Kiến thức cơ bản và nâng cao chương II: Hàm số bậc I+II

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
Bài 1: HÀM SỐ
Tóm tắt lý thuyết:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số:
Phương pháp:
Muốn tìm tập xác định của hàm số
( )y f x
=
, ta tìm các số
x
sao cho biểu thức
( )f x

có nghĩa.

1/ Định nghĩa: Cho tập D khác rỗng và
D ⊂ ¡
.
Nếu với mọi giá trị của
x
thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập
số thực
¡
thì ta có một hàm số.
Ta gọi
x
là biến số và y là hàm số của
x
.
Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Tuy nhiên ta thường gọi tắt hàm số
( )f x
hoặc hàm số
( )f x
.
2/Cách cho hàm số: một hàm số có thể được cho bằng các cách sau:
Hàm số cho bằng bảng.
Hàm số cho bằng biểu đồ.
Hàm số cho bằng công thức.
3/ Tập xác định của hàm số cho bởi biểu thức
( )y f x=
: là tập hợp tất cả các số
x
sao
cho biểu thức
( )f x
có nghĩa.
4/ Đồ thị của hàm số: cho hàm số
( )y f x=
xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
0 0
( ; )M x y
trên mặt phẳng toạ độ với mọi x
0
thuộc tập D và
0 0
( )y f x=
.
5/ Sự biến thiên của hàm số: cho hàm số
( )y f x=

xác định trên khoảng
( ; )a b ⊂ ¡
.
Hàm số
( )y f x=
gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a;b) nếu
1 2 1 2 1 2
, ( ; ) : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
.
Hàm số
( )y f x=
gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a;b) nếu
1 2 1 2 1 2
, ( ; ) : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
.
Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch
biến của nó.Kết quả được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
6/ Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Cho hàm số
( )y f x=
với tập xác định D.
( )y f x=
gọi là hàm số chẵn trên D
*
* ( ) ( ),
x D x D
f x f x x D
∀ ∈ ⇒ − ∈

⇔


− = ∀ ∈

( )y f x=
gọi là hàm số lẻ trên D
*
* ( ) ( ),
x D x D
f x f x x D
∀ ∈ ⇒ − ∈

⇔

− = − ∀ ∈

Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Một số trường hợp cần nhớ:
Hàm số dạng
điều kiện để biểu thức
( )f x
có nghĩa
( )
( )
( )
P x
f x
Q x
=

( ), ( )P x Q x
là đa thức theo
x
( ) 0Q x ≠
( ) ( )f x P x=
( ) 0P x ≥
( )
( )
( )
P x
f x
Q x
=
( ) 0Q x >
Bài 1.1 Tìm tập xác định của hàm số:
2 1
)
3
x
a y
x
+
=
−
3 1
)
2 3
x
b y
x

−
=
+
2
2 1
)
3 2
x
c y
x x
−
=
− +
2
2
)
4
x
d y
x
+
=
−
2
2 1
)
1
x
e y
x x

+
=
+ +
2
) 2 5f y x x= − + +
2
2
4
)
( 4 )( 1)
x x
h y
x x x
+ −
=
− −
2
2
6
)
( 2 2)
x x
i y
x x
− −
=
+ +
Bài 1.2 Tìm tập xác định của hàm số:
) 4 2a y x= − ) 1k y x= +
) 4 2 1l y x x= − + + ) 5 3 1m y x x= − + −

4 1
)
4
x
e y
x
−
=
−
) 4 2a y x= −
Bài 2: HÀM SỐ y= a.x+b
Tóm tắt lý thuyết:
Hàm số bậc nhất có dạng:
( 0)y ax b a= + ≠
1. Tập xác định:
D = ¡
2. Chiều biến thiên:
Định lý: Nếu
0a >
thì hàm số
y ax b= +
đồng biến trên
¡
.
Nếu
0a <
thì hàm số
y ax b= +
nghịch biến trên

