SKKN phân tích đa thức thành nhân tử

Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
phần một : mở đầu
1.ý do chọn đề tài.
Đa thức và phân tích đa thức thành phân tử là một trong những nội dung
kiến thức cơ bản, trọng tâm trong chơng trình toán ở trờng phổ thông. Đặc biệt là
chơng trình Đại số ở trờng THCS, nó là cơ sở xây dựng nhiều nội dung kiến thức,
nhiều dạng bài toán khác nhau trong chơng trình nh : Quy đồng và rút gọn phân
thức, giải phơng trình, nhất là phơng trình bậc cao, giải bất phơng trình, chứng
minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm cực trị.
Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản
quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả
năng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong chơng trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng
nh nhiều vấn đề toán học khác có liên quan, tìm đợc lời giải và lời giải tối u cho
một bài toán. Nhng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó
khăn đối với học sinh, đó là trong trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ
số lớn, phức tạp, do đó nếu áp dụng những phơng pháp thông thờng đã đợc học
nh trong sách giáo khoa thì học sinh không thể phân tích đợc thành nhân tử.
Ngoài ra còn có những đa thức không có nghiệm thực thì học sinh không thể
phân tích đợc thành nhân tử. Vì vậy một câu hỏi thờng đợc đặt ra trong trờng hợp
này là: Những đa thức nào thì không thể phân tích đợc thành nhân tử ? Nếu trả
lời đợc câu hỏi trên, học sinh sẽ có khả năng giải đợc một cách nhanh gọn một
số bài tập cụ thể.
Ví dụ: Khi xét một phơng trình bậc hai, học sinh có thể kết luận đợc phơng
Ngời thực hiện :
2
Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
trình đó có hay không có nghiệm thực mà không cần giải phơng trình . Bên cạnh
đó ngoài những phơng pháp thông thờng còn có thể sử dụng một số phơng pháp
để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trờng hợp nhất định, những
phơng pháp này trong trơng trình của sách giáo khoa cha có điều kiện để đề cập
đến nhng nếu đợc giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể có hiểu đợc một

cách toàn diện hơn về lý thuyết có kỹ năng giải các bài toán tổng hợp một cách
nhanh chóng . Để có thể cung cấp cho học sinh một cách hệ thống đa thức,
phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần phải hiểu và nắm vững các kiến
thức về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức một cách chính
xác, có hệ thống, hiểu đợc gốc của mọi vấn đề. Từ đó giáo viên biết đợc phải cho
và chỉ cần cho học sinh biết những điều gì và đến chừng mực nào để có thể vận
dụng hợp lý, đa vào bài giảng của mình những nội dung kiến thức phù hợp với
trình độ của học sinh, đa ra những bài tập thích hợp .
2. Mục đích nghiên cứu :
- Vận dụng những kiến thức về cấu trúc đại số, về lý thuyết trờng vào giảng
dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở ch ơng trình đại số ở các
lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phân tích đa
thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp.
3. Nhiêm vụ nghiên cứu:
3.1. Về lý thuyết:
- Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức cơ bản :
+ Các cấu trúc đại số : Nhóm, vành,Trờng, vành đa thức.
Ngời thực hiện :
3
Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
+ Các khái niệm về đa thức, nghiệm của da thức, đa thức bất khả quy.
+Một số định lý về nghiệm của đa thức.
+Một số định lý, mệnh đề về phân tích đa thức thành tích của các đa thức bất
khả quy
3.2. Về thực tiễn giảng dạy:
- Nghiên cứu nội dung, chơng trình sách giáo khoa để nắm đợc mức độ, giới hạn
nộidung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh.
- Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phần đa
thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chơng trình đại số THCS.
- Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thức thành

