PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT một ẩn

LỜI MỞ ĐẦU
Nội dung giáo dục cấp THCS là một bộ phận của chương trình giáo dục
phổ thông.Vì vậy chương trình giáo dục THCS có mối quan hệ chặt chẽ với
chương trình giáo dục tiểu học và chương trình giáo dục THPT .Trong chương
trình giáo dục THCS môn Toán có tầm quan trọng đến chất lượng của học
sinh,nó giúp cho học sinh có điều kiện cơ sở để tiếp thu các môn học khoa học
khác,là cơ sở ,chỗ dựa cho học sinh rèn luyện khả năng tư duy ,tổng hợp,phân
tích trong quá trình học tập và trong cuộc sống.
Phương trình bậc nhất một ẩn và phương pháp giải phương trình bậc nhất
một ẩn là một phần quan trọng của nội dung chương trình lớp 8.Việc nắm vững
kiến thức cơ bản cũng như phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn và
nhiều dạng phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn.Vì vậy em chọn
đề tài “Phương trình bậc nhất một ẩn” để góp một phần nhỏ giúp học sinh nắm
vững phương pháp giải các dạng bài toán này.
Để nghiên cứu đề tài này,em đã vận dụng nhiều tài liệu,phương pháp giải
toán THCS ,toán nâng cao lớp 8,Sách giáo khoa lớp 8,Đại số sơ cấp và thực
hành giải toán. Để hoàn thành đề tài này,em xin chân thành cảm ơn thầy Phạm
Trung Thiện đã hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ em.
Trong quá trình tìm hiểu ,tổng hợp tài liệu sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót do trình độ của bản thân còn hạn chế rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy
và các bạn để bài tiểu luận được hoàn chỉnh hơn.

1


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1.LÝ THUYẾT CHUNG.

1.1.Phương trình một ẩn.
1.1.1.Định nghĩa.
- Một phương trình với ẩn x có dạng ,trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x)
là hai biểu thức của cùng một biến x.
Ví dụ: là phương trình với ẩn .
là phương trình với ẩn.
Chú ý:
-

Hệ thức (m là một số nào đó ) cũng là một phương trình ,m là nghiệm duy nhất

-

của phương trình.
Một phương trình có thể có một nghiệm ,hai nghiệm …nhưng cũng có thể
không có nghiệm nào (phương trình vô nghiệm) hoặc có vô số nghiệm.
Ví dụ: Phương trình có hai nghiệm là và .
Phương trình vô nghiệm.
1.1.2 Nghiệm của phương trình.
- Nếu tại mà khi thay vào hai vế của phương trình ta được:
thì khi đó ta nói là nghiệm của phương trình.
1.1.3.Cách giải phương trình.
- Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
- Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm
của phương trình đó thường được kí hiệu là S.
1.1.4.Phương trình tương đương.
- Hai phương trình có cùng tập nghiệm là hai phương trình tương đương.
- Để chỉ hai phương trình tương đương với nhau ta dùng kí hiệu “”.
-Phép biến đổi tương đương :Là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm
của phương trình.Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết như sau:

+Cộng hoặc trừ cả 2 vế với cùng 1 số hoặc 1 biểu thức.
+Chuyển một số hoặc một biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu.
2
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

+Nhân hoặc chia cả 2 vế của phương trình với cùng một số hoặc 1 biểu
thức khác 0.
1.1.5.Hai quy tắc biến đổi phương trình
a) Quy tắc chuyển vế:
-Trong một phương trình ,ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
b) Quy tắc nhân với một số :
- Trong một phương trình,ta có thể nhân (hoặc chia )cả hai vế với cùng
một số số khác 0.
1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn.
1.2.1.Định nghĩa
Dạng tổng quát: (a,b tùy ý ,a khác 0)
Nghiệm duy nhất của phương trình là:
Ví dụ là những phương trình bậc nhất một ẩn.
1.2.2 Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn.
1.2.2.1.Công thức nghiệm
-Phương trình bậc nhất một ẩn : () được giải như sau:

( Công thức nghiệm)
Kết luận:Phương trình bậc nhất

luôn có nghiệm duy nhất là

Hay

phương trình có tập nghiệm
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Phương trình bậc nhất luôn có nghiệm duy nhất là
1.2.2.2

Biểu diễn hình học.
-Giải phương trình: ( ):
Vẽ đường thẳng rồi xác định hoành độ giao điểm với trục hoành Ox,đó là
giá trị x cần tìm.
-Giải phương trình : :
3
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Vẽ hai đường thẳng và trên cùng một hệ trục tọa độ rồi xác định hoành độ
giao điểm của hai đường thẳng,đó là giá trị x cần tìm.
Kết luận: Sử dụng sự tương giao giữa đồ thị hàm số bậc nhất và trục

hoành;sự tương giao giữa hai đường thẳng trong hệ trục tọa độ để giải phương
trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ:Giải phương trình sau:
Giải:
Vẽ hai đường thẳng và trên cùng một hệ trục tọa độ:
3

O

1

2

3

-1

Giao điểm của hai đồ thị có hoành độ bằng 1 nên nghiệm của phương trình
là
Vậy phương trình có nghiệm
1.2.3 Đồ thị của hàm số
*Định nghĩa:
-

-

Đồ thị hàm số là một đường thẳng:
+ Cắt trục tung tại một điểm có tọa độ là:
+Cắt trục hoành tại một điểm có tọa độ là:
Đường thẳng này song song với đường thẳng nếu

Đường thẳng này trùng với đường thẳng nếu.
Chú ý: Đồ thị hàm số ( còn được gọi là đường thẳng ,trong đó được b gọi
là tung độ gốc của đường thẳng.
Hình vẽ:

4
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

O

O

Chú ý:-Khi hàm số đồng biến trên R.
-Khi hàm số nghịch biến trên R.
*Cách vẽ đồ thị hàm số
- Khi thì .Đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và
điểm A
-Khi thì .
Bước 1: Xác định điểm.
Cho thì điểm P
Cho thì , điểm Q ()
Bước 2:Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P,Q ta được đồ thị hàm số
2.CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1: Xét xem x=a có là nghiệm của phương trình cho trước không.
1.1. Phương pháp chung:
- Muốn xét xem có là nghiệm của phương trình không, ta thay vào
phương trình đã cho.
-Nếu thì là một nghiệm của phương trình.
1.2.Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:Xét nghiệm của phương trình sau:
với
Giải:
Khi thì và
Do đó :
Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.

5
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Ví dụ 2:Xét nghiệm của phương trình sau:
với
Giải:
Khi thì ;
Do đó :
Vậy không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 3:Xét nghiệm của phương trình sau:

với
Giải :
•

•

•

Khi thì
Do đó :
Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.
Khi thì
Do đó :
Vậy là nghiệm của phương trình đã cho.
Khi thì
Do đó :
Vậy không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

6
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

DẠNG 2:Xét tính tương đương của hai phương trình
2.1. Phương pháp chung:

Xác định tập nghiệm của hai phương trình.
- Nếu 2 tập nghiệm bằng nhau thì hai phương trình tương đương.
- Nếu chỉ ra được một nghiệm của phương trình này không là nghiệm của
phương trình kia thì hai phương trình đó không tương đương.
Chú ý :Ngoài ra để chứng minh phương trình tương đương ta có thể dùng các
phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này về phương trình kia.
2.2.Ví dụ:
Ví dụ 1 : Xét tính tương đương của các cặp phương trình sau:
a)
b)
c)

và
và
và
Giải:

a)
•
•

Ta có:
.
.
Vậy hai phương trình đã cho tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là
.

b)
•

Ta có:

•

Vậy hai phương trình đã cho tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là
.
c)

•
•

Ta có:

Vậy hai phương trình đã cho không tương đương vì chúng không có cùng
chung tập nghiệm (.
Ví dụ 2:Tìm m để hai phương trình sau tương đương với nhau.
a)

