SKKN giúp học sinh phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÊN SÁNG KIẾN:

GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ
KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ
CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Quảng Bình, tháng 11 năm 2015


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÊN SÁNG KIẾN:

GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ
KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ
CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Họ và tên: Nguyễn Thị Hà Trang
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS An Thủy

Quảng Bình, tháng 11 năm 2015


1 . PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn sáng kiến:
Toán học là môn khoa học, toán học có vai trò rất quan trọng, là chìa khóa cho

các ngành khoa học khác, toán học đa dạng và phong phú, mỗi nội dung toán học
đều có những đặc trưng và áp dụng của nó. Cùng với sự phát triển của đất nước,
thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, phát triển và hội nhập thì việc tiếp thu khoa
học hiện đại của thế giới. Do sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, kho tàng
kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng, đòi hỏi ngay từ việc học của trò phải
có kiến thức vững vàng, những lập luận chặt chẽ. Những người hướng dẫn các em
tiếp thu kiến thức là những thầy, cô giáo đang trực tiếp giảng dạy các em, nhà
trường không thể luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được, điều
quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm
những kiến thức cần thiết cho bài học, để vận dụng vào làm bài tập.
Qua nhiều năm là giáo viên giảng dạy trên lớp tôi thấy rằng việc truyền thụ kiến
thức cho các em mới chỉ là một chiều, là chỉ mới chỉ cho các em thấy cái đúng, lời
giải đúng, mà chưa chỉ cho các em tìm cái sai trong khi làm toán mà các em hay gặp
để các em suy nghĩ sâu sắc hơn cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ động, sáng
tạo.
Trong chương trình đại số lớp 9 THCS phần kiến thức về căn bậc hai, căn bậc
ba, tôi thấy học sinh còn mắc rất nhiều sai sót khi trình bày một bài toán, có những
lỗi sai mà lẽ ra các em không đáng mắc phải, nhưng vì sao như vậy đó là một câu
hỏi của tôi, làm thế nào để các em trình bày một bài toán được tốt mà ít mắc sai lầm,
và ít bị bỏ quên các điều kiện như vậy.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học tại trường THCS .Tôi
phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn yếu, lời
giải toán còn thiếu nhiều và chưa chặt chẽ theo tư duy toán học do nhiều nguyên
nhân như năng lực tư duy ngôn ngữ, khả năng chuyển thể từ ngôn ngữ văn học
thành các quan hệ toán học, chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực
hiện các phép toán về căn bậc hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiện


sai mục đích …Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được
sự nhầm lẫn đó là cần thiết, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng

kiến thức khi học căn bậc hai, căn bậc ba, tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các
dạng toán cao hơn sau này.
Qua nghiên cứu tài liệu, thực tế giảng dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi rút ra
sáng kiến kinh nghiệm " Giúp học sinh phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải
toán về căn bậc hai, căn bậc ba" nhằm tránh những sai lầm đáng tiếc của học sinh.
1.2. Điểm mới của sáng kiến
Giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập là một
việc làm mà có lẽ rất nhiều giáo viên trong quá trình giảng dạy đã trăn trở nghiên
cứu và áp dụng vào bài dạy của mình. Hơn nữa vấn đề này cũng đã được đề cập
trong nhiều tài liệu nghiên cứu nhằm phát huy được tính tích cực của học sinh, góp
phần đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Tuy nhiên khi áp dụng vào thực tế
bài dạy của mình không phải giáo viên nào cũng biết vận dụng một cách hiệu quả để
có thể dễ dàng nâng cao chất lượng dạy và học bởi vì thực tế chưa có những biện
pháp cụ thể mang tính hệ thống áp dụng cho từng bài dạy do vậy ít nhiều giáo viên
còn có sự lúng túng.
Là một giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy bộ môn Toán Trung học cơ sở,
mỗi lần lên lớp, bản thân tôi luôn băn khoăn trước việc học của các em. Một số em
thường mắc phải những sai lầm đáng tiếc khi giải các bài toán. Đặc biệt, trong các
bài toán về căn bậc hai, căn bậc ba các em thường gặp những thiếu sót trong lời giải
hoặc thậm chí ngộ nhận trong việc tìm hướng giải các bài toán dẫn đến việc không
tìm được lời giải đúng cho bài toán. Vậy làm thế nào để học sinh có thể tự tìm ra sai
lầm của mình, để từ đó khắc phục sai lầm và lĩnh hội kiến thức một cách sâu sắc?
Từ những trăn trở đó, tôi đã nghiên cứu đề tài " Giúp học sinh phát hiện và khắc
phục sai lầm khi giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba". Đề tài không đưa ra ngay
lời giải đúng cho các bài toán mà xuất phát từ những lời giải sai của học sinh, tôi
phân tích những sai lầm mắc phải, để từ đó các em có thể tự nhận ra sai lầm của
mình và tự giải quyết để khắc phục sai lầm đó. Như vậy các em đã chủ động phát


hiện ra kiến thức và tự khắc sâu hơn kiến thức cho chính mình. Đây chính là điểm

mới của sáng kiến này.

