b c + b c + a
+
+
c
a
b

Bài toán 5 : : Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:

a4
b4
c4
a3 + b3 + c3
+
+
≥
b+c c+a a +b
2

Bµi to¸n 6: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
a4
b4
c4
a3 + b3 + c3
+
+
≥
b+c c+a a +b
2

Bµi to¸n 7: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
a 3 + b3 + c 3 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab

Bµi to¸n 8: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
3

3

3

3
b3
c3 
 a   b   c  1 a
+
+
≥
+
+
 3 3

÷ 
÷ 
÷
3
3
3
3 ÷
 b+c   c+a   c+ a  4b +c c +a a +b 

Với việc phân tích khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc như trên ta
có thể tạo ra nhiều bài toán mới cũng từ đó ta có biết cách phân tích để đưa bài toán
khó và lạ về thành các bài toán quen thuộc.Trên đây tôi chỉ đưa ra ba bài toán mà
chúng ta thường gặp.Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi chúng ta
còn có thể khai thác và phát triển rất nhiều bài toán hay khác nữa ví dụ như khai thác
bài toán :
Bài toán 1 :Cho abc=1 Tính

Giáo viên:Lại Quang Tuệ

SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc
a
b
c
+
+
A=
ab + a +1 bc +b +1 ac + c +1
Bi toỏn 2:Chng minh rng tớch ca ba s t nhiờn chia ht cho 6
Bi toỏn 3:Phõn tớch a thc thnh nhõn t:
( a + b + c )3 a 3 b 3 c 3

Bi toỏn 4:Cho a, b> 0 Chng minh:

1 1
4
+
a b a +b

II-Kt qu thc hin :
Sau khi thc nghim ti Giỳp hc sinh khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn
quen thuc tụi thy cỏc em hc sinh khỏ gii nm chc cỏc dng bi tp, cỏc em
nhỡn nhn cỏc dng bi tp mt cỏch linh hot, t tin, sỏng to v hng thỳ hn trong
hc tp. Cỏc em nhỡn nhn bi toỏn mt cỏch rng hn, sõu sc hn yờu thớch b
mụn toỏn hn v c bit kt qu thi hc sinh gii ca cỏc em trong i tuyn thi hc
sinh gii huyn t kt qu cao hn.
t c nhng kt qu nh vy, u tiờn phi cú s n lc, c gng ca bn thõn
cỏc em, cỏc em phi gii bi tp mt cỏch ch ng, tớch cc.Bờn cnh ú thy phi

nh hng tng cng a ra cỏc bi tp cỏc em tỡm tũi khỏm phỏ, phõn tớch gii
thớch, khai thỏc v phỏt trin cỏc bi toỏn t nhng bi toỏn quen thuc cú th to
ra c h thng cỏc bi toỏn mi , ng thi cng bit cỏch a bi toỏn l v thnh
cỏc bi toỏn quen thuc.
Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra cỏc dạng toán
trên :
( áp dụng đối với đội tuyển toán của trờng tôi : 20 em )
Năm học
2014 - 2015
2015 - 2016

