SKKN TOÁN 2017 CHUẨN BẬC 3

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC
HAI THƯỜNG GẶP SAU KHI RÚT GỌN
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp
đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi
mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vậy mỗi người giáo
viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để
đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.
Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về : Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai là một phần học quan trọng
trong chương trình lớp 9 THCS, một trong những phần mà trong các đề thi học
sinh giỏi cũng như tuyển sinh thường ra . Đó cũng là những tiền đề cơ bản để học
sinh tiếp tục học lên ở THPT.
2. Cơ sở thực tiễn
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai là
loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết tìm
gtnn-gtln như thế nào? Phương pháp giải ra sao? Học sinh không phân dạng ra
được nên chỉ giải theo một cách chung chung dẫn đến lệch hướng đi và không giải
được.
Các bái toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn
thức bậc hai rất đa dạng và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi
vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu hiện hành viết về vấn đề này chỉ ở mức
độ chung chung chưa phân dạng và phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăn
trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo
viên.
Vì vậy việc nghiên cứu để Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút gọn là rất thiết thực,
giúp giáo viên nắm vững được nội dung kiến thức cũng như xác định được phương

pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc
biệt là chất lượng học sinh giỏi – Thi lên lớp 10 THPT và thi giáo viên giỏi ở các
cấp.
3. Khảo sát chất lượng ban đầu
Trường THCS(Của chúng tôi)
Loại
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Số lượng HS(%)
0%
6%
24%
70%
Trường THCS Hùng Thành
Loại
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Số lượng HS(%)
0%
10%
30%
60%

1


Trường THCS Mã Phúc Thành
Loại

Giỏi
Số lượng HS(%)
0%
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Khá
8%

Trung bình
28%

Yếu
64%

Nghiên cứu về “Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút gọn”. Giúp giáo viên nâng cao
năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đó, mở rộng, đào
sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu
quả.
Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học
phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai trong
bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học
môn toán.
Nghiên cứu vấn đề này giúp giáo viên có tài liệu tham khảo và dạy thành
công về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Nghiên cứu về tình hình dạy và học vấn đề này ở nhà trường.
2. Phân dạng các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn.
3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài.
4. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm.

IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu:
a. Các tài liệu có liên quan .
b. Học sinh khối 9 Trường THCS chúng tôi, Trường THCS Hùng Thành, Trường
THCS Phúc Thành.
2. Phạm vi nghiên cứu:
Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
chứa căn thức bậc hai trong chương trình Toán THCS.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.Nêu và giải quyết vấn đề.
2.Phương pháp vấn đáp.
3. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
4. Phương pháp điều tra, khảo sát.
5. Phương pháp thử nghiệm .
6. Phương pháp đánh giá và tổng kết kinh ngiệm
VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nâng cao chất lượng dạy và học trong củng như sau khi nghiên cứu áp dụng
sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham
thích học dạng toán này hơn .

2


B. NỘI DUNG:
I. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1. Về phía giáo viên:
- Giáo viên chưa phân loại các dạng toán và những kiến thức áp dụng. Gặp bài nào
thì giải bài ấy.
- Giáo viên chưa thực sự chú tâm đến việc tìm tòi những giải pháp phù hợp với
từng đối tượng học sinh và áp dụng triệt để trong các bài học.

2. Về phía học sinh:
- Mỗi khi gặp các dạng toán này học sinh thường bị lúng túng trong việc tìm lời
giải dẫn đến tư tưởng e ngại.
- Chưa mạnh dạn trong các hoạt động học tập, chưa phát huy tính năng động, tích
cực, sáng tạo trong việc tiếp thu lĩnh hội kiến thức.
- Chưa tự giác trong việc tự học tự rèn luyện, còn mang tính ỷ lại trông chờ vào
người khác.
II. PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP SAU KHI RÚT GỌN

1. Đường lối chung tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của
một biểu thức.
a/ Cho biểu thức f( x ,y,...)
a1/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu
hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...) ≤ M ( M hằng số)

(1)

- Tồn tại xo,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) =

M

(2)

a2/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu
hai điều kiện sau đây được thoả mãn :
-

Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...) ≥ m ( m hằng số)

(1’)

- Tồn tại xo,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) =

m

(2’)

3


b/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của
một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x - 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có
A ≥ 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x
để A = 0 ta phải giải như sau:
A = x – 2 x + 1 + x – 6 x + 9 = 2( x – 4 x + 5) = 2( x – 2)2 + 2 ≥ 2
A = 2 ⇔ x -2 = 0 ⇔ x = 4
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 4
2. Cách giải:
Dạng 1. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc biến đổi thành biểu
thức có dạng là P = ax + b x + c .
Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = ± k . f ( x) + m ( f (x) > 0 là biểu thức chứa biến x và k, m là một hằng số)
Bước 2. Lập luận để có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bước 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”.

