Tải bản đầy đủ (.pdf) (36 trang)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (951.23 KB, 36 trang )

CHUYÊN ĐỀ 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số: y  f  x  , y  g  x 
Phương trình hoành độ giao điểm: f  x   g  x   f  x   g  x   0 là một phương trình đại số, tùy theo số
nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép:
tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…
Chú ý:
1) Phương trình bậc 3: ax3  bx 2  cx  d , a  0





Nếu có nghiệm x  x0 thì phân tích:  x  x0  Ax 2  Bx  C  0
Nếu đặt hàm số f  x   ax3  bx 2  cx  d thì điều kiện: có 1 nghiệm: đồ thị không có cực trị hoặc

yC Ð . yCT  0 , có 2 nghiệm: yC Ð . yCT  0 , có 3 nghiệm phân biệt: yCÐ . yCT  0 .
 yC Ð . yCT  0

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi:  xC Ð , xCT  0
a. f 0  0
 

2) Hai điểm trên 2 nhánh đồ thị y 

g  x
, ta thường lấy hai hoành độ k  a và k  b với a, b  0 .
xk

Góc và khoảng cách:


xx ' yy '

 
r r

- Góc giữa 2 vectơ: cos u, v 

x 2  y 2 . x '2  y ' 2



r ur



- Góc giữa 2 đường thẳng: cos   cos n, n ' 
- Khoảng cách AB 

 xB  xA    yB  y A 
2

AA ' BB '
A2  B 2 . A '2  B '2

2

- Khoảng cách từ M 0  x0 ; y0  đến    : Ax  By  C  0 :

d


Ax0  By0  C
A2  B 2

- Đồ thị hàm bậc 3: y  f  x  cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB  BC tức
là 3 nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành.

Trang 1


- Phương trình trùng phương ax 4  bx 2  c  0, a  0 có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi 0  t1  t2 ,

t2  9t1 .
Tiếp tuyến và tiếp xúc:
- Tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  của đồ thị  C  : y  f  x 

y  y0  f '  x0  x  x0  , hệ số góc: f '  x   k  tan  0 x, t 
- Điều kiện 2 đồ thị y  f  x  và y  g  x  tiếp xúc là hệ phương trình:

 f  x   g  x 
có nghiệm

f
'
x

g
'
x






- Tiếp tuyến đi qua điểm K  a; b  : Lập phương trình tiếp tuyến tại x0 bất kỳ rồi cho tiếp tuyến đi qua điểm

K  a; b  thì tìm ra x0 .
Chú ý: Với hai đường thẳng d : y  ax  b, d ' : y  a ' x  b ' thì có: d  d ' khi a  a ' , b  b ' ; d / / d '
khi a  a ' , b  b ' ; d  d ' khi a.a '  1
Yếu tố đối xứng:
- Hàm số chẵn: x  D   x  D và f   x   f  x 
Đồ thị hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung.
- Hàm số lẻ: x  D   x  D và f   x    f  x 
Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O.

uur

- Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OI .

 x  X  x0
 y  Y  y0

 Oxy    IXY  với I  x0 ; y0  : 

- Điều kiện  C  nhận I  x0 , y0  là tâm đối xứng.

y0 

f  x0  x   f  x0  x 
, x0  x, x0  x  D , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến gốc I nói trên
2


là hàm số lẻ.
- Điều kiện  C  nhận d : x  a làm trục đối xứng;

f  a  x   f  a  x  , a  x, a  x  D , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến S  a;0  là hàm số
chẵn.
Quỹ tích điểm M:
Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y.
Trang 2


Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y).
Đặc biệt: Nếu M  x; y   V  thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số.

2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y  x 4  2m2 x 2  1 luôn cắt đường thẳng y  x  1 tại đúng hai
điểm phân biệt với mọi giá trị m.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

x 4  2m2 x 2  1  x  1  x  x3  2m2 x  1  0
 x  0 hoặc x3  2m2 x  1  0
Xét hàm số f  x   x3  2m2 x  1 . Ta có f  0   1  0 và

f '  x   3x 2  2m2  0 nên hàm số này đồng biến trên ¡ .






Vì lim f  x   lim x3  2m2 x  1  
x

x

Đăng ký mua file word trọn bộ

chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851




và lim f  x   lim x3  2m2 x  1  
x

x

nên phương trình f  x   0 luôn có nghiệm duy nhất x  0 : đpcm.
Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:
a) y  x3   2m  1 x 2   3m  2  x  m  2 .
b) y  x3  3mx  m  1.
Hướng dẫn giải
a) Cho y  0  x3   2m  1 x 2   3m  2  x  m  2  0

  x  1  x 2  2mx  m  2   0
 x  1 hoặc f  x   x 2  2mx  m  2  0 1

Trang 3


Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt khác −1.


