DEDA HSG MON TOAN 8 HUYEN NGA SON NAM HOC 20102011

Phòng giáo dục & đào tạo
Huyện nga sơn

Đề chính thức

(Đề thi gồm có 01
trang)

đề thi học sinh giỏi lớp 8 thcs cấp huyện
năm học: 2010 - 2011

Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 16/ 04/ 2011

Câu 1 ( 2 điểm):
3x2 + 3
x 1
1 2 x2 5x + 5
2

Cho biểu thức: A = 3
.
ữ:
x 1
x 1 x + x +1 x 1
a) Rút gọn A .
b) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Câu 2 ( 4 điểm): Cho đa thức P ( x) = x 4 + x3 + 6 x 2 40 x + m 1979 .
a) Tìm m sao cho P ( x) chia hết cho x 2 .
b) Với m tìm đợc, hãy giải phơng trình P ( x) = 0.

Câu 3 (2 điểm):
Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà Bình với vận tốc 4
km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An
với vận tốc 3 km/h. An gặp Bình trên đờng rồi cả hai cùng đi về nhà
Bình, sau đó An trở về nhà mình. Khi về đến nhà mình An tính
ra quãng đờng mình đi dài gấp bốn lần quãng đờng Bình đã đi.
Hãy tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình.
Câu 4 (3 điểm):
Cho hình vuông ABCD . Gọi E là một điểm trên cạnh BC ( E
khác B và C ). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD tại F . Trung
tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đờng thẳng kẻ qua E , song
song với AB cắt AI ở G .
a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF 2 = FK .FC
c) Khi E thay đổi trên BC , chứng minh chu vi tam giác EKC
không đổi.
Câu 5 (1 điểm):
Cho các số a, b lần lợt thoả mãn các hệ thức sau:
a 3 3a 2 + 5a 2011 = 0 , b3 3b 2 + 5b + 2005 = 0
Hãy tính a + b .


---------------------------Hết----------------------------Họ và tên thí sinh:......Số báo danh:

Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện nga sơn

Hớng dẫn chấm

Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 6,7,8 năm học 2010 - 2011

Môn thi: Toán lớp 8
Câ
u
Câ
u1
4đ

ý
a.
(2
đ)

Tóm tắt lời giải
ĐK: x 1
A=

3x 2 + 3 x 2 + 2 x 1 x 2 x 1
x 1
. 2
3
x 1
2 x 5x + 5

x2 + x + 1
x 1
=
. 2
3
x 1 2x 5x + 5

=
b.
(2
đ)

Câ
u2

a.
(2

1
2 x 5x + 5
2

1
1
5
25 15 =
Ta có A = 2
=
2
2 x 5 x + 5 2( x 2 x + ) +
4
16
8
1
5
15
2( x ) 2 +

4
8
1
5 2 15 15
8
5 2 15
x (1)
Vì 2( x ) +
x nên
2( x ) +
4
8 8
15
4
8
5
Dấu = xảy ra khi x = 1 (2)
4
8
Từ (1) và (2) suy ra max A =
15
P ( x) = ( x 2 ) ( x 3 + 3x 2 + 12 x 16 ) + m 2011
Do đó P ( x) chia hết cho ( x 2) m 2011 = 0

Điể
m
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5

0.5
0.5
0.5

1.0


4đ

đ)

b.
(2
đ)

0.5

m = 2011

0.5

3
2
Với m = 2011, P ( x) = ( x 2 ) ( x + 3x + 12 x 16 )

3
2

Do đó: P ( x) = 0 P ( x) = ( x 2 ) ( x + 3x + 12 x 16 ) = 0

( x 2 ) ( x 1) ( x 2 + 4 x + 16) = 0 ( x 2 ) ( x 1) = 0

x = 2
2
( Vì x 2 + 4 x + 16 = ( x + 2 ) + 12 > 0 x )
x =1
Câ
u3
4đ

Câ
u4
6đ

Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình là x ( x
>0, x đo bằng km). Theo bài ra ta có quãng đờng
An đã đi đã là 2 x , suy raquãng đờng Bình đã đi
2x x
= .
là
4 2
Do đó quãng đờng Bình đi từ nhà đến khi gặp An
x
là , quãng đờng An đI từ nhà đến khi gặp Bình
4
x 3x
là x = .
4 4

3x
Thời gian An đi từ nhà đến khi gặp Bình là
16
(giờ), thời gian Bình đi từ nhà đến khi gặp An là
x
(giờ)
12
3x x 1
=
Theo bài ra, ta có phơng trình:
16 12 3
16
9x - 4x =16 x = = 3,2 (km)
5
a.
2.0
đ

B

A

E

G
I
F
x

D

K

C

0.5
0.5
1.0

1.0

1.0

1.0
0.5
0.5


Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD,
ã
ã
BAE
= CAF
ã
( Cùng phụ với DAE
). Vậy ABE = ADF AE = AF
Vì AE = AF và AI là trung tuyến của tam giác AEF
AI EF . Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF,
ã
ã

( So le trong) nên IEG= IFK
IEG
= IFK
EG=FK. Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK
song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Hình bình hành EGFK có hai đờng chéo GK và EF
vuông góc nên là hình thoi
b.
2.0
đ

c.
2.0
đ

Câ
u5
2đ

0.5
0.5
0.5
0.5

ã
Xét hai tam giác AKF và CAF ta có ãAFK = CFA
( góc
ã
chung), KAF
= ãACF = 450 ( AC là đờng chéo hình

0.5

vuông ABCD, AK là trung tuyến của tam giác vuông
cân AEF)
Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF.
Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta
AF FK
=
AF 2 = FK .FC
có:
FC AF
Theo ý a, ta có ABE = ADF nên EB = FD
Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF
Do đó, chu vi tam giác EKC bằng
-EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không
đổi)

0.5
0.5

Từ điều kiện đã cho ta có:
3
3
( a 1) + 2 ( a 1) 2008 = 0 (1), ( b 1) + 2 ( b 1) + 2008 = 0
(2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có
3
3
( a 1) + ( b 1) + (a + b 2) = 0

2
( a + b 2) (a 1) 2 ( a 1) ( b 1) + ( b 1) + 2(a + b 2) = 0


2
( a + b 2) (a 1) 2 ( a 1) ( b 1) + ( b 1) + 2 = 0



0.5
0.5
0.5
1.0

0.5
0.5

0.5


Vì (a 1) 2 ( a 1) ( b 1) + ( b 1) + 2
1
1
1
2
2
2
= ( a b ) + ( a 1) + ( b 1) + 2 > 0 a, b
2
2

2
Nên a + b 2 = 0 a + b = 2
2

0.5

Ghi chú: - Bài hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai
cơ bản thì không chấm.
điểm.
- Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tơng
ứng.
---------------------Hết------------------------