Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan ( luận văn ths toán học)

N

O

N

N

-----------------------

Lại hị hu

MỘ SỐ

UỖ N ẪU N

VÀ Á VẤN Ề L

N i - 2017

N

N QU N


U
N

O

N

N

-----------------------

Lại hị hu

MỘ SỐ

UỖ N ẪU N

VÀ Á VẤN Ề L

N QU N

LTXS v t ố
ố

LU

V

TS.

T

60460106

S

UYỄ T Ị

N i - 2017

N

k toá

ọc


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình và cũng hết sức nghiêm khắc
của TS. Nguyễn Thịnh. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả muốn
bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người thầy đáng kính của mình. Thầy đã
luôn tận tình hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình
làm luận văn.
Tác giả cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại
học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận giảng dạy
khóa Cao học 2014 - 2016, đặc biệt là các thầy cô tham gia giảng dạy nhóm Xác suất
thống kê 2014 - 2016 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian
của khóa học.
Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh chị em trong nhóm Xác
suất thống kê 2014 - 2016 đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên tinh thần để
tác giả có thể hoàn thành được khóa học này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2017

Học viên

Lại Thị Thu

0


Mục lục
Lời cảm ơn

0

Kí hiệu

2

Lời mở đầu

5

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1 Các dạng hội tụ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuẩn tắc và dãy α- ổn định chuẩn tắc . . . .

10

1.3 Modun trên các không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4 Lọc và thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5 Martingale giá trị thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.6 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.7 Một số kết quả của martingale thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2 Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của các biến
ngẫu nhiên độc lập

21

2.1 Bất đẳng thức Levy - Octaviani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2 Bất đẳng thức co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3 Bất đẳng thức Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3 Sự hội tụ và các nguyên lí trội của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập

32

3.1 Định lý Ito-Nisio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2 Sự hội tụ theo trung bình cấp p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1


MỤC LỤC
3.3 Moment mũ và các moment khác của chuỗi ngẫu nhiên . . . . . . . . . . .

40

3.4 Phép trội yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.5 Phép trội mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4 Martingale và các nguyên lí trội cho Martingale

56

4.1 Các bất đẳng thức Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.2 Sự hội tụ của martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.3 Các dãy tách rời và các dãy tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.4 Phép trội yếu cho martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.5 Phép trội mạnh cho martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Kết luận

80

1


Kí hiệu
Những kí hiệu này được sử dụng như một lời chú giải kí hiệu chứ không phải là các định
nghĩa chính thức
|A| - lực lượng (số phần tử) của tập hợp A .

A0 - Đại số của các tập.
A- σ− đại số của các tập.
B- σ− đại số của các tập Borel.
C - số phức.

C-các hàm lồi liên tục không âm.
D(T ) - Không gian Skorohod trên T .
E (X ) - Kì vọng của biến ngẫu nhiên X .
E , F - Không gian Banach thực khả ly hoặc không gian metric tuyến tính đầy đủ.
E , F - Không gian đối ngẫu của E , F .

F, G- σ− đại số của các tập.
(F(t )), (Fi )-Các lọc.
H -Không gian Hilbert.
h, g -Tích trong trên một không gian Hilbert.

HC- Lớp siêu co
I A (.)-Hàm chỉ tiêu của tập A .
L p -Không gian các hàm p− khả tích.
L 0 -Không gian các hàm đo được.
L ϕ -Không gian Musielak-Orlicz.

L(X )-Phân phối của các biến ngẫu nhiên X .
m, n -Các độ đo ngẫu nhiên.

2


Kí hiệu
N -Tập số nguyên không âm.
N + -Tập số nguyên dương.
p, p -Các lũy thừa liên hợp Holder, 1/p + 1/p = 1.
p ∗ = max{p, p/(p − 1)}
P 1 -Các quá trình tiên đoán được hoặc các dãy với giá trị tuyệt đối ≤ 1.
P

Q -Tích của 2 độ đo hoặc một độ đo và một hạt nhân (kernel) chuyển.

Q -Tập số hữu tỷ.
Q n∗∗ = max{∥ Q k,l ∥: 1 ≤ i < j ≤ n, i ≤ k, j ≤ l }
R -Tập số thực.
R + -Tập số thực dương.