Bước 4. Kết luận.
*Trường hợp a, b khác dấu
Ví dụ 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B = A(x-1) với A =

(

x

)

x +1

(Trích câu c đề thi tuyển sinh vào lơp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2010 – 2011)
Hướng dẫn giải
ĐK x > 0
B=

(

x

)

x +1

( x − 1) = x − x ( đk x > 0)
2

1 1


B= x− x = x − ÷ −
2 4

B ≥ - ∀x : x > 0 Đẳng thưc xẩy ra khi x = ( thoả mãn).
Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng - khi x = .
Ví dụ 2: Tìm GTLN của C =

C=

x -x+1
Hướng dẫn giải

x - x + 1 ( đk x > 0)

Ta có C =  − x+

1
5
x + 1= − ( x − ) 2 +
2
4

4


1
Do −( x − ) 2 < 0 ∀ x > 0
2
1
5

5
1
nên C = −( x − ) 2 + <
∀ x > 0 Dấu “=” xẩy ra khi x =
2
4
4
4
5
1
Vậy GTLN của C là khi x =
4
4
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức P = x − 3 x + 1
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: x > 0
2

3 5

P = x − 3 x +1=  x − ÷ −
2 4

2

3

Do  x − ÷ > 0 ∀x > 0
2


2

5
9
3 5

P  x − ÷ − > − ∀x > 0 Dấu “=” xẩy ra khi x = , thoả mãn .
4
4
2 4

5
9
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng −
khi x =
4
4
*Trường hợp a, b cùng dấu ( hoặc a = 0 )
.Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức P = x + x + 1
Hướng dẫn giải
ĐK x > 0
Ta có x +

x >0∀x>0

=> P = x + x + 1 > 1 ∀ x > 0
Dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđk)
Vậy GTNN của P là 1 khi x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3 - 2 a − a
Hướng dẫn giải

ĐKXĐ a > 0
Với a > 0 ta có P = 3 − 2 a − a = 3 − (2 a + a)
mà −(2 a + a) < 0 ∀ a > 0
=> P = 3 - 2 a − a < 3
Dấu “=” xẩy ra khi a = 0 (tmđk)
Vậy GTLN của P là 3 khi a = 0
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức P = 2 x - 5

5


Hướng dẫn giải
ĐK x > 0
Ta có: 2 x > 0 ∀ x > 0
=> P = 2 x - 5 > -5 ∀ x > 0 Dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (thoả mãn )
Vậy GTNN của biểu thức P là – 5 khi x = 0
Lưu ý: Từ các ví dụ trên ta có các nhận xét sau: Để tìm cực trị của biểu thức sau
khi thu gọn đưa về dạng P = ax + b x + c thì P Cã GTNN nÕu a > 0; cã
GTLN nÕu a < 0
Khi hướng dẫn học sinh làm cần chú ý vào hai trường hợp
Trường hợp 1: Nếu a, b khác dấu khi tìm cực trị HS cần nắm vững hằng đẳng
thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và các kỹ năng biến
 m + k . f 2 ( x)
đổi như tách, thêm bớt để biến đổi biểu thức P về dạng P = 
2
 m − k . f ( x)
Trường hợp 2: Nếu a, b cùng dấu( hoặc a = 0) thì biểu thức P có GTNN hoặc
GTLN là c tránh trường hợp sai lầm khi học sinh làm ví dụ 1 như sau:
Tìm GTNN của A = x + x + 1
2

1 3 3

Lời giải : Ta có A = x + x + 1=  x + ÷ + ≥
2 4 4

3
Vậy GTNN của A = ( sai lầm ở chỗ ta không chỉ ra được ĐK xẩy ra dấu “=”)
4

Dạng 2. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc biến đổi thành biểu
k
thức có dạng là P =
( a, b, k là hằng số, a > 0, b > 0, x ≥ 0 )
a x +b
Cách giải.
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của mẫu thức: f ( x) = a x + b
Bước 2.Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của
P
+) Nếu k > 0 thì P đạt giá trị lớn nhất ⇔ f (x) đạt giá trị nhỏ nhất và ngược lại (
f ( x) > 0).
+) Nếu k < 0 thì P đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ f (x) đạt giá trị nhỏ nhất và ngược lại. (
f ( x) > 0).
Bước 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”.
Bước 4. Kết luận.
2
Ví dụ 1 Tìm x để biểu thức M =
đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
x +3
( Trích câu c bài 1kì thi tốt nghiệp THCS tỉnh Nghệ An năm học 2002 – 2003)

