SKKN vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử giải các bài toán

Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán

Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
A. Đặt vấn đề:
Toán là môn học cơ bản trong chương trình phổ thông. Học toán hay giải toán là
yêu cầu thường xuyên của mọi hoạt động và suy nghĩ. Do đó trong dạy học toán nói
chung cũng như quá trình dạy học giải toán đại số nói riêng người dạy và người học
cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi học xong lý thuyết để vận dụng
vào việc thực hành có hiệu quả. Người giáo viên phải biết cách phân tích và lựa
chọn các dạng bài tập. Qua đó bản thân tôi là một giáo viên dạy toán luôn suy nghĩ
làm thế nào để học sinh nắm được bài, hiểu bài và biết vân dụng và đạt được kết
quả cao trong các kỳ thi. Cho nên tôi đã tìm tòi và học hỏi đồng nghiệp, tài liệu
tham khảo … để hướng dẫn học sinh biết vận dụng sáng tạo, có hiệu quả “Giải bài
toán vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán” loại bài toán
này quen thuộc với học sinh nhưng để biết cách phân tích mới là khó. Đó là điều
băn khoăn trăn trở của tôi trong quá trình giảng dạy. Từ đó tôi nghĩ đế việc vận
dụng sáng tạo, có hiệu quả giải bài toán vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử là
một phương pháp hay mà các em học sinh chưa được biết và sử dụng.
B. Nội dung:
I. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử .
1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C).
2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.
1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:

4) Phối hợp các phương pháp cơ bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
5)Phương pháp tìm mghiệm của đa thức:
Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

1


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
6)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
7) Phương pháp tách hạng tử:
8) Phương pháp đặt biến phụ:
9)Phương pháp hệ số bất định:
10.Phương pháp dự vào số mủ:
II. Một số dạng toán thường gặp:
Dang 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dang 2: Tính chia hết.
Dang 3: Tìm nghiệm nguyên.
Dang 4: Rút gọn phân thức.
Dang 5: Giải phương trình.
Dang 6: Chứng minh.
Dang 7: Bài toán tìm cực trị.
III. Bài tập vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Các phương pháp thông thường.
a, Cách làm:
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.

+ Phối hợp nhiều phương pháp.
b, Ví dụ:
Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử.
A = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)

(Nhóm các hạng tử)

= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử.
B = a2 - b2 - 2a + 2b
= (a2 - b2) - (3a - 2b)

(Nhóm các hạng tử)

= (a - b) (a + b) - 2(a - b)

(Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)

= (a -b) (a + b - 2)

(Đặt NTC)

Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

2


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
C = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
C = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. (Nhóm các hạng tử)
C = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2 (Đặt NTC)
C = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2 . (Đặt NTC)
C = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] . (Đặt NTC)
C = (a + b)(8a – 2b)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
D= 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy.
D = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1). (Đặt NTC)
D = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)] . (Nhóm các hạng tử)
D = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] . (Dùng hằng đẳng thức)
D = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) . (Dùng hằng đẳng thức)
2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
a) Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.
* Cách làm: Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung, hằng đẳng
thức.
* Ví dụ:
Ví dụ 1:
x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 2:
x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

3


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
b) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
*Cách làm: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du ta
có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa
thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp
được dựa vào các phương pháp nêu ở trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có
x = -1.
⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét được tổng các hệ số như trên thì ta xét các ước của hệ số tự do d
(hệ số không đổi). Nếu ước nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước đó là
nghiệm.
*Ví dụ:
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - 4
Ta nhìn thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1; ±2; ±4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là
nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các
nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1:

( x3 − 2x2 ) + ( x2 − 2x ) + ( 2x − 4) = x2 ( x − 2) + x(x − 2) + 2(x − 2)

x3 – x2 – 4 =

(

( x − 2 ) x2 + x + 2

=

)

Cách 2:

(

) (

)

x3 − x 2 − 4 = x3 − 8 − x2 + 4 = x3 − 8 − x 2 − 4 = ( x − 2)( x2 + 2 x + 4) − ( x − 2)( x + 2)

(

)

 2

2
= ( x − 2 )  x + 2 x + 4 − ( x + 2)  = ( x − 2)( x + x + 2)




Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: ±1, ±5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên.
Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

4


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
1
Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
3
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =

(

) (

)

3x3 − x 2 − 6 x2 + 2 x + 15 x − 5 = 3x3 − x 2 − 6 x 2 − 2 x + ( 15 x − 5 )
= x 2 (3x −1) − 2 x(3x −1) + 5(3x −1) = (3x −1)( x 2 − 2 x + 5)
Vì x 2 − 2 x + 5 = ( x2 − 2 x + 1) + 4 = ( x −1)2 + 4 > 0 với mọi x nên không phân tích
được thành nhân tử nữa
Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4)
= x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2

Ví dụ 4. Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Nhận xét: Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x)
cho (x – 1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Và x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ
nên không phân tích được nữa
Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ⇒ x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2
Xét các Ư(2) = ± 2 có x = -2 là nghiệm của E2
⇒ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1)

(Chia E2 cho(x - 2))

E2 = (x + 2) (x -1)2
Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

5


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
* Cách làm:
- Làm xuất hiện nhân tử chung.
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức.

