Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có Giải Chi Tiết Rất Hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (252.64 KB, 29 trang )
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
Đây là trích 1 phần tài liệu gần
2000 trang của Thầy Đặng Việt
Đông.
Quý Thầy Cô mua trọn bộ File
Word Toán 11 và 12 của Thầy
Đặng Việt Đông giá 200k thẻ
cào Vietnam mobile liên hệ số
máy 0937351107
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Phương trình sinx = sinα
x = α + k2π
sin x = sinα ⇔
(k ∈ Z)
x = π − α + k2π
a)
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
b)
Lượng giác – ĐS và GT 11
sin x = a. Ñieà
u kieä
n : − 1 ≤ a ≤ 1.
x = arcsin a + k2π
sin x = a ⇔
(k ∈ Z)
x = π − arcsin a + k2π
sinu = − sinv ⇔ sinu = sin(−v)
c)
d)
e)
π
sinu = cosv ⇔ sinu = sin − v÷
2
π
sinu = − cosv ⇔ sinu = sin v − ÷
2
Các trường hợp đặc biệt:
sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
sin x = 1 ⇔ x =
sin x = − 1 ⇔ x = −
π
+ k2π (k ∈ Z)
2
π
+ k2π (k ∈ Z)
2
sin x = ± 1 ⇔ sin2 x = 1 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =
π
+ kπ (k ∈ Z)
2
2. Phương trình cosx = cosα
cos x = cosα ⇔ x= ± α + k2π (k ∈ Z)
a)
cos x = a. Ñieà
u kieä
n : − 1 ≤ a ≤ 1.
cos x = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k ∈ Z)
b)
cosu = − cosv ⇔ cosu = cos(π − v)
c)
π
cosu = sinv ⇔ cosu = cos − v÷
2
d)
π
cosu= − sinv ⇔ cosu = cos + v÷
2
e)
Các trường hợp đặc biệt:
π
cos x = 0 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z)
2
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)
cos x = − 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z)
cos x = ± 1 ⇔ cos2 x = 1 ⇔ sin2 x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
3. Phương trình tanx = tanα
tan x = tanα ⇔ x= α + kπ (k ∈ Z)
a)
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z)
b)
tanu = − tan v ⇔ tanu = tan(− v)
c)
d)
π
tanu = cot v ⇔ tanu = tan − v÷
2
π
tanu= − cot v ⇔ tanu = tan + v÷
2
e)
Các trường hợp đặc biệt:
tan x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
tan x = ± 1 ⇔ x = ±
π
+ kπ (k ∈ Z)
4
4. Phương trình cotx = cotα
cot x = cotα ⇔ x= α + kπ (k ∈ Z)
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z)
Các trường hợp đặc biệt:
π
cot x = 0 ⇔ x= + kπ (k∈ Z)
2
cot x = ± 1 ⇔ x = ±
π
+ kπ (k ∈ Z)
4
5. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
a, b ∈ ¡ , a ≠ 0
at + b = 0
t
Có dạng
với
với là một hàm số lượng giác nào đó
b
at + b = 0 ⇔ t = −
a
Cách giải:
đưa về phương trình lượng giác cơ bản
6. Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì
nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x≠
*
Phương trình chứa tanx thì điều kiện:
*
Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
π
+ kπ (k ∈ Z).
2
x ≠ kπ (k ∈ Z)
x≠ k
*
*
•
Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
Phương trình có mẫu số:
sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z)
cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
•
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
(k ∈ Z)
2
π
+ kπ (k ∈ Z)
2
tan x ≠ 0 ⇔ x ≠ k
•
cot x ≠ 0 ⇔ x ≠ k
π
(k ∈ Z)
2
π
(k ∈ Z)
2
•
b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra
điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm
3. Giải các phương trình vô định.
c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm
- HỌC SINH KHÔNG LỆ THUỘC VÀO VIỆC SỬ DỤNG MTCT ĐỂ THỬ LẠI
CÁC ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM.
- HỌC SINH CẦN NẮM ĐƯỢC MẤU CHỐT CỦA VIỆC GIẢI TỰ LUẬN
- CÁC CÂU HỎI HẠN CHẾ MTCT CHẲNG HẠN:
+ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN MỘT ĐOẠN HAY
KHOẢNG
+ SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC.
+ TỔNG CỦA CÁC NGHIỆM TRÊN MỘT ĐOẠN HAY KHOẢNG
+ TỔNG, HIỆU, TÍCH…CỦA CÁ NGHIỆM DƯƠNG HOẶC ÂM
NHỎ NHẤT (LỚN NHẤT)…
PHẦN I: B– BÀI TẬP
Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
B.
C.
D.
x = y + kπ
sin x = sin y ⇔
( k ∈¢)
x = π − y + kπ
x = y + kπ
sin x = sin y ⇔
( k ∈¢)
x = − y + kπ
Câu 2: Phương trình
A.
.
x = y + k 2π
sin x = sin y ⇔
( k ∈¢)
x = π − y + k 2π
x = y + k 2π
sin x = sin y ⇔
( k ∈¢)
x = − y + k 2π
s inx = sin α
.
.
.
có nghiệm là
x = α + k 2π
x = π − α + k 2π ; k ∈ ¢
B.
x = α + kπ
x = −α + kπ ; k ∈ ¢
C.