Hướng dẫn giải

6


ĐKXĐ x > 0
Để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất thì
Do 2 > 0 nên
ta có

2
đạt giá trị lớn nhất
x +3

2
đạt giá trị lớn nhất khi
x +3

x > 0 ∀ x > 0 =>

x + 3 đạt GTNN

x +3>3∀x>0

=> GTNN của

x + 3 là 3 dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđk)
2
2
= khi x = 0

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M =
0+3 3
−3
Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
x +3
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ : x ≥ 0
−3
Để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất thì
đạt giá trị nhỏ nhất
x +3
−3
Do -3 > 0 nên
đạt giá trị nhỏ nhất khi x + 3 đạt GTNN
x +3
ta có

x > 0 ∀ x > 0; x ≠ 9 =>

x + 3 > 3 ∀ x > 0; x ≠ 9

=> GTNN của

x + 3 là 3 dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđk)
−3
−3
=
= −1 khi x = 0
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P =
0+3 3

2
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của P =
2x −1 + 5
Hướng dẫn giải
2
Để P đạt GTLN thì
đạt GTLN
2x −1 + 5
2
Do 2 > 0 nên
đạt GTLN khi 2 x − 1 + 5 đạt GTNN
2x −1 + 5
1
1
ta có 2 x − 1 > 0 ∀ x ≥ ; x ≠ 13 => 2 x − 1 + 5 > 5 ∀ x ≥ ; x ≠ 13
2
2
=> GTNN của 2 x − 1 + 5 là 5
1
(TMĐKXĐ)
2
2
2
1
= khi x =
Vậy GTLN của P =
0+5 5
2
Dấu “=” xẩy ra khi

2 x − 1 = 0 => x =

7


Lưu ý: Từ các ví dụ trên để tìm cực trị của biểu thức sau khi thu gọn đưa về dạng
k
P=
cần lưu ý học sinh ta nên đưa biểu thức P về dạng có mẫu dương khi
a x +b
đó ta có
- Nếu k > 0 thì biểu thức P đạt GTLN
- Nếu k < 0 thì biểu thức P đạt GTNN
Cần lưu ý HS tránh sai lầm sau:
1
Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức B =
x −4
Lời giải: Do B có tử không đổi và 1 > 0 nên B đạt GTLN khi

x − 4 có GTNN

x − 4 > - 4 Dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđk)
−1
Vậy GTLN của B là
khi x = 0
4
−1
Điều này sai ví dụ x = 25 khi đó ta có B = 1 >
4
Để giúp học sinh tránh mắc sai lầm như trên ta cần nhấn mạnh cho học sinh các

chú ý sau
ta có

+

1
lôùn nhất ⇔ C nhỏ nhất (C > 0)
C

+Ta chỉ có thể tìm GTLN của biểu thức

1
khi A > 0 với mọi giá trị của biến .
A

−1
1
ta có thể tìm GTLN của biẻu thức ( A > 0)
A
A
Dạng 3. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc biến đổi thành biểu
a x +b
thức có dạng P =
. (a,b,c,d là hằng số c > 0, d > 0, x ≥ 0 )
c x +d
Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
+ Để tìm GTNN của biểu thức

n

P = m + f (x) ( f(x) là biểu thức chứa x)
n

Bước 2. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của của biểu thức f (x) ( cách làm
giống dạng 2)
Bước 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”.
Bước 4. Kết luận.
Ví dụ 1 : Tìm GTNN của P =

x −1
x +1
Hướng dẫn giải

8


Với x > 0 ta có P =
Để P đạt GTNN thì
Do -2 < 0 nên
ta có

x −1
x +1− 2
=
=1+
x +1
x +1
−2
đạt GTNN
x +1

−2
nhỏ nhất thì
x +1

−2
x +1

x + 1 nhỏ nhât

x + 1 > 1 ∀ x > 0 dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđkxđ)