* Ví dụ:
Ví dụ 1:
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Ta thấy 0 không phải là nghiệm của đa thức
6
1
Ta có: x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – x + 2 )
x
= x2 [(x2 +
Đặt x -

1
1
) + 6(x )+7]
2
x
x

1
1
= y thì x2 + 2 = y2 + 2, do đó
x
x

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -

1 2
) + 3x]2
x

= (x2 + 3x – 1)2
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
Ví dụ 3: A = ( x2 + y 2 + z 2 )( x + y + z )2 + ( xy + yz +zx)2
2 2
2 2
2
 2
 2
=  ( x + y + z ) + 2( xy + yz +zx)  ( x + y + z ) + ( xy + yz +zx)




Đặt x 2 + y 2 + z 2 = a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

6


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
= ( x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx)2
Ví dụ 4:

B = 2( x4 + y 4 + z 4 ) − ( x2 + y 2 + z 2 )2 − 2( x2 + y 2 + z 2 )( x + y + z )2 + ( x + y + z )4
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cú:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;
B = - 4( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) + 4 (xy + yz + zx)2 =
−4 x2 y 2 − 4 y 2 z 2 − 4 z 2 x2 + 4 x 2 y 2 + 4 y 2 z 2 + 4 z 2 x 2 + 8x 2 yz + 8 xy 2 z + 8xyz 2
= 8 xyz ( x + y + z )
Ví dụ 5: (a + b + c)3 − 4(a3 + b3 + c3 ) − 12abc
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + (a + b + c)3 − 4(a3 + b3 + c3 ) − 12abc ).
Ta có:
3
2
C = (m + c)3 – 4. m + 3mn − 4c3 − 3c(m2 - n 2 ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
4
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12
y = x2+ x = x(x + 1) D1 = y2 + 4y - 12
D = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)
D = y (y - 2) + 6(y - 2)
D = (y – 2)(y + 6)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2).

Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

7

Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
d) Ph ương pháp hệ số bất định :
* Cách làm:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q
là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
f(-1)
và
đều là số
a-1
a+1

nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
* Ví dụ:
Ví dụ 1.

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Nhận xét: các số ± 1, ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm
nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ.
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
 a + c = −6
 ac + b + d = 12



 ad + bc = −14

đồng nhất đa thức này với đa thức đó cho ta có: bd = 3

Xét bd = 3 với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3} với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
 a + c = −6
 ac = −8
2c = −8 c = −4

⇒
⇒

a
+
3
c
=
−
14
ac
=
8

a = −2

bd = 3

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

Ví dụ 2.

2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)

Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

8


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
 a − 4 = −3
b − 2a = −7 a = 1


⇒ b = −5

c − 2b = 6
c = −4


−
2
c
=
8
4
3

2
= 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c ⇒ 

Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc
chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên
2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Ví dụ 3.

12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)

= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3
 ac = 12
bc + ad = −10  a = 4
c = 3


⇒
3c − a = 5
bd = −12
b = −6

d = 2
3
d
−
b
=
12


⇒
⇒ 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)

10.Phương pháp dự vào số mủ:
*Cách làm:
Đa thức xa + xb + 1 Nếu có a chia 3 dư 2, b chia 3 dư 1. Thêm bớt cùng hạng tử để
biến đổi đa thức xa + xb + 1 đó về tích có chứa nhân tử x2 + x + 1
* Ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử x5 + x4 + 1
= x5 + x4 + x3 – x3 – x2 – x + x2 +x + 1
= x3(x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + x2 + x + 1
= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x10 + x5 + 1
= x10 + x9 + x8 - x9– x8 – x7 + x7 + x6 +x5 – x6 –x5 – x4 + x5 + x4 + x3 – x3 – x2
– x + x2 + x + 1
= x8(x2 + x + 1) - x7 (x2 + x + 1) + x5(x2 + x + 1) – x4(x2 + x + 1) +x3(x2 + x + 1)
- x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)( x8- x7 + x5 – x4 +x3 - x2 + 1)

Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

9


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
IV. Một số bài tập phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập vận dụng phân
tích đa thức thành nhân tử.
1. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức)

a) 25x2 - 10xy + y2
b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
c) 81x2 – 64y2
d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2
e) ( a 2 + b 2 − 5 ) − 4 ( ab + 2 )
2

2

f) ( a + b + c ) − a 3 − b 3 − c 3
3

( Dùng hằng đẳng thức số 3)
( Dùng hằng đẳng thức số 6 và 7)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử)
3
2
2 2
2
a) 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 3
b) x z + x yz − x z − xyz
c) x2y + xy2 – x – y
d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3
f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử)
a) x2 - 6x + 8
b) x2 – 8x + 12
2
2