1.3. Phạm vi áp dụng sáng kiến:
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thường
mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I –Đại số 9 của
học sinh khối 9.
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập
luận sai, hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác. Từ đó định hướng cho
học sinh phương pháp giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba.

2. PHẦN NỘI DUNG


2.1.

Thực trạng của sáng kiến

Khi dạy học sinh về căn thức bậc hai, căn bậc ba tôi thấy học sinh còn lúng túng
khi trình bày bài toán về căn bậc hai, tôi rất băn khoăn làm thế nào để học sinh làm
tốt được bài tập, không sai sót .
Trước thời gian đó nhiều em học sinh đi thi về cho rằng mình làm tốt bài, song điểm
chưa được cao, chưa tối đa, lỗi vì đâu.
Khi kiểm tra 15 phút của 38 em học sinh lớp 9 4 của trường THCS trong nội dung
đầu năm học về căn thức bậc hai tôi thấy học sinh còn mắc khá nhiều lỗi sai mà lẽ ra
các em không mắc phải, khi điều tra và thống kê tôi thấy kết quả không như mong
muốn.
Nội dung kiểm tra
Bài 1. Tìm các căn bậc hai của các số sau.
a) 49

b) 64

Bài 2. Tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa.
b) ( x − 2 ) ( 2 x + 1)

a) 2 x − 3
Bài 3. Tính.
a)

(

3 −5

)

2

b) 6 − 2 5

Kết quả kiểm tra
Bài
Bài 1
Bài 2(a)
Bài 2(b)
Bài 3 (a)
Bài 3 (b)
2.2. Các giải pháp:

Số học sinh làm được
SL

%
32
84,2
25
65,8
22
57,9
20
52,6
17
44,7

2.2.1 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Qua nhiều năm dạy học tôi thấy việc tiếp thu kiến thức theo hướng đưa bài tập,
học sinh làm thì việc tư duy, tìm tòi, khắc sâu kiến thức của học sinh không cao, còn


khi gặp bài toán ngược như tìm chỗ sai trong lời giải cho trước thì học sinh rất hứng
thú bàn luận, cho ra nhiều hướng, nhiều kết quả ( có thể chưa đúng) song hiệu quả
tốt hơn trong quá trình học tập của các em.
Từ bài tập 16(SGK-t12 đại số lớp 9 tập 1). Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép
chứng minh"Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây.
Lời giải.
Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có
m2 +V2 =V2 +m2
Cộng cả hai vế với -2mV, ta có
m2 -2mV +V2 =V2 -2mV +m2
(m-V)2 =(V-m)2

hay

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được

( m −V )
Do đó

2

=

( V − m)

2

m-V=V–m

Từ đó ta có 2m =2V, suy ra m=V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)
Từ bài toán đó tôi thấy học sinh bàn luận hứng thú hơn và cũng từ đó tôi đã
đưa các bài toán kiểu như vậy cho học sinh làm, nhằm gây hứng thú, đồng thời chỉ
ra một số sai lầm khi làm bài của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh học trong chương I đại số lớp 9 thường
mắc một số lỗi sau. Sau đây tôi đưa ra một số nội dung lỗi mà học sinh hay mắc
phải đồng thời đưa ra cách khắc phục cho học sinh.
Dạng 1: Sai lầm trong tính toán.
Khi làm bài tập học sinh hay sai trong việc tính toán, như nhầm dấu, nhân
sai... các nội dung này giáo viên khắc phục thường xuyên ở các lớp trước. Trong nội
dung này ta đề cập đến việc học sinh hay mắc phải lỗi sai khi sử dụng hằng đẳng
thức

A2 = A

Bài toán 1.(SGK/tr10, ĐS 9) Rút gọn biểu thức:
a)

( 3−

Lời giải sai.

11

)

2

b) 3 ( a − 2 )

2

với a <2


a)

( 3−

11

)

2

= 3 − 11

b) 3. ( a − 2 ) = 3.(a − 2)
2

Phân tích sai lầm. Ở đây học sinh đã sử dụng hằng đẳng thức trên nhưng
không xét đến biểu thức A, và không vận dụng tốt hằng đẳng thức

A2 = A .

Khắc phục sai lầm. Chỉ ra sai cho học sinh và đồng thời lưu ý hằng đẳng
thức

A2 = A . Có nghĩa là:

A2 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm).
A2 = − A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm).