.
Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
sin x = 1 ⇔ x =
A.
π
+ k 2π , k ∈ ¢
2
D.
.
Câu 4: Nghiệm của phương trình
A.
π
x = − + kπ
2
.
Câu 5: Phương trình
B.
sin x = 0
π
x = + k 2π
2
.
sin x = −1
B.
A.
C.
x = α + k 2π
x = −α + k 2π ; k ∈ ¢
.
.
π
sin x = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢
2
.
.
là:
.
C.
x = kπ
x=
.
D.
có nghiệm là:
x = kπ
π
+ k 2π .
2
sin x = 0 ⇔ x = k 2π .
D.
π
x = − + k 2π
2
A.
.
B.
.
Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
sin x = −1 ⇔ x = −
x = α + kπ
x = π − α + kπ ; k ∈ ¢
sin x = 1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢
sin x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢
C.
Lượng giác – ĐS và GT 11
C.
B.
x = k 2π
x=
.
D.
3π
+ kπ
2
π
+ kπ
2
.
.
sin x = 0 ⇔ x = kπ .
sin x = 1 ⇔ x =
D.
π
+ k 2π .
2
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 5
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 7: Phương trình
A.
x = kπ
x=
C.
2x π
sin
− ÷= 0
3 3
.
π
+ kπ
3
.
sin x =
Câu 8: Nghiệm của phương trình
x=
A.
π
+ k 2π
3
x=
.
Câu 9: Phương trình
5π
x=
+ k 2π
6
A.
B.
1
sin x =
2
B.
π
x=
6
x = 100° + k 360°
Câu 12: Phương trình
.
là:
.
C.
C.
2
2
D.
sin ( x + 10° ) = −1
1
x +π
sin
÷= −
2
5
x=
.
D.
là :
π
x = + k 2π
3
x=
.
D.
π
+ k 2π
6
π
3
.
.
là:
B.
.
x = kπ
π
π
− ≤ x≤
2
2
.
Câu 11: Nghiệm của phương trình
C.
) có nghiệm là
2π k 3π
x=
+
3
2
B.
.
π k 3π
x= +
2
2
D.
.
có nghiệm thỏa mãn
Câu 10: Nghiệm phương trình
π
x = 4 + k 2π
x = 3π + k 2π
( k ∈¢)
4
A.
.
π
x = 8 + kπ
x = 3π + kπ
( k ∈¢)
8
C.
.
x = −100° + k 360°
1
2
π
+ kπ
6
sin 2 x =
A.
k ∈¢
(với
Lượng giác – ĐS và GT 11
là
B.
D.
π
x = 4 + kπ
x = 3π + kπ
4
π
x = 8 + k 2π
x = 3π + k 2π
8
( k ∈¢)
.
( k ∈¢)
x = −80° + k180°
.
.
x = −100° + k180°
.
có tập nghiệm là
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 6
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
11π
x = 6 + k10π
(k ∈ ¢ )
x = − 29π + k10π
6
. B.
Lượng giác – ĐS và GT 11
11π
x = − 6 + k10π
(k ∈ ¢ )
x = 29π + k10π
6
.
C.
11π
x = − 6 + k10π
(k ∈ ¢ )
x = − 29π + k10π
6
. D.
11π
x = 6 + k10π
(k ∈ ¢ )
x = 29π + k10π
6
.
sin 2 x =
Câu 13: Số nghiệm của phương trình
1
A. .
B.
Câu 14: Nghiệm phương trình
A.
π
x = + k 2π
2
.
Câu 15: Phương trình:
A.
π
x = − + k 2π
2
π
x = − + k 2π
2
1 + sin 2 x = 0
trong khoảng
B.
Câu 16: Số nghiệm của phương trình:
A. 1.
B. 0.
Câu 17: Nghiệm của phương trình
π
π
7π
π
x = +k ;x =
+k
8
2
24
2
A.
.
C.
π
+ kπ
4
.
.
D.
.
C.
x = kπ
x=−
.
là
4
.
là
π
sin x + ÷ = 1
4
C.
.
π
2sin 4 x − ÷–1 = 0
3
D.
π
+ k 2π
4
π ≤ x ≤ 5π
với
C. 2.
x = k 2π ; x =
B.
D.
x = k 2π
x=−
.
D.
.
π
+ kπ
2
.
là
là:
x = kπ ; x = π + k 2π
C.
6
có nghiệm là:
x=−
.
( 0;3π )
2
.
π
sin x + ÷ = 1
2
B.
3
2
D. 3.
π
+ k 2π
2
π
x = π + k 2π ; x = k
2
.
.
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 7
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 18: Phương trình
x=
A.
x=
C.
3 + 2sin x = 0
π
π
+ k 2π ∨ x = − + k 2π
3
3
π
2π
+ k 2π ∨ x =
+ k 2π
3
3
Câu 19: Nghiệm của phương trình
x=
A.
π
+ kπ
2
.
x=−
.
.
sin 3 x = sin x
1
A. .
B.
1
2
3
1
A. .
B.
.
0
.
Câu 22: Nghiệm của phương trình
C.
x = π + k 2π
x = k 2π
x=
;
π
4π
+ k 2π ∨ x =
+ k 2π
3
3
.
