skkn Giúp học sinh lớp 7 làm quen với chứng minh bài toán 3 điểm thẳng hàng

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
QUẬN TÂN BÌNH
Trường THCS NGÔ SĨ LIÊN
Giúp học sinh lớp 7 làm quen với
“Chứng minh 3 điểm thẳng hàng”
Giáo viên: Bùi Thò Giáng Hương
I/ Đặt vấn đề:
Toán học thì cần thiết cho mọi người, mọi ngành nghề, nhưng hầu hết học
sinh đều cho rằng: “Học toán thì vất vả”. Đối với học sinh lớp 7, lần đầu tiên đối
mặt với 1 lượng lớn các kiến thức hình học thì hay than rằng: “Học hình học, vừa
khó khăn, vừa khô khan, lại vừa khắc khổ”. Nhất là khi gặp những câu hỏi khó; ví
dụ “chứng minh 3 điểm thẳng hàng”; Đa số học sinh thường bỏ câu này (kể cả học
sinh giỏi). Điều này cũng dễ hiểu, vì trong SGK có rất ít dạng bài tập này. Đến khi
kiểm tra cuối học kì, bài toán có dạng tổng hợp nhiều câu hỏi, trong đó có yêu cầu
chứng minh 3 điểm thẳng hàng, học sinh không biết phải lập luận thế nào, phải
trình bày ra sao.
Ở lớp 7, khi học bài “2 đường thẳng song song”, học sinh biết cách chứng
minh 2 đường thẳng song song, khi học bài “2 tam giác bằng nhau”, học sinh biết
cách chứng minh 2 tam giác bằng nhau v.v… và nếu không theo cách này học sinh
có thể chọn cách khác. Nhưng đối với “chứng minh 3 điểm thẳng hàng” học sinh
không có sự đònh hướng tốt như vậy, nhiều em cũng muốn bài làm của mình được
trọn vẹn, nhưng gặp nhiều khó khăn, suy nghó lan man…
Qua nhiều năm giảng dạy ở khối 7, với nhiều đối tượng khác nhau tôi thấy
một trong những nguyên nhân là do chúng ta chưa hết sức trong việc tập cho các
em làm quen với việc “chứng minh 3 điểm thẳng hàng”. Tôi xin phép được trình
bày 1 kinh nghiệm nhỏ trong việc giải quyết vấn đề này.
II/ Nội dung:
A. Cơ sở lý luận: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong chương trình lớp 7 dựa
vào các phương pháp sau:
1. Góc bẹt:
ABC = 180

0

⇒ A, B, C thẳng hàng
2. Hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và cùng song song với 1 đường thẳng
cho trước
MA // xy
MB // xy
⇒ A, M, B thẳng hàng (tiên đề Ơclit)
3. Hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và cùng vuông góc với 1 đường thẳng
cho trước
AH ⊥ xy
BH ⊥ xy
⇒ A, H, B thẳng hàng
4. Ba điểm cùng thuộc tia phân giác của 1 góc
Tia OA là tia phân giác của xOy
Tia OB là tia phân giác của xOy
⇒ A, O, B thẳng hàng
5. Ba điểm cùng thuộc đường trung trực của 1 đoạn thẳng
H, I, K cùng thuộc đường trung trực của AB
⇒ H, I, K thẳng hàng
6. Đường trung tuyến của tam giác phải đi qua trọng tâm
G là trọng tâm của ∆ ABC
AM là trung tuyến ∆ ABC
⇒ A, G, M thẳng hàng
7. Đường phân giác của tam giác phải đi qua giao điểm chung của 3 đường
phân giác
I là giao điểm 2 đường phân giác xuất phát
từ đỉnh B và C
AD là phân giác của A
⇒ A, I, D thẳng hàng

8. Đường cao của tam giác phải đi qua trực tâm
H là trực tâm ∆ ABC
BE là đường cao ∆ ABC
⇒ B, H, E thẳng hàng
9. Đường trung trực của tam giác phải đi qua giao điểm chung của 3 đường
trung trực
O là giao điểm 2 đường trung trực của 2
cạnh AB và AC
MN là đường trung trực của BC
⇒ O, M, N thẳng hàng
10.
AOx =
α
0