R0 - Hàm f liên tục: R → R sao cho với r, c > 0, | f (x)| ≤ c và f (x) = 0 với |x| ≤ r .
Sn = X1 + · · · + Xn

S n∗ = max ∥ S k ∥
1≤k≤n

S ∗ = sup ∥ S k ∥
1≤k<∞
∗
S ∗n
= max ∥
k,l ≤n

l
i =k

Xi ∥

S = S(A)-tập các hàm A− bậc thang
T -Tập tham số, thường là T = [0, t ∞ ], t ≤ ∞
X , Y -Các biến ngẫu nhiên trên (Ω, F, P) có giá trị trên một không gian Banach hoặc một

quá trình ngẫu nhiên.
X ≺U Y - Phép trội yếu của X theo Y
X ≺(κ,λ) Y -Phép trội mạnh
X ≺[a,b] Y -Phép trội siêu co
X ≺GU Y -Phép (U, G)− trội yếu,
X ≺G Y -Phép G− trội mạnh
∥ X ∥0 = E (1∧ ∥ X ∥)
∥ X ∥p = (E ∥ X ∥p )(1∧1/p)
X = X nếu ∥ X ∥≤ 1, và = X / ∥ X ∥ nếu ∥ X ∥> 1
X

c

= c X /c

( Xˆ i )- Dãy tiếp xúc tách rời tới (X i )
X ∗ = sup X (t )
t ∈T

3


Kí hiệu
X n∗ = sup ∥ X k ∥
k≤n

V ar X = E ∥ X − E X ∥2 - phương sai.
Z - Tập số nguyên.
α - Số nguyên bé nhất lớn hơn hoặc bằng α.
α - Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng α.
α ∧ β = min{α, β}
α ∨ β = max{α, β}
(γi )- Dãy Gauss chính tắc của các biến ngẫu nhiên có phân phối N (0, 1) đồng nhất độc

lập.
δx - Độ đo Dirac tập trung tại điểm x .
δnk = 1 nếu n = k, và = 0 nếu n = k
(εk )- Các biến ngẫu nhiên Bernoulli (Rademacher) hoặc một dãy bằng ±1.
µ X = L(X )- độ đo phân phối của X .
π, ρ - Các modun.
σ(A), σ(X )- σ− trường sinh bởi A, X .

∗

- max hoặc sup của các tổng riêng.

ξ, η- Các biến ngẫu nhiên thực.
ϕ, Φ- Hàm Musielak- Orlicz và modun.
φε -Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên ξ
(Ω, F, P )-Không gian xác suất.

4


Lời mở đầu
Hiện nay, xác suất thống kê ngày càng đóng vai trò quan trọng trong rất nhiều lĩnh vực
và càng ngày càng được phổ biến một cách rộng rãi. Cũng vì lẽ đó, Lý thuyết xác suất
đã trở thành một ngành nghiên cứu đặc biệt được coi trọng trong ứng dụng vì tính thực
tiễn của nó trong việc dự báo, tính toán và tìm ra những quy luật trong tự nhiên cũng
như trong cuộc sống hàng ngày.
Tất nhiên, cũng vì sự quan trọng và được phát triển trong một quãng thời gian rất dài bởi
những nhà toán học lỗi lạc trên thế giới, nên khi đi sâu vào tìm hiểu và nghiên cứu ta sẽ
thấy Lý thuyết xác suất được chia ra làm rất nhiều mảng kiển thức để có thể tìm hiểu và
phát triển. Vì vậy tác giả cũng chỉ xin được tìm hiểu và nghiên cứu một mảng nhỏ trong
thế giới của ngành toán học rộng lớn bao la này.
Trong luận văn này, tác giả xin được trình bày về một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn
đề liên quan. Luận văn của tác giả được chia làm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tác giả giới thiệu chung về các kiến thức cơ sở để làm nền tảng
giúp người đọc có thể theo dõi và thấu hiểu được hoàn toàn nội dung của các chương
sau. Kiến thức trong chương này bao gồm: Các dạng hội tụ cơ bản, các bất đẳng thức cơ
sở, định nghĩa lọc, thời điểm dừng, martingale giá trị thực...

