Những điều thú vị trong Toán Học - Cực Hay

NHỮNG ĐIỀU THÚ VỊ TRONG TOÁN HỌC
Người Sưu Tầm: Đỗ Ngọc Minh – 10A1 – Trường THPT Tân Trào
PHẦN MỘT: ĐẠI SỐ
PHẦN HAI: HÌNH HỌC
1
PHẦN MỘT: ĐẠI SỐ
I. Những cặp số kì lạ
1. 9 + 9 = 18 và 9
×
9 = 81
2. 24 + 3 = 27 và 24
×
3 = 72
3. 47 + 2 = 49 và 47
×
2 = 94
4. 263 + 2 = 265 và 263
×
2 = 526
5. 497 + 2 = 499 và 497
×
2 = 994
Điều thú vị: Tổng và tích các số trong mỗi cặp chỉ khác nhau về vị trí các chữ số.
II. Các chữ số ở hai vế đều giống nhau
42 : 3 = 4.3 + 2 ; 63 : 3 = 6.3 + 3; 95 : 5 = 9 + 5 + 5;
(2 + 7).2.16 = 272 + 16; 2
10
– 2 = 1022; (8 + 9)
2
= 289;
2

8
– 1 = 128; 4.2
3
= 4
3
: 2 = 34 – 2.
III. Các cặp số đặc biệt
13
2
= 169 và 14
2
= 196
157
2
= 24649 và 158
2
= 24964
913
2
= 833569 và 914
2
= 835396
Điều thú vị: Các cặp số trên gồm các số liên tiếp mà bình phương của chúng chỉ khác nhau
về vị trí các chữ số.
IV. Sự kì lạ của lập phương
37.(3 + 7) = 3
3
+ 7
3
48.(4 + 8) = 4

3
+ 8
3
147.(14 + 7) = 14
3
+ 7
3
111.(11 + 1) = 11
3
+ 1
3
1.2.3.(1 + 2 + 3) = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
.
V. Tổng của nhóm các số đối xứng
1.
12 32 43 56 67 87 297 78 76 65 34 23 21.
+ + + + + = = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
12 32 43 56 67 87 18211 78 76 65 34 23 21 .+ + + + + = = + + + + +
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
12 32 43 56 67 87 1248885 78 76 65 34 23 21 .+ + + + + = = + + + + +
2
2.
13 42 53 57 68 97 330 79 86 75 35 24 31.
+ + + + + = = + + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
13 42 53 57 68 97 22024 79 86 75 35 24 31 .+ + + + + = = + + + + +
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
13 42 53 57 68 97 1637460 79 86 75 35 24 31 .+ + + + + = = + + + + +
VI. Chuyện lạ trong thế giới số tự nhiên
Ta có các đẳng thức:
1 + 2 = 3 4 + 5 +6 = 7+8 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24.
Từ đây ta rút ra quy luật tổng quát: Số số hạng ở vế phải (n) đem bình phương lên sẽ cho ta số
hạng đầu tiên ở vế trái (n
2
). Tổng n + 1 số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ n
2
) bằng tổng n số tự
nhiên tiếp theo. Và ta hoàn toàn có thể chứng minh như sau:
Vì vế trái có n + 1 số hạng liên tiếp bắt đầu từ n
2
nên:
VT =
2
2 2 2 2
(2 )( 1) (2 1)( 1)
( 1) ( 2) ... ( )
2 2
n n n n n n
n n n n n
+ + + +
+ + + + + + + = =
.
Vì vế phải có n số hạng bắt đầu từ n

2
+ n + 1 nên ta có vế phải là:
VP =
2
2 2 2 2
(2 3 1) (2 1)( 1)
( 1) ( 2) ( 3) ... ( 2 )
2 2
n n n n n n
n n n n n n n n
+ + + +
+ + + + + + + + + + + = =
.
Do đó VT = VP. Vậy đẳng thức là đúng.
VII. Điều kì lạ của số
1...12...2
(k chữ số 1và k chữ số 2)
Ta có: 3.4 = 12
33.34 = 1122
333.334 = 111222
3333.3334 = 11112222
33333.33334 = 1111122222
…………………………………
Từ đây ta có thể rút ra kết luận: Số có dạng
1...12...2
(k chữ số 1 và k chữ số 2) được phân tích
thành tích của
33...33
và
33...34