Khi vận dụng cần chú ý tới biểu thức trong dấu căn để biến đổi.
Lời giải đúng.
a)

(3−

11

)

2

= 3 − 11 = 11 − 3 ( vì 3< 11 )

b) 3. ( a − 2 ) = 3. a − 2 = 3 ( 2 − a ) ( vì a<2)
2

Bài 2: ( Bài tập 41 SBT toán 9/tr9 tập I) Rút gọn các biểu thức.
a)

x − 2 x +1
(x≥0)
x + 2 x +1

b)

x −1 y − 2 y +1
4
y −1
( x − 1)

( x ≠ 1, y ≠ 1 và y >0)

Lời giải sai:
a) Vì x ≥ 0 nên ta có x = ( x ) , từ đó ta có
2

x − 2 x +1 =

(

x − 2 x +1
=
x + 2 x +1

)

x −1

(
(

2

và x + 2 x + 1 = ( x + 1)

)
x + 1)
x −1

2

2

=

(

)

x −1

( x + 1)

2

2

=

2

x −1
x +1

b)Với y >0, ta có y − 2 y + 1 = ( y − 1)
x −1 y − 2 y +1
= x −1
4
y −1
( x − 1)
y −1

(

)

y −1

( x − 1)

4

2

=

2

y −1
x −1
1
.
=
2
x −1
y − 1 ( x − 1)


Phân tích sai lầm. Việc biến đổi của các em cơ bản là tốt, nhưng khi sử dụng
A2 = A . Thì các em vẫn hay mắc phải, ở bài toán trên, đối với câu

hằng đẳng thức

(

a) Học sinh sai ở bước

x −1

( x + 1)

)
2

2

x −1
x +1

=

Đối với câu b) học sinh sai ở bước x − 1
y −1

(

)

y −1

( x − 1)

4

2

=

y −1
x −1

.
2
y − 1 ( x − 1)

Khắc phục sai lầm. Phân tích sai như bài 1 và sửa lại cho học sinh
Lời giải đúng.
a) Vì x ≥ 0 nên ta có x = ( x ) , từ đó ta có
2

x − 2 x +1 =

A=

(

x − 2 x +1
=
x + 2 x +1

)

x −1

(
(

)
x + 1)
x −1

và x + 2 x + 1 = ( x + 1)

2

2

2

=

(

)

x −1

( x + 1)

Nếu x ≥ 1 thì A =

x −1
x +1

Nếu 0 ≤ x < 1 thì A =

1− x
x+1

2

x −1

=

2

x +1

b)Với y >0, ta có y − 2 y + 1 = ( y − 1)
x −1 y − 2 y + 1
B=
= x −1
4
y −1
x
−
1
(
)
y −1

Nếu y<1 thì B =

(

)

y −1

( x − 1)

4

2

=

2

y −1
x −1
.
2
y − 1 ( x − 1)

1
1− x

Nếu y>1 thì B =

1
x −1

Dạng 2: Sai lầm trong giải phương trình.
Bai 1. Tìm x, biết:
x 2 − 2 x + 1 = 3 (1)

Lời giải sai.

2

Biểu thức x2-2x+1 ≥ 0∀x
(1) ⇔ ( x − 1) = 3 ⇔ x − 1 = 3 ⇔ x = 4
2

Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ học sinh mới chỉ lấy một trường hợp, mà khi
giải loại bài tập này cần sử dụng

A2 = A .

Lời giải đúng.
(1) ⇔ ( x − 1) = 3 ⇔ x − 1 = 3
2

*Trường hợp 1: x-1=3 ⇔ x=4
*Trường hợp 2: x-1=-3 ⇔ x=-2
Bài 2: Giải phương trình :

x+ 4 = x+2

Lời giải sai:
x + 4 ≥ 0

 x ≥ −4
 x ≥ −4
⇔
⇔



2
2
 x( x + 3) = 0
x + 4 = x + 4x + 4
 x + 3x = 0

Ta có x + 4 = x + 2 ⇔ 
 x ≥ −4
⇔
 x = 0; x = −3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1=0; x2=-3
Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ với điều kiện x ≥ −4 thì vế phải chưa chắc đã
không âm, vì vậy việc bình phương hai vế đã không đúng vì x2=-3 là bị loại.
Khắc phục sai lầm. Khi giải dạng toán

A = B cần lưu ý

B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B

Lời giải đúng.
x + 2 ≥ 0
 x ≥ −2
 x ≥ −2
 x ≥ −2
⇔
⇔

⇔
x+4 = x+2 ⇔ 
 2
2
 x( x + 3) = 0
 x = 0; x = −3
x + 4 = x + 4x + 4
 x + 3x = 0

So sánh điều kiện x=-3 (bị loại) , x=0 (TM)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=0
Bài 3: Giải phương trình.
x( x − 1) + x( x − 2) = 2 x( x − 3) (1)