Chương 2. Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của các
biến ngẫu nhiên độc lập Trong chương này, tác giả giới thiệu về các bất đẳng thức cho
tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập bao gồm: bất đẳng thức
Levy-Octaviani, bất đẳng thức co và bất đẳng thức Moment.
Chương 3. Sự hội tụ và các nguyên lí trội của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập
Trong chương này, tác giả trình bày kiến thức về các tính chất của các chuỗi ngẫu
5


nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập, bao gồm tính hội tụ và các phép làm trội của
chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập.
Chương 4. Martingale và các nguyên lí trội cho Martingale
Trong chương này, tác giả giới thiệu một khái niệm có liên quan đến chuỗi các biến
ngẫu nhiên, đó chính là martingale và các tính chất về các phép trội cho khái niệm này.
Để nghiên cứu về đề tài "Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan", tác giả
đã tham khảo một số tài liệu trong và ngoài nước về Xác suất nâng cao, các chuỗi ngẫu
nhiên và tích phân ngẫu nhiên. Trong đó
◦ Nội dung chính chương 1 của luận văn tham khảo tài liệu [1] [3] và [6];
◦ Nội dung chính chương 2 của luận văn tham khảo tài liệu [6];
◦ Nội dung chính chương 3 của luận văn tham khảo tài liệu [6];

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Các dạng hội tụ cơ bản

Trước khi bắt đầu luận văn này, tác giả muốn trình bày những kiến thức cơ sở về khái
niệm, định nghĩa và định lý (không chứng minh) của các dạng hội tụ có liên kết chặt chẽ
đến các kiến thức ở các chương sau, cụ thể là hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo xác suất,
hội tụ theo trung bình cấp p , hội tụ theo phân phối và hội tụ yếu.

Định nghĩa 1.1.1 (Hội tụ hầu chắc chắn). Cho dãy (X n ) các biến ngẫu nhiên.
i) Nếu P {ω : ∃ limn X n (ω)} = 1 thì ta nói dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn.
ii) Nếu X là một biến ngẫu nhiên và P {ω : limn X n (ω) = X (ω)} = 1 thì ta nói dãy (X n ) hội tụ
hầu chắc chắn tới X .

Định lý 1.1.2. i) Điều kiện cần và đủ để dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn là với mọi r > 0
lim P ( sup |X m − X k | > r ) = 0.
n

m,k≥n

Điều kiện ở trên tương đương với
lim P (sup |X m − X n | > r ) = 0.
n

m≥n

7


1.1. CÁC DẠNG HỘI TỤ CƠ BẢN
ii)Điều kiện cần và đủ để dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới X là với mọi r > 0
lim P (sup |X m − X | > r ) = 0.
n

m≥n

Định nghĩa 1.1.3 (Hội tụ theo xác suất). Cho dãy (X n ) các biến ngẫu nhiên.
Nếu với mọi ε > 0 ta có
lim P (|X n − X | > ε) = 0
n

thì ta nói dãy (X n ) hội tụ tới X theo xác suất và kí hiệu là
p

p − lim X n = X hay X n → X .
n

Định lý 1.1.4.

1. Nếu dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới X thì dãy (X n ) hội tụ theo xác

suất tới X . Điều ngược lại không đúng.
2. Nếu dãy (X n ) hội tụ theo xác suất tới X thì có thể trích ra dãy con (X nk ) hội tụ hầu
chắc chắn tới X .
3. Để cho dãy (X n ) hội tụ theo xác suất điều kiện cần và đủ là với mọi số dương r > 0
lim sup P (|X m − X k | > r ) = 0.
n m,k≥n

Điều kiện này là tương đương với
lim sup P (|X m − X n | > r ) = 0.
n m≥n

Định nghĩa 1.1.5 (Hội tụ theo trung bình cấp p). Cho số dương p > 0. Kí hiệu L p (Ω) là tập
hợp các biến ngẫu nhiên X sao cho E |X |p < ∞.

Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) ⊂ L p (Ω) được gọi là hội tụ trung bình cấp p tới biến ngẫu nhiên
X nếu
lim E (|X n − X |p ) = 0.
n

Lp

Khi đó ta cũng nói (X n ) hội tụ tới X trong L p (Ω) và viết lim X n = X trong L p (Ω) hay X n → X .

8


1.1. CÁC DẠNG HỘI TỤ CƠ BẢN

Định lý 1.1.6. Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) ⊂ L p hội tụ trung bình cấp p khi và chỉ khi
lim E |X m − X k |p = 0.

m,k→∞

Định lý 1.1.7.