m 2  m  2  0
 '  0

 m  1 hoặc m  2, m  3


m  3  0
 f  1  0
b) D  ¡ . Ta có y '  3x2  3m, y '  0  x 2  m .
Điều kiện  Cm  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là đồ thị có CĐ, CT và yC Ð . yCT  0



  m  0

 m  0 và yC Ð . yCT  0  f  m . f








 m  1  2m. m m  1  2m m  0   m  1  4m3  0 .
2

 4m3  m2  2m  1  0   m  1  4m2  3m  1  0  m  1 .
(vì   9  16  0 nên 4m2  3m  1  0, m ).
Bài toán 3.3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng  d m  đi qua điểm A  2;2  và có hệ số góc m cắt đồ thị
của hàm số: y 

2x 1
x 1

a) Tại hai điểm phân biệt?
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?
Hướng dẫn giải
Phương trình của  dm  : y  m  x  2   2  mx  2m  2 .
Phương trình hoành độ giao điểm của  d m  và đường cong:

mx  2m  2 

2x 1
  mx  2m  2  x  1  2 x  1, x  1
x 1

 mx 2  3mx  2m  3  0, x  1

1

a) Đường thẳng  d m  cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt khác −1.



m  0
a  0
 2
 m  0 hoặc m  12 .



0,
g

1

0


m

12
m

0



b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng x  1 của đồ thị. Đường
thẳng  d m  cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1) có
hai nghiệm x1 , x2 và x1  1  x2 .
Đặt x  t  1 thì x1  1  x2  t1  0  t2 .
Trang 4



Phương trình trở thành: m  t  1  3m  t  1  2m  3  0
2

 mt 2  mt  3  0  2  .
ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  P  0  m  0 .
Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng
a) y  m, m  0 cắt đồ thị  C  của hàm số y  x 4  3x 2  2 tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông
tại gốc tọa độ O.

x2
b) y  3x  m cắt đồ thị  C  của hàm số y 
tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 và x1  x2 đạt
x 1
giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình hoành độ giao điểm:

x 4  3 x 2  2  m  x 4  3x 2  2  m  0
Với mọi m  0 thì đường thẳng y  m cắt  C  tại hai điểm phân biệt A  xA ; m  và B  xB ; m  đối xứng
qua Oy, xA  xB .

uuur uuur

Tam giác OAB vuông tại O nên OAOB
.
 0  xA .xB  m2  0
Mà xA  xB  0 nên xA  m; xB  m






Do đó m4  3m2  m  2  0   m  2  m3  2m2  m  1  0

 m  2 (vì m  0 )
b) Phương trình hoành độ giao điểm:

x2
 3x  m  2 x 2   m  3 x  m  0, x  1 .
x 1
Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt khác 1:


 m 2  2m  9  0
  0
: Đúng m



1  0
 g 1  0
Ta có: x1  x2 



b   b  




2a
2a
4

m 2  2m  9 1

4
4

 m  1

2

8 

2
2

Vậy giá trị x1  x2 nhỏ nhất khi m  1 .
Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho
Trang 5


a) Đồ thị của hàm số y  x 4   m  1 x 2  m cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài
bằng nhau.
b) Đường thẳng d : y   x  m cắt  C  : y 

2x 1
tại hai điểm A, B mà AB  10 .

x 1
Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình:

x4   m  1 x2  m  0  x 2  1 hoặc x 2  m .
Điều kiện m  0 và m  1 . Khi đó, phương trình có 4 nghiệm

x  1, x  1, x   m , x  m

Đường cong cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi:

m

m  3 hoặc

1
1
 m  9 hoặc m  (chọn).
3
9

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C  :
2

2x 1
 x   m  1 x  m  1  0
 x  m  
x 1


x  1

Đường thẳng d cắt  C  tại 2 điểm A, B phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 1.
2

 m 2  6m  5  0
m  1
   m  1  4  m  1  0



m  5
1  0, m

1   m  1  m  1  0

Khi đó A  x1;  x1  m  , B  x2 ;  x2  m  và x1  x2  m  1; x1.x2  m  1
Ta có AB  10   x2  x1    x2  x1   10   x2  x1   5
2

2

2

  x1  x2   4 x1 x2  5   m  1  4  m  1  5  0
2

2

 m  1  1  m  0

(thỏa mãn).


m  1  5
m  6
Vậy m  0 hay m  6 .

Trang 6


x 2  3x
Bài toán 3.6: Chứng minh các đường thẳng d : y  m  x luôn cắt đồ thị  C  : y 
tại 2 điểm M, N
x 1
và cắt 2 tiệm cận của  C  tại P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có cùng trung điểm.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm d và  C  :

x 2  3x
 m  x  2 x 2   m  4  x  m  0, x  1 .
x 1
Ta có x  1 không là nghiệm và   m2  16  0 , m nên d luôn cắt  C  tại 2 điểm phân biệt M, N.
Ta có y 

x 2  3x
2
 x2
nên TCĐ: x  1 , TCX: y  x  2 .
x 1
x 1


Do đó xP  1 , hoành độ giao điểm Q của d với TCX: m  x  x  2

 xQ 

xP  xQ m  4 xM  xN
m2


. Do đó
: đpcm.
2
2
2
2

Bài toán 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a) y 

x  2 biết tung độ tiếp điểm là y0  2
1
3

b) y   x3  2 x 2  3x  1 song song với d : y 

3
x9
4

Hướng dẫn giải






a) Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 , f  x0  :

y  f '  x0  x  x0   f  x0 
Vì y0  2 

f ' x 

x  2  2  x0  2

1
1
nên f '  x0   .
4
2 x2

Thế vào: y 

1
1
3
 x  2  2  x  .
4
4
2


b) y '   x 2  4 x  3 . Đường thẳng d có hệ số góc k 
Tiếp tuyến song song với nên y ' 