.
là:
π
π
+k
4
2
.
C.
x = k 2π
có bao nhiêu nghiệm thõa
Câu 21: Số nghiệm của phương trình
;
D.
π
2π
+ k 2π ∨ x =
+ k 2π
3
3
.
D.
.
Câu 20: Phương trình
x = kπ
B.
x=−
B.
sin 2 x = −
A.
có nghiệm là:
x = kπ ; x =
π
x = + kπ ; k = k 2π
2
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
sin x + ÷ = 1
4
C.
với
2
π
+ k 2π
2
.D.
x = π + k 2π
Câu 23: Họ nghiệm của phương trình
11π
x = 6 + k10π
x = −29π + k10π
( k ∈¢)
6
A.
x=k
;
x +π
sin
5
π
2
.
1
÷= −
2
D.
là:
B.
4
.
là :
.
x=
.
.
.
π ≤ x ≤ 3π
C.
π
2sin 4 x − ÷− 1 = 0
3
2
0< x <π
D.
π
π
+k
8
2
x=
;
7π
π
+k
24
2
3
.
.
là
B.
11π
x = − 6 + k10π
x = 29π + k10π
6
( k ∈¢)
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 8
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.
11π
x = − 6 + k10π
x = − 29π + k10π
6
( k ∈¢)
.
2sin 2 x − 40ο = 3
(
D.
)
A.
11π
x = 6 + k10π
x = 29π + k10π
6
.
B.
.
C.
6
Câu 25: Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau
A. 1
B. 2
C. 3
2
sin x = 1
Câu 26: Nghiệm của phương trình
là:
A.
x = k 2π
ο
có số nghiệm thuộc
4
x=
là:
.
D.
(
m ≤1
.
B.
2sin x − m = 0
Câu 28: Phương trình
A.
m>2
−2 ≤ m ≤ 2
m ≥ −1
.
B.
vô nghiệm khi
m < −1
.
Câu 29: Nghiệm của phương trình
C.
.
cos x = 1
x=
A.
π
+ kπ
2
cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ −
C.
Câu 31: Phương trình:
x=
A.
π
+ k 2π
2
.
−1 ≤ m ≤ 1
m >1
.
C.
.
cos 2 x = 1
B.
D.
.
D.
x = k 2π
.
B.
cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
.
D.
Câu 32: Nghiệm của phương trình
.
cos x = −1
C.
.
D.
π
+ kπ
2
x = k 2π
.
.
hoặc
π
+ kπ
2
.
.
π
+ k 2π
2
.
x=
.
π
+ k 2π
2
m < −2
có nghiệm là:
x = kπ
) = 0
m ≤ −1
x=
cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
π
+ k 2π
2
D.
là:
A.
.
B.
.
Câu 30: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng
cos x ≠ 1 ⇔ x ≠
là
C.
π
x = + k 2π
2
x = kπ
m
.
D. 4
x = π + k 2π
.
7
π
sin 3x − 9x2 − 16x − 80
4
B.
.
C.
.
sin x = m
m
Câu 27: Với giá trị nào của thì phương trình
có nghiệm:
A.
.
π
+ kπ
2
( k ∈¢)
( −180 ;180 )
ο
Câu 24: Phương trình
2
Lượng giác – ĐS và GT 11
D.
π
+ kπ
2
.
là:
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 9
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
x = π + kπ
x=−
.
B.
Câu 33: Nghiệm phương trình
π
x = 6 + k 2π
x = 5π + k 2π
( k ∈¢)
6
A.
.
π
x = 3 + k 2π
x = 2π + k 2π
( k ∈¢)
3
C.
.
1
cos x =
2
A.
x=
C.
π
π
+ k 2π ; x = + k 2π
3
3
x = k 2π
x=
A.
π
+ k 2π
2
.
B.
.
D.
D.
π
x = 6 + k 2π
x = − π + k 2π
6
( k ∈¢)
π
x = 3 + k 2π
x = − π + k 2π
3
( k ∈¢)
3π
+ kπ
2
.
.
.
là:
B.
x=
.
D.
π
2π
+ k 2π ; x =
+ k 2π
6
3
π
π
+ kπ ; x = − + k π
3
3
.
.
có nghiệm là
x = π + kπ .
π
cos x + ÷ = 1
2
x=−
x=
là:
.
B.
Câu 36: Nghiệm phương trình
x = π + k 2π
x=−
π
cos 2 x − ÷ = 0
2
.
C.
2 cos 2 x + 1 = 0
2π
2π
+ k 2π ; x = −
+ k 2π
3
3
Câu 35: Phương trình
π kπ
x= + .
2 2
A.
.
B.
Câu 34: Nghiệm của phương trình
x=−
π
+ k 2π
2
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
+ k 2π
2
C.
x = kπ
.
D.
là:
.
2 cos x + 2 = 0
C.
x = kπ
.
Câu 37: Phương trình lượng giác:
có nghiệm là
π
3π
5π
x = 4 + k 2π
x = 4 + k 2π
x = 4 + k 2π
x = 3π + k 2π
x = −3π + k 2π
x = −5π + k 2π
4
4
4
A.
.
B.
.
C.
.
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
D.
D.
x = k 2π
.
