Đề thi học phần 2

ĐỀ THI MÔN TOÁN RỜI RẠC
Thời gian: 90 phút
(Sinh viên không được xem tài liệu)

Câu 1. Kiểm tra suy luận sau đây bằng 2 cách khác nhau:
p → (q → r)
¬ q → ¬ p
p
----------------
∴ r
Câu 2.
(a) Hãy tính số dãy 6 bit khác nhau trong đó số bit 1 là một số chẵn.
(b) Cho n là một số nguyên dương. Tính số dãy n bit khác nhau trong đó số bit 1 là một số chẵn.
Câu 3. Cho X = {a,b,c,d,e}.
(a) Tìm một quan hệ thứ tự trên X sao cho a là phần tử nhỏ nhất, d và e là 2 phần tử tối đại.
(b) Hỏi có bao nhiêu quan hệ thứ tự trên X thỏa điều kiện được yêu cầu trong câu (a).
Câu 4.Tìm công thức dạng chính tắc và các công thức đa thức tối tiểu của hàm Bool f(x,y,z,t) có bảng giá trị như
sau:
x y z t f
1 1 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1

1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Câu 5. Tính số các hàm Bool theo 3 biến f(x,y,z) thỏa điều kiện
f(x,y,z) = f(x,z,y) = f(y,x,z) với mọi x, y, z.
-----------------------------------
Câu 1. Cho biểu thức logic E theo 4 biến p, q, r, s như sau:
A = (p → (¬ q ∨ r) ∧ ¬ s ) ∧ (¬ s → ¬ r ∧ p )
Hãy rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị của các biến p, q, r, s để cho A = 1.
Câu 2. Cho n là một số nguyên dương và đặt Sn = {1, 2, . . ., n}.
(a) Tính số tập hợp con của Sn chứa ít nhất một số chẵn trong trường hợp n = 14 và trong trường hợp n =
15.
(b) Tính số tập hợp con của Sn chứa ít nhất một số chẵn trong trường hợp tổng quát (n tùy ý).
Câu 3.
(a) Nêu lên định nghĩa về quan hệ thứ tự trên một tập hợp và cho một ví dụ.
(b) Cho X = {a, b, c, d, e}. Tìm tất cả các quan hệ thứ tự trên X thỏa mãn điều kiện: a là phần tử nhỏ nhất
và e là phần tử lớn nhất.
Câu 4. Tìm công thức dạng chính tắc và các công thức đa thức tối tiểu của hàm Bool f(x,y,z,t) có bảng giá trị như
sau:

x y z t f
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0

1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1

Câu 5. Cho X = {x
1
, x
2
, . . ., xn} là một tập hợp hữu hạn có n phần tử. Giả sử R là một quan hệ thứ tự trên X. Hãy
viết một thuật toán tìm tất cả các phần tử tối đại của X theo quan hệ thứ tự R.
Câu 1: Xét các vị từ theo biến nguyên sau đây:
p(x) : x
2
– 5x + 6 = 0
q(x) : x
2
– 4x – 5 = 0
r(x) : x > 0
us(x, y) : “x là ước số của y”
Hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau đây:
(a) ∀ x : p(x) → r(x).
(b) ∃ x : q(x) → r(x).
(c) ∀ y, ∃ x : us(x,y).
(d) ∃ y, ∀ x : us(x,y).

Câu 2: Cho m và n là các số nguyên dương. Tính số dãy bit gồm n bit thỏa điều kiện sau đây: Tổng số bit 1 ở các
vị trí chẳn ít nhất là bằng m. Hãy tính số dãy bit theo điều kiện trên trong trường hợp n = 32, m = 8.

Câu 3:
(a) Nêu lên định nghĩa về biểu đồ Hasse của một tập hợp X có thứ tự (tức là có một quan hệ thứ tự đang
được xét trên X). Vẽ biểu đồ Hasse của tập P({a,b,c}) theo quan hệ thứ tự ⊂, trong đó P({a,b,c}) là tập
hợp gồm tất cả các tập hợp con của {a,b,c}.
(b) Nếu trên tập hợp P({a,b,c}) ta xét quan hệ thứ tự ⊃ thì biểu đồ Hasse có dạng như thế nào? Khi đó hãy
cho biết phần tử “lớn nhất” và phần tử “nhỏ nhất” là gì?

Câu 4: Cho một hàm Bool f(x,y,z,t) theo 4 biến x, y, z, t. Giả sử f có biểu đồ Karnaugh như sau:
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
Hãy tìm công thức dạng nối rời chính tắc và các công thức đa thức tối tểu của hàm Bool f.

Câu 5: Cho X là một tập hợp có n phần tử. Tính số quan hệ 2 ngôi trên X có tính chất phản xạ và có tính chất đối
xứng.
Câu 1: Xét các vị từ theo biến nguyên sau đây:
p(x) : x
2
– 5x + 6 = 0
q(x) : x
2
– 4x – 5 = 0
r(x) : x > 0
us(x, y) : “x là ước số của y”
Hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau đây:
(a) ∀ x : q(x) → ¬ r(x).

(b) ∃ x : p(x) → ¬ r(x).
(c) ∀ x, ∃ y : us(x,y).
(d) ∃ x, ∀ y : us(x,y).

Câu 2: Một lớp học có 12 học sinh giỏi văn hay giỏi toán trong đó có 2 học sinh giỏi cả 2 môn (Văn và Toán) và có 8
học sinh giỏi Toán.
(a) Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ giỏi Văn mà không giỏi Toán.
(b) Giả sử ta phải chọn 2 tổ học sinh để đại diện đi thi học sinh giỏi: tổ học sinh giỏi Văn và tổ học sinh
giỏi Toán, mỗi tổ gồm có 4 người và mỗi học sinh được chọn đi thi chỉ tham gia vào một tổ mà thôi. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn 2 tổ học sinh như thế?