BOx =
α
0
⇒ O, A, B thẳng hàng
B. Biện pháp thực hiện
Để giúp các em có sự đònh hướng tốt trong khi tìm tòi cách giải. Tôi nghó,
chúng ta có thể giúp các em làm quen với “3 điểm thẳng hàng” ngay từ đầu
chương trình toán 7 chúng ta vẫn dạy theo đúng nội dung bài học, nhưng trong
tiết luyện tập, chúng ta chọn những bài tập nhỏ, đơn giản, dễ nhìn, những bài
tập này vừa vận dụng kiến thức đã học vừa giúp chúng ta giới thiệu cách chứng
minh 3 điểm thẳng hàng, mỗi lần một ít – dần dần học sinh sẽ quen và khi gặp
những bài toán tổng hợp, phức tạp, học sinh có thể tự tìm được hướng đi và từ
đó giải quyết được yêu cầu của đề bài.
 Ngay từ bài 1: “ Hai góc đối đỉnh”, ta có thể lồng vào bài toán yếu tố “3
điểm thẳng hàng” như sau:

1) Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ tia OB sao
cho AOB = 45
0
. Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho AOC = 90
0

a) Gọi OB’ là tia phân giác của A’OC. Chứng minh B, O, B’ thẳng hàng
b) Chứng minh AOB và A’OB’ là cặp góc đối đỉnh. So sánh AOB và A’OB’
a) C/m: B, O, B’ thẳng hàng
A, O, A’ thẳng hàng ⇒ AOA’ = 180
0
AOC + COA’ = AOA’
90
0
+ COA’ = 180
0
COA’ = 180
0
– 90
0
= 90
0
Vì OB’ là tia phân giác của COA’
⇒ COB’ =
2
COA'
=
2
90
0

= 45
0
BOB’ = BOA + AOC + COB’
= 45
0
+ 90
0
+ 45
0
= 180
0
Vậy 3 điểm B, O, B’ thẳng hàng
Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập về: Tính số đo góc, chứng minh 2 góc
đối đỉnh, tính chất 2 góc đối đỉnh. Nhưng qua đó, các em biết cách chứng minh 3
điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 1.
 Bài : “ Hai đường thẳng vuông góc” , ta chọn bài tập sau:
2) Cho góc vuông AOB và tia OC nằm trong góc đó. Vẽ tia OM sao cho tia OA là
tia phân giác của COM. Vẽ tia ON sao cho tia OB là tia phân giác của CON.
Chứng minh: 3 điểm M, O, N thẳng hàng.
C/m: M, O, N thẳng hàng
OA là tia phân giác của COM ⇒ COM = 2 COA
OB là tia phân giác của CON ⇒ CON = 2 COB
MON = COM + CON
= 2 COA + 2 COB
= 2.(COA + COB)
= 2. AOB
= 2. 90
0
= 180
0

Vậy 3 điểm M, O, N thẳng hàng
Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập về tính chất tia phân giác 1 góc; vẽ góc
vuông và qua đó, các em chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 1.
 Bài : “ Hai đường thẳng song song”, ta chọn bài tập sau:
3) Cho 2 góc AOM và MOB kề bù (theo hình vẽ)
Vẽ tia MC sao cho 2 góc CMO, MOA so le trong và bằng nhau
Vẽ tia MD sao cho 2 góc DMO, MOB so le trong và bằng nhau
Chứng minh : C, M, D thẳng hàng
CMO và MOA là cặp góc so le trong bằng nhau
⇒ MC // OA
Mà B thuộc đường thẳng OA
⇒ MC // AB
DMO và MOB là cặp góc so le trong bằng nhau
⇒ MD // OB
Mà A thuộc đường thẳng OB
⇒ MD // AB
Ta có MC // AB (cmt)
MD // AB (cmt)
⇒ C, M, D thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
Trong bài này, học sinh luyện tập chứng minh 2 đường thẳng song song và
qua đó biết cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 2.
 Bài : “Đònh lý”. Học sinh làm bài trắc nghiệm sau:
4)
a) Nếu 2 đường thẳng AB và CD cùng song song với đường thẳng xy thì AB // CD
b) Nếu 2 đường thẳng AB và AC cùng song song với đường thẳng xy thì A, B, C,
thẳng hàng
c) Nếu 2 đường thẳng EF và HK cùng vuông góc với đường thẳng xy thì EF // HK
d) Nếu 2 đường thẳng EF và EH cùng vuông góc với đường thẳng xy thì E, F, H
thẳng hàng
Học sinh kết luật A, B, C thẳng hàng (dựa vào phương pháp 2)