 4 x 2  16 x  15  0  x0  

3
.
4

3
3
  x2  4x  3 
4
4

5
3
hoặc x0   .
2
2
Trang 7


Với x0  

3
29
37
5
thì f  x0  

nên có tiếp tuyến y  x 
4
24
12
2

Với x0  

3
3
1
5
thì f  x0    nên có tiếp tuyến y  x  .
4
2
8
4

Vậy có 2 tiếp tuyến y 

3
3
37
1
x  và y  x  .
4
4
12
8


Đăng ký mua file word trọn
bộ chuyên đề khối 10,11,12:

Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
a) y  2 x3  6 x 2  3 và có hệ số góc bé nhất.
b) y  f  x  thỏa mãn f 2 1  2 x   x  f 3 1  x  tại x  1
Hướng dẫn giải
a) Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó.

y '  6 x 2  12 x  6  6  x  1  6 , dấu = khi x0  1
2

nên max y '  6 , do đó tiếp tuyến tại A 1; 1 là y  6 x  5 .
b) Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

4 f 1  2 x  . f ' 1  2 x   1  3 f 2 1  x . f ' 1  x 
Thế x  0 : 4 f 1 . f ' 1  1  3 f 2  x  . f ' 1

*

Thế x  0 vào f 2 1  2 x   x  f 3 1  x   f 2 1   f 3 1

 f 2 1 1  f 1   0  f 1  0 hoặc f 1  1 .
Với f 1  0 thì * : 0  1 (loại)
Với f 1  1 thì * : 4 f ' 1  1  3 f ' 1  f ' 1 

Vậy phương trình tiếp tuyến y  

1
.
7

1
 x  1
7
Trang 8


Bài toán 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến của  C  hàm số:
a) y 

x 3
biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C  đến tiếp tuyến bằng 2 2 .
x 1

b) y  x3  3x 2  2 biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho

OB  9OA .
Hướng dẫn giải
a) Ta có y ' 

4

 x  1

2


, x  1

Phương trình tiếp tuyến d tại M  x0 ; y0    C  , x0  1

y

4

 x0  1

2

 x  x0  

x0  3
x0  1

 4 x   x0  1 y   x02  6 x0  3  0 nên
2

4   x0  1   x02  6 x0  3
2

d  I ,   2 2 

16   x0  1

4


2 2
2

4
2
2
  x0  1  8  x0  1  16  0   x0  1  4  0



 x0  1
2
  x0  1  4  
 x0  3
Với x0  1 ta có phương trình tiếp tuyến y  x  2
Với x0  3 , ta có phương trình tiếp tuyến y  x  6 .
b) Ta có y '  3x 2  6 x .
Tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho OB  9OA nên hệ số góc của
tiếp tuyến d là:

k  tan OAB  

OB
 9
OA

Do đó y '  9  3x 2  6 x  9

 x2  2 x  3  0
 x0  1

 2

 x  2 x  3  0 VN 
 x0  3
Với x0  1 , phương trình của d là y  9 x  7
Trang 9


Với x0  3 , phương trình của d là y  9 x  25 .
Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến của  C  hàm số: y 
tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích S 

x 1
tại điểm M có hoành độ âm, biết tiếp
x2

1
.
6

Hướng dẫn giải
Ta có y ' 

3

 x  2

2

,x  2


Tiếp tuyến d với  C  tại M  x0 ; y0  , x0  0

d:y

3

 x0  2 

2

 x  x0  

x0  1
x0  2

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy.

 x 2  2 x0  2   x02  2 x0  2 
 . Ta có
A 0
;0  , B  0;
2


3
x

2




 
0

1
1
1
1 x02  2 x0  2 x02  2 x0  2 1
S   OA.OB  
.

2
6
2
6
2
3
6
 x0  2 

 x02  x0  0
 x0  1  x0  0
 2

 x0  3x0  4  0
 x0  4  x0  1
Chọn x0  0 nên có hai tiếp tuyến là:

d1 : y  


1
1
1
 x  1 ; d2 : y   x  .
3
12
6

Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến của  C  hàm số:
a) y  x3  5x 2  2 và đi qua A  0;2 
b) y 