(1) và

(2)
7

GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán
b)

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

và
Giải:

a)

Ta có: là nghiệm của phương trình (1).
Để phương trình (1) ,(2) tương đương với nhau khi và chỉ khi cũng là
nghiệm của phương trình (2).
Do đó,thay vào (2) ta được
Vậy với giá trị củathì hai phương trình trên tương đương với nhau.

b)

Ta có: Phương trình có tập nghiệm .
Thay vào phương trình ,ta được:
Vậy với giá trị củathì hai phương trình trên tương đương với nhau.

8
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

DẠNG 3:Giải phương trình bậc nhất một ẩn.
3.1. Phương pháp chung:
-Phương trình bậc nhất một ẩn : (với ) được giải như sau:
(quy tắc chuyển vế)
(quy tắc nhân nhân 2 vế với
Kết luận:Phương trình bậc nhất luôn có nghiệm duy nhất là
Hay phương trình có tập nghiệm
3.2.Ví dụ minh họa:
Ví dụ1: Giải phương trình sau:
Giải:
⟺
⟺

(Chuyển ─9 sang vế phải và đổi dấu)
( Chia cả hai vế cho 3)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất Hay phương trình có tập
nghiệm
Ví dụ2:Giải phương trình sau:
Giải:
⟺⟺ ⟺
Vậy phương trình có tập nghiệm là
Ví dụ 3:Giải phương trình sau:
Giải:

(chuyển 12 sang vế phải và đổi dấu)
(Chia cả hai vế cho 3)
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là hay phương trình có tập
nghiệm

9
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Ví dụ 4:Giải phương trình sau:
Giải:

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là hay phương trình có tập
nghiệm
Ví dụ 5. Giải phương trình sau :
Giải:

Kết luận: Phương trình vô nghiệm
Tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 6: Giải phương trình sau:
Giải:

Kết luận: Vậy phương trình
có nghiệm duy nhất là hay phương trình có tập nghiệm là

10
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy

Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

DẠNG 4: Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
4.1 Phương trình tích.
Dạng:
Trong đó ,là các đa thức biến
*Phương pháp chung: ⟺
Kết luận: Muốn giải phương trình

,ta giải hai phương trình và ,rồi

lấy tất cả các nghiệm của chúng.
*Ví dụ:
Ví dụ1: Giải phương trình sau:
⟺
Vậy phương trình có hai nghiệm: và
Tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 2:Giải phương trình sau:
Giải:
⟺

⟺

Vậy phương trình có 3 nghiệm: ; và
Tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

Giải:
Ta có: ⟺
⟺⟺⟺
Vậy phương trình có 2 nghiệm: ;
Tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
Giải:
Ta có: ⟺
⟺ ⟺⟺
Vậy phương trình có 2 nghiệm;;
Tập nghiệm của phương trình là
11
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Ví dụ 5:Giải phương trình sau:
Giải:
Ta có:
⟺
⟺
⟺
⟺
⟺
⟺

⟺
⟺

⟺

Vậy tập nghiệm của phương trình là:
4.2 Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 1:
*Phương pháp chung:Tùy theo phương trình,ta có những phương pháp:
- Cách 1: Dùng định nghĩa,hoặc lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt
đối rồi giải các phương trình trên từng miền đã chỉ ra.Nghiệm của phương trình
đã cho là hợp các nghiệm đã nhận được.
⟺
-Cách 2: Bình phương hai vế với điều kiện hai vế không âm để khử dấu giá
trị tuyệt đối.
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:Giải phương trình sau:
Giải:
Cách 1:
-

Nếu thì phương trình (1) ⇒ ⟺ (loại)
Nếu thì phương trình (1)⇒ (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
12
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy

Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Tập nghiệm của phương trình là:
Cách 2:
⟺
⟺
⟺ (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
Giải:
Cách 1:
-