1. Nếu dãy (X n ) trung bình cấp p thì dãy (X n ) hội tụ theo xác suất.

2. Sự hội tụ trung bình cấp p không nhất thiết kéo theo sự hội tụ hầu chắc chắn.
3. Sự hội tụ hầu chắc chắn không nhất thiết kéo theo sự hội tụ trung bình cấp p .
Định nghĩa 1.1.8 (Hội tụ theo phân bố). Cho dãy X n các biến ngẫu nhiên. Gọi Fn (x), F (x)
tương ứng là hàm phân bố xác suất của X n và của X . Gọi C (F ) là tập các điểm liên tục
d

của hàm F . Ta nói rằng (X n ) hội tụ theo phân bố tới X và kí hiệu là X n → X , nếu với mọi

x ∈ C (F ) ta có
lim F n (x) = F (x).
n

Định lý 1.1.9. (i) Nếu dãy (X n ) hội tụ tới X theo xác suất thì dãy (X n ) sẽ hội tụ tới X theo
phân bố.
(ii) Điều ngược lại nói chung không đúng. Tuy nhiên nếu dãy (X n ) hội tụ tới hằng số c theo
phân bố thì dãy (X n ) sẽ hội tụ tới c theo xác suất.

Định lý 1.1.10. Cho dãy X n các biến ngẫu nhiên. Để dãy (X n ) hội tụ theo phân bố tới X
điều kiện cần và đủ là: với mọi hàm liên tục bị chặn f (x) ta có
lim E f (X n ) = E f (X ).
n

Ký hiệu M là tập hợp tất cả các hàm F không giảm, liên tục bên trái và thỏa mãn điều
kiện
lim F (x) = 0 và

x→−∞

lim F (x) = 1.

x→+∞

Ta thấy rằng M cũng chính là tập hợp tất cả các hàm phân bố xác suất.

9


1.2. CÁC DÃY BERNOULLI, DÃY GAUSS CHUẨN TẮC VÀ DÃY α- ỔN ĐỊNH CHUẨN TẮC

Định nghĩa 1.1.11 (Hội tụ yếu). Dãy (Fn ) ⊂ M được gọi là hội tụ yếu tới F ∈ M nếu với mọi
x ∈ C (F ) ta có
lim F n (x) = F (x)
n

.
Như vậy dãy biến ngẫu nhiên (X n ) hội tụ theo phân bố tới biến ngẫu nhiên X nếu và chỉ
nếu dãy (Fn ) hội tụ yếu tới F , ở đó Fn và F tương ứng là hàm phân bố xác suất của X n và
X.

1.2

Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuẩn tắc và dãy α- ổn
định chuẩn tắc

• Bất kỳ dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố ε1 , ε2 , . . . sao cho P (ε1 = ±1) = 12

được gọi là một dãy Bernoulli. Ta xét dãy Bernoulli hữu hạn ε1 , . . . , εn .
• Một dãy Gauss chuẩn tắc được kí hiệu là γ1 , γ2 , . . . là một dãy của các biến ngẫu

nhiên độc lập có cùng phân phối N (0, 1), tức là:

P (ξi < t ) =

1
2π

t

e −s

2

/2

ds

(1.1)

−∞

Ta xét các dãy Gauss hữu hạn chuẩn tắc γ1 , γ2 , . . . , γn
• Cho 0 < α < 2. Một dãy α- ổn định chuẩn tắc là một dãy các biến ngẫu nhiên độc

lập có cùng phân bố sao cho, với mỗi t ∈ R
E exp(i t ξ1 ) = exp(−|t |α )

Các tính chất của phân phối ổn định:
Cho ξ là một biến ngẫu nhiên đối xứng α- ổn định trên R. Khi đó, với t ∈ R,ta có:
E t ξ2 ∼ |t |α ∧ 1

10

(1.2)


1.2. CÁC DÃY BERNOULLI, DÃY GAUSS CHUẨN TẮC VÀ DÃY α- ỔN ĐỊNH CHUẨN TẮC
trong đó
a =




a

nếu |a| < 1



a/|a|

nếu |a| > 1

và trong đó một quan hệ tương đương " ∼ " được hiểu như sau nếu A(t ), B (t ), t ∈ T là các
hàm không âm thì ta nói rằng A(t ) ∼ B (t ) với t ∈ I ⊂ T , nếu tồn tại 2 hằng số c,C > 0 sao
cho c A(t ) ≤ B (t ) ≤ C A(t ), ∀t ∈ I .
Nếu α < 2, thì tồn tại t 0 > 0 sao cho với bất kỳ t ≥ t 0 ta có:
P (|ξ| > t ) ∼ t −α ,

(1.3)

t
E |ξ|α I {s≤|ξ|≤t } ∼ l og + ,
s

(1.4)

E |ξ|p I {|ξ|≤t } ∼ t p−α

(1.5)

E |ξ|p I {|ξ|≤t } ≤ E |ξ|p < ∞.