π
x = 4 + k 2π
x = −π + k 2π
4
Trang 10
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
cos 2 x =
Câu 38: Nghiệm phương trình:
π
x = 4 + k 2π
x = − π + k 2π
4
A.
.
π
x = 8 + kπ
x = − π + kπ
8
C.
.
A.
.
B.
là
B.
D.
Câu 39: Nghiệm của phương trình
π
x = ± + k 2π
3
2
2
1
cos x = −
2
π
x = ± + k 2π
6
cos x +
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
x = 4 + kπ
x = − π + kπ
4
π
x = 8 + k 2π
x = − π + k 2π
8
là:
x=±
.
.
C.
2π
+ k 2π
3
.
x=±
.
D.
0
.
B.
Câu 42: Phương trình
x=±
A.
x=±
C.
2
π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
3
có họ nghiệm là
.
B.
x=±
.
D.
Câu 43: Giải phương trình lượng giác :
A.
π
x = ± + k 2π .
6
B.
D.
C. .
x=±
π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
6
x=±
1
.
2cos x − 3 = 0
.
3
=0
2
Câu 40: Nghiệm của phương trình
là:
5π
π
π
x=
+ kπ
x = − + k 2π
x = + k 2π
6
3
6
A.
.
B.
.
C.
.
π
2 cos x + ÷ = 1
3
0 ≤ x ≤ 2π
Câu 41: Số nghiệm của phương trình:
với
là
A.
π
+ kπ
6
2cos 2 x − 3 = 0
π
x = ± + k 2π .
12
D.
π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
3
π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
6
3
.
.
.
có nghiệm là
x=±
C.
π
+ kπ .
12
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
2π
+ k 2π
3
x=±
D.
π
+ k 2π .
3
Trang 11
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
x
2 cos + 3 = 0
2
Câu 44: Giải phương trình lượng giác:
5π
5π
x=±
+ k 4π .
x=±
+ k 4π .
6
3
A.
B.
3
cos x = cos
2
Câu 45: Giải phương trình
.
3
x=±
+ k 2π ; k ∈ ¢
2
A.
.
x = ± arccos
C.
π
+ k 2π ; k ∈ ¢
6
Câu 47: Nghiệm của phương trình
C.
π
x=k
2
B.
.
Câu 46: Nghiệm của phương trình
x = ± 2 + kπ
A.
.
`
x = ± 2 + k 4π
C.
.
A.
x = ± arccos
x=±
D.
cos
x = k 2π
C.
có nghiệm là
5π
x=±
+ k 2π .
6
x
= cos 2
3
(với
D.
) là
x = 3 2 + k 6π
B.
.
D.
π
cos 4 x = cos
5
Câu 49: Phương trình
π
x = 5 + k 2π
( k ∈ ¢ )
x = − π + k 2π
5
A.
.
.
.
x=±
D.
.
π
+ k 2π
2
π
x = kπ ; x = + k 2π
2
có các nghiệm là:
B.
.
x = ±3 2 + k 6π
là:
.
Câu 48: Phương trình
5π
x = ± + k 2π k ∈ ¢
(
)
6
A.
.
5π
x = ± + k 2π k ∈ ¢
(
)
3
C.
.
3
+ k 2π ; k ∈ ¢
2
π
+ k 2π ; k ∈ ¢
6
x = k 2π ; x =
2 2 cos x + 6 = 0
D.
5π
+ k 2π .
3
k ∈¢
B.
cos 3x = cos x
x=±
.
.
π
+ k 2π k ∈ ¢
(
)
6
π
x = ± + k 2π k ∈ ¢
(
)
3
.
.
có nghiệm là
B.
π
x = 20 + k 2π
( k ∈ ¢ )
x = − π + k 2π
20
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
.
Trang 12
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.
π
π
x = 5 +k 5
( k ∈ ¢ )
x = − π + k π
5
5
.
D.
Câu 50: Giải phương trình lượng giác
5π
x = 3 + k 2π
x = − 5π + k 2π
( k ∈¢)
3
A.
.
5
π
x = 6 + k 4π
x = − 5π + k 4π
( k ∈¢)
6
C.
.
Câu 51: Số nghiệm của phương trình
A.
3
.
B.
2
.
Câu 52: Số nghiệm của phương trình
A.
2
.
B.
4
x
2 cos ÷+ 3 = 0
2
B.
x π
cos + ÷ = 0
2 4
.
( k ∈¢)
5π
x
=
+ k 4π
3
x = − 5π + k 4π
3
( k ∈¢)
0 ≤ x ≤ 2π
với
C.
0
.
.
là
1
.
D. .
( π ,8π )
thuộc khoảng
Câu 54: Phương trình
x=k
A.
π
4
là
1
B.
.
có nghiệm là
x=±
.
C.
3
D. .
π
π π
2 cos x − ÷− 2 = 0
− ; ÷
3
2 2
Câu 53: Nghiệm của phương trình
trong khoảng
là
−π −7π
7π
π
π 7π
;
;
12 12
12
12
12 12
A.
.
B.
C.
.
D.
.
.
2 cos 2 x = 1
.
π
π
x = 20 + k 2
( k ∈ ¢ )
x = − π + k π
20
2
có nghiệm là:
5π
x = 6 + k 2π
x = − 5π + k 2π
6
D.
