ĐẠI SỐ 8

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CÓ THAM SỐ
Giải và biện luận phương trình ax = -b
Ta có:
0ax b ax b
= = ⇔ = −
1.
0a ≠ ⇒
phương trình có nghiệm duy nhất
;
b b
x S
a a
 
= − = −
 
 
2. a = 0
⇒
phương trình có dạng: 0.x = b
a) Nếu b
≠
0
⇒
Không có giá trò nào của x nhân với 0 cho tamột số khác 0.
Vậy phương trình vô nghiệm; S =
∅
.
b) Nếu b = 0
⇒
Phương trình có dạng 0.x = 0 được nghiệm với mọi x thuộc R. phương trình vô
số ngiệm , S = R

Kết luận : 1.
0a ≠ ⇒
b
S
a
 
= −
 
 
2. a= 0
a) b
≠
0
⇒
S =
∅
b) b = 0
⇒
S = R
Ví dụ 3.15
Giải và biện luận phương trình : a(x-1) = 2(b-x)
Giải
Ta có : a(x-1) = 2(b-x)
⇔
(a+2)x = a+ 2b.
1. a+2
≠
0
⇔
a

≠
-2, phương trình có nghiệm duy nhất
2
2
a b
x
a
+
=
+
2. a + 2 = 0
⇔
a = -2, phương trình có dạng 0.x = -2 + 2b.
a) Nếu -2 + 2b = 0
⇔
b = 1, phương trình có dạng 0.x = 0, có nghiệm tuỳ ý.
Kết quả: a
≠
-2
⇒

2
2
a b
S
a
+
 
=
 

+
 
a = -2 và b
≠
1
⇒
S =
∅
a = -2 và b = 1
⇒
S = R
Ví dụ 3.16
Tìm giá trò m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất
2 1
2
1
m
m
x
−
= −
−
(a)
Giải
Đây là phương trình có ẩn ở mẫu. Ta đặt điều kiện cho ẩn:
x- 1
≠
0
1x
⇔ ≠

Ta được :
2 1
2 ( 2) 3( 1)
1
m
m m x m
x
−
= − ⇔ − = −
−
Phương trình (b) có nghiệm duy nhất là :
( 2) 0 2m m− ≠ ⇒ ≠
Lúc đó, nghiệm của (b) là:
3( 1)
;( 2)
2
m
x m
m
−
= ≠
−
Để
3( 1)
2
m
x
m
−
=

−
là nghiệm của phương trình (a) thì nó phải thoả mãn điều kiện
1x ≠
, tức là
3( 1) 1
1
2 2
m
m
m
−
≠ ⇒ ≠
−
Kết quả : phương trình
2 1
2
1
m
m
x
−
= −
−
có nghiệm duy nhất khi m
2≠
có nghiệm duy nhất khi m
2≠
và
1
2

m ≠
Ví dụ 3.17
Cho phương trình :
2 1
1
x x
x m x
+ +
=
− −
(a)
Tìm các giá trò của m để phương trình (a) vô nghiệm.
Giải
Phương trìnhn (a) là phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện:
0
1 0 1
x m x m
x x
− ≠ ⇒ ≠
− ≠ ⇒ ≠
Điều kiện:
x m≠
và
1x ≠
(*)
Ta có (a)
( 2)( 1) ( 1)( )
2
x x x x m
mx m

⇒ + − = + −
⇔ = −
(b)
1. Với m = 0 thì phương trình (b) có dạng 0.x = 2
Vậy, trường hợp này phương trình (b) vô nghiệm (1)
2. Với
0m ≠
thì phương trình (b) có nghiệm
2 m
x
m
−
=
.
Nghiệm
2 m
x
m
−
=
là nghiệm của (a) khi nó phải thoả mãn các điều kiện (*), tức là:
2
1 2 1
m
m m m
m
−
≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠
2
2

2 0 ( 1)( 2) 0
1, 2
m
x m m m m m
m
m m
−
= ≠ ⇒ + − ≠ ⇔ − + ≠
⇔ ≠ ≠ −
Vậy với m = 1 hoặc m = -2 thì phương trình (a) cũng vô nghiệm (2)
Kết quả: phương trình (a) vô nghiệm với các giá trò của
{ }
2;0;1m∈ −
BÀI TẬP
121. Giải và biện luận các phương trình:
a)
2
3 4 ( 1);m x x m− = − −
m là tham số
b)
2 2
2
0
x m mn x n
m n n m m n
− −
− + =
+ − −
; m, n là các tham số
c)