¡
.
Bảng biến thiên:
Đồ thị là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa độ.
Để vẽ đường thẳng
y ax b= +
chỉ cần xác định hai điểm khác nhau của nó.
Hàm số hằng
y b=
:
Tập xác định:
D = ¡
Hàm số hằng là hàm số chẵn. Đồ thị là một đường thẳng trùng phương với trục hoành và
cắt trục tung tại điểm có tung độ là b.
Hàm số
y x=
Tập xác định:
D = ¡
Hàm số
y x=
là hàm số chẳn. Hàm số đồng biến trên khoảng
(0; )+∞
và nghịch biến trên
khoảng
( ;0)−∞
.
PHẦN BÀI TẬP:
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
( 0)y ax b a= + ≠


Phương pháp:
Xác định hai điểm của đường thẳng bằng cách cho x hai giá trị
1 2 1 2
, ( )x x x x≠
rồi tính
1 2
,y y
.
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm
1 1
( ; )x y
và
2 2
( ; )x y
Bài 2.1 Vẽ đồ thị các hàm số:
) 2 4a y x= − ) 3 5b y x= − +
1
) 1
2
c y x
−
= +
) 2d y x= −
) 2 3e y x= − ) 2f y = −
) 3 3g y x= −
2
) 5
2
h y x= −
Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số cho bởi nhiều cơng thức

Phương pháp:
Xác định cơng thức với tập xác định đã cho.
Vẽ đồ thị xác định bởi cơng thức đó trên tập xác định đã cho.
Đồ thị cần vẽ là hợp các đồ thị thành phần trên cùng một hệ toạ độ.
Bài 2.2 Vẽ đồ thị các hàm số sau:
1 , 1
)
2 4 , 1
x x
a y
x x
+ ≥

=

− + <

) 1b y x= +
Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số y=
bax
+

Có thể vẽ đthò của hs
y=
bax
+
bằng cách : vẽ 2 đthẳng y=ax+b và y= -ax-b rồi xoá phần đthẳng nằm ở phiá dưới
trục hoành
Ví d ụ : Vẽ đồ thị các hàm số sau:
1) y=

x x1 2 2+ − −
; 2) y=
x x x1 2 3+ + − − −
;
3) y=
x x x3 2 2 1 2 3+ − − − −
; 4) y=
x x1 ( 2)− −
Dạng 4: Lập phương trình đường thẳng
a) Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
và có hệ số góc k có dạng:
( )
A A
y y k x x− = −
.
b) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A,B có dạng:
y ax b= +
(1)
Thế toạ độ A,B vào (1) ta được hệ phương trình 2 ẩn a,b.
Giải hệ phương trình này ta tính được a,b.
Bài 2.3 Định a và b sao cho đồ thị của hàm số
y ax b= +
:
a) Đi qua hai điểm
(2;8)A
và
( 1;0)B −

.
b) Đi qua điểm
(5;3)C
và song song với đường thẳng (d):
2 8y x= − −
.
c) Đi qua điểm
(3; 2)D −
và vng góc với đường thẳng
1
( ) : 3 4d y x= −
.
d) Đi qua điểm
(1; 2)E −
và có hệ số góc là
1
2
.
BÀI TẬP NÂNG CAO:
Bài 1. Tìm m để 3 đường sau phân biệt và đồng quy:
1 2 3
) ( ) : 3 2 ; ( ) : 3 ( ) : 5a d y x d y x d y mx= + = − − = +
.

1 2 3
) ( ) :5 2 0 ; ( ) : 10 2 ( ) :b d x y d y x d y x m− + = = + = +
1 2 3
) ( ) : 5( 1) ; ( ) : 3 ( ) : 3c d y x d y mx d y x m= − + = + = +
Ứng dụng 1:Tìm gtnn và gtln của hàm số
Nhận xét:Cho hàm số y=f(x) xác định trên D. Khi đó điển có tung độ thấp nhất