x + 1 là 1 khi x = 0
−2
Vậy GTNN của P = 1 +
= -1 khi x = 0
0 +1
=>GTNN của

Ví dụ 2: Tìm GTLN của P =

3 x +8
x +2

Hướng dẫn giải
ĐK: x > 0
Ta có P =

3 x +8
= 3+

x +2

Để P đạt GTLN thì
Do 2 > 0 nên
ta có

2
x +2

2
lớn nhất
x +2

2
lớn nhất thì
x +2

x + 2 nhỏ nhât

x + 2 > 2 ∀ x > 0 dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđkxđ)

x + 2 là 2 khi x = 0
2
Vậy GTLN của P là 3 + = 4 khi x = 0
2
GTNN của

−7 + 3 x
− x −4
Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của Q =

ĐK: x > 0
−7 + 3 x 7 − 3 x −3 x − 12 + 19
=
=
= −3 +
− x −4
x +4
x +4
19
Để Q đạt GTLN thì
lớn nhất
x +4
19
lớn nhất thì x + 4 nhỏ nhât
x +4
Ta có Q =

ta có

19
x +4

x + 4 > 4 ∀ x > 0 dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđkxđ)

9

x + 4 là 4 khi x = 0
19 7
Vậy GTLN của Q là - 3 +
= khi x = 0
4
4
GTNN của

a x +b
c x +d
học sinh cần có kĩ năng thêm, bớt, tách, nhóm số hạng một cách thích hợp hoặc
phải có kĩ năng thực hiện phép chia đa thức cho đa thức để đưa biểu thức P về dạng
Lưu ý: Để tìm cực trị của biểu thức sau khi thu gọn đưa về dạng P =

n

P = m + f (x) có f(x) > 0 khi đó để tìm GTLN, GTNN của P ta tìm GTLN, GTNN
n

của biểu thức f (x) (cách là như dạng 2)
- Nếu n > 0 thì biểu thức P đạt GTLN
- Nếu n < 0 thì biểu thức P đạt GTNN
Dạng 4. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc biến đổi thành biểu
m x +n
thức có dạng P =
. ( a, b, c, m, n là hằng số, x ≥ 0 )
ax + b x + c
a,Cách giải:
Bước 1. Nhân chéo rồi đặt

x = y ( y ≥ 0) để đưa biểu thức P về dạng một phương

trình bậc 2 có ẩn là y ( y = x ) và tham số P.
Bước 2. Tìm P để phương trình ẩn y trên có nghiệm không âm.
Bước 3. Tìm miền giá trị của P
Bước 4. Tìm điều kiện của x để có dấu “=” xảy ra .
Bước 5. Dựa vào miền giá trị của P để suy ra giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất
của P, rồi kết luận.
b, Kiến thức liên quan
Các TH có nghiệm không âm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) là:
* TH 1: Phương trình có 1 nghiệm không âm khi : a.c < 0

∆ ≥ 0(∆ ' ≥ 0)

 −b
* TH 2:Phương trình có 2 nghiệm không âm khi :  ≥ 0
a
c
 a ≥ 0
2 x −1
x + 2 x +1
Hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của P =
Với x > 0

10


P=

2 x −1
⇔ P( x + 2 x + 1) = 2 x − 1
x + 2 x +1

⇔ Px + 2 P. x + P − 2 x + 1 = 0
⇔ P.x + 2( P − 1) x + P + 1 = 0 (1)
x = y ( y ≥ 0 ) khi đó phương trình (1) trở thành:

Đặt

P. y 2 + 2( P − 1). y + P + 1 = 0 (2)
Ta có: a = P ; b = 2( P − 1) ; c = P + 1; b ' = P − 1
Và ∆ ' = (b ') 2 − ac = ( P − 1) 2 − P ( P + 1) = P 2 − 2 P + 1 − P 2 − P = 1 − 3P.
* TH 1. Nếu P = 0 (*) thì 2 y − 1 = 0 ⇔ y =

1
2

1
1
⇔ x = (tmđkxđ)
2
4
* TH 2. Nếu P ≠ 0
Khi đó phương trình (2) là môt phương trình bậc hai.
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm không âm
+ TH2.1: Ta có PT(2) có 1 nghiệm không âm P.( P + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ P < 0 (**)
+ TH2.2: Phương trình (2) có 2 nghiệm không âm khác 1