3 2
4 4 4 ;m x m mx m− = + −
m là tham số
d) (m-1)(m+2)x +3m
2
+ m – 4 = 0; m là tham số.
e) (a
2
-3a + 2) x = a – 2; a là tham số
122. Giải và biện luận các phương trình
a)
1
2
1
x a x
x x a
+ −
+ =
+ −
; a là tham số
b)
2
2 2
3 4 3 1
;
a a a
x a a x x a
− +
+ =
− − +

a là tham số.
123. Giải và biện luận các phương trình :
1 1 1 1
a b x a b x
+ + =
+ +
; a,b,c là tham số
124. Giải và biện luận phương trình:
4
1
a b x b c x c a x x
c a b a b c
+ − + − + −
+ = + + =
+ +
125. Cho phương trình:
2
2
1
x a x
x x
+ −
+ =
+
Xác đònh giá trò a để phương trình vô nghiệm.
126. Cho phương trình : m(x-1) + n(2x+1) – x = 2; m,n là tham số
Xác đònh các giá trò m,n để phương trình có vô số nghiệm (S=R)
127. Cho hai phương trình : x= 1 – 2mx (a)

2

2 2m x m x− = −
(b)
1. Giải và biện luận phương trình (a),phương trình (b)
2. Với những giá trò nao9f của tham số m thì hai phương trình tương đương?
HƯỚNG DẪN GIẢI
121. a)
2 2
2
3 4 ( 1) 4 1 3
( 4) ( 2) ( 2)( 2) ( 2)
m x x m m x x m
m x m m m x m
− = − − ⇔ − = − − +
⇔ − = − − ⇔ − + = − −
1) (m-2)(m+2)
0
≠

2m
⇔ ≠ ±
Phương trình có nghiệm
( 2) 1
( 2)( 2) 2
m
x
m m m
− − −
= =
− + +
2 a) Với m = +2, phương trình có dạng 0.x = 0

⇒
Phương trình được nghiệm với mọi x
∈
R
b) Với m = -2, phương trình có dạng 0.x = -4
⇒
Phương trình vơ nghiệm
Kết quả:
1
2
2
2
2
m S
m
m S R
m S
−
 
≠ ± ⇒ =
 
+
 
= ⇒ =
= − ⇒ = ∅
2 2
2
) 0
x m mn x n
b

m n n m m n
− −
− + =
+ − −
Điều kiện:
2 2
0m n m n− ≠ ⇒ ≠ ±
Mẫu chung
2 2
m n−
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được:
2
2
( )( ) 2 ( )( ) 0 2 ( )
( )
1) 0
2
x m m n mn x n m n mx m n
m n
m x
m
− − + − + = ⇒ = −
−
≠ ⇒ =
2) m = 0
⇒
Phương trình có dạng 0.x = n
2
Do điều kiện m
n≠ ±

, ta suy ra n
≠
0 và phương trình trỏ thành 0.x
≠
0
⇒
Không có giá trò
nào của x nhân với 0 cho ta kết quả là một số
≠
0
Vậy phương trình vô nghiệm.
Kết quả
2
( )
0 ;
2
0
m n
m S m n
m
m S
 
−
≠ ⇒ = ≠ ±
 
 
= ⇒ = ∅
c)
3 2 3 2
2 2

4 4 4 4 4 4
( 4) 4 4
( 2)( 2) ( 2)( 2)
m x m mx m m x mx m m
mx m m m
m m m x m m
− = + − ⇔ − − − +
⇔ − = − +
⇒ − + = − −
1) Với
( 2)( 2) 0 0m m m m− + ≠ ⇔ ≠
và
2m
≠ ±
, phương trình có nghiệm
2
( 2)
m
x
m m
−
=
+
2) a) Với m = 0 phương trình có dạng 0.x = 4
⇒
vô nghiệm
S = ∅
b) Với m = 2 phương trình có dạng 0.x =
⇒
S = R

c) Với m = -2 phương trình có dạng 0.x = 16
⇒

S = ∅
d)
2
2
( 1)( 2) 3 4 0
( 1)( 2) (3 4)
( 1)( 2) ( 1)(3 4)
m m x m m
m m x m m
m m x m m
− + + + − =
⇔ − + = − + −
⇔ − + = − − +
1)
( 1)( 2) 0 1
( 1)(3 4) 3 4
( 1)( 2) 2
m m m
m m m
x
m m m
− + ≠ ⇒ ≠
− − + +
⇒ = −
− + +
và
2m ≠

2) (m-1)(m+2) = 0
a) m – 1 = 0
⇒
m=1, phương trình có dạng 0.x = 0

⇒
phương trình có nghiệm tuỳ ý
b) m = -2
⇒
phương trình có dạng 0.x = 2

⇒
phương trình vơ nghiệm
Kết quả:
1m ≠
và
3 4
2
2
m
m S
m
+
 
≠ ⇒ = −
 
+
 
m =1
⇒

S = R
m = -2
⇒

S = ∅
e)
2
( 3 2) 2 ( 1)( 2) 2
1)( 1)( 2) 0 1 va a 2
1
1
a a x a a a x a
a a a
x
a
− + = − ⇔ − − = −
− − ≠ ⇒ ≠ ≠
⇒ =
−
2) a = 1
⇒
0.x = -1
⇒