1  m  x  2  m , m  0 và đi qua M
mx  m  1

 1; 1
Hướng dẫn giải

a) Ta có: y '  3x 2  10 x . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0 

y  f '  x0  x  x0   y0

y   3x03  10 x0   x  x0    x03  5x02  2 
Trang 10




Cho tiếp tuyến qua A  0;2  : 2  3x02  10 x0


0  x    x
0

3
0

 2 x03  5x02  0  x02  2 x0  5  0  x0  0 hoặc x0 

 5x02  2
5
2

Với x0  0 thì có tiếp tuyến y  2
Với x0 

25
5
thì có tiếp tuyến y  
x2
4
2

b) Ta có y ' 

1

 mx  m  1

2


,x 

1 m
m

Gọi d là tiếp tuyến với  Cm  tại điểm T  x0 ; y0  bất kỳ.

d : y  y '  x0  x  x0   y0

y

1

 mx0  m  1

 x  x0  

2

1  m  x0  2  m
mx0  m  1

Tiếp tuyến d đi qua M  1; 1 nên ta có:

1 





x0  1

 mx0  m  1
x0  1

 mx0  m  1
m  x0  1

2



1  m  x0  2  m
mx0  m  1

x0  1
0
mx0  m  1

2



2

 0  x0  1 (vì m  0 )

2

 mx0  m  1


Vậy phương trình tiếp tuyến d : y   x  2 .
Bài toán 3.12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đồ thị:

 P1  : y  x2  5x  6 và  P2  : y   x2  5x  11
Hướng dẫn giải

 P1  : y  f  x   x2  5x  6  f '  x   2x  5

 P2  : y  g  x    x2  5x  11  g '  x   2x  5
Gọi tiếp tuyến chung là y  ax  b và M1  x1; f  x1   , M 2  x2 ; g  x2   là 2 tiếp điểm tương ứng. Ta có hệ:

Trang 11


 f  x1   ax1  b
 x12  5 x1  6  ax1  b


 f '  x1   a
2 x1  5  a
 2

 g  x2   ax2  b
 x2  5 x2  11  ax2  b
g ' x  a
2 x  5  a
2

  2

Do đó 2  x1  x2   10  0 nên x2  5  x1





và x12  5 x1  6   x22  5 x2  11   2 x1  5 x1  x2 
nên x12  5 x1  17   5  x1   5  5  x1    2 x1  5  0
2

2

 2 x12  10 x1  8  0  x1  1 hoặc x1  4 .
Với x1  1 thì a  3, b  5 . Với x1  4 thì a  3, b  10 .
Vậy có 2 tiếp tuyến chung: y  3x  10 và y  3x  5 .
Bài toán 3.13: Tìm điểm M trên đồ thị  C  hàm số: y 

2x  2
sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm
x2

cận của A, B với AB  2 5 .
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ; y0    C  , x0  2

d:y

2

 x0  2


2

 x  x0  

2 x0  2
x0  2



Giao điểm của d với tiệm cận đứng x  2 là A  2;



2 x0 
;
x0  2 

Đăng ký mua file word
trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:

Giao điểm của d với tiệm cận ngang y  2 là B  2 x0  2;2 

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Trang 12



2


2 x0 
AB   2 x0  4    2 
 2
x0  2 

2

Ta có AB  2 5   x0  2  
2

 x0  2 

4

 x0  2 

2

2



4

 x0  2 


2

5

 x0  2 2  1
 x0  1; x0  3
  x0  2   5  x0  2   4  0  

 x  0; x  4
 x0  2 2  4
0
 0

4

2

Vậy M  0;1, M 1;0 , M 3;4 , M 4;3  .
Bài toán 3.14: Cho hàm số y  f  x   x 4  2 x 2 có đồ thị  C  . Trên đồ thị  C  lấy điểm phân biệt là A và B
có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của  C  tại các điểm A và B song song với
nhau.
Hướng dẫn giải
Ta có f '  x   4 x3  4 x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B, a  b . Hệ số góc của tiếp tuyến của

 C  tại A và B lần lượt là:
k A  f '  a   4a3  4a,

kB  f '  b   4b3  4b

Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có phương trình là


y  f '  a  x  a   f  a   f '  a  x  f  a   af '  a 
y  f '  b  x  b   f  b   f '  b  x  f  b   bf '  b 
Hai tiếp tuyến này song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

k A  kB  4a3  4a  4b3  4b   a  b   a 2  ab  b2  1  0

 a 2  ab  b2  1
Hai tiếp tuyến của  C  tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi
2
2
2
2


a  ab  b  1, a  b
a  ab  b  1, a  b


4
2
4
2
f
a

af
'
a


f
b

bf
'
b










3a  2a  3b  2b


Giải hệ này, ta được nghiệm là  a; b    1;1 , 1; 1
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của  C  tại A và B song song với nhau là a 2  ab  b2  1 ,

a  1 , a  b .