π
2 cos x + ÷ = 1
3
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
+ kπ
4
x=k
.
C.
π
2
π
2cos(x − ) = 1
3
Câu 55: Tìm tổng các nghiệm của phương trình:
2π
π
4π
3
3
3
A.
B.
C.
.
D. vô nghiệm.
(−π; π)
trên
D.
7π
3
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 13
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
cos π(3− 3 + 2x − x2 ) = −1
Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình:
A. 1
B. 2
C. 3
1
cos 2 2 x =
4
Câu 57: Giải phương trình
.
x=±
A.
x=±
C.
π
π
+ k 2π , x = ± + kπ ; k ∈ ¢
6
3
π
π
+ kπ , x = ± + k π ; k ∈ ¢
6
3
cos x − m = 0
.
D. 4
x=±
.
B.
x=±
.
D.
π
2π
+ kπ , x = ±
+ kπ ; k ∈ ¢
6
3
π
π
+ k π , x = ± + kπ ; k ∈ ¢
6
2
C.
m < 1− 3
.
B.
1− 3 ≤ m ≤ 1+ 3
Câu 60: Phương trình
m ≤ −1
m ≥ 1
A.
.
Câu 61: Phương trình
A.
−1 ≤ m ≤ 1
.
x=
Câu 62: Cho
A.
sin x = 1
.
m cos x + 1 = 0
B.
π
+ kπ
2
B.
.
C.
m < 1− 3
1− 3 ≤ m ≤ 1+ 3
có nghiệm khi
m
m≤0
.
m
B.
sin x = 0
là
C.
.
C.
− 3≤m≤ 3
.
m ≥ −1.
m ≥ −2
D.
.
D.
cos 2 x = 0
.
D.
m ≤ 1
m ≥ −1
−2 ≤ m ≤ 0
m > 1+ 3
D.
.
cos 2 x = −1
. Với giá trị nào của
B.
.
.
.
3 cos x + m − 1 = 0
.
m < −1
thỏa điều kiện
C.
có nghiệm khi
m > 1+ 3
D.
là nghiệm của phương trình nào sau đây:
Câu 63: Cho phương trình:
phương trình có nghiệm
A.
D.
m ≥ 1.
cos x = m + 1
.
m
Câu 58: Phương trình
vô nghiệm khi là:
m < −1
m > 1
m >1
−1 ≤ m ≤ 1
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 59: Cho phương trình: . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:
A.
.
.
m
thì
.
− 3≤m≤ 3
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
.
Trang 14
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 64: Cho phương trình
A. Không tồn tại m.
m ∈ [ −3; −1] .
C.
Câu 65: Để phương trình
m ≤1.
A.
x=±
Câu 66: Cho biết
A.
A.
B.
2 cos x − 3 = 0.
B.
C.
π
π
π
x = + k ; x = + kπ
8
2
4
π
x = kπ ; x = + kπ
4
2cos x + 1 = 0.
A.
.
−1 ≤ m ≤ 1 .
C.
2sin x + 1 = 0.
2cos x − 1 = 0.
sin 3x = cos x
C.
là:
.
B.
.
cos x + sin x = 0
π
x = + kπ
6
.
D.
A.
x=−
C.
π
π
; x=
18
2
π
π
; x=
18
6
C.
x = kπ
2sin x − 3 = 0.
2sin x − 3 = 0.
.
.
x=
.
B.
D.
D.
π
π
; x=
18
3
.
theo thứ tự
.
.
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
π
+ kπ
4
sin 4 x + cos5 x = 0
π
2π
; x=
18
9
x=−
.
m ≥ 0.
là:
x=−
.
D.
π
+ k 2π
2
π
x = kπ ; x = k
2
Câu 70: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình
là:
x=−
D.
2sin x + 1 = 0.
x = k 2π ; x =
B.
D.
là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
Câu 69: Nghiệm của phương trình
π
x = − + kπ
4
C.
là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
Câu 68: Nghiệm của phương trình
A.
có nghiệm, ta chọn
0 ≤ m ≤1.
B.
π
x = ± + k 2π
3
. Tìm m để phương trình có nghiệm?
m ∈ [ −1;3]
B.
.
D. mọi giá trị của m.
x π
cos 2 − ÷ = m
2 4
2π
+ k 2π
3
2cos x − 1 = 0.
Câu 67: Cho biết
π
cos 2 x − ÷− m = 2
3
Lượng giác – ĐS và GT 11
Trang 15
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
π
sin(5x + ) = cos(2x − )
3
3
Câu 71: Tìm tổng các nghiệm của phương trình
7π
4π
47π
18
18
8
A.
B.
C.
X
Câu 72: Gọi
là tập nghiệm của phương trình
o
o
A. 290 ∈ X .
B. 250 ∈ X .
C. 220 ∈ X .
x=
A.
π
+ k 2π
2
sin x.cos x = 0
x=k
.
sin x = cos x
B.
π
2
.
Câu 76: Các họ nghiệm của phương trình
π
2π π
+k
; + k 2π ; k ∈ ¢
6
3 2
A.
.
π
2π −π
+k
;
+ k 2π ; k ∈ ¢
6
3 2
C.