1
∆ ' ≥ 0
1 − 3P ≥ 0
3P ≤ 1
P ≤
3




1
 −b
 −2( P − 1)
 P −1

⇔ ≥0⇔
≥0⇔
≤ 0 ⇔ 0 < P ≤ 1 ⇔ 0 < P ≤ (***)
P
3
a

 P
 P ≤ −1

c
 P +1

 P +1


≥
0
≥0
≥
0




 P > 0
 P
 P
a
⇒ x=

Kết hợp (*);(**);(***) ta có -1 < P <
P=

1
3

1
1
1
1 
⇔ y 2 + 2  − 1÷y + + 1 = 0 ⇔ y 2 − 4 y + 4 = 0 ⇔ ( y − 2) 2 = 0
3

3
3
3 

⇔ y−2=0⇔ y=2

⇒ x = 2 ⇔ x = 4 (tmđkxđ)
 y = 0(tm)
P = -1 ta có –y2 + 2( -1-1)y + (-1) + 1 = 0 => –y2 - 4y = 0 => 
 y = −4(ktm)
Với y = 0 => x = 0 (tmđkxđ)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng

1
đạt được khi x = 4 .
3

Giá trị nhỏ nhất của P bằng -1 đạt được khi x = 0

11


Ví dụ 2: Tìm GTNN của P =

− x −1
x + x +1
Hướng dẫn giải

Với x > 0 ta có
P=

− x −1
⇔ P.( x + x + 1) = − x − 1
x + x +1

⇒ Px + ( P + 1) x + P + 1 = 0(1)
Đặt x = y ( y ≥ 0 ) khi đó phương trình (1) trở thành:
P. y 2 + ( P + 1). y + P + 1 = 0 (2)
Ta có: a = P ; b = P + 1 ; c = P + 1
Và ∆ = b 2 − 4ac = ( P + 1) 2 − 4 P( P + 1) = P 2 + 2 P + 1 − 4 P 2 − 4 P = −3P 2 − 2 P + 1.
* TH 1. Nếu P = 0 thì − x − 1 = 0 ⇔ x = −1 (Không thoả mãn)
* TH 2. Nếu P ≠ 0 . Khi đó phương trình (2) là môt phương trình bậc hai.
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm không âm.
+ TH2.1 Ta có PT(2) có 1 nghiệm không âm ta có P.(P + 1) < 0 <=> - 1 < P < 0 (*)
+ TH2.2 Phương trình (2) có 2 nghiệm không âm




1
∆ ≥ 0
−3P 2 − 2 P + 1 ≥ 0 ( P + 1).(−3P + 1) ≥ 0 −1 ≤ P ≤
3




 −b
 −P − 1
 P +1


⇔ ≥0⇔
≥0
⇔
≤0
⇔  −1 ≤ P < 0
a
P
P



 P ≤ −1
c
 P +1
 P +1

 a ≥ 0
 P ≥ 0
 P ≥ 0
  P > 0
⇔ P = −1 (**)
Kết hợp (*);(**);ta có -1 < P < 0
 y = 0(tm)
P = −1 ⇔ − y 2 + ( −1 − 1) y − 1 + 1 = 0 ⇔ − y 2 − 2 y = 0 ⇔ 
(thayP=-1 vào
 y = −2(ktm)
pt (2))
Với y = 0 ⇒ x = 0 ⇔ x = 0 (tmđkxđ)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -1 đạt được khi x = 0

3
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất P =
x − x +1
Hướng dẫn giải
ĐK x > 0
3
⇔ P.x − P x + P − 3 = 0 (1)
Ta có P =
x − x +1

12


Đặt

x = y ( y ≥ 0 ) khi đó phương trình (1) trở thành: Py 2 − Py + P − 3 = 0 (2)

*TH 1. Nếu P = 0 thì -3 = 0 (không thoả mãn)
*TH 2. Nếu P ≠ 0 . Khi đó phương trình (2) là môt phương trình bậc hai.
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (2) có nghiệm không âm.
+ TH 2.1 Ta có PT(2) có 1 nghiệm không âm ta có P.(P – 3) < 0<=> 0 < P < 3 (*)
+ TH 2.2 Phương trình (2) có 2 nghiệm không âm.