Lời giải sai:
+ Khi x ≥ 3
Ta có (1) ⇔ x . x − 1 + x . x − 2 = 2 x . x − 3 ⇔ x − 1 + x − 2 = 2 x − 3
Với điều kiện x ≥ 3 khi đó ta có


 x − 1 > x − 3

 x − 2 > x − 3
⇒ x −1 + x − 2 > 2 x − 3

Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x ≥ 3 .
+ Khi x<0
(1) ⇔ − x . 1 − x + − x . 2 − x = 2 − x . 3 − x ⇔ 1 − x + 2 − x = 2 3 − x
Với điều kiện x<0 khi đó ta có
 1 − x < 3 − x


 2 − x < 3 − x
⇒ 1− x + 2 − x < 2 3 − x

Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x<0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Phân tích sai lầm. Sai ở đây là khi x=0 phương trình đã cho vẫn tồn tại, như
vậy học sinh đã vô tình chia cả hai vế cho biểu thức chứa ẩn và làm mất nghiệm của
phương trình.
Khắc phục sai lầm.Không được chia hai vế phương trình cho một biểu thức
chứa ẩn khi chưa kiểm tra biểu thức đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không.
Cần lưu ý

AB = A. B Khi A ≥ 0 ;B ≥ 0
AB = − A. − B khi A ≤ 0 ;B ≤ 0

Lời giải đúng.
+ Khi x=0 thỏa mãn phương trình , vậy x=0 là một nghiệm của phương trình
+ Khi x>0
(1) ⇔ x . x − 1 + x . x − 2 = 2 x . x − 3 ⇔ x − 1 + x − 2 = 2 x − 3
Điều kiện x ≥ 3 khi đó ta có
 x − 1 > x − 3

 x − 2 > x − 3
⇒ x −1 + x − 2 > 2 x − 3

Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x>0.
+ Khi x<0
(1) ⇔ − x . 1 − x + − x . 2 − x = 2 − x . 3 − x ⇔ 1 − x + 2 − x = 2 3 − x
Với điều kiện x<0 khi đó ta có

 1 − x < 3 − x

 2 − x < 3 − x
⇒ 1− x + 2 − x < 2 3 − x

Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x<0
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x=0
Bài 4. Giải phương trình

x − 1 − 5x − 1 = 3x − 2

Lời giải sai:
Điều kiện xác định của phương trình là x ≥ 1 .
x − 1 − 5x − 1 = 3x − 2 ⇔ x − 1 + 5x − 1 − 2
⇔ 6x − 2 − 2

( x − 1) ( 5 x − 1)

( x − 1) ( 5 x − 1)

= 3x − 2 ⇔ 3x − 4 = 2

= 3x − 2

( x − 1) ( 5 x − 1)

⇔ 9 x 2 − 24 x + 16 = 4 ( 5 x 2 − 6 x + 1) ⇔ 9 x 2 − 24 x + 16 = 20 x 2 − 24 x + 4
⇔ 11x 2 = 12 ⇔ x = ±

12
11

So với điều kiện x ≥ 1 thì x=

12
là nghiệm phương trình
11

Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ các em đã bình phương hai vế phương trình mà
chưa chú ý đến điều kiện là hai vế phương trình phải cùng dấu .việc sử dụng kiến
thức a = b ⇔ a 2 = b 2 ( khi a,b cùng dấu )
Khắc phục sai lầm. Khi bình phương hai vế của một phương trình học sinh
cần chú ý đến hai vế phải cùng dấu nghĩa là a = b ⇔ a 2 = b 2 ( khi a,b cùng dấu )
Lời giải đúng.
Điều kiện xác định của phương trình là x ≥ 1 .(1)
Chuyển vế, ta có x − 1 − 5 x − 1 = 3x − 2 ⇔ x − 1 = 5 x − 1 + 3 x − 2
Bình phương hai vế của phương trình được
x − 1 = 5 x − 1 + 3 x − 2 + 2 15 x 2 − 13 x + 2

Rút gọn thành 2-7x= 2 15 x 2 − 13 x + 2 ( *)
Đến đây có hai cách giải.
Cách 1: Với điều kiện 2 − 7 x ≥ 0 ⇔ x ≤

2
(2)
7

⇔ 4 − 28 x + 49 x 2 = 4(15 x 2 − 13 x + 2)
2
Thì (*) ⇔ 11x − 24 x + 4 = 0

⇔ ( 11x − 2 ) ( x − 2 ) = 0 ⇔ x1 =

Giá trị x1 =

2
; x2 = 2
11

2
không thỏa mãn điều kiện (1), loại.
11

Giá trị x2 = 2 không thỏa mãn điều kiện (2), loại.
Vậy phương trình vô nghiệm.
2
7

Cách 2: Ta xét 2 − 7 x ≥ 0 ⇔ x ≤ tức là x ≤

2
trái với điều kiện (1) . Vậy
7

phương trình đã cho vô nghiệm.
Tuy nhiên nếu điều kiên bài toán khó xác định có thể học sinh làm sau đó thử lại để
kết luận về nghiệm phương trình.