nhân tử.
4. Ph ơng pháp nghiên cứu:
- Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết.
- Phơng pháp thử nghiệm s phạm.
- Phơng pháp điều tra thực tiễn.
5.Giới hạn phạm vi nghiên cứu .
- Đề tài chỉ tâp trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đa thức
một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích đa thức ( một
ẩn ) thành nhân tử ở chơng trình đại số lớp 8 và ứng dụng của việc phân tích đa
thức thành nhân tử vào giải các phơng trình bậc cao cho học sinh trong việc mở
rộng kiến thức.
1.1.Định nghĩa nhóm, nhóm giao hoán, nhóm:
Ngời thực hiện :
4
Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
- Một vị nhóm A đợc gọi là một nhóm nếu với mỗi phần tử a A sao cho aa
= e = aa.
a đợc gọi là phần tử nghịch đảo của a và đợc ký hiệu bởi a
-1
- Một vị nhóm cộng A đợc gọi là một nhóm nếu vời mỗi phần tử a A đều tồn
tại một phần tử a Asao cho a + a = 0 = a+ a.
a đợc gọi là phần tử đối của a và đợc ký hiệu bởi a.
- Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là một nhóm
giao hoán hay một nhóm aben.
- Một tập hợp con B của nhóm A đợc gọi là một nhóm con của nhóm A nếu B
cũng là nhóm đối với phép toán trong A.
1.2 Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con.
-Tập hợp A đợc gọi là một vành nếu trên A có phép cộng và phép nhân soa cho:
+ A với phép cộng là một nhóm giao hoán.
+ A với phép nhân là một vị nhóm.

+ Phép nhân phân phối đối với phép cộng.
- Vành A đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân giao hoán. Một tập con B của
vành A đợc gọi là một vành con củaA nếu B là một vành đối với phép toán trong
A.
1.3Định nghĩa trờng, trờng con.
- Một trờng là một vành giao hoán có đơn vị khác 0 và mọi phần tử khác
không đều có nghịch đảo .
- Một tập con B có ít nhất là hai phần tử của trờng A đợc gọi là một trờng con
Ngời thực hiện :
5
Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
của A nếu B cũng là một trờng đối với các phép toán trong A.
2.Nhắc lại về đa thức :
2.1. Định nghĩa vành đa thức một ẩn:
- Giả sử A là một vành của E giao hoán có đơn vị ,u E. Phần tử : a
0
+a
1
u+a
2
u
2
+
+a
n
u
n
+(1)-trong đó a
i
A, (với mọi i=0,1,n,) và chỉ có một số hữu hạn a

i
0
đợc gọi là một đa thức của phần tử u trên vành A.
Tập hợp các đa thức của u trên vành A đợc kí hiệu là [u].
- Khi coi u là môt phần tử tuỳ ý thì ta gọi u là một ẩn , mỗi đa thức
của u đợc ký hiệu là f(u),g(u)và đợc gọi là đa thức của ẩn u.
- Nếu tồn tại một đa thức dạng (1) với các a
i
không đồng thời bằng 0 mà a
0
+a
1
u
+a
2
u
2
++a
n
u
n
= 0 E thì ta nói u là một phần tử đại số trên A.
Trái lại ta nói u là một phần tử siêu viêt trên A.
Định nghĩa giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn:
Giả sử f(x) =a
0
+a
1
x +a
2

x
2
++a
n
x
n

xK

và


k. Nếu trong đa thức f(x) ta
thay x =

thì f
( )

=a
0
+a
1


+a
2


2
++a

n


n


K .f
( )

đợc gọi là giá trị của đa
thức f(x) tại x =

2.2 Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết ,phép chia có d ) và hệ quả :
- Định lý :
Giả sử K[ x] là vành đa thức trên trờng K. Khi đó với hai đa thức bất kỳ f (x),
g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai đa thức q (x) và r (x) sao cho f(x) = g(x) .
q(x) +r(x); r(x) = 0 hoặc bậc r(x) < bậc g(x) .
Ngời thực hiện :
6
Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
q(x) đợc gọi là thơng , r(x) đợc gọi là d trong phép chia đa thức đa thức f(x) cho
đa thức g(x) .
Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x)

g(x)
Nếu f(x)

0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) còn d
- Hệ quả :
Giả sử K là một trờng , f(x)

K (x) và



K . Khi đó f(

) là d trong
phép chia f(x) cho x-

2.3 Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn .
- Giả sử A là một vành .Phần tử