Trang 13


Bài toán 3.15: Tiếp tuyến T  của  H  : y 

1

tại điểm M có hoành độ x  a  2 , cắt trục hoành Ox tại A
x2

và cắt đường thẳng d : x  2 tại B. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác giới hạn bởi tiếp
tuyến, Ox và d không đổi.
Hướng dẫn giải

y' 
y

1

 x  2

2

1

 a  2

2

. Phương trình tiếp tuyến T  tại x  a :

 x  a 

1
.
a2


Giao điểm A với trục hoành
Cho y A  0 thì

xa

 a  2

2



1
 x A  2a  2 .
a2

Giao điểm B với đường thẳng d : x  2 .
Cho xB  2 thì yB 

2  a

 a  2

2



1
2

.

a2 a2

xA  xB 2a  2  2
y  yB
1

 a  xM , A

 yM
2
2
2
a2

Vì:

nên tiếp điểm M là trung điểm của AB.
Gọi I là giao điểm của Ox và d thì I  2;0  . Tam giác cần xác định là tam giác ABI vuông tại I có diện tích:

S

1
1
2
IA.IB  2a  2  2
 0  2 : không đổi
2
2
a2


x 2  3x  3
Bài toán 3.16: Cho hàm số y 
. Chứng minh rằng qua điểm M  3; 1 vẽ được hai tiếp tuyến với
x 1
đồ thị và hai tiếp tuyến đố vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng qua M  3; 1 hệ số góc là a là y  a  x  3  1, đường thẳng là tiếp tuyến với
đồ thị khi hệ sau có nghiệm:

 f

 f

 x 2  3x  3
 a  x  3  1

 x  g  x
 x 1
 2
' x   g ' x 
 x  2 x2  a
  x  1

1
 2

Thay (2) vào (1) và rút gọn ta được: x 2  x  1  0
Trang 14



PT có 2 nghiệm thỏa mãn: x1  x2  1, x1.x2  1 .
Ta có: y '  x1  . y '  x2  

x x 
 1 2

2

x12  2 x1 x22  2 x2
.
2
2
 x1  1  x2  1

 2 x1 x2  x1  x2   4 x1 x2

 x1x2  x1  x2  1

2



1 2  4

 1  1  1

2

 1


Vậy 2 tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau.
Bài toán 3.17: Cho hàm số y   x3  3x 2  2  C  . Tìm trên  C  những điểm mà qua đó chỉ kẻ được một
tiếp tuyến với  C  .
Hướng dẫn giải
Giả sử M  x0 ; y0  là một điểm trên  C  . Giả sử tiếp tuyến  t  kẻ từ M đến  C  tiếp xúc với  C  tại

N  x1; y1  . Khi đó phương trình của  t  có dạng: y  y1   3x12  6 x1   x  x1 



 x

 x1 

  x1  x0   2 x1  x0  3  0  x1  x0 hay x1 

3  x0
2

Vì  t  đi qua M nên ta có: y0  y1  3x12  6 x1

0

Và N thuộc  C  nên ta có: y1  x13  3x12  2
Suy ra 2 x13  3 x0  1 x12  6 x0 x1  2  y0  0
nên 2 x13  3x0 x12  x03  3x12  6 x0 x1  3x02  0
2

Điều kiện có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:


3  x0
 x0  x0  1. Từ đó tính được y0  0 .
2
Vậy M 1;0  là điểm duy nhất trên  C  mà qua đó có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với  C  .

x2  2x  2
Bài toán 3.18: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị  C  : y 
đi qua giao điểm của 2 tiệm cận.
x 1
Hướng dẫn giải
Ta có y  x  1 

1
, x  1 nên có TCĐ: x  1 ,
x 1

TCX: y  x  1 , giao điểm 2 tiệm cận I  1;0 
Phương trình đường thẳng  d  qua I với hệ số góc k là y  k  x  1 .
Giả sử d là tiếp tuyến của  C  thì hệ sau có nghiệm.
Trang 15


1

k  x  1  x  1  x  1

1 
1

  x  1 1 

  x 1

2
1
  x  1 
x 1
k  1 


2

 x  1



1
1
2

 0 : vô lý
 x  1 
x 1 x 1
x 1

Vậy không một tiếp tuyến nào của  C  đi qua I.
Bài toán 3.19: Chứng minh tiếp tuyến tại A  1;0  của đồ thị  C  : y   x 4  2 x 2  x cũng là tiếp tuyến của
đồ thị này tại một điểm B khác A nữa.
Hướng dẫn giải
Ta có y '  4 x3  4 x  1.
Với x0  1, y0  0 thì f '  x0   1 nên tiếp tuyến tại A  1;0  là y  x  1 .

Đặt y  f  x    x 4  2 x 2  x; y  g  x   x  1 .
Để tiếp tuyến tại A cũng là tiếp tuyến tại B khác A thì hệ sau có nghiệm x0  1 :
4
2


 f  x  g  x
 x  2 x  x  x  1


3
f
'
x

g
'
x






4 x  4 x  1  1

2
 2
4
2


 x  2 x  1  0
 x  1  0


 x  1 .
3
2

4
x

4
x

0

4
x
x

1

0



 

Đăng ký mua file word trọn


bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Chọn nghiệm x0  1  1 nên B 1;2  : đpcm.
Chú ý: Đây là tiếp tuyến đi qua 2 tiếp điểm.

x2 3
3x
 x và y  g  x  
Bài toán 3.20: Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc nhau: y  f  x  
. Viết
x2
2 2
phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
Trang 16