Nếu thì phương trình (1) ⇒ ⟺ (loại)
Nếu thì phương trình (1)⇒(loại)
Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là:
Cách 2: Bình phương 2 vế,giải phương trình,thử nghiệm.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là:
Dạng 2
*Phương pháp chung:
- Cách 1:
- Cách 2:
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:Giải phương trình sau: (1)
Cách 1:
Vậy phương trình có tập nghiệm là:

Cách 2:
13
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Vậy phương trình có tập nghiệm là:
4.3 Phương trình chứa ẩn dưới căn thức bậc hai.
4.3.1.Biểu thức dưới căn có thể viết dưới dạng bình phương của một
biểu thức.
*Phương pháp chung:
Dạng:
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Giải:
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm làhoặc
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
Giải:
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm làhoặc
4.3.2.Phương trình chứa biểu thức dưới căn không viết được dưới dạng
bình phương (trong phương trình chỉ có 1 căn thức)
*Phương pháp chung:
Dạng





Đặt điều kiện :
Bình phương hai vế:(Phương trình hệ quả).Giải và tìm nghiệm
Thử lại các nghiệm vừa tìm được.

14
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Giải:
Ta có:
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
Giải: Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm là .
4.3.3.Phương trình chứa nhiều căn thức ,các căn thức đưa được về
dạng chung ,giống nhau.
*Phương pháp chung:

Dạng:

(a,b,c,d là các số)

*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Giải:
ĐK:
Ta có:

=28
Vậy phương trình có nghiệm là .
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
Giải:
ĐK:
15
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm là
4.4 Phương trình dạng phân thức.
4.4.1 Phương trình có mẫu số không chứa ẩn.

Dạng:
Trong đó ,là các đa thức biến ; là hằng số.
*Phương pháp chung:





Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế,các hằng số sang vế kia.
Bước 3: Thu gọn và giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận:
Ví dụ 1.Giải phương trình sau:

16
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Giải:
Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là .
Phương trình có tập nghiệm là .
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (2)

Giải:
Ta có: (2)

Vậy nghiệm của phương trình (2) là .
Phương trình có tập nghiệm là .
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
Giải:

Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là và phương trình có
tập nghiệm là .
Ví dụ 4:Giải phương trình sau: (3)
Giải:
Ta có thể giải như sau:

Vậy nghiệm của phương trình (3) là .
17
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Phương trình có tập nghiệm là .
*Chú ý :Ở một số trường hợp ,ta sẽ có những cách biến đổi phương trình
khác đơn giản hơn,để dễ dàng,thuận lợi trong việc giải phương trình. Một số ví
dụ cụ thể như sau :
*Mở Rộng:

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:

(1)

Giải:
Cách 1: (1)

Vậy phương trình có tập nghiệm là .
Cách 2: (1)

Vậy phương trình có tập nghiệm là .
Ví dụ 6:Giải phương trình sau:

(1)

Giải: (1)

Vậy phương trình có tập nghiệm là .


Tổng quát: (*)
Suy ra:
((
*Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng phân thức có mẫu số là số
nhỏ ta có thể giải theo cách 1,còn đối những phương trình dạng phân thức có
mẫu số là số lớn ta nên giải theo cách tổng quát sẽ thuận lợi và dễ dàng hơn
trong việc tính toán.

18
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

4.4.2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Dạng:
Trong đó , là các đa thức biến
*Phương pháp chung:





Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3,các giá trị thỏa
mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:Giải phương trình sau:

(1)

Phương pháp giải:
-

ĐKXĐ của phương trình là:.
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu của phương trình:
⇒

(1a)

-Giải phương trình (1a):
(1a) ⟺
⟺
⟺
-

Ta thấy thỏa mãn ĐKXĐ nên nó là nghiệm của phương trình (1).
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (2)

-

ĐKXĐ: và
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu của phương trình:
⇒

(2a)

Giải phương trình (2a):
(2a)
⟺
19
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

