Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò

��  3m  2  x n . Tìm tất cả các giá trị thực m để x 2  x  1| P  x  .
Hướng dẫn giải





Xét x 2  x  1  0  x  ,  2 . Khi đó

P     m  1  2   1

2 n 2

  3m  2   n   m  1  4 n6   3m  2   n

  m  1  n   3m  2   n   4m  1  n
Theo giả thiết, suy ra P    0  m 

1
.
4

Bài toán 10.46: Tìm tất cả các đa thức p  x   Z  x  là monic bậc hai sao cho tồn tại đa thức q  x   Z  x  mà
các hệ số của đa thức r  x   p  x  q  x  đều thuộc 1;1 .
Hướng dẫn giải
Dễ thấy p  x   x 2  ax  1 , với a ¢ . Giả sử

r  x   an x n  an1x n1  ...  a1x  a0 , ai  1;1 , i  0,1,..., n
Gọi z là một nghiệm phức của r  x  và z  1 thì ta có
n 1

a
z  z   i z i 
i 0 an
n

Suy ra z

n

n

 z  1  z

n

ai i n1 i n1 i z  1
z  z  z 

a
z 1
i 0 n
i 0
i 0
n

n 1

1  z

n

 z  2  1  z  2 .

Vậy mọi nghiệm của r  x  đều có môđun nhỏ hơn 2. Từ đó nếu gọi z1 , z2 là các nghiệm của p  x  thì ta
có z1  2 , z2  2 , ngoài ra ta còn có z1 z2  z1 z2  1 .
Không mất tính tổng quát ta giả sử z1  z2  1  z1  2,0  z2  1 .
Ta lại có:

a  z1  z2  z1  z2  1  2  3  a  2; 1;0;1;2
Với a  0 , ta có q  x   x  1.
Với a  1, ta có q  x   1 .
Với a  2 . Kiểm tra p  x   x 2  2 x  1 thì sẽ có q  x   x m1 , còn với p  x   x 2  2 x  1 thì không
thỏa mãn vì có một nghiệm có môđun lớn hơn 2.
Vậy có 8 đáp số của p  x  là x 2  1, x 2  x  1, x 2  2 x  1 .
Trang 33


Bài toán 10.47: Cho đa thức P  x   rx3  qx 2  px  1 trong đó p, q, r là các số thực với r  0 .
Xét dãy số  an  : a0  1; a1   p, a2  p 2  q

an3   pan2  qan1  ran  n  0
Chứng minh rằng nếu đa thức P  x  chỉ có duy nhất một nghiệm thực và không có nghiệm bội thì dãy  an 
có vô số số âm.
Hướng dẫn giải
Từ điều kiện đề bài suy ra phương trình đặc trưng của phương trình sai phân x3  px 2  qx  r  0 có 1
nghiệm thực âm và hai nghiệm phức liên hợp.
Giả sử ba nghiệm đó là a, R  cos   i sin   , R  cos   i sin   với a  0, R  0 , 0     thì

an  C1  a   C2 R n  cos   i sin    C3 R n  cos  i sin   trong đó C1 , C2 , C3 là các hằng số nào
n

n

n

đó, C2 , C3 là các số phức liên hợp.
Đặt C2  R *  cos  i sin   với   0;2  , ta có

an  C1  a   R n  R *  cos   i sin   cos n  i sin n  
n

 R*  cos   sin   cos n  i sin n 
 C1  a   2 R n R *  cos  n    
n

Giả sử ngược lại tồn tại n sao cho an  0 với mọi n  n0 .
Khi đó ta có 0  an1  aan




 2R R *  R cos   n  1      a cos  n   
 2R R *.C.cos  n    ( C  0,  0;2  ) với mọi n  n .
 2R n1R * cos   n  1     a2R n R *  cos  n    
n

n

*

*

0

Điều này không xảy ra vì 0     nên tồn tại vô số n sao cho:

3


n   *    k 2 ,
 2k 
2
2


3. BÀI LUYỆN TẬP
1  i tan x
Bài tập 10.1: Tính: a)
1  i tan x

1  i 
7
1  i 

9

b)

Hướng dẫn
Trang 34

a) Nhân số phức liên hiệp của mẫu. Kết quả cos 2 x  i sin 2 x
b) Kết quả 2.
Bài tập 10.2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức:
a)

z i
với số phức z  x  iy  x, y  ¡
iz  1



 

b) z  1  1  i 3  1  i 3







2

 ...  1  i 3



2017

Hướng dẫn
a) Tính trực tiếp. Kết quả

2 xy
x 2   y  1

2

và

y 2  x2  1
x 2   y  1

b) Dùng tổng n số hạng của cấp số nhân Sn  u1



và tách lũy thừa về 1  i 3



3

1  qn
1 q

 8 .

Bài tập 10.3: Cho z  x  yi,  x, y  ¡

Chứng minh z

2

.

2  a  b . Khi nào thì đẳng thức xảy ra.
Hướng dẫn

Tính trực tiếp. Kết quả b  a .
Bài tập 10.4: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a)   cos   i sin   ;cos   i sin 
b) sin   i cos;sin   i cos 
Hướng dẫn
a) Dùng định nghĩa lượng giác và công thức lượng giác.
Kết quả cos      i sin     ;cos     i sin   









    i sin     ;cos      i sin    
2
2
2


2




b) Kết quả cos 

Bài tập 10.5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm các số có acgumen dương nhỏ nhất.
b) z  5i  3

a) z  1  i  1

Hướng dẫn
a) Gọi z  x  yi,  x, y  ¡

 và tìm tập điểm thỏa mãn.

Kết quả z  i
Trang 35


b) Kết quả

12 16
 i
5 5

Bài tập 10.6: Giải phương trình trong tập số phức:
a) z 2  1  3i  z  2 1  i   0

b) 3z 4  5z 3  3z 2  4 z  2  0
Hướng dẫn

a) Lập  . Kết quả 2i, 1  i .
b) Biến đổi tích nhờ nhẩm nghiệm, dự đoán nghiệm.
Kết quả 1  i;1  i; 

1  13 13  1
;
6
6

Bài tập 10.7: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
a)

1
là số ảo
z i

b) z  i  2  z  i  9
Hướng dẫn

a) Gọi z  x  yi,  x, y  ¡

 và tính trực tiếp

1
.
z i

Kết quả trục ảo Oy trừ I  0;1
b) Gọi z  x  yi,  x, y  ¡

 và biến đổi tương đương. Kết quả Elip

Bài tập 10.8: Chứng minh rằng:
a) Nếu phương trình an z n  an1 z n1  ...  a2 z 2  a1z  a0  0 với các hệ số thực có nghiệm phức là z0 thì z0
cũng là nghiệm của phương trình.
b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự các số: 1  i; 1  i;2i;2  2i cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn
a) Dùng định nghĩa nghiệm và số phức liên hiệp
b) Lập phương trình đường tròn qua A, B, C và thử tọa độ D.
Hay nhận xét AC và AD, BA và BD vuông góc nhau nên thuộc đường tròn đường kính CD.
Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z 4  1



b) z 2  z

2

 0 và

z 1
1
z 3

Hướng dẫn
a) z 4  1  z 4  i 2  z 2  i hay z 2  i .

Kết quả

2
2
1  i  và  1  i  .
2
2
Trang 36


b) Kết quả z1  2 1  i  và z2  2 1  i  .
Bài tập 10.10: Chứng minh rằng đa thức P  z  là hàm số chẵn của z £ khi và chỉ khi tồn tại Q  z  thỏa
mãn: P  x   Q  z  Q   z  , z £ .
Hướng dẫn

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối
10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Chứng minh bằng quy nạp theo m là số nghiệm khác 0 của đa thức P  z  , tức là tồn tại Q  z  thỏa mãn

P  z   Q  z Q  z  .

Trang 37