.
Câu 77: Nghiệm phương trình:
x=
A.
π
+ kπ
4
.
B.
trong đoạn
C.
π
+ kπ
4
C.
B.
D.
5.
6.
C.
π
tan x + ÷+ 3 = 0
5
C.
x=
.
D.
π
+ k 2π
6
.
là
−π
2π π
+k
; + k 2π ; k ∈ ¢
6
3 2
.
−π
2π −π
+k
;
+ k 2π ; k ∈ ¢
6
3 2
x=
Câu 78: Họ nghiệm của phương trình
8π
8π
+ kπ ; k ∈ ¢
−
+ kπ ; k ∈ ¢
15
15
A.
.
B.
.
D.
x = k 2π
là
.
là
là:
sin 2 x − cos x = 0
1 + tan x = 0
x=−
có tập nghiệm là
π 5π 7π
π 7π 11π
; ;
; ;
C. 6 6 6 .
D. 2 6 6 .
[ −π ; π ]
4.
Câu 75: Nghiệm của phương trình
o
D. 240 ∈ X .
cos 2 x + sin x = 0
Câu 74: Số nghiệm của phương trình
B.
. Khi đó
o
Câu 73: Trong nửa khoảng
, phương trình
π π 5π
−π π 7π 11π
; ;
; ; ;
A. 6 2 6 .
B. 6 2 6 6 .
2.
trên
47π
18
D.
x
cos + 15o ÷ = sin x
2
[ 0; 2π )
A.
[0; π]
π
+ k 2π
4
x=−
.
là
8π
−
+ k 2π ; k ∈ ¢
15
D.
.
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
.
D.
π
+ k 2π
4
.
8π
+ k 2π ; k ∈ ¢
15
Trang 16
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x
2
tan x = tan
Câu 79: Phương trình
x = k 2π ( k ∈ ¢ )
A.
.
x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )
C.
.
có họ nghiệm là
A.
π
+ kπ
3
B.
3 + 3 tan x = 0
x=
A.
C.
π
+ k 2π
2
3 + tan x = 0
Câu 81: Phương trình
.
x = −π + k 2π ( k ∈ ¢ )
D.
x=
.
x = kπ ( k ∈ ¢ )
B.
Câu 80: Nghiệm của phương trình
x=
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
+ kπ .
3
.
là:
x=−
.
C.
có nghiệm là
x=
.
D.
x=−
π
+ kπ .
3
x=−
π
4π
+ k 2π ; x =
+ k 2π .
3
3
B.
π
2π
x = + k 2π ; x =
+ k 2π .
3
3
π
+ kπ
6
D.
π
+ kπ
2
.
3.tan x + 3 = 0
Câu 82: Phương trình lượng giác:
A.
π
x = + kπ .
3
π
x = − + k 2π .
3
B.
x
tan = tan x
2
Câu 83: Phương trình
x = k 2π , k ∈ ¢
A.
x = π + k 2π , k ∈ ¢
C.
có nghiệm là
x=
C.
có nghiệm là
.
C.
x = arctan 4 + kπ
x = 4 + kπ
D.
π
+ kπ .
3
x = kπ , k ∈ ¢
.
A, B, C
.
D. Cả
3 tan 3 x − 3 = 0
A.
x=−
B.
Câu 84: Nghiệm của phương trình
π kπ
π kπ
x= +
x= +
9 9
3 3
A.
.
B.
.
Câu 85: Nghiệm của phương trình
π
+ kπ .
6
tan x = 4
.
(với
k ∈¢
x=
C.
là
B.
Câu 86: Họ nghiệm của phương trình
D.
tan 2 x − tan x = 0
) là
π kπ
+
3 9
x=
.
x = arctan 4 + k 2π
x=
.
đều đúng.
π
+ kπ
4
D.
π kπ
+
9 3
.
.
.
là:
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 17
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
−π
+ kπ , k ∈ ¢ .
6
B.
π
+ k π , k ∈ ¢.
3
C.
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
+ kπ , k ∈ ¢.
6
k π , k ∈ ¢.
D.
3.tan x − 3 = 0
Câu 87: Phương trình lượng giác:
x=
A.
π
+ kπ
3
x=−
.
B.
Câu 88: Giải phương trình
π
+ k 2π
3
3π
3 tan 3 x +
5
có nghiệm là
x=
.
÷= 0
π
π
x = + k ;k ∈¢
A.
.
8
4
C.
x=−
C.
.
B.
π
π
+ k ;k ∈¢
.
5
2
D.
x
3 tan − 3 = 0
4
Câu 89: Nghiệm của phương trình
π 2π
3π
;
A. 3 3 .
B.
2 .
π
+ kπ
6
x=−
.
D.
x=−
π
π
+ k ;k ∈¢
.
5
4
x=−
π
π
+ k ;k ∈¢
.
5
3
π
+ kπ
3
.
[ 0; 2π )
trong nửa khoảng
π 3π
;
C.
2 2 .
là
2π
D.
3 .
tan ( 2 x + 12° ) = 0
Câu 90: Phương trình
x = −6° + k 90°, ( k ∈ ¢ ) .
A.
x = −6° + k 360°, ( k ∈ ¢ ) .