∆ ≥ 0
−3P 2 + 12 P ≥ 0
−3P ( P − 4) ≥ 0 0 < P ≤ 4


−

b
−
(
−
P
)




⇔ ≥0⇔
≥0
⇔ 1 ≥ 0
⇔   P ≥ 3 ⇔ 3 ≤ P ≤ 4 (**)
a
 P
1 ≥ 0
 P < 0


c
P −3
≥
0
≥
0
 a
 P
Kết hợp (*);(**);ta có 0 < P < 4
1

P = 4 ⇔ 4 y 2 − 4 y + 4 − 3 = 0 ⇔ 4 y 2 − 4 y + 1 = 0 => y = (thay D vào pt (2))
2
1
2

Với y = ⇒ x =

1
1
⇔ x = (tmđkxđ)
2
4

1
4
Lưu ý: Để tìm cực trị của biểu thức sau khi thu gọn đưa về dạng:
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 4 đạt được khi x =

m x +n
cần lưu ý học sinh
ax + b x + c
- Biết chuyến biểu thức đã cho về dạng phương trình ay2 + by + c = 0
- Biết phân chia các trường hợp để giải phương trình đưa về dạng ay2+by+c=0
- Biết vận dụng thành thạo các trường hợp có nghiệm không âm của phương
trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
- Học sinh biết cách kết hợp thành thạo các trường hợp để tìm miền giá trị của biểu
thức P (GV nên hướng dẫn HS tìm miền giá trị bằng cách biểu diễn trên các trục
số)
Dạng 5. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc biến đổi thành biểu
a.x + b x + c

thức có dạng P =
. ( a, b, c, m, n là hằng số, x ≥ 0 )
m x +n
a.Cách giải
Bước 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P=


k 
+ m ( f (x) là biểu thức chứa biến x và p,q, k ; f ( x) > 0 )
P = ±  p. f ( x) +
q. f ( x) 


13


Bước 2. áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương p. f (x) và

k
rồi từ
q. f ( x)

đó tìm được giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bước 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”.
Bước 4. Kết luận.
b.Kiến thức liên quan
Bất đẳng thức CôSi:
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1) Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b
+ Tổng quát với a1, a2, a3, …., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 .a 2 .a3 ...a n ( 2)

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = …..= an
x+ x +7
x +2
Hướng dẫn giải:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =

Với x > 0
Ta có Q =

x+ x +7
= x −1+
x +2

9
= x +2+
x +2

9
−3
x +2

Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương ( x + 2) và
( x + 2) +

9
ta được:
x +2

9

9
≥ 2 ( x + 2).
=2 9 =6
x +2
( x + 2)

Dấu “=” xảy ra khi
9
( x + 2) =
⇔ ( x + 2) 2 = 9 ⇔ x + 2 = 3 ⇔ x = 1 ⇔ x = 1 (tmđkxđ)
x +2
9
⇒ ( x + 2) +
−3≥6−3=3
x +2
⇒ Q ≥ 3.
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của Q là 3, đạt được khi x = 1.
x+3
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức P =
Với x > 1
x −1

Hướng dẫn giải
x+3
4
= x +1+
= x −1+
Với x > 1 ta có P =
x −1
x −1

4
+2
x −1

14


Do x > 1 áp dụng BĐT CôSi cho 2 số không âm
x −1 +

x − 1 và

4
ta có:
x −1

4
4
) = 2. 4 = 4
> 2 ( x − 1).(
x −1
x −1
x −1 =

Dấu “=” xẩy ra khi

4
<=> x = 9 ( tmđk)
x −1

4
+2 >4+2=6
x −1
Vậy GTNN của P là 6 khi x = 9
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 ( Với A = )
(Trích câu c bài 1 kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn giải
ĐK x > 0
1
x −1
Ta có P = A - 9 ⇒ P =
- 9 ⇒P = 1 -9
x
x
=> P = x − 1 +

P=1-(

1
+9 )
x

Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số không âm là
Ta có:

+ 9 ≥ 2.

1
và 9

x

1
.9 x > 2. 3 = 6
x

1
(tmđkxđ)
9
Suy ra P = 1 - ( + 9 ) < 1 – 6 = -5
Dấu “=” xảy ra khi x =

Vậy giá trị lớn nhất của P là - 5 khi x =
Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức P =

1
9

−x − 2 x − 2
x

Hướng dẫn giải
ĐK x > 0
Với x > 0 ta có P =

−x − 2 x − 2
2
2
=− x−
− 2 = −( x +

)−2
x
x
x

15


Do x > 0 áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm
x +

2
>2
x

x.