2
c) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b )
d) x3 – 7x – 6
( Tách c - a = c - b + b - a)
( Tách - 7x = -4x - 3x )
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử )
a) x4 + 4
b) a4 + 64
c) x5 + x + 1
d) x5 + x - 1
Bài 4*: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
Bài giải mẫu : (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
Đặt: x2 + x + 1 = y , ta có x2 + x + 2 = y + 1 .
Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12 = y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4)
Thay x2 + x + 1 = y , ta được :
(x2 + x + 1 – 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5)
= [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5)
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
2
2
c) (x + 8x + 7)( x + 8x + 15) + 15
d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phối hợp nhiều phương pháp )
a) x2 + 4xy + 3y2
b) 2x2 - 5xy + 2y2 ( Tách -5xy = -4xx - xy)
c) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
d) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm)

Định lí ( Bedu) : Dư trong phép chia f(x) cho x - a bằng số a.
Suy ra : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x –
a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
Bài giải mẫu : Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 thành nhân tử
Với x = -1. ( Dùng MTBT để tìm 1 nghiệm)
Ta có : (-1)3 - 5.(-1)2 + 3.(-1) + 9 = -1 - 5 -3 + 9 = 0. Vậy x = -1 là một nghiệm của
đa thức nên đa thức chia hết cho x - (-1) = x + 1.
Từ cơ sở trên, ta phân tích đa thức thành :
x3 – 5x2 + 3x + 9 = x3 + x2 – 6x2 - 6x + 9x + 9 ( Để làm xuất hiên nhân tử x + 1)
Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

10


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
= ( x3 + x2) – ( 6x2 + 6x) + ( 9x + 9 ) = x2( x + 1) - 6x( x + 1) + 9( x + 1)
= (x + 1)( x2 - 6x + 9) = ( x + 1)( x - 3)2
a) x2 – 7x + 10
b) 4 x2 – 3x – 1
c) x 2 − x − 12
d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
e) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b)
f) x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 +
2xyz
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử :
( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm và hoán vị vòng)
Bài giải mẫu : Phân tích đa thức a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) thành nhân tử
Xem đa thức với ẩn a. Thay a = b. Ta có :
b(b2 – c2) – b(b2 – c2) + c(b2 – b2) = 0. Vậy a = b là một nghiệm của đa thức
nên đa thức chia hết cho a - b.

Mặt khác: a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2)
nên vai trò của a, b và c là như nhau, suy ra đa thức cũng chia hết cho b - c; c -a.
+ Bậc của đa thức đã cho bằng 3.
Suy ra : a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = k(a-b)(b-c)(c-a) Với k ∈ Z
Cho a = 0; b = 1; c = 2. Ta có :
0 ×( 12 − 2 2 ) − 1 ×( 02 − 2 2 ) + 2 ×( 02 − 12 ) = k ( 0 − 1) ( 1 − 2 ) ( 2 − 0 )
⇔ 2 = 2k ⇔ k = 1 . Vậy a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = (a-b)(b-c)(c-a)
a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

d) bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc

2.BÀI TẬP VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Tìm x , biết :
a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0
b) 5x(x – 3) + 3 – x = 0
2
2
2
2
c) (5x + 3x – 2 ) = (4x – 3x – 2 )
d) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n ∈ Z.
Bài 3: Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 4: Chứng minh rẳng :
a) 24 n M
b) 55n+1 – 552 chia hết cho 54

15
Bài 5: Cho x + y = -3 và x.y = -28. Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.
a) x2 + y2
b) x3 + y3
c) x4 + y4
2
2
2
Bài 6: a) Cho a + b + c + 3 = 2 ( a + b + c ) . Chứng minh : a = b = c = 1.

b) Cho ( a + b + c ) = 3 ( ab + ac + bc ) . Chứng minh : a = b = c. ( nhân 2 vế cho 2)
Chuyển về dạng bình phương của tổng hoặc hiệu
2

Bài 7:
Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

11


Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán
a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của : a4 + b4 + c4.
b) Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2011 + (y - 1)2012 + (z +1)2013
Bài 8: Chứng minh rằng:
a) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ ab + ac + ad

b) a 2 + 4b 2 + 4c 2 ≥ 4ab − 4ac + 8bc

Bài 9: Chứng minh rằng:

Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z 3 = 3xyz
Bài 10: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc
( Viết về dạng bình phương của một tổng)
Bài 11: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M=

a 3 − 4a 2 − a + 4
với a = 102
a 3 − 7 a + 14a − 8

Bài 12: Giải các phương trình sau:
.a)

y2 - 5y + 4 = 0.

Bài 13: Chứng minh rằng đa thức sau.
a)

A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24.

Với a là một số tự nhiên.
b)

B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24.

Với n là số nguyên dương tuỳ ý.
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12

Người thực hiện : Nguyễn Đình Thanh

12