Câu 3:
(a) Nêu lên định nghĩa về phần tử nhỏ nhất và phần tử tối tiểu trong một tập hợp X theo một quan hệ thứ tự
R. Cho một ví dụ minh họa.
(b) Giả sử X = {x
1
, x
2
, . . ., xn} là một tập hợp hữu hạn có n phần tử và R là một quan hệ thứ tự trên X. Viết
thuật toán tìm phần tử tối tiểu và phần tử nhỏ nhất (nếu có) của X theo quan hệ thứ tự R.

Câu 4: Cho một hàm Bool f(x,y,z,t) theo 4 biến x, y, z, t. Giả sử f có biểu đồ Karnaugh như sau:
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
Hãy tìm công thức dạng nối rời chính tắc và các công thức đa thức tối tểu của hàm Bool f.

Câu 5: Cho X là một tập hợp có n phần tử. Tính số quan hệ 2 ngôi trên X có tính chất chất đối xứng nhưng không
có tính chất phản xạ.

Câu 1. Kiểm tra suy luận sau đây bằng 2 cách khác nhau:
p → (q → r)
¬ p → s
q
¬ r
----------------
∴ s
Câu 2. Một lớp học có 14 học sinh giỏi văn hay giỏi toán trong đó có 10 học sinh giỏi Toán và có 8 học sinh giỏi
Văn.
(a) Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ giỏi Văn mà không giỏi Toán.
(b) Giả sử ta phải chọn 2 tổ học sinh để đại diện đi thi học sinh giỏi: tổ học sinh giỏi Văn và tổ học sinh
giỏi Toán, mỗi tổ gồm có 4 người và mỗi học sinh được chọn đi thi chỉ tham gia vào một tổ mà thôi.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 tổ học sinh như thế?
Câu 3. Cho X = {a, b, u, v}.
(a) Tìm một quan hệ thứ tự trên X sao cho a và b là các phần tử tối tiểu nhưng không tối đại, u và v là các
phần tử tối đại nhưng không tối tiểu.
(b) Hỏi có bao nhiêu quan hệ thứ tự trên X thỏa điều kiện được yêu cầu trong câu (a).
Câu 4. Tìm công thức dạng chính tắc và các công thức đa thức tối tiểu của hàm Bool f(x,y,z,t) có bảng giá trị như
sau:
x y z t f
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1

1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
Câu 5. Cho X là một tập hợp hữu hạn và R là một quan hệ thứ tự trên X. Chứng minh rằng X có ít nhất một phần tử
tối tiểu. Hỏi có phải trong X luôn luôn có phần tử nhỏ nhất không?
Câu 1:
(a) Phát biểu một nguyên lý qui nạp dùng để chứng minh mệnh đề có dạng:
∀ n ≥ 1 : p(n)
trong đó p(n) là một vị từ theo biến số tự nhiên n.
(b) Hãy dùng nguyên lý qui nạp để chứng minh công thức dưới đây đúng đối với mọi số nguyên dương n:
Trong công thức trên, ký hiệu C(n,k) là số tổ hợp n chọn k.

Câu 2: Cho m và n là các số nguyên dương. Tính số dãy bit gồm n bit thỏa điều kiện sau đây: Tổng số bit 1 ở các vị
trí chẳn là một số chẳn. Hãy tính số dãy bit theo điều kiện trên trong trường hợp n = 32, m = 8.

Câu 3:
(a) Trên tập hợp số tự nhiên N ta xét một quan hệ 2 ngôi R được định nghĩa như sau: a R b ⇔ ∃ n ∈ N :
b.n = a
Chứng minh rằng quan hệ R là một quan hệ thứ tự trên N.
(b) Đặt D = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Trên tập hợp D ta cũng xét một quan hệ R định nghĩa như trong phần
(a). Hỏi R có phải là một quan hệ thứ tự trên D không? Nếu có thì hãy vẽ biểu đồ Hasse và cho biết phần
tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất trong D theo thứ tự R.

Câu 4: Cho một hàm Bool f(x,y,z,t) theo 4 biến x, y, z, t. Giả sử f có biểu đồ Karnaugh như sau:
1 1
1 1 1 1
1 1 1

1 1 1
Hãy tìm công thức dạng nối rời chính tắc và các công thức đa thức tối tểu của hàm Bool f.

Câu 5: Tìm một hàm Bool f(x,y,z,t) thỏa điều kiện: Nếu x+y+z+t là một số chẳn thì f(x,y,z,t) = 0. Tính số các hàm
Bool thỏa mãn điều kiện trên.
Câu 1:
(a) Phát biểu một nguyên lý qui nạp dùng để chứng minh mệnh đề có dạng:
∀ n ≥ 0 : p(n), trong đó p(n) là một vị từ theo biến số tự nhiên n.
(b) Hãy dùng nguyên lý qui nạp để chứng minh phát biểu p(n) sau đây là đúng đối với mọi số tự nhiên n:
p(n) : Nếu tập hợp X có n phần tử thì số các tập hợp con của X là 2
n

Câu 2: Cho m và n là các số nguyên dương. Tính số dãy bit gồm n bit thỏa điều kiện sau đây: Tổng số bit 1 ở các vị
trí chẳn là một số lẻ. Hãy tính số dãy bit theo điều kiện trên trong trường hợp n = 32, m = 8.