BÁO CÁO CHỦ ĐỀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Nhóm 3
Các thành viên trong nhóm
1.Nguyễn Thị Khánh Huyền
2.Nguyễn Kim Hương
3.Võ Thị Hương
4.Đặng Thị Hường
5.Nguyễn Tất Khánh
6.Võ Hồng Lâm
7.Tống Thị Lâm


I.Các khái niệm cơ bản về
khoảng cách
1.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
2.Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song,giữa hai mặt phẳng song song
3.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.


1.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 

Cho điểm O và mặt phẳng(a). Gọi H là hình chiếu
vuông góc của O lên mặt phẳng (a). Khi đó
khoảng cách giữa 2 điểm O và H được gọi là
khoảng cách từ điểm O đến mp(a).


2.Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt

phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song
song
a, Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song
 
 
•Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng
(α), khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là
khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mp(α).


b, Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là
khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.


3.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau
Đường vuông góc chung : Đường thẳng ∆
cắt 2 đường thẳng chéo nhau a, b và vuông
góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là
đường vuông góc chung của 2 đường
thẳng a và b

∆

a

M

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo
nhau:
Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt 2 đường
thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N
thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách
giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.

b
N


Nhận xét.
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa
một trong hai đường thẳng đó và mặt
phẳng song song với nó chứa đường
thẳng còn lại.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳngsong song lần lượt chứa
hai đường thẳng đó


Qua các định nghĩa và nhận xét vừa nêu ta rút ra
kết luận: Bài toán tìm khoảng cách giữa đường
thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng
song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau đều đưa về bài toán tìm khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng. Nếu muốn làm tốt
các bài tập về khoảng cách khác thì trước tiên và
trọng điểm là giúp học sinh giải quyết các bài toán
tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng


II Các cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến
1 mặt phẳng
1.Tính trực tiếp
-Xác

định được hình chiếu H của
điểm O trên mặt phẳng
-Độ dài OH chính là khoảng cách
từ O đến mf (α)
-Dùng cách công thức trong
phẳng để tính độ dài OH


Cách xác định hình chiếu vuông góc H của
điểm M trên mặt phẳng (α)
• Dựng mặt phẳng (β) đi qua M và (β)⊥(α)

• Tìm giao tuyến ∆ = (α) ∩ (β).

• Trong (β), dựng MH⊥∆ tại H.
Vậy H là hình chiếu vuông góc của điểm M
trên mặt phẳng (α).

2.Tính gián tiếp
+Nếu MN//(α) thì d(M,(α))=d(N,(α))
M , N ∈ ( Q )
+
⇒ d ( M , ( P ) = d ( N , ( P ))


( Q ) / / ( P )
+

d (để
M , tính
( P)) khoảng
d ( M , (Qcách
))
+Sử
dụng
thể
tích
MN ∩ ( P ) = I ⇒
=
MI 1A2…..AnNI
mf. Cho hình chóp SA
(lớp 12)
Ta có

d [ S , ( A1 A2 .... An ) ] =

3VSA1 A2 .... An

S A1 A2 .... An

từ điểm đến


IV.Sai lầm của học sinh khi xác định
khoảng cách
Để tính khoảng cách đúng, chính xác thì yếu tố quan
trọng nhất đó là dựng đúng khoảng cách đó. Bài toán về
khoảng cách trong hình học không gian thuần túy thường
trừu tượng và khó đối với học sinh. Điều này cũng làm
cho không ít học sinh thắc mắc, sai lầm khi học phần này.
Cụ thể:
Bài toán 1: Trong hình chóp tam giác S.ABC, đường cao
đi qua đỉnh C của đáy. Mặt bên (SAB) là một tam giác
vuông có cạnh huyền AB = a, hợp với dáy 1 góc β và
Tính khoảng cách từ đỉnh C đến mp (SAB)
Dự kiến sai lầm:



Phân tích sai lầm:




Kẻ A’H ⊥ (ABCD). Ta có A’DA, ABD, AA’B, A’BD
là những tam giác đều . Do đó hình chóp
A’.ABD là hình chóp đều. Vậy H là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABD

- Nối BO’.T ừ O’ kẻ O’I ⊥ BB’. Khi đó O’ thuộc
A’C’, I thuộc BB’ nên O’I là đường vuông góc
chung của BB’ và A’C’


