Chương III. §3. Cấp số cộng

KIỂM TRA BÀI
CŨ
Cho dã
y số(un ) biế
t un = 3n − 4.
Viế
t 5sốhạng đầ
u củ
a dã
y số.
Giải
:

Nă
msốhạng đầ
u củ
a dã
y sốtrê
n là: -1, 2, 5, 8, 11.


* Hã
y chỉ
ra mộ
t quy luat
ätừnă
msốhạng đầ
u:
-1, 2, 5, 8,11củ
a dã

y số(un ) đã
cho?

* Viế
t tiế
p nă
msốhạng củ
a dã
y sốtheo quy luậ
t đó
?
Trả lời:

* Quy luật:
số
hạng thứ hai,
Dãykể
sốtừ
đã
cho
mỗi số
hạng
đều cấp
bằng số hạng
gọi
là một
đứng ngaysố
trước
nó cộng với 3.
cộng.

* Năm số hạng tiếp theo của dãy
là: 14,
17,số
20, :2,
23,-3,
26.-8, -13 có
Dãy
là
mộtlà
cấp
sốcấp
cộng.
phải
một
số
cộng không?


Tiết
41.

§ 3.

CẤP SỐ CỘNG

I. Đònh
Phát
Phát biểu
biểu đònh
đònh nghóa

nghóa cấp
cấp

nghóa
số
cộng?
số
cộng?
Đònh
nghóa:

Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn ho
kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều b
ngay trước nó cộng với một số không đổ
Số d được gọi là công sai
của cấp số cộng. *

(un ) làcấ
p sốcộ
ng ⇔ ∀n∈ ¥ , un +1 = un + d , d làhằ
ng số
Khi d = 0 thì cấp số cộng là một
dãy số không đổi


1
HĐ 1 Cho (un ) làmộ
t cấ
p sốcộ
ng cónă

msốhạng vớ
i u1 = − ,d = 4.
3
Viế
t dạng khai triể
n củ
a nó
.

Giải

Ta có
:
1
11
u2 = − + 4 =
;
3
3
23
35
u4 =
+ 4=
;
3
3

11
23
u3 =

+ 4=
.
3
3
35
47
u5 =
+ 4=
.
3
3

1 11 23 35 47
Vậy dạng khai triển của dãy − ,
,
,
,
.
3 3 3 3 3
số đã cho là


HĐ2

Mai và Hùng chơi trò xếp các que
diêm thành hình tháp trên mặt
sân. Cách xếp như hình dưới.

3
1

2
tần
tần
tần
g
g
g
Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao
nhiêu que diêm để xếp tầng đế của
tháp?


1
taàn
3
g

3
taàn
11
g

2
taàn
7
g

4
taàn

15

100
taàng

?


§ 3.

CẤP SỐ CỘNG

I. Đònh nghóa:

SGK/93
(un ) làcấ
p sốcộ
ng ⇔ ∀n∈ ¥ * , un +1 = un + d , d làhằ
ng số
II.Số hạng
tổng
* Đònh quát.
lí
1 Nếu cấp số cộng (u )có số hạng đầu
n
là u1 và công sai d thì số hạng tổng
quát un được xác đònh bởi công thức:

un = u1 + ( n − 1) d vớ
i n≥ 2

* Chứng minh:
Sgk/94

(2).


* Ví dụ 1:

Cho cấ
p sốcộ
ng (un ),biế
t u1 = −4, d =3.
a) Tìm u11.
b) Số86 làsốhạng thứbao nhiê
u?
c) Biể
u diễ
n cá
c sốhạng u1,u2,u3,u4,u5trê
n trục số
.
Nhậ
n xé
t vòtrí củ
a mỗ
i điể
m u2, u3,u4 so vớ
i hai điể
m

liề
n kề
.