⟺ ⟺
-

Ta thấy thỏa mãn ĐKXĐ nên nó là nghiệm của phương trình (2),còn không
thỏa mãn ĐKXĐ nên nó không phải là nghiệm của phương trình (2).
Vậy tập nghiệm của phương trình(2) là:
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
Giải:
-ĐKXĐ:
-Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu của phương trình:

(không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình trên vô nghiệm
Tập nghiệm của phương trình là :
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
Giải:
-ĐKXĐ:
-Quy đồng và khử mẫu của phương trình:

(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
Ví dụ 5:Giải phương trình sau:
20

GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Giải:
-ĐKXĐ:
-Quy đồng và khử mẫu của phương trình:

=0
(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 6: Giải phương trình sau: (1)
Giải:
Ta có:
(1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Tập nghiệm của phương trình là

21
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy

Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

*Mở Rộng:
Bài toán trên thuộc dạng phương trình được giải nhờ quy về phương trình
bậc nhất bằng các phép rút gọn,quy đồng…Vì vậy,nếu ta thay thế ở 2 vế các
biểu thức của x có thể rút gọn được (để giảm bậc của biến ) thì ta cũng có các
bài toán mà cách giải tương tự.
Ví dụ: Giải phương trình sau:



Tổng quát:Giải phương trình sau với là các số tự nhiên lẻ,, là tham số.

22
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

DẠNG 5:Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số.
5.1 Phương pháp chung:
Ta có phương trình:
•
•

Nếu phương trình có nghiệm duy nhất ;
Nếu phương trình có dạng:
-Với Không có giá trị nào của x nhân với 0 cho ta một số khác 0.
Vậy phương trình vô nghiệm:
-Với Phương trình có dạng được nghiệm với mọi x thuộc R, phương trình
vô số nghiệm:
Kết luận:

•
•

•

,
5.2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:Giải và biện luận phương trình :
Giải:
Ta có:

•
•

Nếu ,phương trình có nghiệm duy nhất :
Nếu , phương trình có dạng:
- Với , phương trình có dạng ,có nghiệm tùy ý
- Với ,phương trình có dạng (vô lí), phương trình vô nghiệm



•
•
•

Kết luận:

Ví dụ 2:Giải và biện luận phương trình sau:
Giải:
Ta có:
•

Nếu thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

•

Nếu thì phương trình (1) trở thành dạng (vô lí )phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
23
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Với , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:
Với ,phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3:Giải và biện luận phương trình sau:

Giải:
Ta có:
•

Nếu thì phương trình (1)có nghiệm duy nhất

•

Nếu = thì phương trình (1) trở thành (luôn đúng) phương trình (1) có nghiệm
đúng với .
Kết luận:
Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Với thì phương trình đã cho có nghiệm đúng với .
Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau:
Giải:
Ta có:
Vì với nên phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất là
Ví dụ 5: Giải và biện luận phương trình sau: (1)
Giải:
Ta có:

•
•
-

(2)

Nếu thì (2) là nghiệm của phương trình.
Nếu

Với thì phương trình (2) có dạng : (luôn đúng)
⟹phương trình (1)có nghiệm đúng với
Với thì phương trình (2) có dạng (vô lí)
⟹phương trình (1) vô nghiệm.
Kết luận:
Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Với thì phương trình đã cho có nghiệm đúng với .
Với thì phương trình đã cho vô nghiệm.
24
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy


Đại Số Sơ Cấp Và Thực Hành Giải Toán

Chuyên Đề: Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Ví dụ 6:Giải và biện luận phương trình sau:
Giải:
Ta có:
•
•

Nếu thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất
Nếu
-Với thì phương trình (1) có dạng: (luôn đúng)
phương trình (1)có nghiệm đúng với
-Với thì phương trình (1) có dạng : (vô lí)
phương trình (1) vô nghiệm.

Kết luận:
Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Với thì phương trình đã cho có nghiệm đúng với .
Với thì phương trình đã cho vô nghiệm.

25
GVHD: Phạm Trung Thiện

Sinh Viên: Nguyễn Thị Thủy