S = ∅
a =2
⇒
0.x = 0
⇒
S = R

122. a)
1
2
1
x a x
x x a
+ −
+ −
+ −
Điều kiện : x
≠
-1 và x
≠
a
Ta đưa phương trình về dạng: 2(a-1)x = (a-1)
2
1) khi
1
a 1 => 1 1
2
1
1
2
a
a
a
x a a a
−
≠ − ⇒ ≠ −
−

≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ −
vậy với giá trị a
≠

1±
thì phương trình có nghiệm
1
2
a
x
−
=
2) Khi a= 1, phương trình có dạng 0.x = 0
Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị
, 1x R x∈ ≠ ±
3) Khi a = -1 => phương trình vơ nghiệm :
S = ∅
b)
2
2 2
3 4 3 1a a a
x a a x x a
− +
+ =
− − +
Điều kiện : x
≠

a±
. Mẫu chung x

2
– a
2
Quy đồng mẫu và khử mẫu, đưa vcề phương trình: (a-1)x = (a-1)(2a-3)
1)Với a = 1 => x = 2a-3
Với điều kiện x
≠
a => 2a – 3
≠
a => a
≠
3
x
≠
-a => 2a -
≠
-a => a
≠
1
Vậy với điều kiện a
≠
1 và a
≠
3, phương trình có nghiệm x = 2a- 3.
2) Với a = 1
Phương trình có dạng 0.x = 0
Nghiệm của phương trìnhb là mọi giá trị
, 1 va x 3x R x∈ ≠ ≠
Kết quả a
≠

1 => S
{ }
2 3a +
a = 1 => S =
{ }
/ va x 1,x 3x x R+ ∈ ≠ ≠
123. điều kiện: a
≠
0, b
≠
0, x
≠
0, x
≠
-(a+b)
Đưa các biểu thức có chứa ẩn về vế trái:
1 1 1 1
a b x x a b
− = +
+ +
Quy đồng mẫu :
( ) ( ) a b)
(*)
( ) ( ) ab
x a b x a b a b x ab
x a b x ab x a b x
− + + + − + + +
= ⇔ =
+ + + +
1) Với a + b

≠
0 thì:
(*)  -x(a+b+x) = ab  x
2
+(a+b)x + ab + 0
 x
2
+ax+bx + ab = 0  x(x+a)+b(x+a) = 0
 (x+a)x+b) = 0
x a
x b
= −

≠

= −

a) Xét giá trị x = -a. để x = -a là ngiệm của phương trình đã cho thì ta phải có :
0 0
( ) 0
a a
a a b b
− ≠ ≠
 
⇔
 
− ≠ − + ≠
 
Vậy với a
≠

0 , b
≠
0 thì x = -a là một nghiệm của phương trình đã cho.
b) Xét giá trị x = -b. Để x = -b là nghiệm của phương trình đã cho thì ta phải có:
0 0
( ) 0
b a
b a b b
− ≠ ≠
 
⇔
 
− ≠ − + ≠
 
Vậy với a
≠
0 , b
≠
0, b cũng là một nghiệm của phương trình đã cho..
2 Với a + b = 0 , phương trình (*) được nghiệm với mọi
voi a 0, 0x R b∈ ≠ ≠
Trong trường hợp này nghiệm của phương trình đã cho là
v x 0x R a∈ ≠
Kết quả:
- Nếu a
≠
0, b
≠
0 thì S=
{ }

;a b− −
- Nếu a
≠
0, b
≠
0 và a+ b = 0 thì S
{ }
/ , 0x x R x∈ ≠
124. Phương trình đã cho tương đương với phương trình :
4
1 1 4
1 1 1 4
( ) 0
a b x a c x b c x x
c b a a b c
a b c x
a b c a b c
+ − + − + −
    
+ + + = −
 ÷  ÷ ÷
+ +
    
 
⇔ + + − + + − =
 ÷
+ +
 
a) Nếu
1 1 1 4

a b c a b c
+ + ≠
+ +
 Phương trình đã cho có nghiệm x = a + b + c => S =
{ }
a b c+ +
b) Nếu
1 1 1 4
a b c a b c
+ + =
+ +
 Phương trình đã cho được nghiệm đúng với mọi x
:R S R∈ =
125.
2
2
1
x a x
ax bx
+ −
+ =
+
Điều kiện x
≠
-1 và x
≠
0
Mẫu chung : x(x+1)
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta đưa về phương trình : (a-3)x=2
Phương trình vô nghiệm khi a – 3 = 0 => a = 3

Ngoài ra, khi x
≠
3 =>
2
3
x
a
=
−
Kết hợp với điều kiện x
≠
-1
2
1
3
3 2
1
a
a
a
⇒ ≠ −
−
⇒ − + ≠
⇒ ≠
Do
2
0
3a
≠
−

nên không có giá trị nào để x = 0
Kết quả : phương trình vô nghiệm với các giá trị a = 3, a = 1
126. phương trình được đưa về : (m+2n-1)x = 2 + m –n
Để phương trình có vô số nghiệm thì:
m+ 2n -1 = 0 (1)
và 2 + m –n = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta rút ra m = -1, n= 1