Ta thấy B’O’⊥ A’C’, xem thử B’O’ ⊥ BB’?
Ta có: BD ⊥ A’H, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (ACC’A’).
Suy ra BD ⊥ AA’, BD ⊥ BB’
Vậy B’O’ ⊥ BB’. Hay B’O’ là đoạn vuông góc
chung của A’C’ và BB’
Và B’O’ = B’D’ = a
Đây là trường hợp đặc biệt đoạn vuông góc
chung đã có sẵn. Những trường hợp tổng
quát hơn thì ta phải dựng nó và dựng như
thế nào ? Thường dùng phương pháp sau,
nếu năm kỹ phương pháp này thì bất kỳ một
bài toán dựng đoạn vuông góc chung nào
đều có thể giải quyết được


Biện pháp khắc phục sai lầm
Trước hết phải để học sinh nắm được định nghĩa khoảng cách giữa 2 đường
thẳng chéo nhau a và b
Phương pháp xác định đoạn vuông góc chung giữa 2 đường thằng a và b:
Trường hợp a và b chéo nhau.
* Xác định khoảng cách OH của a và b
Bước 1: - Dựng (α) chứa b và song song với a
Dựng (α) : Từ 1 điểm trên đường thẳng b kẻ đường thẳng a’ song song với a
Khi đó (α) = (a’,b). và d(a,b) = d(a,(α) )
Bước 2: Xác định (β) vuông góc với (α)

Xác định (β): - Từ một điểm O trên đường
thẳng a, kẻ đường thẳng d1 ⊥ a’ tại K
- Từ K kẻ đường thẳng d2
⊥a’ . Khi đó (β) = (d1, d2)
- Ta có d(a,b) = d(a,(α) ) =
d(O,,(α) )
Bước 3: Xác định giao tuyến của 2 mp (α),
(β)
Từ O kẻ OH vuông góc với giao tuyến đó.
Vậy d(a,b) = OH


TỪ CÁC VÍ DỤ TRÊN TA THẤY RẰNG
• Trong việc giải bài tập khoảng cách là học sinh phải biết vẽ các
hình biểu diễn, xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt
phẳng…Đây là vấn đề gây ra nhiều khó khăn cho hoc sinh.
• Hình học không gian là sự tiếp nối của hình học phẳng Do vậy,
trước khi học khoảng cách trong không gian ta phải nắm vững
các khái niệm, định lí liên quan với nó trong hình học phẳng.
Đối với những học sinh yếu về hình học phẳng thì sẽ gặp khó
khăn khi giải các bài tập về khoảng cách trong không gian.
• Nhiều học sinh khi dựng được hình rồi nhưng không tính
được khoảng cách do kiến thức về tính toán không còn nhớ


Giáo viên cần :
-Cần xây dựng hệ thống lý thuyết đầy đủ và rõ ràng
để học sinh nắm chắc từ đó áp dụng vào các bài toán
cụ thể
-Đưa ra các bài toán có tính phân bậc để tạo hứng thú

cho học sinh khi giải và giúp khắc sâu kiến thức
-Khi giải cần tạo các tình huống để học sinh mắc sai
lầm và từ đó đưa ra biện pháp khắc phục giúp học
sinh nhớ lâu và lần sau không mắc
-Đa dạng cách làm hướng làm giúp tư duy học sinh
được phát triển


IV.Hệ thống bài tập
BÀI 1: Cho mặt phẳng (α), điểm A không thuộc mặt phẳng (α), H
là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (a),M là điểm bất kì
nằm trên mp(α) E là điểm thuộc AM sao cho.
a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α)
b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (α), từ đó suy ra
khoảng cách từ I ( I là trung điểm của AM) đến mặt phẳng (α).
c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng (α). Lấy
J thuộc d, tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng (α).
d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng (α). D là
trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (α).


Lời giải
a. H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (a)
nên :
d(A,(a)) = AH = h.
b. Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng
(a). Khi đó
d(E, (a)) = EP.
Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp(a)) và M, P, H
thẳng hàng

Theo định lí Tallet ta có :
Khi đó EP = k . AH hay d(E, (a)) = k . h (1)
Vì I là trung điểm của AM nên :
d(I, (a)) = 1/2.h (áp dụng kết quả (1) với k =1/2
c.Dễ thấy IJCQ là hình chữ nhật nên IQ = JC
Do đó d(J, (a)) = d(I, (a)) hay d(J, (a)) =1/2.h.
d. D là trung điểm của JC nên
Lúc đó d(D, (α)) =1/2. d(J, (a)) = 1/4. h
hay d(D, (a)) = 1/4.h .


Bài 2:

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.
a. Chứng minh (SAB) ┴ (SBC) .
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến
mp(SBC);
d. Gọi J là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ điểm J đến
mp(SBC);
e. G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến
mp(SBC).