Hướng dẫn giải
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:

 x2 3
 x2 3
3x
3x
 2  2x  x2
  x
x2


2 2

 2
3
6
 x  3 x    3x 
x  
2  x  2 2
 2 2   x  2 


1
 2

x  0
x  0
x  0
Ta có 1   x  3
.
 2

3


 x  5
 x  5x  0
x2
 2
Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất x  0 . Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gốc tọa độ

O.
Ta có y '  0  

3
3
nên phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là y  x .
2
2

Bài toán 3.21: Tìm tham số để đồ thị hàm số
a)

 C  : y  x3  1  k  x  1 tiếp xúc với trục hoành

x 2   m  2  x  2m  2
b)  C  : y 
có tiệm cận tiếp xúc với đường cong: y  x3  3x 2  8x .
x2
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị  C  tiếp xúc với trục hoành ứng với k sao cho:

k  3
3

y  0
 x  1  k  x  1  0
 2


k  3

y'  0

3x  k  0
4

b) Ta có y 

 x  2  x  m   2  x  m 
x2

2
nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y  x  m . Đường
x2

thẳng này tiếp xúc với y  x3  3x 2  8x khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
3
2
3
2


 x  m  x  3x  8 x
m  x  3 x  9 x


 2
2


1  3x  6 x  8

x  2x  3  0

m  x3  3x 2  9 x

 x  1  x  3
Với x  1 , ta có m  5 và với x  3 thì m  27
Vậy có hai giá trị m cần tìm là m  5 , m  27 .
Trang 17


Bài toán 3.22: Cho hàm số y  x3  3x  2  C  . Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc  C  . Gọi A ', B ', C '
là giao điểm của  C  với tiếp tuyến của  C  tại A, B, C. Chứng minh rằng A ', B ', C ' thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm A  xA ; y A  có dạng:

y   3xA2  3  x  xA   y A
Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và tiếp tuyến có dạng:

 3x

2
A

 3  x  x A   y A  x 3  3 x  2

  3xA2  3  x  xA   x3A  3xA  2  x3  3x  2

  x  xA   x  2 xA   0
2


Do đó tiếp tuyến của  C  tại A cắt  C  tại 2 điểm có hoành độ x A chính là A và điểm có hoành độ 2 xA
là điểm A ' , tức là xA '  2 xA .
Tương tự xB '  2 xB , xC '  2 xC .
Ta chứng minh nhận xét: A, B, C thuộc  C  thẳng hàng khi và chỉ khi xA  xB  xC  0 .
Thật vậy, giả sử A, B, C nằm trên đường thẳng có phương trình y  ax  b .
Khi đó xA , xB , xC là nghiệm của phương trình.

x3  3x  2  ax  b  x3   3  a  x   2  b   0
Áp dụng định lý Viet, ta suy ra xA  xB  xC  0
Ngược lại, giả sử xA  xB  xC  0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B cắt C ' thì theo phần thuận
ta có xA  xB  xC  0 suy ra xC '  xC suy ra C ' trùng với C và có nghĩa là A, B, C thẳng hàng. Nhận xét
được chứng minh.
Áp dụng do A, B, C thẳng hàng nên ta có xA  xB  xC  0 .
Mà xA '  xB '  xC '  2  xA  xB  xC   0 nên suy ra A ', B ', C ' thẳng hàng (đpcm).
Bài toán 3.23: Cho hàm số y 

mx 2   3m2  2  x  2
x  3m

. Tìm m để góc giữa 2 tiệm cận bằng 45°.

Hướng dẫn giải
Ta có: y  mx  2 

6m  2
1
,m 
x  3m
3


Khi m  0 thì đồ thị có TCĐ và TCN vuông góc: loại
Trang 18


Khi m  0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x  3m và tiệm cận xiên: y  mx  2 .
Hai tiệm cận hợp nhau góc 45° khi tiệm cận xiên hợp với trục hoành một góc 45°  m  1 .

x 2  2mx  1
Bài toán 3.24: Tìm m để đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số y 
tại hai điểm phân biệt M và
x 1
N sao cho OM vuông góc với ON.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M và N khi phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân
biệt x1 , x2 khác 1:

x 2  2mx  1
1
 2m  x 2  1  2m  0 . Do đó: m  , m  0 .
x 1
2
Ta có

 2 x  2m  x  1   x 2  2mx  1
2m
y' 
 y '  xi  
2
xi
 x  1


2m 2m
4m 2
.
 1 
 1
Điều kiện OM  ON 
x1 x2
x1 x2
 4m 2  2m  1  0  m 

1  5
(chọn).
4

4 x2  5x  4
Bài toán 3.25: Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc đồ thị  C  : y 
đến 2
x2
tiệm cận là một hằng số.
Hướng dẫn giải

y

4 x2  5x  4
2
 4x  3 
nên TCĐ  : x  2 ,
x2
x2


TCX:  ' : y  4 x  3  4 x  y  3  0




Với M  x;4 x  3 

2 
   C  , khoảng cách đến 2 tiệm cận:
x2

d  M ,   .d  M ,  '  x  2 .