Và kết luận E, F, H thẳng hàng (dựa vào phương pháp 3)
 Bài “ Tam giác bằng nhau - Trường hợp cạnh cạnh cạnh”. Ta
chọn bài tập sau:
5) Cho ∆ ABC có AB = AC. Gọi M là 1 điểm nằm trong tam giác sao cho
MB = MC. N là trung điểm BC (theo hình vẽ)
C/m : a) AM là tia phân giác của BAC
b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng
∆ BAM = ∆ CAM (ccc) ⇒ BAM = CAM
⇒ AM là tia phân giác ABC (1)
∆ BAN = ∆ CAN (ccc) ⇒ BAN = CAN
⇒ AN là tia phân giác BAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, N thẳng hàng
Trong bài này, học sinh luyện tập chứng minh 2 tam giác bằng nhau (ccc) và
qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 4.
 Bài: “Tam giác bằng nhau – Trường hợp c-g-c”. Ta chọn các bài tập sau:
6) Cho ∆ ABC, M là trung điểm BC. Vẽ AD // BM và AD = BM (M và D khác
phía đối với AB). I là trung điểm AB
C/m: 3 điểm M, I, D thẳng hàng
C/m: 3 điểm M, I, D thẳng hàng
∆ AID = ∆ BIM (cgc) ⇒ I
1
= I
2
DIM = DIB + I
2
= DIB + I
1
= AIB
= 180
0

( vì A, I, B thẳng hàng)
Vậy D, I, M thẳng hàng
Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau (c.g.c) và
qua đó ôn lại cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 1.
A
B
C
N
M
7) Cho ∆ ABC, gọi D và E lần lượt là trung điểm AC, AB. Trên tia đối của tia DB
lấy điểm M sao cho DM = DB. Trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho
EN = EC
a) C/m : A, M, N thẳng hàng.
• ∆ ADM = ∆ CDB (cgc)
⇒ AMD = CBD
Mà 2 góc này ở vò trí so le trong
Nên : AM // BC (1)
• ∆ AEN = ∆ BEC (cgc)
⇒ ANE = BCE
Mà 2 góc này ở vò trí so le trong
Nên: AN // BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, N thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh 2 tam giác bằng nhau (cgc)
chứng minh 2 đường thẳng song song và qua đó ôn lại cách chứng minh 3 điểm
thẳng hàng (dựa vào phương pháp 2)
8) Cho ∆ ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
Vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên DE lấy điểm K sao cho BH = DK
C/m: A, H, K thẳng hàng
• ∆ ABC = ∆ ADE (cgc)

⇒ D = B
Mà 2 góc này ở vò trí so le trong
Suy ra: ED // BC
• ∆ AHB = ∆ AKD (cgc)
⇒ AKD = AHB = 90
0

⇒ AK ⊥ ED
Ta có: AK ⊥ BC (cmt)
AH ⊥ BC (gt)
⇒ A, H, K thẳng hàng
Trong bài này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau (cgc), sử
dụng kiến thức về 2 đường thẳng song song và qua đó ôn lại cách chứng minh 3
điểm thẳng hàng (dựa vào phương pháp 3)
 Bài “Tam giác cân”
A
E
D
K
B
H
C
9) Cho ∆ ABC có A = 60
0
. Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều ABM và
ACN
a) C/m: 3 điểm M, A, N thẳng hàng
b) C/m: BN = CM
Học sinh dễ dàng chứng minh được 3
điểm A, M, N thẳng hàng (dựa vào

phương pháp 1)
10) Cho ∆ ABC vuông cân tại A. Vẽ ra ngoài ∆ ABC tam giác cân BCM có đáy BC
và góc ở đáy 15
0
. Vẽ tam giác đều ABN (N thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có
chứa C.
C/m: Ba điểm B, M, N thẳng hàng
ABM = ABC + CBM = 45
0
+ 15
0
= 60
0

∆ ABN đều ⇒ ABN = 60
0

Trên cùng nửa mặt phẳng, có bờ là đường
thẳng AB, ta có
ABM = 60
0

ABN =60
0

Vậy B, M, N thẳng hàng
Học sinh luyện tập về tam giác cân, đều, vuông cân và qua đó chứng minh 3
điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 10
 Bài “ Tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác”. Ta chọn bài tập sau:
11) Cho ∆ABC có AD là trung tuyến. Trên AD lấy 2 điểm I và K sao cho

AI=IK=KD. Gọi F và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi O là giao điểm
của BE và CI.
a) C/m: B, K, E và C, K, F thẳng hàng
b) O là trọng tâm của tam giác nào?
c) Tính OE?
a)
∆ABC có AD là trung tuyến
KD = IK = AI =
3
1
AD
A
N
C
B
M
60
0
A
N
C
B
M
Suy ra: K là trọng tâm ∆ABC
Mà BE, CF là 2 đường trung tuyến của ∆ABC
Nên BE, CF phải đi qua trọng tâm K
Vậy B, K, E thẳng hàng
C, K, F thẳng hàng
12) ∆ABC vuông tại A, có BC = 10cm, AC = 8cm. Lấy điểm M trên AB sao cho
BM = 4cm. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm DC, gọi N là trung điểm BD.