(mỗi số có k chữ số). Ta có thể chứng minh điều này như
sau:
33...33 33...34 3 11...11 (33...33 1) 11...11 (99...99 3)
11...11 100...002 11...11 (10 2) 11...1100...00 22...22 11...1122...22
k
× = × × + = × + =
= × = × + = + =
VIII. Bảng cửu chương hiện đại
Ta có bảng cửu chương hiện đại sau đây:
3
123456789 9 111111111
123456789 18 222222222
123456789 27 333333333
123456789 36 444444444
123456789 45 555555555
123456789 54 666666666
123456789 63 777777777
123456789 72 888888888
123456789 81 999999999
× =
× =
× =
× =
× =
× =
× =
× =
× =
Điều này hoàn toàn có thể giải thích được như sau:Với mọi a là các số nguyên từ 1 đến 9, ta
có:

[ ]
123456789 9 123456789 (10 1) (1234567890 123456789) 9a a× × = × − × = − × =
111111111 a aaaaaaaaa= × =
IX. Những tháp số kì lạ
Tháp số thứ nhất:
1.9 + 2 = 11
12.9 + 3 = 111
123.9 + 4 = 1111
1234.9 + 5 = 11111
12345.9 + 6 = 111111
123456.9 + 7 = 1111111
1234567.9 + 8 = 11111111
12345678.9 + 9 = 111111111
Tháp số thứ hai:
1.8 + 1 = 9
12.8 + 2 = 98
123.8 + 3 = 987
1234.8 + 4 = 9876
12345.8 + 5 = 98765
123456.8 + 6 = 987654
1234567.8 + 7 = 9876543
12345678.8 + 8 = 98765432
123456789.8 + 9 = 987654321
4
Tháp số thứ ba:
9.9 + 7 = 88
98.9 + 6 = 888
987.9 + 5 = 8888
9876.9 + 4 = 88888
98765.9 + 3 = 888888

987654.9 + 2 = 8888888
9876543.9 + 1 = 88888888
98765432.9 + 0 = 888888888
X. Những tính chất kì lạ của số 37
1. Tính chất 1
Nếu nhân 37 với 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27 thì được kết quả là số có ba chữ số giống
nhau:
37.3 = 111 37.6 = 222 37.9 = 333
37.12 = 444 37.15 = 555 37.18 = 666
37.21 = 777 37.24 = 888 37.27 = 999
Thực ra tính chất này không có gì kì lạ. Ta luôn có 37.3 = 111
⇒
37.(3a) =
aaa
với mọi
a là các số nguyên từ 1 đến 9.
2. Tính chất 2
Các số có dạng
99...99
đều chia hết cho 37.
Thật vậy:
1
99...99 999 10 999 10 ... 999000 999
k k−
= × + × + + + =
3 3( 1) 3 3 3( 1) 3
999 10 10 ... 10 1 37 27 10 10 ... 10 1
k k k k− −
   
= × + + + + = × × + + + +

   

M
37.
3. Tính chất 3
Lấy số có ba chữ số là bội của 37 rồi hoán vị vòng quanh ta được thêm hai số nữa cũng là
bội của 37.
Ví dụ: Ta có : 629
M
37, hoán vị vòng quanh được hai số 269 và 962, hai số này cũng chia
hết cho 37.
XI. Bộ ba số Pitago
Định nghĩa: Bộ ba số nguyên dương thoả mãn phương trình
2 2 2
a b c= +
gọi là bộ ba số Pitago,
chẳng hạn (3;4;5); (5;12;13); (6;8;10);…
Lưu ý: phương trình
2 2 2
a b c= +
được gọi là phương trình Pitago.
5