Bài 5. Giải phương trình.

( x − 2) ( x + 2) + 4 ( x − 2)

x+2
= −3 (1)
x−2

Lời giải sai.
x + 2 ≥ 0
x + 2 ≤ 0
⇔ x > 2 hoặc 
⇔ x ≤ −2
x − 2 > 0
x − 2 < 0

Điều kiện: 

(1) ⇔ ( x − 2 ) ( x + 2 ) + 4
⇔ ( x − 2) ( x + 2) + 4

( x + 2) ( x − 2)
x−2

( x − 2) ( x + 2)

2

= −3

= −3 (2)

Đặt: ( x − 2 ) ( x + 2 ) = y với y ≥ 0
(2) ⇔ y 2 + 4 y + 3 = 0
⇔ ( y 2 + y ) + (3 y + 3) = 0 ⇔ y ( y + 1) + 3( y + 1) = 0
⇔ ( y + 1)( y + 3) = 0

y1=-1 (loại) , y2=-3 (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Phân tích sai lầm. Tuy bài làm tưởng như là đúng, nhưng sai ở đây là học
sinh đã cho vào trong dấu căn biểu thức 4 ( x − 2 )

x+2
=4
x−2

( x − 2 ) ( x + 2 ) , biểu thức
2

x−2

(x-2) chưa thể khẳng định là biểu thức dương, nên kết quả bài toán là không đúng.


Khắc phục sai lầm. Khi đưa một thừa số vào trong dấu căn phải vận dụng
Với A ≥ 0 và B ≥ 0 ta có A B = A2 .B .
Với A < 0 và B ≥ 0 ta có A B = − A2 .B .
Lời giải đúng.
x + 2 ≥ 0
x + 2 ≤ 0

⇔ x > 2 hoặc 
⇔ x ≤ −2
x − 2 > 0
x − 2 < 0

Điều kiện: 
Đặt: ( x − 2 )

x+2
= y (2)
x−2

Thì y2=(x-2)(x+2).

(3)

Ta có y2+4y+3=0 nên y1=-1, y2 =-3. Do y<0 nên từ (2) suy ra x<2
Với y=-1, thay vào (3) đượcx2-4=1. Do x<2 nên x= − 5
Với y=-3, thay vào (3) đượcx2-4=9. Do x<2 nên x= − 13
Vậy phương trình có hai nghiệm là − 5 ; − 13
Bài 6. Giải phương trình.
3

2 x + 1 + 3 x = 1 (1)

Lời giải sai.
Lập phương hai vế, ta được 2 x + 1 + x + 3 3 x(2 x + 1). ( 3 2 x + 1 + 3 x ) = 1 (2)
Thay 3 2 x + 1 + 3 x = 1 Vào (2) ta có 3x+1+3 3 x(2 x + 1) = 1

(3)

⇔ 3 x(2 x + 1) = − x ⇔ x(2 x + 1) = − x 3 ⇔ x(2 x + 1 + x 2 )
⇔ x ( x + 1) 2 = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = −1

Phân tích sai lầm. Các phương trình (1) và (2) tương đương, nhưng các
phương trình (2) và (3) không tương đương. Từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3)
không suy ra được (2).
Khắc phục sai lầm. Khi tìm được nghiệm của phương trình (3) là 0 và -1,
phải thử lại các giá trị đó vào (1) để chọn ra nghiệm của (1)
Lời giải đúng.
Lập phương hai vế, ta được 2 x + 1 + x + 3 3 x(2 x + 1). ( 3 2 x + 1 + 3 x ) = 1 (2)
Thay 3 2 x + 1 + 3 x = 1 Vào (2) ta có 3x+1+3 3 x(2 x + 1) = 1
⇔ 3 x(2 x + 1) = − x ⇔ x(2 x + 1) = − x 3 ⇔ x(2 x + 1 + x 2 )

(3)


⇔ x ( x + 1) 2 = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = −1

Thử lại x1=0 thỏa mãn (1)
x2=-1 không thỏa mãn (1), loại.
Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x=0.
Dạng 3: Sai lầm trong giải bất phương trình.
Bài 1. Tìm x để biểu thức

x 2 − 1 có nghĩa :

Lời giải sai.
2
2

x 2 − 1 có nghĩa khi x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ≥ ±1

Phân tích sai lầm. Tuy học sinh đã vận dụng đúng kiến thức

A có nghĩa

khi A ≥ 0, nhưng việc giải bất phương trình, kết hợp nghiệm của bất phương trình lại
sai.
Khắc phục sai lầm. khi dạy nội dung này cần chú ý hướng dẫn cho học sinh
và phân tích kĩ nội dung giải bất phương trình và kết hợp nghiệm.
Lời giải đúng.
2
2
x 2 − 1 có nghĩa khi x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x > 1 hoặc x < -1

