Căn bậc n của số phức

Căn bậc n của số phức

rcos  i sin n  r n (cosn  i sin n )

I. Công thức Moa-vrơ:
II. Căn bậc n của số phức.

- Tương như định nghĩa căn bậc hai của số phức z , ta gọi số phức z sao cho z  w là một căn bậc n của số phức
w . (n là số nguyên cho trước, n>1).
- Rõ ràng chỉ có một căn bậc n của w  0 là 0.
- Khi w  0 , ta viết w dưới dạng lượng giác w  R(cos  i sin  ), R  0. Ta cần tìm z  r (cos  i sin  ), (r  0)
n

sao cho z  w
n

- Theo công thức Moa-vrơ, z  w có nghĩa là
r n (cos n  i sin n )  R(cos  i sin  ) ,
n

tức là r  R và n    k 2 , (k  Z )
n

Từ đó r 

n

R,  

  k 2
n

    k 2
z  n R cos
n
 

, tức là :


   k 2
  i sin
n







Lấy k  0;1; ... ; n  1 , ta được n căn bậc n phân biệt của w.
- Ví dụ áp dụng:
Số phức w  i  cos


2

 i sin


2

có ba căn bậc ba là:



 1
3 i
 z1  cos  i sin 
6
6
2


  2 
  2  1
  i sin 
   3 i
 z 2  cos 
3 
3  2
6
6


  4 
  4 
  i sin 
  i
 z 3  cos 
3 

3 
6
6










(trên hình minh họa có ba điểm A, B, C theo thứ tự biểu diễn z1 , z2 , z3 )

Hình minh họa
- Chú ý: Nếu w  0 thì các căn bậc n ( n  3 cho trước) của w được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh của
một n-giác đều nội tiếp đương tròn tâm O bán kính n w