C/m: Ba điểm C, M, N thẳng hàng
Học sinh tính được AB = 6cm (áp dụng đònh lý Pythagore)
∆DBC có BA là trung tuyến
và
BA
MB
=
6
4
=
3
2
⇒ BM =
3
2
BA
Vậy M là trọng tâm của ∆DBC
N là trung điểm BD suy ra CN là trung tuyến ∆BDC
Trung tuyến CN phải đi qua trọng tâm M
Vậy C, M, N thẳng hàng
Trong bài tập trên, học sinh luyện tập về tính chất 3 đường trung tuyến trong
tam giác và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 6
 Bài “Tính chất tia phân giác của 1 góc”. Ta chọn bài tập sau:
13) Cho ∆ABC cân tại A, gọi D là trung điểm BC. Từ D vẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC
(E∈ AB; F ∈ AC)
a) C/m: ∆DEF cân
b) Vẽ BH // DF, CK // DE (H ∈ AC ; K ∈ AB)
C/m: A, I, D thẳng hàng
C/m: A, I, D thẳng hàng
DE ⊥ AB ; DF ⊥ AC

DE = DF
Suy ra: D thuộc tia phân giác của BAC
IK ⊥ AB, IH ⊥ AC
IK = IH
A
C
B
M
D
N
4
A
CB
D
H
F
K
E
I
Suy ra: I thuộc tia phân giác của BAC
Vậy: A, D, I thẳng hàng
Trong bài trên, học sinh luyện tập về “Tính chất tia phân giác của 1 góc” và
qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 4
 Bài: “Tính chất 3 đường phân giác của tam giác”
14) Cho ∆ ABC cân tại A. Vẽ phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung
điểm BC. C/m: A, I, M thẳng hàng
C/m: A, I, M thẳng hàng
∆ ABC có phân giác của B và C cắt nhau tại I,
suy ra I là giao điểm của 3 đường phân giác trong
tam giác

∆ ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến
ứng với cạnh đáy nên AM cũng là phân giác.
Đường phân giác AM phải đi qua giao điểm I
Vậy A, I, M thẳng hàng
Trong bài trên, học sinh luyện tập về “tính chất 3 đường phân giác trong tam
giác”, tính chất tam giác cân và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào
phương pháp 7.
 Bài : “Tính chất đường trung trực của 1 đoạn thẳng”
15) Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC.
Chứng minh 3 điểm A, D, E thẳng hàng
C/m: 3 điểm A, D, E thẳng hàng
AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực của BC
DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của BC
EB = EC ⇒ E thuộc đường trung trực của BC
A
C
B
D
E
Vậy A, D, E thẳng hàng
Trong bài trên, học sinh luyện tập về tính chất trung trực và qua đó chứng
minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 5
 Bài : “ Tính chất 3 đường trung trực của tam giác”
16) Cho ∆ ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Đường trung trực của AB, AC cắt
nhau ở D. Chứng minh: A, M, D thẳng hàng
C/m: A, M, D thẳng hàng
AB = AC (gt)
MB = MC (M là trung điểm BC)
Suy ra: AM là đường trung trực của đoạn BC (1)
∆ ABC có đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D

Suy ra: D là giao điểm 3 đường trung trực trong ∆ ABC
Nên: D thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, D thẳng hàng
Trong bài trên, học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 9
 Bài : “Tính chất 3 đường cao”
17) ∆ ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm
BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng
A
C
B
M
D
A
CB
H
K
I
D
C/m: A, I, M thẳng hàng
∆ ABC có 2 đường cao BH và CK cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác.
∆ ABC cân tại A, có AM là trung tuyến ứng với cạnh đáy nên AM cũng là
đường cao.
Đường cao AM phải đi qua trực tâm I
Vậy A, I, M thẳng hàng
Trong bài trên, học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 8
III/ Kết quả:
1/ Mặt tích cực: Khi sử dụng phương pháp này trong quá trình giảng dạy, tôi thấy
đạt hiệu quả tốt. Nó chỉ ra cho học sinh con đường đi, tránh phải mất thời giờ suy
nghó lan man, nhiều khi dẫn đến ngõ cụt. Khi có được hướng suy nghó đúng, phần
lớn các em giải quyết được yêu cầu của bài toán. Điều này tạo cho các em niềm

say mê, hứng thú trong học tập bộ môn.
2/ Mặt hạn chế: Phần chứng minh 3 điểm thẳng hàng, học sinh yếu khó tiếp thu.
TP Hồ chí Minh, ngày 05 – 04 – 2007
Người viết
Bùi Thò Giáng Hương