Cũng có thể làm như sau

x −1 > 0
2
x 2 − 1 có nghĩa khi x − 1 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) ( x + 1) ≥ 0 ⇔ 
x +1 > 0

x −1 < 0
sau đó giải tiếp và tìm được x>1 hoặc x <-1
x +1 < 0

hoặc 

Bài 2. Tìm x để biểu thức sau ( x − 1) ( x + 3) có nghĩa.
Lời giải sai.

x −1 ≥ 0
⇔ x ≥1
x + 3 ≥ 0

biểu thức ( x − 1) ( x + 3) có nghĩa khi(x-1)(x+3) ≥ 0 ⇔ 

Phân tích sai lầm. Trong trường hợp này học sinh khi làm bài đã chỉ nghĩ
đến trường hợp tích hai thừa số dương là một số dương, mà không nghĩ đến hai thừa
số cùng âm thì tích cũng là một số dương.
Khắc phục sai lầm. Khi dạy nội dung này cần chú ý đến A.B ≥ 0 khi và chỉ
khi A;B cùng dấu, có hai trường hợp A;B cùng dương hoặc cùng âm.
Lời giải đúng.


Biểu thức

x −1 ≥ 0

( x − 1) ( x + 3) có nghĩa khi(x-1)(x+3) ≥ 0 ⇔  x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 hoặc


x −1 ≤ 0
⇔
⇔ x ≤ −3 . Vậy biểu thức có nghĩa khi x ≥ 1 hoặc x ≤ -3
x + 3 ≤ 0

Đôi khi trong bài tập này còn có học sinh đã xét hai trường hợp như trên nhưng lại
kết hợp nghiệm sai, vì vậy giáo viên phải lưu ý cho học sinh việc kết hợp nghiệm hệ
bất phương trình.
Bài 3. Tìm x, biết.

x −1 < 0

Lời giải sai.
Điều kiện : x ≥ 0
x −1 < 0 ⇔ x < 1 ⇔ x < 1

Phân tích sai lầm. Sai ở đây là x<1 có thể x<0, vi phạm điều kiện vừa tìm.
Khắc phục sai lầm. Vì vậy khi dạy nội dung này cần lưu ý đến đối chiếu với
điều kiện của bài toán đã cho hoặc điều kiện đã tìm, khi đã tìm được giá trị x rồi mới
kết luận.
Lời giải đúng.
Điều kiện: x ≥ 0
x − 1 < 0 ⇔ x < 1 ⇔ x < 1 .Kết hợp điều kiện 0 ≤ x < 1

Bài 4. Giải bất phương trình .
7 x − 13 − 3 x − 19 > 5 x − 27 (1)

Lời giải sai :
Điều kiện của bất phương trình là: x ≥

19
3

(1) 7 x − 13 + 3x − 19 − 2 ( 7 x − 13) ( 3 x − 19 ) > 5 x − 27
⇔ 10 x − 32 − 5 x + 27 > 2

( 7 x − 13) ( 3x − 19 )

⇔ 5 x − 5 > 2 21x 2 − 133x − 39 x + 247

⇔ 25 x 2 − 50 x + 25 > 4(21x 2 − 172 x + 247)
⇔ 25 x 2 − 50 x + 25 > 81x 2 − 688 x + 988
⇔ 59 ( x − 9 ) ( x − 1,8 ) > 0
 19
 19
x ≥ 3
x ≥ 3


⇔ x − 9 > 0 ⇔ x > 9 ⇔ x > 9
 x − 1,8 > 0
 x > 1,8





Hoặc

19
19


x ≥ 3
x ≥ 3


x − 9 < 0 ⇔ x < 9
 x − 1,8 < 0

 x < 1,8





bị loại

Vậy bất phương trình có nghiệm x>9
Phân tích sai lầm. Cũng giống như bài 4 phần (sai lầm khi giải phương
trình), học sinh sau khi đặt điều kiện cho bất phương trình sau đó bình phương hai
về, chưa xét xem hai vế không âm.
Khắc phục sai lầm. Khi đặt xong điều kiện cho bất phương trình có nghĩa,
trước khi bình phương cần xét đến hai vế của phương trình, khi hai vế không âm,
sau đó bình phương hai vế không âm của bất phương trình.
Lời giải đúng.
Điều kiện của bất phương trình là: x ≥

19
3

(1) ⇔ 7 x − 13 > 3x − 19 + 5 x − 27 . Bình phương hai vế không âm ta được
33 − x > 2

( 3x − 19 ) ( 5 x − 27 )

33 − x > 0

Bất phương trình có nghiệm khi (3x − 19)(5 x − 27) ≥ 0


2
( 33 − x ) > 4(3 x − 19)(5 x − 27)