(1.6)

với t , s ≥ t 0 , ta có:

và với bất kỳ p > α và t ≥ t 0 , ta có:

Nếu p < α thì ∀t > 0, ta có:

Nếu α = 2 thì ∀t 0 > 0 và r > 0, tồn tại một hằng số C sao cho với t ≥ t 0 , ta có
P (|ξ| > t ) ≤ C t −r ,

(1.7)

E |ξ|p I {|ξ|>t } ≤ C t −r ,

(1.8)

E |ξ|p I {|ξ|≤t } ≤ E |ξ|p < ∞.

(1.9)

và

và, cuối cùng ∀t > 0

11

1.3. MODUN TRÊN CÁC KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH

1.3

Modun trên các không gian tuyến tính

Những kí hiệu và định nghĩa của ta liên quan đến các modun được thiết kế cho nhu cầu
của luận văn này nhưng có thể không phù hợp với thuật ngữ chính thống và văn phong
chuẩn của bộ môn.
Cho E là một không gian tuyến tính. Một phiếm hàm Φ : E → [0, ∞] được gọi là một
modun nếu:
1. Φ(0) = 0 ;
2. Với mỗi x ∈ E , hàm g (t ) = Φ(t x) là liên tục và là hàm chẵn trên R đồng thời không
giảm trên R + .
Φ được gọi là một tăng trưởng trung bình nếu nó thỏa mãn điều kiện:

3. Cho C > 0 và bất kỳ x, y ∈ E
Φ(x + y) ≤ C (Φ(x) + Φ(y))
Φ được gọi là một tăng trưởng mũ lớn nhất nếu nó thỏa mãn điều kiện:

4. Cho C > 0 và bất kỳ x, y ∈ E
Φ(x + y) ≤ C (Φ(x) ∨ 1)(Φ(y) ∨ 1).

Ta cũng sẽ cần các tính chất dưới đây của modun.
5. [50 ] Tồn tại một hàm liên tục [liên tục tại điểm (0; 0)] ψ : R + × R + → R + sao cho
ψ(s, 0) = ψ(0, s) = s với mỗi s ∈ R + thì ta có Φ(x, y) ≤ ψ(Φ(x), Φ(y)) với mỗi x, y ∈ E .

Ví dụ, bất kì modun thỏa mãn điều kiện

6. Cho α > 0 và mọi x, y ∈ E
Φα (x + y) ≤ Φα (x) + Φα (y)

12


1.3. MODUN TRÊN CÁC KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH
có tính chất 5. Hơn nữa, nếu một modun Φ là một tăng trưởng trung bình thì nó có
tính chất [50 ].
Nếu Φ là một modun thỏa mãn điều kiện [50 ] thì Φ định nghĩa một topo trên E ,
trong đó phép cộng và phép nhân vô hướng là liên tục ( nói cách khác, topo này là
tuyến tính) nhưng không cần thiết là Hausdorff. Topo này được xác định bởi điều
kiện: Dãy (x n ) ⊂ E hội tụ tới 0 trên topo này khi và chỉ khi Φ(x n ) → 0 (và có thể được
cho bởi một giả metric không phải khả ly các điểm). Một cách tổng quát, ta viết:
Φ

xn −
→ x o nếu
lim Φ(x n − x 0 ) = 0

n→∞

Với một modun Φ trên E và δ > 0, ta định nghĩa :
1
δΦ,δ (x) = δ(x) := inf s : Φ( x) ≤ δ
s

Khi đó, δ là một modun mới trên E, δ thuần nhất, tức là δ(t x) = |t |δ(x) với bất kỳ
Φ

t ∈ R và x ∈ E . Nếu Φ thỏa mãn điều kiện 5 thì với mỗi dãy x n −
→ x 0 , ta có:
lim inf δΦ (x n ) ≥ δΦ (x 0 )

n→∞
Φ

và nếu x n −
→ 0 thì lim δΦ (x n ) = 0. Đối với modun tổng quát, điều ngược lại là không
n→∞

đúng. Tuy nhiên nó đúng với các modun Φ thỏa mãn điều kiện sau:
7. Tồn tại hằng số dương C ,C 1 và C 2 sao cho với mỗi x ∈ E , ta có:
C 1 Φ(x) ≤ Φ(C x) ≤ C 2 Φ(x)