Dấu “=” xẩy ra khi
=> P= −( x +

x và

2
ta có:
x

2
=2 2
x
x =

2
<=> x = 2 ( tmđk)
x

2
) − 2 < -2 2 - 2
x

Vậy GTLN của P là -2 2 - 2 khi x = 2
Lưu ý: - Để sử dụng BĐT Côsi tìm cực trị trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn
a.x + b x + c
hoặc biến đổi thành biểu thức có dạng P =
. ( a, b, c, m, n là
m x +n
hằng số, x ≥ 0 ) phải hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng
của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
- Đối với dạng toán trên ngoài cách sử dụng BĐT Côsi để timg cực trị giáo viên
còn có thể hướng dẫn học sinh tìm cực trị của nó bàng cách vận dụng
điều kiện có nghiệm không âm của phương trình bậc 2 (cách giải tương tự dạng 4 ở
trên)
III. Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm GTNN của C = 2x - 3 x + 4
Bài 2: Tìm GTLN của M = - x + 5 x + 2
Bài 3: Tìm GTNN của C = 4x + 3 x - 5
Bài 4: Tìm GTLN của M = -2x - 6 x + 2
Bài 5: Tìm GTLN của N = - 6 x + 7
Bài 6: Tìm GTLN của biểu thức P =

14

3( x + 2)

−5
a +2
1
Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức P =
− a −2
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức P =

Bài 9: Tìm GTLN của biểu thức A =

Bài 10: Tìm GTNN của biểu thức Y =

x +4
x +2
x −2
x +2

16


Bi 11: Tỡm GTNN ca biu thc P =

3 x +1
2 x +4

Bi 12: Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc: P =

4 x
x + 2 x +1

Bi 13: Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc Q=

x
x + x +1

Bi 14: Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc B =

1 x
x + x +1

Bi 15: Vi giỏ tr no ca x thỡ P =

x +16
t giỏ tr nh nht. Tớnh giỏ tr nh
x +3

nht ú
Bi 16: Tỡm giỏ tr nh nht ca A=

x + 6 x + 25
x +3

3
v x > 4
2 x
Bai 18: Trớch thi tuyn sinh lờn lop10 trng Ng An. Nm 2008 2009.

Bi 17: Tỡm GTLN ca biu thc M = N.(x + 1) vi N =
3

1



1

+
Cho biểu thức : P =
ữ:
x + 1 x + 1
x 1
a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .

b. Tìm các giá trị của x để P =

5
.
4

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

x + 12 1
. .
x 1 P

Bi 19: Trớch thi tuyn sinh lờn lop10 trng chuyờn Bn Tre. Nm 2012 2013
Cho biu thc A =

(

x +8
x
1
x +2 :
+

vi x 0
x x +8 x 2 x + 4 2 + x

)

a. Rỳt gn biu thc A.
b. t B =

8
+ x . Tỡm x biu thc B t giỏ tr nh nht
x+6A

Bi 20: Trớch sỏch bi dng v luyn thi lờn lp 10 Ngh An. Nm 2015-2016. Vớ
d 5, trang 4.
1
Tỡm giỏ tr x B t giỏ tr nh nht: P =
x2 x +3
Bi 21: Trớch sỏch bi dng v luyn thi lờn lp 10 Ngh An. Nm 2015-2016. Vớ
d 4, trang 7.

17

 2 x
x
3 x +3  2 x −2 
−
−
÷
÷:  x − 3 − 1÷
÷víi x > 0 , x ≠ 1.
x
−
9
x
+
3
x
−
3

 


Cho biểu thức D = 
a. Rút gọn D.

1
3
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Bài 22: Trích sách bồi dưỡng và luyện thi lên lớp 10 Nghệ An. Năm 2015-2016.
Bài tập 4, trang 8.
b. Tìm x để D < -

 x+ 2

1

 4

−
Cho biểu thức E = 
. víi x > 0
÷.
x + 1 x
 xx + 1
a. Rút gọn E.
8
b. Tìm giá trị của x để E =
9
c. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của E.