Giải hệ bất phương trình ta được

19
≤ x<9
3

Vậy nghiệm của bất phương trình là

19
≤ x<9
3

Dạng 4: Sai lầm thường gặp trong giải bài toán cực trị .
Bài1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A=

1
x 2 − 6 x + 17

Lời giải sai. Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu
nhỏ nhất.
Ta có

x 2 − 6 x + 17 =

( x − 3)

2

+8 ≥ 2 2


min x 2 − 6 x + 17 = ( x − 3) + 8 = 2 2 ⇔ x = 3
2

Vậy max A =

1
2 2

=

2
⇔ x=3
4

Phân tích sai lầm. Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định
(A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất) mà chưa nhận xét tử
và mẫu là các số dương.
Chẳng hạn, xét biểu thức B=

1
. Với lập luận (phân thức B có tử không đổi nên
x −4
2

có giá trị nhỏ nhất khi mẫu lớn nhất), do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x=0, ta sẽ đi đến

1
4

max B= − ⇔ x = 0 . Điều này không đúng vì
1
5

1
không phải là giá trị lớn nhất của B,
4

1
4

chẳng hạn với x=3 thì B= > − .
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã máy móc áp
dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số có tử
và mẫu nguyên.
Khắc phục sai lầm. Khi giải loại toán này cần lưu ý đến phân thức cả tử và
mẫu phải là số dương.
Lời giải đúng. Bổ sung thêm nhận xét

x 2 − 6 x + 17 =

( x − 3)

2

+ 8 ≥ 2 2 nên tử và

mẫu A là các số dương; hoặc từ nhận xét trên suy ra A>0. Ta xét biểu thức
B=

1
= x 2 + 6 x + 17
A

Ta có : B = x 2 + 6 x + 17 =

( x − 3)

2

+8 ≥ 2 2

min B= 2 2 khi x=3
Vậy max A =

1
2 2

=

2
⇔ x=3
4

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A= x+ x

Lời giải sai.
2

1 1 
1 1
1

A = x + x =  x + x + ÷− =  x + ÷ − ≥ −
4 4 
2 4
4



Vậy min A= −

1
4
1
4

Phân tích sai lầm. Sau khi chứng minh f(x) ≥ − , chưa chỉ ra trường hợp xảy
1
4

1
2

ra f(x)= − . Xảy ra khi và chỉ khi x = − , vô lí.
x phải có x ≥ 0 . Do đó A = x + x ≥ 0 .

Lời giải đúng. Để tồn tại
minA=0 khi và chỉ khi x=0
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất.
P = x − 2 xy + 3 y − 2 x + 1

Lời giải sai.
Điều kiện: x ≥ 0 ; xy ≥ 0
P = x − 2 xy + 3 y − 2 x + 1 =
=

(

(

x− y

)

2
1 1
x − y −1 + 2 y − 2 y + − =
2 2

)

(

2

+1− 2

(

)

x − y − 2 y + 2y

)

2

x − y −1 +

1
2

Từ đó đánh giá được min p= − ⇔ y =

(

)

2
1
1
2 y −1 −
2
2

1
9
;x =
4
4

Phân tích sai lầm. Sai ngay từ khi đặt điều kiện nên tập xác định được mở
rộng dẫn đến kết quả sai. Thật vậy nếu x=0 thì y tùy ý khi đó P=3y+1 không đạt giá
trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý suy ra P nhỏ tùy ý.
Do đặt sai điều kiện nên lời giải bài toán đã thiếu một trường hợp.
Lời giải đúng.
Điều kiện: x ≥ 0 ; xy ≥ 0
Xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: Điều kiện: x > 0 ; y ≥ 0
P = x − 2 xy + 3 y − 2 x + 1 =
=

(

(

x− y

)

2
1 1
x − y −1 + 2 y − 2 y + − =
2 2

1
2

(

)

2

+1− 2

(

)

x − y − 2 y + 2y

)

2

x − y −1 +

Từ đó đánh giá được min p= − ⇔ y =

(

)

2

1
1
2 y −1 −
2
2

1
9
;x =
4
4

Trường hợp 2: x=0 ;y tùy ý suy ra P =3y+1 không có giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ
tùy ý suy ra P nhỏ tùy ý.