Thật vậy, ta có thể dễ dàng thấy rằng nếu điều kiện trên thỏa mãn thì với mỗi x ∈ E ,
có
1
x
1
n Φ(x) ≤ Φ( n ) ≤ n Φ(x)
C2
C
C1

sao cho
B Φs (x) ≤ δΦ (x) ≤ AΦr (x)

13

1.4. LỌC VÀ THỜI ĐIỂM DỪNG
với A = C δlogC /C 1 , r = logC /C 1 , B = C δlogC /C 2 và s = logC /C 2 .
Bên cạnh tính chất 5, modun Φ thỏa mãn tính chất sau:
Φ

8. Với bất kỳ x ∈ E , x = 0, hàm Φ(t x) là hàm tăng trên t ∈ R + thì x n −
→ x 0 suy ra δΦ (x n ) →
δΦ (x 0 ).

1.4

Lọc và thời điểm dừng

Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất và cho I là một trong những tập sau: R + , N , [0, t ∞ ]
với t ∞ > 0 hoặc {1, . . . , n} với n ∈ N .
Một họ Ft , t ∈ I của σ- trường con của F được gọi là lọc nếu với mỗi t , s ∈ I sao cho t < s ,
ta có Ft ⊂ Fs .
Một ánh xạ τ : Ω → I

+∞ được gọi là một thời điểm dừng nếu với mỗi t ∈ I , ta có {τ > t } ∈

Ft (và khi đó {τ ≥ t } ∈ Ft cũng đúng). Nếu I = N thì τ là một thời điểm dừng khi và chỉ khi
với mỗi n ∈ N , ta có {τ = n} ∈ Fn . Hơn nữa, trong trường hợp này {τ ≥ n} ∈ Fn−1 .

1.5

Martingale giá trị thực

Khái niệm tương thích và dự báo được

Các σ- trường liên quan tới dãy ngẫu nhiên. Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất, F ⊂ A
là σ- trường con của A và X là biến ngẫu nhiên nào đó. Ta nói rằng X tương thích với F
nếu X là F- đo được. Trong trường hợp đó, ta viết
X ∈ F.

Kí hiệu σ(X ) = X −1 (B), trong đó B là σ- trường Borel của R. Rõ ràng, X ∈ F khi và chỉ khi
σ(X ) ⊂ F.

Cho trước dãy ngẫu nhiên X = {X n , n ∈ N}. Kí hiệu σ({X n , n ∈ N}) là σ- trường con bé nhất
của A chứa tất cả các σ- trường σ(X n ), n ∈ N. Ta gọi σ({X n , n ∈ N}) là σ- trường sinh ra từ
14


1.5. MARTINGALE GIÁ TRỊ THỰC
X = {X n , n ∈ N}.

Đặt
X
σ≤n
= σ≤n = σ({X m , m ≤ n}), m, n ∈ N,
X
σ= σX
σ=n
= σ=n = σ(X n ),
X
σ≥n
= σ≥n = σ({X m , m ≥ n}), m, n ∈ N,
X

σ>n
= σ>n = σ({X m , m > n}), m, n ∈ N.

Cho dãy σ- trường con {Fn , n ∈ N} của A. Dãy này được gọi là không giảm, nếu
Fm ⊂ Fn , m ≤ n, ∀m, n ∈ N.
Chẳng hạn, {σ≤n , m ∈ N} là họ không giảm. Ta lưu ý rằng σ≤n gồm các biến cố quan sát
được tính đến thời điểm n.
Định nghĩa 1.5.1. Với các ký hiệu như trên, ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên X = {X n , Fn , n ∈
N} là dãy tương thích, nếu X n ∈ Fn với mỗi n ∈ N.

Ta nói rằng V = {Vn , Fn−1 , n ∈ N, F−1 = F0 } là dãy dự báo được, nếu Vn ∈ Fn−1 với mỗi n ∈ N.
Thời điểm Markov và thời điểm dừng
Từ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:
• (Ω, A, P ) là không gian xác suất với A chứa tất cả các tập có xác suất 0 (tập O được

gọi là xác suất 0, nếu tồn tại A ∈ A sao cho P (A) = 0 và O ⊂ A ). Trong trường hợp này,
ta nói (Ω, A, P ) là không gian xác suất đầy đủ.
• N = {0, 1, 2, . . . }, N = N ∪ {∞}.
• R = R ∪ {−∞} ∪ {∞}.
• {Fn , n ∈ N} là dãy các σ- trường không giảm. Kí hiệu

F∞ =
15

∞
n=0

Fn

1.5. MARTINGALE GIÁ TRỊ THỰC
là σ- trường bé nhất chứa tất cả Fn , n ∈ N.
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị ∞). Ta nói
rằng τ là thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, nếu
{ω : τ(ω) = n} ∈ Fn , ∀n ∈ N .