A đợc gọi là nghiệm của đa thức .
f(x)
[ ]
x

nếu f(

) = 0
2.4 Định lý Bơ du về nghiệm của một đa thức :
Giả sử K là một trờng . Phần tử


K là nghiệm của đa thức f(x)

K [x] khi
và chỉ khi f(x) chia hết cho nhị thức x-

.
3. Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử :
3.1, Định nghĩa đa thức bất khả quy :
- Đa thức f (x)

0 và khác ớc của 1 đợc gọi là đa thức bất khả quy nếu t đẳng
thức f(x) =g(x) . h(x)suy ra g(x) lả ớc của đơn vị .
3.2. Tiêu chẩn Aidenxtainơ về đa thức bất khả quy :
-Giả sử f(x) =a
0
+a
1
x+a
2
x
2
++a
n
x
n
,vứi các a
1
Z
Nếu có một số nguyên tố p thỏa mãn các điều kiện sau:
i) p không phải là ớc của a
n
ii) p là ớc của a
1
với i = 0,1,2,,n-1.

Ngời thực hiện :
7
Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
iii) p
2
không phải là ớc của a
0
thì f(x) là đa thức bất khả quy trong Q(x)
3.3.Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy :
3.3.1. Giả sử R là trờng số thực .Trong R(x) mọi đa thức bậc nhất ax+b và mọi đa
thức bậc hai ax
2
+bx +c với biệt thức = b
2
- 4ac < 0 đều là đa thức bất khả quy.
Ngợc lại mọi đa thức bất khả quy trong R
x
đều là đa thức bậc nhất hoặc là
đa thức bậc hai ax
2
+bx+c với biệt thức < 0
3.3.2. Giả sử K là một trờng. Nếu p(x) là một đa thức bất khả quy thuộc K
x
còn f(x) là một đa thức tùy ý thuộc k
x
thì f(x) chia hết cho p(x) hoặc f(x)
nguyên tố với p(x) .
3.3.3.Giả sử K là một trờng .Trong vành K
x
, nếu đa thức bất khả quy p(x) là ớc

của tích f(x) .g(x) thì p(x) là ớc của f(x) hoặc g(x).
3.3.4. Giả sử K là một trờng .Trong vành K
x
, nếu tích f(x) .g(x) chia hết cho
h(x) đa thức bất khả quy p(x) và ( h(x), g(x)) = 1 thì f(x) chia hết cho h(x) .
3.3.5. Giả sử K là một trờng. Trong vành K
x
,nếu f(x) chia hết cho hai đa thức
nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho tích của chúng .
3.4. Định lý về sự phân tích một đa thức ( có bậc n

1) thành tích các đa thức bất
khả quy .
- Giả sử K là một trờng .Mỗi đa thức f(x) K
x
có bậc lớn hơn 1 đều có thể
phân tích đợc thành tích của các đa thức bất khả quy .
II. Vận dụng các nội dung lý thuyết trên vào giảng dạy:
1. Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chơng trình sách giáo khoa :
Ngời thực hiện :
8
Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
- Trong chơng trình đại số lớp 7, ở chơng IV, học sinh đã đợc học khái niệm đa
thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn, định
nghĩa nghiệm của một đa thức và bớc đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm của
một đa thức đơn giản ( bậc nhất, bậc hai)
- ở chơng I của sách giáo khoa môn đại số lớp 8, học sinh đã đợc học về các
phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức ( phép chia
hết và phép chia có d ) nhng học sinh mới chỉ biết cách phân tích thành nhân tử
các đa thức tơng đói đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông thờng, cha có

sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức đó thành nhân tử, về
giá trị của đa thức,d trong phép chia của đa thức với việc tìm nhiệm của đa thức
nên học sinh cha có sự hiểu biết một cách toàn diện và có hệ thống về đa thức.
-Trong trơng trình cuối của chơng trình Đại số lớp 8, học sinh xẽ đợc học về ph-
ơng trình và cách giải một số phơng trình, trong đó có cách giải một số phơng
trình bậc cao bằng cách đa về phơng trình tích. Để có thể đa các phơng trình bậc
cao về dạng phơng trình tích để giải, học sinh cần phải thành thạo kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử và việc phân tích đa thức thành nhân tử lúc này có thể
thực hiện với đa thức phức tạp hơn rất nhiều so với các dạng đa thức mà học sinh
đã đợc làm quen trớc đó. Trong một số trờng hợp, các đa thức cần phân tích
thành nhân tử có bậc cao, lại không có nghiệm hữu tỉ, do đó việc áp dụng phơng
pháp cơ bản để phân tích là rất khó khăn hoặc không thể thực hiện đợc, đôi khi
có thể gặp những đa thức không có nghiệm (thực) nên không thể phân tích đ ợc
thành nhân tử.
Ngời thực hiện :
9
Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
2. những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong
quá trình giảng dạy về đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử :
2.2. các khái niệm cơ bản:
2.1.1. Đa thức:
- Đa thức là một biểu thức đại số trong đó phép tính thực hiện đối với các biến
chỉ là phép cộng, trừ, nhân. (đa thức là một biểu thức nguyên )
Ví dụ:
Biểu thức: f(x) = 2x
3
- 5x
2
+ 2x + 4 là một đa thức của biến (ẩn) x.
Biểu thức: g(y) = 3y

2
+ 7y - 1 là một đa thức của biến (ẩn) y.
Biểu thức: h(x,y) = 2x
3
y - x
2
y
2
- y
3
+ 1 là một đa thức của hai biến (ẩn)x và
y.
2.1.2.Giá trị của một đa thức tại một giá trị của ẩn:
Xét đa thức f(x), nếu thay x = a là một giá trị số cụ thể ta sẽ tính đợc một
giá trị cụ thể của f(x) = f(a) gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x = a.
Ví dụ:
Xét biểu thức : f(x) = x
3
- 4x
2
+ 2x + 4
Nếu thay x=1 vào đa thức ta sẽ có f(1) =1
3
4.1
2
+ 2.1 + 4 = 3 là giá trị
của đa thức f(x) tại x = 1.
2.1.3. Nghiệm của một đa thức:
- Định nghĩa : Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x)(hay là nghiệm của phơng
trình f(x) = 0) nếu f(a) = 0.

Ví dụ:
Ngời thực hiện :
10
Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử
i) Xét đa thức f(x) = x
3
- 4x
2
+ 2x + 4
Nếu thay x = 2 vào đa thức, ta có: f(2) =2
3
- 4.2
2
+ 2.2 + 4 = 0
Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức f(x) đã cho
ii) Xét đa thức h(x,y) = x
3
y - x
2
y - y
3
+1
Nếu thay x = 1, y = 1 vào đa thức thì ta có
h(1,1) = 1
3
.1 1
2
.1 1
3
+1

= 1 - 1 1 + 1 = 0
- Định lý : Giả sử P
n
(x) có bậc n

1. Điều kiện cần và đủ để đa thức P
n
(x) có
nghiệm là a là nó chia hết cho x a.
P
n
(x) = (x a).Q(x) (1)
Trong đó Q(x) là đa thức bậc n 1
Chứng minh :
Điều kiện cần :
Nếu P
n
(x) có nghiệm là a, ta chia P
n
(x) cho x a ta có
P
n
(x) = (x a).Q(x) + r (2)
Trong đó Q(x) là đa thức bậc n 1, còn r là đa thức bậc 0, tức r là hằng số
Thay x = a vào 2 vế của (2) ta đợc
P
n
(a) = r = 0 => P
n
(x) chia hết cho x a

Trờng hợp P
n
(x) có bậc là 0 (P
n
(x) = a
n
= const), thì nó bằng 0 với mọi x nếu a
n
= 0 và
khác 0 với mọi x nếu a
n


0
Điều kiện đủ :
Nếu P
n
(x) có dạng nh biểu thức (1) thì rõ ràng P
n
(a) = 0 do đó nó có nghiệm là a.
Ngời thực hiện :
11