Page 1
11 SAI LẦM KHI TÍNH TÍCH PHÂN
4
1 x 2 dx .
Bài 1. Tính tích phân I
0
Lời giải sai: Đặt x
sin t
dx
4
cos tdt .
4
1 sin 2 t .cos tdx
I
4
cos 2 tdt
0
0
1
0
cos 2t
2
1
.
4
8
x
t
ar c sin
t
0
Lý do sai: Đổi biến số nhưng không đổi cận.
Lời giải đúng: x
sin t
dx
cos tdt . Khi
4
0
x
arcsin
arcsin
4
1 sin 2 t .cos tdx
I
cos 2 tdt
0
0
1
arcsin
2
4
Lời giải sai: Đặt t
I
1
dt
t5
4
1
cos 2t
2
0
1
sin 2arcsin .
4
4
t4
4
0
2x
3
2x
1
1 . Khi
x
x
1 1
4 34
1
dx
1
Bài 2. Tính tích phân I
3
arcsin
4
4.
.
5
1
0
t
t
3
.
1
20
.
81
1
Lý do sai: Đổi biến không tính vi phân.
Lời giải đúng: Đặt t
3
I
1
dt
2t 5
t
4
8
3
1
2x
1
1 1
8 34
dt
1
2dx .
x
x
1
0
t
t
3
.
1
10
.
81
2
xe x dx .
Bài 3. Tính tích phân I
0
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân
3
Page 2
Lời giải sai: Đặt
I
xe x
u
x
x
v'
e
e x dx
e2
u'
1
v
ex
.
2
2
0
1.
0
Lý do sai: Hiểu sai bản chất công thức từng phần.
Lời giải đúng: Đặt
I
xe x
u
x
x
dv
e dx
du
dx
v
x
e
.
2
2
e x dx
0
e2
1.
0
2
Bài 4. Cho n N ; chứng minh I
sin sin x
nx dx
0.
0
Lời giải sai: Xét hàm số f x
sin x sin x
Ta có f x là hàm liên tục trên 0; 2
Vậy f x là hàm lẻ, suy ra I
nx trên 0; 2
và f
x
.
sin sin
x
nx
f x .
0.
Lý do sai: Học sinh hiểu sai về định lý “Nếu hàm số f x là hàm lẻ, liên tục trên
a
a; a thì
f x dx
0 ”.
a
Lời giải đúng: Đặt x
y
dx
dy .
2
I
sin sin x
nx dx
sin sin y
ny
n dy
0
1
n
sin ny
sin y dy .
Mặt khác ta có: g y
g
y
sin
ny
sin
sin ny
y
sin y xác định trên
sin ny
sin y
;
là hàm liên tục và
g y .
Suy ra g y là hàm lẻ.
Vậy I
0.
Bài 5. Cho hàm số f liên tục trên 0;
; hãy so sánh I
xf sin x dx và
0
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân
4
Page 3
J
f sin x dx .
0
Lời giải sai: Đặt
I
xf cos x
u
x
dv
du
f sin x dx
dx
v
f cos x
.
f cos x dx .
0
0
Do f liên tục trên 0;
, suy ra f cos
f 0
0
I
f cos x dx (1).
0
Mà J
2
f sin x dx
(2).
0
Từ (1) và (2) ta có I
J.
Lý do sai: Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân.
Lời giải đúng: Đặt x
t dx
dt .
0
I
t f sin
t dt
f sin x dx
xf sin x dx
0
2I
f sin x dx
I
Vậy ta có I
f sin x dx .
2
0
0
0
J.
Bài 6. Cho hàm số f liên tục trên a; b ; chứng minh tồn tại ít nhất một điểm
c
C
a; b sao cho
b
f x
f c dx
a
f c
f x dx .
c
Lời giải sai: Do f liên tục trên a; b , suy ra f x
f x
f c
trên a , c bằng
f c trên b , c , vậy ta có
c
f x
f c dx
a
c
b
b
f x
f c dx
f c
f x dx .
c
Lý do sai: Không hiểu về hàm liên tục nên tính tích phân sai.