2
2

: không đổi.
16  1. x  2
17

Bài toán 3.26: Tìm m để đồ thị hàm số: y  x3  3x 2  mx  1 có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó cách đều
đường thẳng d : y  2 x .
Hướng dẫn giải

D  ¡ . Ta có y '  3x 2  6 x  m .
Điều kiện có CĐ và CT là  '  9  3m  0  m  3
Trang 19



Ta có

1
1
1
1

y   x   y ' 2  m  1 x  m  1 nên đường thẳng qua 2 điểm CĐ, CT là
3
3
3
3


1
1

d ' : y  2  m  1 x  m  1 .
3
3

Điều kiện CĐ, CT cách đều d : y  2 x là d ' hoặc song song với d hoặc d đi qua trung điểm I 1; m  1
của đoạn nối CĐ, CT.

1
1

2  m  1  2, m  1  0 hoặc m  1  2
3
3


 m  0 hoặc m  1 (chọn)
Bài toán 3.27: Chứng minh tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc đồ thị  C  : y 

1
x  4 x 2 cắt trục tung Oy
2

tại một điểm A cách đều gốc O và tiếp điểm M.
Hướng dẫn giải
Với điều kiện x  4 x 2  0  0  x 

1
1  8x
thì: y ' 
4
4 x  4x2

Phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ; y0  là:

y

1  8x

 x  x0  
2

4 x0  4 x0




Tiếp tuyến cắt Oy tại A  0;




1
x0  4 x02
2


4 x0  4 x02 
x0

1
x0
x0  4 x02 
Ta có: AM   x0  0   
2
4 x0  4 x02

2






2


x02

 AO : đpcm
16  x0  4 x02 
Bài toán 3.28: Tìm các điểm M thuộc  C  : y 
cận của  C  ngắn nhất.

x 1
sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm
x 1

Hướng dẫn giải

Trang 20


Đồ thị  C  : y 

x 1
có TCĐ: x  1 , TCN: y  1 nên giao điểm 2 tiệm cận là I 1;1 . Ta có
x 1

 x 1
M  x;
   C  nên khoảng cách:
 x 1 

 x 1 
IM   x  1  
 1 

 x 1 
2

 x  1

2

Dấu = xảy ra khi  x  1 

4

2





4

 x  1

2

4

  x  1  2  x  1  2 .
2

 x  1




2

2





Vậy M1 1  2;1  2 , M 2 1  2;1  2 .

x 1
có đồ thị  C  . Tìm điểm M trên đồ thị  C  sao cho tổng khoảng cách
x 1
từ M đến các đường thẳng 1 : 2 x  y  4  0 và 2 : x  2 y  2  0 là nhỏ nhất.
Bài toán 3.29: Cho hàm số: y 

Hướng dẫn giải



Giả sử M  x0 ;



2 x0 
d

x0  1 

   C  , x0  1 . Tổng khoảng cách là
x0  1 
2
3
x0  1
5

x0 


4
x0  1
5



1 
2
4 
 3  x0 
 2 x0 

x0  1
x0  1 
5



1
2

4
3
2
2 x0 
 3  x0 

x0  1 
x0  1
x0  1
x0  1
5
5



3 
2  6 2
 x0  1 

x0  1 
5
5

 x0  1  2

Dấu đẳng thức xảy ra  x0  1  2  
2

 x0  1  2




 

Vậy điểm M thỏa mãn M 1  2;1  2 , M 1  2;1  2
Bài toán 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  : y 



4x  3
có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất.
x 3
Trang 21


Hướng dẫn giải
Đồ thị y 




Gọi M  x;

4x  3
có TCĐ  : x  3 , TCN  ' : y  4 .
x 3

4x  3 
   C  , ta có d  M ;    d  M ;  '
x 3 


Đăng ký mua file word trọn

bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
 x 3 

4x  3
9
4  x3 
2 9 6
x 3
x 3

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x  3 

9
2
  x  3  9 , do đó có 2 điểm M  6;7  và M '  0;1 .
x 3

Bài toán 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  : y 

x 1
có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất.
x 1


Hướng dẫn giải




Gọi M  x;

x 1 
x 1
, x  1 .
   C  , tổng khoảng cách đến 2 trục là d  x 
x 1
x 1

Xét điểm A  0;1   C  thì d  1 nên min d  1 , khi đó chỉ xét các điểm có: x  1 ,

x 1
 1 nên
x 1

0  x  1 , khi đó:

d  x

x 1
2
2
 x 1
 2   x  1 
 2  2 2

x 1
x 1
x 1

Dấu = xảy ra khi x  1 



2
2
  x  1  2  x  1  2
x 1

 