Giả
i:
Cấ
p sốcộ
ng (un ) cóu1 = −4, d =3.

a) u11 = u1 + 10d = −4 + 10.3 = 26.
b) un = −4 + (n − 1).3 màun = 86

nê
n − 4 + 3(n − 1) = 86 ⇔ 3(n -1) =90 ⇔ n -1=30 ⇔ n =31.
c) Năm số hạng đầu của cấp số cộng
là -4, -1, 2, 5, 8 được biểu diễn trên trục
u4
u1 hình vẽ
u2
u5
số như
sau: u3
-4

-1

0

2

5

8

u1+u3
Điể
m u2 làtrung điể
m củ
a đoạn u1u3,hay u2 =
.
2
Tương tự đố
i vớ
i u3 vàu4.


III.Tính chất các số hạng của cấp số cộng
* Định lí 2. Trong một cấp số cộng, mỗi số
hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là
trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với
nó, nghóa là

uk−1 + uk+1
uk =
,k ≥ 2 (3)
2

Chứng minh: Giả sử (un) là cấp số cộng

với công sai d .

Vớ
i k ≥ 2 ta cóuk+1 = uk + d; uk−1 = uk − d.
uk−1 + uk+1
Suy ra uk+1 + uk−1 = 2uk hay uk =
2

đ


* Ví dụ 2: Trong các dãy số sau,
dãy số nào là cấp số cộng? Tính
số
đầu
và công sai của nó.
a) unhạng
= 5− 2n
.
Dãy số này gọi
là một cấp số
b) un = 3n.
nhân
Gia
ûi:
a) Vớ
i n ≥ 1, xé
t hiệ
u un+1 − un = 5− 2(n + 1) − (5− 2n)
= 5− 2n − 2 − 5+ 2n = −2, suy ra un+1 = un − 2. Vậ

y (un ) là
cấ
p sốcộ
ng cóu1 = 3 vàcô
ng sai d =-2.
b)Vớ
i n ≥ 1, xé
t hiệ
u un+1 − un = 3n+1 − 3n = 3.3n − 3n = 2.3n
Vậ
y (un ) khô
ng phả
i làcấ
p sốcộ
ng.


* Bài tập 1.Tìm số hạng đầu và
công sai của cấp số cộng sau,
biết:
u 3 + u10 = −31

2u 4 − u 9 = 7

Gia
ûi:

u 3 + u10 = −31 (u1 + 2d) + (u1 + 9d) = −31
⇔


2(u1 + 3d) − (u1 + 8d) = 7
2u 4 − u 9 = 7
2u1 + 11d = −31
 u1 = 1
⇔
⇔
u1 − 2d = 7
d = −3

Vậy cấp số cộng đã cho có số
hạng đầu u1 = 1 và công sai d = -3.


CỦNG CỐ
* Đònh nghóa cấp số cộng.

(un ) làcấ
p sốcộ
ng ⇔ ∀n∈ ¥ * , un +1 = un + d , d làhằ
ng số
* Số hạng tổng
quát:
un = u1 + n − 1 d vớ
i n ≥ 2 (2)

(

)

* Tính chất các số hạng của cấp số cộng

uk−1 + uk+1
uk =
,k ≥ 2 (3)
2

* Phương pháp chứng minh dãy số (un)
Xét
hiệu
= un+1 - un . Nếu H không
là
cấp
số Hcộng:
đổi thì (un) là cấp số cộng. Nếu H phụ
thuộc n thì (un) không là cấp số cộng.


Em chọn phương án nào?
Khi kí hợp đồng dài hạn với các kỹ sư được
tuyển dụng, công ty liên doanh A đề xuất
hai phương án trả lương như sau:
Phương án 1: Người lao động sẽ nhận 36
triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, và
kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ
được tăng thêm 3 triệu đồng một năm.
Phương án 2: Người lao động sẽ được nhận
7 triệu đồng cho qúy làm việc đầu tiên,
và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương
sẽ được tăng thêm 500.000 đ mỗi qúy.