C.
có nghiệm là
x = −6° + k180°, ( k ∈ ¢ ) .
B.
D.
tan(2 x − 15 ) = 1
0
Câu 91: Nghiệm của phương trình
x = −300
A.
x = 300
C.
x = −12° + k 90°, ( k ∈ ¢ ) .
, với
−900 < x < 900
B.
x = −60
là
0
x = −600 x = 300
D.
,
π
3π
tan x = tan
; 2π ÷
4
11
Câu 92: Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
A. 1.
B. 2.
C. 3.
2
tan x = 3
Câu 93: Giải phương trình:
có nghiệm là
π
π
x = − + kπ .
x = ± + kπ .
3
3
A.
B.
C. vô nghiệm.
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
D. 4.
x=
D.
π
+ kπ .
3
Trang 18
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 94: Nghiệm phương trình
x=
A.
π
+ kπ
4
1 + cot x = 0
x=−
.
B.
Câu 95: Nghiệm của phương trình
x=−
A.
π
+ kπ
3
B.
A.
π
+ kπ
6
x=
.
x=
.
C.
π
+ kπ
6
là:
x=
.
3cot x − 3 = 0
Câu 96: Phương trình lượng giác:
x=
π
+ kπ
4
cot x + 3 = 0
x=−
.
là:
B.
π
+ kπ
3
C.
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
+ k 2π
4
π
+ k 2π
3
x=−
.
D.
x=
π
+ k 2π
4
π
+ kπ
6
.
D.
.
D. Vô nghiệm.
.
.
có nghiệm là
x=
.
C.
π
+ k 2π
3
2 cot x − 3 = 0
Câu 97: Phương trình lượng giác:
có nghiệm là
π
x = 6 + k 2π
π
3
x = −π + k 2π .
x = + kπ
x = arc cot
+ kπ .
6
6
2
A.
B.
C.
.
π
cot x + ÷ = 3
4
Câu 98: Nghiệm của phương trình
là
x=
A.
π
+ kπ
12
x=
.
B.
Câu 99: Giải phương trình
x=
A.
x=
π
+ kπ ; k ∈ ¢
8
π
π
+ k ;k ∈¢
8
2
x=−
.
π
3 cot(5 x − ) = 0
8
x=
.
π
+ kπ
3
B.
C.
.
π
π
+ k ;k ∈¢
8
5
x=
.
C.
π
+ kπ
12
x=
D.
x=
.
π
π
+ k ;k ∈¢
8
4
D.
.
π
+ kπ
3
π
+ kπ
6
.
.
D.
.
Câu 100: Nghiệm của phương trình
x = −2000 + k 3600
A.
.
0
0
x = −20 + k 360
.
C.
Câu 101: Giải phương trình
x
cot( + 100 ) = − 3
4
k ∈¢
(với
) là
x = −2000 + k 7200
B.
.
0
0
x = −160 + k 720
D.
.
tan x = cot x
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 19
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
C.
x=
π
π
+ k ;k ∈¢
.
4
2
x=
π
+ kπ ; k ∈ ¢
.
4
B.
D.
Lượng giác – ĐS và GT 11
x=−
x=
π
+ kπ ; k ∈ ¢
.
4
π
π
+ k ;k ∈¢
.
4
4
tan x.cot x = 1
Câu 102: Phương trình
kπ
T = ¡ \ ; k ∈ ¢.
2
A.
T = ¡ \ { π + kπ ; k ∈ ¢} .
C.
Câu 103: Giải phương trình
π
π
x = + k ;k ∈¢
A.
.
8
8
x=
có tập nghiệm là
B.
tan 3x tan x = 1
D.
π
T = ¡ \ + kπ ; k ∈ ¢ .
2
T =¡ .
.
π
π
x = + k ;k ∈¢
B.
.
4
4
C.
x=
π
π
+ k ;k ∈¢
.
8
4
D.
π
π
+ k ;k ∈¢
.
8
2
Câu 104: Nghiệm của phương trình
A.
tan 3x.cot 2 x = 1
π
k , k ∈ ¢.
2
là
−
B.
k π , k ∈ ¢.
C.
Câu 105: Nghiệm của phương trình
tan 4 x.cot 2 x = 1
D. Vô nghiệm.
là
k π , k ∈ ¢.
A.
k
B.
π
, k ∈ ¢.
2
C.
Câu 106: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A.
tan x = 3
π
π
+ k , k ∈ ¢.
4
2
D. Vô nghiệm.
cot x = 1
cos x = 0
B.
.
C.
.
π
π
tan − x ÷+ 2 tan 2 x + ÷ = 1
2
2
Câu 107: Phương trình:
có nghiệm là:
x=
A.
.
π
π
+ k , k ∈ ¢.
4
2
π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
4
x=
B.
sin x =
D.
4
3
.
π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
4
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 20
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x=
C.
π
π
+ k ( k ∈¢)
4
2
x=±
D.
Lượng giác – ĐS và GT 11
π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
4
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 21
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 1: Phương trình
A.
C.
( sin x + 1) ( sin x −
π
x = − + k 2π ( k ∈ ¢ )
2
π
x = + k 2π
2
.
)
2 =0
có nghiệm là:
x=±
.
B.
(
D.