Bài 23: Trích sách bồi dưỡng và luyện thi lên lớp 10 Nghệ An. Năm 2015-2016.
Bài tập 7, trang 8.
 x +1

x −1 3 x +1 

−
−
÷ víi x > 0 , x ≠ 4.
Cho biểu thức I = 
x −1 ÷

x +1
 x −1

Câu a,b,c,d,e,f,g.
h. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I
Bài 24: Trích sách bồi dưỡng và luyện thi lên lớp 10 Nghệ An. Năm 2015-2016. Đề
5, câu 1, trang 62.
 1

1



1

+
Cho biểu thức A= 
÷:
x +1 x + x
 x −1

a. Nêu ĐKXĐ và rút gọn A
1
b. Tính A khi x=
6
c. Tìm GTNN của A
Bài 24: Trích sách bồi dưỡng và luyện thi lên lớp 10 Nghệ An. Năm 2015-2016. Đề
4, câu 1, trang 62.


x

1



1

1 

−
÷
Cho biểu thức P= 
÷.  x + 1 + x − 1 ÷
x
+
1
x
+
x



a. Nêu ĐKXĐ và rút gọn p
4
b. Tính P khi x =
5

c. Timg GTNN Của A = P +

x + 19
9

C. KẾT LUẬN

18


I. Bài học kinh nghiệm
Bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức
bậc hai trong chương trình toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng
lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực
tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ
kinh nghiệm về vấn đề này.
Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải bài toán
liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc
hai thì bản thân mỗi giáo viên phải phân dạng được các bài toán liên quan đến
phương trình bậc hai một ẩn và biết cách giải cụ thể của các dạng toán đó.
Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức,
nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi - học sinh thi lên lớp 10 THPT có
hiệu quả, ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu
để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học
của mình.
Sau quá trình nghiên cứu đề tài đã áp dụng vào giảng dạy cho học sinh khối
lớp 9 của ba cơ sở và thấy rằng các em có hứng thú học hơn, đặc biệt là các em
hiểu bài và làm bài tốt hơn. Kết quả khảo sát của ba cơ sở sau khi thực hiện đề tài
như sau :
Trường THCS (của chúng tôi)
Loại
Giỏi

Khá
Trung bình Yếu
Số lượng HS(%)
15%
25%
60%
0%
Trường THCS Hùng Thành
Loại
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Số lượng HS(%)
18%
32%
50%
0%
Trường THCS Mã Phúc Thành
Loại
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Số lượng HS(%)
16%
26%
58%
0%
II. Kết luận chung
Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu, tìm tòi và sáng

tạo.
Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu
tham khảo. . . tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. Hy vọng đề tài “Phương
pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai
thường gặp sau khi rút gọn” làm một kinh nghiệm của mình để giúp học sinh
tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng
giải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn cho học sinh.
Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong
được sự giúp đở, góp ý của đồng nghiệp và học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn !.

19


D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.
3.
4.
5.
6.

SGK và sách giáo viên toán lớp 9 (Bộ giáo dục)
Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề toán 9 - Bùi Văn Tuyên
Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9 - Vũ Dương Thụy
Tuyển tập các chuyên đề trên báo tuổi thơ 2.
Bồi dưỡng và luyện thi vào lớp 10 THPT môn toán- TS.Mai Xuân Vinh
Bồi dưỡng và luyện thi vào lớp 10 THPT môn toán- PGS.TS Trần Văn TấnThs.Lê Thị Hương
7. Tuyễn chọ các đề toán thi vào lớp 10 – Huỳnh Quang Lâu
8. Bộ đề thi vào lớp 10 THPT Nghệ An Từ năm 1999 đến năm 2015

9. Bộ đề thi vào lớp 10 THPT của 63 Tỉnh Thành
10.Nâng cao và phát triển toán 9 - Vũ Hửu Bình

TT
A

MỤC LỤC
CÁC MỤC
ĐẶT VẤN ĐỀ

TRANG
1

20


I
II
III
IV
V
VII
B
I
II

III
C
D

Lý do chọ đề tài
Mục đích nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Giả thuyết khoa học
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Thực trạng của vấn đề hiện

1
1
2
2
2
2
3
2

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút
gọn

4

Dạng 1. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc
biến đổi thành biểu thức có dạng là P = ax + b x + c .

4

Dạng 2. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc

k
biến đổi thành biểu thức có dạng là P =
(
a x +b
a, b, k là hằng số, a > 0, b > 0, x ≥ 0 )

6

Dạng 3. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc
a x +b
biến đổi thành biểu thức có dạng P =
.
c x +d
(a,b,c,d là hằng số c > 0, d > 0, x ≥ 0 )

8

Dạng 4. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc
m x +n
biến đổi thành biểu thức có dạng P =
.(
ax + b x + c
a, b, c, m, n là hằng số, x ≥ 0 )

10

Dạng 5. Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc
a.x + b x + c
biến đổi thành biểu thức có dạng P =
. (

m x +n
a, b, c, m, n là hằng số, x ≥ 0 )

13

Bài tập đề nghị
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

16
19
21

21