Kết luận chung : Biểu thức P không đạt giá trị nhỏ nhất.
MỘT SỐ BÀI TẬP CÙNG LOẠI.
Sau khi áp dụng chuyên đề tôi cho một số bài tập cùng loại cho học sinh làm và
kiểm tra một số bài trong đó.
Bài 1. Tính giá trị biểu thức.
2

2

 5+2 6   5−2 6 
a)A= 
÷
÷
÷ − 

÷
 3+ 2  3− 2

b) B =

(

7−2 6 + 7+2 6

)

2

c) C = 40 2 − 57 − 40 2 + 57
Bài 2.Rút gọn các biểu thức.
a) A =

x2 + 4 − 4x + x2
( Với x > 2 2 )
x −1

b) B = x 2 − 8x + 16 + 25 − 10 x + x 2 (với 4Bài 3. Giải các phương trình.
a) x 2 − 8 x + 16 = 5
b)Cho A =

2x + 5
x−4
;B =
x −1

4 x + 10

* Với giá trị nào của x thì A có nghĩa còn B không có nghĩa.
* Giải phương trình: A=B.
Bài 4. Giải các phương trình sau.
a) 3x + 15 − 4 x + 17 = x + 2
b) x + 2 − x − 6 = 2
c) 1 − x + x 2 − 3x + 2 + ( x − 2)

x −1
=3
x−2

d) 3x 2 + 2 x = 2 x 2 + x + 1 − x
Bài 5. Cho biểu thức A = x + 2. x − 3 và B = ( x + 2 ) ( x − 3)
a)Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa.
b)Với giá trị nào của x thì A=B?
( Bài tập 30 SBT toán 9-tập 1)
Bài 6. Giải bất phương trình.


a) 9 x 2 − 12 x + 4 < 16
b) x 2 + 5 x + 3 > 3
c) x 4 − 8 x 2 + 16 ≥ 2 − x
d)

x2 − 4 x + 3
25 − x 2

>0

1

1

4

Bài 7. Cho x và y là hai số dương. Chứng minh rằng x + y ≥ x + y
1

1

2

Bài 8. Cho x < 1 và y < 1 . Chứng minh rằng : 1 − x 2 + 1 − y 2 ≥ 1 − xy
Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất
a) A =

1
5 + 2 6 − x2

b) B = x + x − 2012
c) C = x − 2 x − 1 + x + 2 x − 1
d) M = a + 3 − 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1
* Tìm điều kiện của a để M được xác định.
* Tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị của a tương ứng.
2.2.2. Kết quả nghiên cứu
Thống kê chất lượng học tập môn toán của học sinh sau khi thực hiện đề tài
SKKN :
Sau khi bồi dưỡng học sinh lớp 9 4 tại trường theo chuyên đề trên đồng thời
kiểm tra 38 em với nội dung trên thì thu được kết quả là.

Bài

Số học sinh làm được
SL
%
37
97,4
30
78,9
28
73,7
26
68,4

Bài 1(b)
Bài 2(a)
Bài 4(b)
Bài 6 (a)
Đánh giá chung:
Sau khi áp dụng nội dung kinh nghiệm " Giúp học sinh phát hiện và khắc
phục sai lầm khi giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba", học sinh biết cách làm bài
và trình bày bài tốt hơn, ít bị sai sót nhầm lẫn hơn mà trước đó học sinh không làm
được hoặc làm được nhưng không được điểm tối đa của bài. Mặt khác thông qua


loại toán này các em còn có kĩ năng làm các bài tập ở nội dung khác, thậm chí môn
học khác, các em cũng có cái nhìn đầy đủ hơn, hoàn thiện hơn.

3. PHẦN KẾT LUẬN

3.1. Ý nghĩa của sáng kiến.
Sáng kiến " Giúp học sinh phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán về căn
bậc hai, căn bậc ba" đã được thực hiện trong phạm vi học sinh khối 9 đã đạt được
hiệu quả tương đối cao mà tôi đã thể hiện rõ ở phần thống kê.
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nhgiệm vào dạy học tôi thấy với cách chủ động
phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề có sự giúp đỡ của giáo viên làm cho học sinh
có hứng thú trong khi học và giúp cho học sinh có thói quen" suy nghĩ ", giải quyết
bài toán ở nhiều góc độ khác nhau để tìm được lời giải bài toán một cách chính xác,
từ đó các em học sinh hình thành tư duy của mình và biết tự phát triển tư duy khi
học môn toán. Đề tài này giúp học sinh giải quyết một bài toán chắc chắn và chính
xác hơn, sáng tạo hơn.
3.2. Những kiến nghị, đề xuất
Để sáng kiến kinh nghiệm áp dụng có hiệu quả tôi xin đề nghị nhà trường tạo
điều kiện cho học sinh lớp 9 được học bồi dưỡng nhiều hơn, có thể chỉ đạo dạy
trong các tiết tự chọn về chuyên đề này để các em nắm chắc nội dung học và được
làm nhiều bài tập trên lớp, giáo viên phát hiện các lỗi các em hay mắc phải từ đó sửa
chữa cho học sinh có hiệu quả hơn.
Kinh nghiệm có khả năng áp dụng được cho các nội dung học tiếp theo, với
lòng say mê nghề, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này mong muốn được học hỏi
đồng nghiệp. Tôi rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các đồng chí, đồng
nghiệp, của các đồng chí lãnh đạo, các cấp quản lý giáo dục để những kinh nghiệm
này được hoàn thiện và áp dụng có hiệu quả hơn.