Lời giải đúng: Áp dụng định lý về giá trị trung bình của tích phân, suy ra tồn tại ít
b
nhất một điểm C
a; b sao cho
b
f x dx
f c b
a
a
b
a
a
c
f x
Suy ra
f c dx
f c dx
b
f x
a
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân
f c dx
f x
f c dx
0.
c
5
Page 4
c
b
f x
Hay ta có
f c dx
f x dx (đpcm).
f c
a
c
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y
0; x
y
9
1; x
x
4
2
.
Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là:
4
S
2
9
x dx
1 2
x
3
9x
1
4
7.
1
Lý do sai: Áp dụng sai công thức, không ghi
“đvdt – đơn vị diện tích”.
Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là:
3
3
S
x2 dx
9
1
4
x 2 dx
9
1
3
1 3
x
3
9x
9 dx
9
38
(đvdt).
3
3
4
1 3
x
3
1
x2
65
2
9x
3
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Lời giải sai: y 2
y
0
x
x 1
1; y
1
y
x
y
y
2
x 1
3
x 1dx
1
Lý do sai: Xác định sai hình cần tính diện tích.
Lời giải đúng: Diện tích hình giới hạn là: S S1
1
x 1 dx
1
S
1
1
3
0
.
3
2
2
1
2
(đvdt).
3
S2
1 (đvdt).
2
S2
x 1; x
2.
Diện tích hình phẳng là: S
12
1
x 1
2
Ta có S1
0; y
2
x
2
x 1
3
3
2
2
1
1
3
4
(đvdt).
3
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân
6
Page 5
y
x2
2x
1 C1
Bài 9. Tính diện tích hình giới hạn bởi y
x2
6x
9 C2 .
3
;x
2
x
Lời giải sai: C1
C2
5
2
2;1 .
Vậy diện tích của hình giới hạn là:
2
5
2
2
S
x 1 dx
2
x
3
2
3 dx
2
1
x 1
3
1
3
2
3
3
2
1
24
1
x
3
3
1
24
1
3
5
3 2
2
7
(đvdt).
12
Lý do sai: Xác định sai hình cần tính giới hạn.
Lời giải đúng: C1
C2
2;1 .
Diện tích hình giới hạn là:
S S1 S2 .
2
S1
x
3
2
x 1
2
2
dx
4x
3
2
2x2
8 dx
8x
3
2
5
2
2
2
5
2
2x2
8x
Bài 10. Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn x2
y
S2
x 1
x
3
dx
4x
2
S
S1
2
S2
1
2
1
2
2
y
b
2
3
2
5
2
1
2
1
2
2
1 (đvdt).
quay quanh trục Ox .
Lời giải sai: Phương
C :x
8 dx
2
trình
2
a hay y
y
b
a2
x 2 C1
y
b
a2
x 2 C2
b
(x
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân
đường
2
a
2
b
2
a2 ;( 0
a
b)
tròn
x
2
a ).
7
Page 6
Vậy
thể
tích
a
V
a2
b
của
2
x2
a2
b
x2
hình
2
dx
xuyến
là:
2 a2 b (đvtt).
a
b
Lý do sai: Sai công thức tính thể tích:
y12
V
y22 dx
mà là
a
b
ya2
V
y22 dx .
a
a
Lời giải đúng: V
b
a2
x2
2
a2
b
x2
2
dx
2 a2 b .
a
y
Bài 11. Tính thể tích hình giới hạn bởi x
x
2
Lời giải sai: V
4
x dx
1
x5
5
2
1
31
5
x2
1 .
2
(đvtt).
b
Lý do sai: Đã sử dụng công thức V
y 2 dx .
a
2
Lời giải đúng: V
x.x 2 dx
2
1
11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân
15
2
(đvtt).
8