Vậy có 2 điểm M 1  2;1  2 , M ' 1  2;1  2
Bài toán 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị  C  : y 



x2  3
có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất.
x2

Hướng dẫn giải
Trang 22





Gọi M  x;



x2  3 
x2  3
thì
tổng
khoảng
cách
đến
2
trục
d

x


, x  2.
C



x2 
x2




3

2

Xét điểm A  0;    C  thì d 
Khi đó

3
3
3
, do đó min d  nên chỉ xét các điểm có hoành độ x  .
2
2
2

x2  3
x2  3
 0 nên d  x 
.
x2
x2

x2  3
2 x2  8x  7
3
, f ' x  
Nếu 0  x  thì d  f  x   x 
2
2
x2
 x  2
f ' x   0  x  2 


2
.
2

Lập BBT thì min d  f  0  

3
.
2

x2  3
1
3
, g ' x 
0
Nếu   x  0 thì d  g  x    x 
2
x2
2
 x  2
 3
 2




Do đó g nghịch biến trên   ;0   g  x   g  0  
So sánh thì min d 


3
.
2

3
 3
tại M  A  0;  .
2
 2

Bài toán 3.33: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị  C  :

y

x2  x  1
có khoảng cách bé nhất.
x2
Hướng dẫn giải

x2  x  1
1
 x 1
,x  2
Hàm số y 
x2
x2



Gọi A  2  a;3  a 


1 
1
 , B  2  b;3  b   là 2 điểm thuộc 2 nhánh với a, b  0 . Ta có:
a 
b

2
2
1 1
1  
2


BA   a  b    a  b      a  b  1  1   
a b

  ab  
2

2

2
1 
2
1 
2

  a  b  2 
 2 2   4ab  2 

 2 2
ab a b 
ab a b 



Trang 23


1 

 8  4  2ab    8  4.2 2 .
ab 

Dấu = xảy ra khi a  b và 2ab 



Vậy A  2 



1
1
ab 4
ab
2

1
1

1 
1 

4
4

B
2

;3
;3


2
2





4
4
4
4
2
2
2
2



Bài toán 3.34: Tìm điểm M thuộc  P  : y  f  x   3x 2  8x  9 và N thuộc  P ' : y  g  x   x 2  8 x  13
sao cho MN bé nhất.
Hướng dẫn giải
Ta có khoảng cách MN bé nhất khi 2 tiếp tuyến tại M và N song song với
nhau và chúng vuông góc với đoạn MN.



 



Gọi M x; f  x  , N x1; g  x1  thì f '  x   g '  x1 

 6 x  8  2 x1  8
 x1  3x





Do đó MN 2  4 36 x 4  192 x3  392 x 2  352 x  121  h  x 



Ta có h '  x   64 9 x3  36 x 2  49 x  22



 64  x  1  9 x 2  27 x  22 

2

h '  x   0  x  1 . Lập BBT thì min h  x   h 1  5 .
Khi đó M 1;4  , N  3; 2  ; kiểm tra MN vuông góc với 2 tiếp tuyến tại M, N: đúng. Vậy M 1;4  ,

N  3; 2  .
Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị  C  :

x2  2 x  2
a) y 
có tâm đối xứng.
x3
b) y  x 4  4 x3  4 x 2 có trục đối xứng.
Hướng dẫn giải

5
nên  C  có TCĐ: x  3 và TCX: y  x  1 , do đó giao điểm 2 tiệm cận I  3;4  .
x 3
uur  x  X  3
Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI : 
. Thế vào  C  thì được:
y  Y  4

a) Ta có y  x  1 

Trang 24


Y  4  X  3 1


5
5
Y  X 
X 33
X

Vì Y  F  X   X 

5
là hàm số lẻ  đpcm.
X



b) y '  4 x3  12 x 2  8 x  4 x x 2  3x  2



y '  0  x  2 hoặc x  1 hoặc x  0 .

uur

x  X 1
. Thế và hàm số:
 y  Y 1

Xét điểm I  1;1 . Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI : 

Y  1   X  1  4  X  1  4  X  1  Y  X 4  2 X 2 là hàm số chẵn  đpcm.
4


3

2

x2  x  2
Bài toán 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y 
đối xứng nhau qua điểm
x 1

 5
I  0;  .
 2

Hướng dẫn giải
Ta có y  x  2 

4
. Gọi E  x1; y1  , F  x2 ; y2  theo đề bài:
x 1

 x1  x2  0
 x1  x2  0
x  x  0


 1 2
4
4


 y1  y2  5
 x1 x2  9
 x1  x2  4  x  1  x  1  5
1
2

Do đó x1   x2 , x12  9 nên E  3; 2  và F  3;7  .
Bài toán 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y 

x2  2 x  2
đối xứng nhau qua đường thẳng
x 1

d : y  x  3.
Hướng dẫn giải
Xét đường thẳng d ' vuông góc với d thì d ' : y   x  b .

x2  2 x  2
  x  b, x  1.
PT hoành độ giao điểm của d ' và  C  :
x 1
 2 x 2   b  3 x  2  b  0 .
Điều kiện    b  3  8  2  b   b2  2b  7  0
2

Hoành độ giao điểm I của d và d ' : x  3   x  b  xI 
I là trung điểm đoạn AB: xI 

b3
2


x A  xB
2
Trang 25


×