)
π
π
+ k 2π x = − + kπ ( k ∈ ¢ )
4
8
π
x = ± + k 2π
2
,
.
.
s in2x. 2sin x − 2 = 0
Câu 2: Phương trình
π
x = k 2
x = π + k 2π .
4
x = 3π + k 2π
4
A.
B.
π
x = k 2
x = π + kπ .
4
x = 3π + kπ
4
Câu 3: Nghiệm của phương trình
A.
x = k 2π
2.sin x.cos x = 1
x=
.
B.
có nghiệm là
π
+ kπ
4
C.
x = kπ
x = π + k 2π .
4
3π
x =
+ k 2π
4
là:
x=k
.
C.
π
2
.
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
D.
D.
π
x = k 2
x = π + k 2π .
4
x = − π + k 2π
4
x = kπ
.
Trang 22
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
KHÚC NÀY TÔI XÓA ĐI VÀ QUA
LUÔN PHẦN HƯỚNG GIẢI CHI TIẾT
ĐỂ ĐẢM BẢO BẢN QUYỀN,
QUÝ THẦY CÔ MUA SẼ CÓ RẤT ĐẦY
ĐỦ
PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
x = y + kπ
sin x = sin y ⇔
( k ∈¢)
x = π − y + kπ
A.
.
x = y + k 2π
sin x = sin y ⇔
( k ∈¢)
x = π − y + k 2π
B.
.
x = y + k 2π
sin x = sin y ⇔
( k ∈¢)
x = − y + k 2π
C.
.
x
=
y
+
k
π
sin x = sin y ⇔
( k ∈¢)
x = − y + kπ
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
x = y + k 2π
⇔
( k ∈¢)
sin x = sin y
x = π − y + k 2π
Áp dụng công thức nghiệm
Câu 2: Phương trình
s inx = sin α
có nghiệm là
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 23
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.
x = α + k 2π
x = π − α + k 2π ; k ∈ ¢
x = α + kπ
x = −α + kπ ; k ∈ ¢
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
B.
.
D.
x = α + k 2π
s inx = sin α ⇔
x = π − α + k 2π
Lượng giác – ĐS và GT 11
x = α + kπ
x = π − α + kπ ; k ∈ ¢
x = α + k 2π
x = −α + k 2π ; k ∈ ¢
.
.
( k ∈ Z)
.
Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
sin x = 1 ⇔ x =
A.
π
+ k 2π , k ∈ ¢
2
sin x = 1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢
.
B.
sin x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢
π
sin x = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢
2
C.
.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đáp án đúng là A, các đáp án còn lại sai vì thiếu họ nghiệm hoặc sai họ nghiệm.
Câu 4: Nghiệm của phương trình
π
x = − + kπ
2
A.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
sin x = −1 ⇔ x = −
sin x = 0
π
+ k 2π
2
A.
C.
x = kπ
.
D.
có nghiệm là:
x = kπ
π
+ k 2π .
2
sin x = 0 ⇔ x = k 2π .
C.
Hướng dẫn giải:
.
x=
3π
+ kπ
2
.
.
A.
.
B.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
sin x = −1 ⇔ x = −
.
là:
π
x = − + k 2π
2
π
+ k 2π , k ∈ ¢
2
Câu 5: Phương trình
x=
B.
sin x = −1
.
C.
B.
x = k 2π
x=
.
D.
π
+ kπ
2
.
sin x = 0 ⇔ x = kπ .
sin x = 1 ⇔ x =
D.
π
+ k 2π .
2
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 24
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Lượng giác – ĐS và GT 11
Chọn C.
sin x = 0 ⇔ x = kπ , ( k ∈ ¢ ) .
Câu 7: Phương trình
A.
x = kπ
x=
2x π
sin − ÷ = 0
3 3
k ∈¢
(với
.
π
+ kπ
3
) có nghiệm là
2π k 3π
x=
+
3
2
B.
.
π k 3π
x= +
2
2
D.
.
C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
2x π
2x π
π k 3π
2x π
sin
− ÷= 0 ⇔
− = kπ ⇔
= + kπ ⇔ x = +
3 3
3 3
2
2 (k ∈ ¢ )
3 3
sin x =
Câu 8: Nghiệm của phương trình
x=
π
+ k 2π
3
A.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
x=
B.
1
2
π
+ kπ
6
là:
.
C.
x = kπ
x=
.
D.
π
π
x = + k 2π
x = + k 2π
1
π
6
6
sin x = ⇔ sin x = sin ⇔
⇔
( k ∈¢)
2
6
x = π − π + k 2π
x = 5π + k 2π
6
6
1
sin x =
2
Câu 9: Phương trình
có nghiệm thỏa mãn
5π
π
x=
+ k 2π
x=
6
6
A.
B.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
π
1
sin x = sin ÷
sin x =
6
2 ⇔
Ta có
π
π
x = 6 + k 2π
x = 6 + k 2π
x = π − π + k 2π
x = 5π + k 2π
( k ∈¡ )
6
6
⇔
⇔
π
π
− ≤ x≤
2
2
x=
C.
.
.
là :
π
+ k 2π
3
π
+ k 2π
6
x=
.
D.
π
3
.
.
File Word liên hệ: 0937351107 - Email:
Facebook: />
Trang 25
