Nguyên hàm từng phần

Chuyên đề TÍCH PHÂN- Luyện thi Đại Học Beckbo1210
NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
I- LÝ THUYẾT:
1) Định lí:
Nếu
( )u u x=
và
( )v v x=
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn K thì:
/ /
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x dx u x v x u x v x dx
= −
∫ ∫
Viết gọn lại:
. udv u v vdu
= −
∫ ∫
2) Một số dạng tính nguyên hàm từng phần:
DẠNG 1:
sin
( )
x
I f x dx
cosx
=
∫
, trong đó
( )f x
: đa thức.
Phương pháp:
Đặt

/
( ) ( )
chon: sin
u f x du f x dx
dv sinxdx v xdx

= ⇒ =


= =


∫
DẠNG 2:
( ).
x
I f x e dx=
∫
, trong đó
( )f x
: đa thức.
Phương pháp:
Đặt
/
( ) ( )
chon:
x x
u f x du f x dx
dv e dx v e dx


= ⇒ =


= =


∫
DẠNG 3:
ln
( )
log
a
x
I f x dx
x
=
∫
, trong đó
( )f x
: đa thức.
Phương pháp:
Đặt
1
ln
( ) chon: ( )
u x du dx
x
dv f x dx v f x dx

= ⇒ =




= =

∫
II- LUYỆN TẬP:
1) Xác định các nguyên hàm sau:
1
sin xI x dx=
∫
2
os2xI xc dx=
∫

2
3
2 os xI xc dx=
∫
2
4
(2 1) os xI x c dx= −
∫
5
2
( 1)sin xI x dx= +
∫
2
6
( os )sin xI x c x dx= +

∫
2
7
( sin ) osxI x x c dx= +
∫

8
2
sinx
os
x
I dx
c x
+
=
∫
9
sinx
1 os
x
I dx
c x
+
=
+
∫
2
10
(2 os 1)I x c x dx= −
∫

11
3
sinx
os
x
I dx
c x
=
∫

12
sinI x xdx=
∫
13
sinI x dx=
∫
2
14
I xtg xdx=
∫
2
15
( 2 3)cosI x x xdx= + +
∫
16
2
cos
x
I dx
x

=
∫
2
17
( 5)sinI x xdx= +
∫
18
2 1
x
I dx
cos x
=
+
∫
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”
Chuyên đề TÍCH PHÂN- Luyện thi Đại Học Beckbo1210
2) Xác định các nguyên hàm sau:
1
x
I xe dx=
∫
2
2
x
I x e dx=
∫
2 2
3
( 1)
x

I x e dx= +
∫
4
x
I e dx
=
∫
2
3
5
*
x
I x e dx
=
∫
6
2
x
I xdx=
∫
( )
2
7
2 1
x
I x x e dx= + −
∫
8
. 2
cosx

I e sin xdx=
∫
ln
9
x x
I e dx
+
=
∫
2
10
( 2).
x
I x e dx= −
∫
3) Xác định các nguyên hàm sau:
1
lnI xdx=
∫
2
lnI x xdx=
∫

2
3
lnI xdx=
∫

4
ln xdx

I
x
=
∫

( )
5 2
log 3I x dx= −
∫

6
lgI xdx=
∫

7
2 ln(1 )I x x dx= +
∫

2
8
ln(1 )I x x dx= +
∫
( )
2
9
( ) 1I ln x x dx x= − >
∫
2
10
ln( 1)I x dx= +

∫
2
11
.I x lnxdx=
∫
3 2
12
I x ln xdx=
∫
13
3
ln x
I dx
x
=
∫
14
ln(ln )x
I dx
x
=
∫
2
15
(1 ln )I x dx= −
∫
16
2
ln
( 1)

x
I dx
x
=
+
∫
2
17
ln( 1)I x x dx= +
∫
2
18
1
ln
x
I xdx
x
 
+
=
 ÷
 
∫
4) Xác định các nguyên hàm sau:
1
.cos
x
I e xdx=
∫
2

os(ln )I c x dx=
∫
3
sinx.ln( )I tgx dx=
∫
4
5 sin 2
x
I e xdx=
∫
3
5
.sin5
x
I e xdx=
∫
6
cos .ln(1 cos )I x x dx= +
∫
2 2
7
sin x
x
I e dx=
∫
8
sinx.ln(cos )I x dx=
∫
2
9

ln( )I x x dx
= +
∫
( )
10
I x cosx sinxdx
= +
∫
2
11
sin cosI x x xdx=
∫
2
12
( ln )I x x dx=
∫
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”