(cao nhất) trên đồ thị là điểm mà hàm số đạt gtnn (gtln) và tung độ của điểm đó là
gtnn (gtln)
Bài 2: Tìm gtnn hoặc gtln của các hàm số sau:
1)y=
x x1 2 2+ − −
; 2)y=
x x x1 2 3+ + − − −
;
3)y=
x x x3 2 2 1 2 3+ − − − −
Bài 3: Biện luận số no của các pt sau:
1)
x x1 2 2+ − −
=3m+2;
2)
x x x3 2 2 1 2 3+ − − − −
=-3m+1; 3)
x x1 ( 2)− −
=2m-3
Bài 3: HÀM SỐ BẬC HAI
Tóm tắt lý thuyết:
1. Định nghĩa:
Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng biểu thức có dạng:
2
y ax bx c= + +
trong đó
a,b,c là các hằng số và
0a ≠
.
2. Đồ thị:

a) Đồ thị hàm số
2
( 0)y ax a= ≠
là một parabol (P) có:
Đỉnh là gốc tọa độ O(0;0)
Trục đối xứng là oy.
Bề lõm hướng lên trên khi a>0 và hướng xuống dưới khi a<0.
b) Đồ thị hàm số
2
( 0)y ax bx c a= + + ≠

Tính chất của đồ thị:
Đỉnh
( ; )
2 4
b
a a
− −∆
trục đối xứng là đường thẳng
2
b
x
a
−
=
Bề lõm hướng lên trên khi a>0 và hướng xuống dưới khi a<0.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Dạng 1: Khảo sát và đồ thị hàm bậc hai
Phương pháp:

Tập xác định
D = ¡
Xác định toạ độ đỉnh
( ; )
2 4
b
I
a a
− −∆
Lập bảng biến thiên.
Xác định giao điểm với trục oy C(0;c).
Xác định giao điểm với trục ox (nếu có).
Khi
0
∆ >
các giao điểm là:
( ;0) ; ( ;0)
2 2
b b
A B
a a
− − ∆ − + ∆
Vẽ Parabol (P) đi qua C,I và A,B (nếu có) và ( P) luôn nhận đường thẳng
2
b
x
a
−
=
làm trục đối xứng.

Bài 3.1 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
2
) 3 4 1a y x x= − +
2
) 3 2 1b y x x= − + +
2
) 4 4 1c y x x= − +
2
) 1d y x x= − + −
Dạng 2: Xác định Parabol (P) khi biết các thành phần để xác định Parabol đó.
Phương pháp:
Parabol (P):
2
( 0)y ax bx c a= + + ≠
Từ các thành phần đã biết để xác định a,b,c.
Bài 3.2 Xác định Parabol (P)
2
2y ax bx= + +
biết rằng Parabol đó:
a) đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8).
b) Đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng
3
2
x
−
=
.
c) Có đỉnh I(2;-2).
BÀI TẬP NÂNG CAO:
Bài 3.3 Xác định Parabol (P)

2
2y ax bx= + +
biết rằng:
a) (P) đi qua điểm A(0;-1) ,B(1;-1) và C(-1;1).
b) Đi qua điểm A(8;0) và có đỉnh I(6;-12).
Bài 3.4 . Cho hàm số: y = x
2
– 2x – 3 (P)
a/ Vẽ đồ thị hàm số. b/ Từ đồ thị đó, hãy chỉ ra những giá trị của x để y < 0.
c/ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. d/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đ/ thẳng (d):y= x+1
d/ Từ đồ thị đó hãy suy ra đồ thị của hàm số:
2
2 3y x x= − −
,
2
2 3y x x= − −
;
2
2 3y x x= − −
e/Tìm m để phương trình:
2
2 3 0x x m− − − =
có 4 nghiệm,có 2 nghiệm
Bài 3.5. Tìm phương trình của parabol: y = ax
2
+ bx + c biết rằng
a/ Parabol đi qua 3 điểm A(0,-1) , B(1,-1),C(-1,1).b/ Parabol điqua M(0,1) và có đỉnh I(-2 , 5).
Bài 3.6. Tìm gtnn hoặc gtln của các hàm số sau:
1) y=
x x x

2
1 3 5+ − + −
; 2) y=
x x x
2
1 3 2− − − +
;
3) y=3x
2
-5x+7 trên [-5;5]
Bài 3.7. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
1) y=
x x1 ( 2)− −
;5)y=
x x
2
4 5− −
;