Nếu thêm vào đó P (τ < ∞) = 1, thì τ được gọi là thời điểm dừng.
Martingale
Các định nghĩa dưới đây có hiệu lực khi thay tập số nguyên không âm N = {0, 1, . . . } bằng
tập hữu hạn {0, 1, . . . , N }, N ∈ N.

Định nghĩa 1.5.3. Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất. Dãy X = {X n , Fn , n ∈ N}, được gọi
là
• martingale trên (đối với {Fn , n ∈ N}), nếu:

(i) {X n , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích;
(ii) E |X n | < ∞, ∀n ∈ N;
(iii) Với m ≤ n và m, n ∈ N
E (X n |Fm ) ≥ X m , P − hầu chắc chắn.

• martingale dưới (đối với {Fn , n ∈ N}), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và

(iii’) Với m ≤ n và m, n ∈ N
E (X n |Fm ) ≤ X m , P − hầu chắc chắn.

• martingale (đối với {Fn , n ∈ N}), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và

(iii”) Với m ≤ n và m, n ∈ N
E (X n |Fm ) = X m , P − hầu chắc chắn.

16


1.6. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
• martingale ngược (đối với {Fn , n ∈ N}), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và

(iii”’) Với m ≥ n và m, n ∈ N
Fm ⊂ A n ⊂ F0 ,
E (X n |Fm ) = X m , P − hầu chắc chắn.

Từ đó suy ra {X n , Fn , 0 ≤ n ≤ N } là martingale ngược khi và chỉ khi {X N −n , FN −n , 0 ≤
n ≤ N } là martingale.

1.6

Các bất đẳng thức cơ bản

Định lý 1.6.1. Nếu {X n , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale dưới, thì với mọi λ ∈ R (với λ > 0),
λP ( max X n ≥ λ) ≤ E [X n I( max X n > λ)] ≤ E X + .
0≤n≤N

0≤n≤N

λP ( min X n ≥ −λ) ≤ −E X 0 + E [X n I( min X n ≤ −λ)].
0≤n≤N

0≤n≤N

Định lý 1.6.2. (Bất đẳng thức Kolmogorov). Nếu {X n , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale với
E |X n |p < ∞, n = 0, . . . , N , 1 ≤ p < ∞, thì với mọi λ > 0

λp P ( max |X n | > λ) ≤ E |X N |p .
0≤n≤N

Định lý 1.6.3. (Bất đẳng thức Doob). Nếu {X n , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale dưới không
âm với E |X n |p < ∞, n = 0, . . . , N , 1 < p < ∞, thì
||X n ||p ≤ || max |X n |||p ≤ q||X N ||p ,
0≤n≤N

trong đó
||X ||p = (E |X |p )1/p , với

1 1
+ = 1.
p q

Đối với p = 1, thì
||X N ||1 ≤ || max |X n |||1 ≤
0≤n≤N

e
{1 + ||X N l n + X N ||1 }.
e −1

Định lý 1.6.4. (Bất đẳng thức cắt ngang). Nếu {X n , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale dưới,
17


1.7. MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA MARTINGALE THỰC
thì
(b − a)E ν ≤ E (X n − a)+ − E (X 0 − a)+ .

Tiếp theo tác giả xin giới thiệu hai bất đẳng thức sẽ được sử dụng trong các chương
tiếp theo đó là bất đẳng thức đuôi và bất đẳng thức Paley-Zygmund
Mệnh đề 1.6.1. (Bất đẳng thức đuôi) Cho ξi , i = 0, 1, 2, . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên
không âm và αi , i = 0, 1, 2, . . . là một dãy các số không âm. Nếu với mỗi t ∈ R +
∞

αi P (ξi > t ) ≤ α0 P (ξ0 > t )

(1.10)

i =1

thì với bất kỳ hàm không giảm ϕ : R + → R + với ϕ(0) = 0
Có
∞

αi E ϕ(ξi ) ≤ α0 E ϕ(ξ0 )