áp dụng đề tài
cha áp dụng
đã áp dụng

Kết quả kiểm tra
giỏi
khá
TBình
5%
35%
60%
25%
55%
20%

III-Bi hc kinh nghim :
Giỏo viờn:Li Quang Tu

SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
Khi thực hiện đề tài này, để đạt được hiệu quả cao nhất cần phải có các điều kiện
sau :
1.Về phía giáo viên :
*Cần có niềm say mê , nhiệt huyết trong công tác giảng dạy chịu khó nghiên cứu tìm
tòi, học hỏi, sưu tầm các bài toán hay và khó để rèn luyện tư duy, mở rộng vốn kiến
thức của mình.
*Cần chuẩn bị các tình huống có vấn đề để gây sự tò mò hứng thú cho học sinh để
phát huy trí tuệ của các em.
*Khi gặp các tình huống có vấn để cần phải sử lí linh hoạt, sáng tạo.
*Cần kiểm tra thường xuyên về sự chuẩn bị bài của các em học sinh qua đó biết cách
động viên khích lệ các em học tập tốt hơn.
2.Về phía học sinh :
*Phải chủ động, tự giác , quyết tâm và phát huy tính tích cực trong học tập của mình.
*Cần chuẩn bị bài thật kỉ, đầu tư nhiều thời gian, phải phân tích kỉ các bài toán, cần
có tính kiên trì trong việc phân tích khai thác và phát triển từ những bài toán quen
thuộc.
3.Về phía nhà trường :
*Phải có nề nếp và phong trào học tập tốt trong nhà trường.
*Phải quan tâm đầu tư về mọi mặt cho các hoạt động dạy và học, đặc biệt chú trọng
đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
PHẦN C : KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ
*Kết luận : Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên thường nhận thấy đa
số học sinh chỉ lo đi tìm lời giải của từng bài toán cụ thể mà ít khi đi sâu nghiên cứu
phân tích khai thác và phát triển bài toán từ bài toán đó tìm mối quan hệ giữa bài toán
đó với những bài toán khác nhiều em có năng lực suy luận và phán đoán tình huống
nhanh nhưng lại ít khi khai thác và phát triển tìm tòi để tạo ra bài toán mới ,kiến thức
mới.
Do đó việc khai thác, phát triển và mở rộng kiến thức từ các bài toán cơ bản nhằm
thúc đẩy phát triển tư duy toán học mà mỗi giáo viên khi bồi dưỡng học sinh giỏi cần

phải quan tâm. Đi theo hứng như vậy, tôi đã giúp đội tuyển học sinh giỏi học tập tốt
hơn, hiệu quả hơn. Không những thế mà còn giúp học sinh phát huy hết khả năng của
mình, góp phần mình vào việc nâng chất lượng mũi nhọn.
Giáo viên:Lại Quang Tuệ


SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”
*Kiến nghị đề xuất :
+Trong mỗi tiết dạy bồi dưỡng đội tuyển, giáo viên cần phải có thời gian để nêu
hướng mở rộng, khai thác và phát triển sau mỗi bài toán. Giáo viên nên tạo thói quen
này thường xuyên cho học sinh.
+Vận động các em mua các sách nâng cao, tham gia mua các tạp chí viết và toán học.
+Mỗi trường nên thành lập các câu lạc bộ em yêu toán học và hoạt động thường
xuyên để động viên khích lệ các em hăng say học tập và khám phá.
+Phòng giáo dục, nhà trường nếu có điều kiện nên tổ chức nhiều hơn các cuộc hội
thảo, chuyên đề về bồi dưỡng học sinh giỏi để giáo viên có cơ hội giao lưu trao đỗi
và học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau.
*Phạm vi sử dụng sáng kiến :Có thể áp dụng cho đối tượng học sinh khá giỏi, trong
các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi.Qua đây chắc chắn có nhiều đồng nghiệp có
nhiều ứng dụng lí thú khác và có nhiều cách khai thác và phát triển từ những bài toán
cơ bản.
Trong thực tế giảng dạy chúng ta thấy rẵng công việc tìm hiểu xung
quanh các bài toán cơ bản quen thuộc sẽ giúp người thầy có nhiều kinh nghiệm trong
giảng dạy,học sinh khi giải các bài toán sẽ linh hoạt và sáng tạo hơn.
*Đề tài ‘’Giúp học sinh biết cách khai thác và phát triển từ những bài toán quen
thuộc ‘’ là một vấn đề quen thuộc mà trong quá trình giảng dạy đặc biệt là trong bồi
dưỡng học sinh giỏi chúng ta thường xuyên nghiên cứu và áp dụng. Trong quá trình
làm đề tài do điều kiện về thời gian cũng như vốn kiến thức còn hạn hẹp đề tài chắc
chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót. Tôi rất mong được sự góp ý, giúp đỡ quý báu từ các
đồng nghiệp để hoàn thiện hơn đề tài của mình để cho đề tài này được thực thi có

hiệu quả hơn. Xin chân thành cảm ơn !
Cẩm Xuyên, tháng 10 năm 2016
Người thực hiện

Giáo viên:Lại Quang Tuệ


SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”

Giáo viên:Lại Quang Tuệ


SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”

Giáo viên:Lại Quang Tuệ


SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”

Giáo viên:Lại Quang Tuệ


SKKN: ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”

Giáo viên:Lại Quang Tuệ