(1.11)

i =1

Bổ đề 1.6.5. (Bất đẳng thức Paley-Zygmund) Nếu ξ là một biến ngẫu nhiên không âm
với E ξ2 < ∞ thì với bất kỳ 0 < λ < 1, ta có:
P (ξ ≥ λE ξ) ≥ (1 − λ)2

1.7

(E ξ)2

E ξ2

Một số kết quả của martingale thực

Phần này ta sẽ trình bày một số định lý về sự hội tụ của martingale thực và một số kết
quả khác.
Định lý 1.7.1. (Định lý Doob). Nếu {X n , Fn , n ∈ N} là martingale dưới và L 1 - bị chặn, tức
là
sup E |X n | < ∞,
n

thì dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X ∞ nào đó với
E |X ∞ | < ∞.

18


1.7. MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA MARTINGALE THỰC
Hệ quả 1.7.2. Nếu {X n , Fn , n ∈ N} là martingale dưới không dương (hoặc martingale trên
không âm), thì dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X ∞ .
Hệ quả 1.7.3. Giả sử {X n , Fn , n ∈ N} là martingale dưới không dương (hoặc martingale
trên không âm). Khi đó, dãy X = {X n , Fn , n ∈ N}, với
X ∞ = lim X n , F∞ = σ(
n→∞

∞

Fn )

n=0

lập thành martingale dưới không dương (martingale trên không âm).
Hệ quả 1.7.4. Giả sử (X n ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và (S n ) là dãy các tổng riêng
của nó:
S0 = X 0, Sn = X 0 + · · · + X n .

Khi đó, các điều khẳng định sau là tương đương:
(i) (S n ) hội tụ hầu chắc chắn;
(ii) (S n ) hội tụ theo xác suất;
(iii) (S n ) hội tụ theo phân phối.
Định lý 1.7.5. (Định lý hội tụ trong L p ). Giả sử 1 < p < ∞. Nếu {X n , Fn , n ∈ N} là martingale
và L p - bị chặn, tức là
sup E |X n |p < ∞,
n

thì dãy (X n ) hội tụ trong L p , đồng thời hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X ∞ với
E |X ∞ |p < ∞.

Định lý 1.7.6. (Định lý hội tụ trong L 1 ). Nếu {X n , Fn , n ∈ N} là martingale và dãy (X n ) khả
tích đều thì dãy (X n ) hội tụ trong L 1 , đồng thời hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X ∞ với
E |X ∞ | < ∞.

Định lý 1.7.7. Nếu {X n , Fn , n ∈ N} là martingale ngược, thì dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn
tới biến ngẫu nhiên X ∞ nào đó.
19


1.7. MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA MARTINGALE THỰC
Định lý 1.7.8. (Định lý Levy). Giả sử X ∈ L 1 và (Fn ) là dãy các σ- trường con không giảm
của A. Khi đó, hầu chắc chắn

lim E (X |Fn ) = E (X |F∞ ),

n→∞

trong đó F∞ là σ- trường bé nhất chứa tất cả các σ- trường Fn , tức là,
F∞ = σ(

n

Fn ).

Giả sử X ∈ L 1 và (Fn ) là dãy các σ- trường con không tăng của A. Khi đó, hầu chắc chắn
lim E (X |Fn ) = E (X |

n→∞

trong đó

n Fn

n

Fn ),

là σ- trường giao của tất cả các σ- trường Fn , tức là

n

Fn =

20

n

Fn .


Chương 2
Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp
tuyến tính ngẫu nhiên của các biến ngẫu
nhiên độc lập
Chương này bao gồm các bất đẳng thức cơ bản về tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập
có giá trị trên một không gian Banach khả ly (F, ||.||). Những bất đẳng thức này sẽ được sử
dụng rộng rãi trong suốt phần còn lại của luận văn.
Ta quy ước rằng, nếu X 1 , X 2 , . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên với các giá trị nằm trên F
thì ta kí hiệu:
n

Sn =
i =1

2.1

X i , S n∗ = max ||S i || và X n∗ = max ||X i ||.
1≤i ≤n

1≤i ≤n

Bất đẳng thức Levy - Octaviani

Mệnh đề 2.1.1. Nếu X 1 , X 2 , . . . , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì với
mỗi t ≥ 0.
t
P (S n∗ > t ) ≤ 3 max P (||S i || > )
1≤i ≤n
3

và ngoài ra nếu X 1 , X 2 , . . . , X n đối xứng thì
P (S n∗ > t ) ≤ 2P (||S n || > t )

21