Chương III. §3. Phương trình đường elip

GV:HOÀNG THỊ THU TRANG.


Một số hình ảnh về đường elip trong
khoa học và đời sống


Bài 3

(Tiết PPCT: 38)
Định nghĩa đường Elip
Phương trình chính tắc của Elip
Hình dạng của Elip


Cách vẽ Elip

2c
F1

F2

Trên mặt bảng đóng hai cây đinh tại F1 ,F2
 Lấy một vòng dây lớn, không đàn hồi có độ dài
lớn hơn 2F1 F2 Quàng vòng dây qua hai chiếc
đinh.


Cách vẽ Elip:+ Đặt đầu bút chì vào trong vòng dây và kéo
căng ra tại một điểm M nào đó để vòng dây thành một tam giác.
+ Di chuyển đầu bút chì sao cho sợi dây luôn căng và áp sát mặt

bảng.Đầu bút chì vạch nên 1 đường gọi là đường elip.


Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa đường elip
Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ
dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập
hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho:
F1M + F2M = 2a
Trong đó
• F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.
• Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.

0

Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
y

1. Định nghĩa đường elip
2. Phương trình chính tắc của elip
(E) :

x2
a

2

+

y2
b

2

B2

=1
A1

F1

với b2 = a2 –c2

• F1(-c; 0), F2(c; 0)
a > b>0
a > c>0

c 0

M(x;y)

c

F2

A2

x

B1

Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 ,F2 Điểm M
thuộc elip khi và chỉ khi F1M + F2M =
2a .Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục Ox
trùng với F1F2, trục Oy là trung trực của F1F2
Khi đó: F1(-c; 0), F2(c;
như0)hình vẽ.
x2 y2
M(x;y) (E) a 2 + b 2 = 1

∈


Tiết 37: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa đường elip
2. Phương trình chính tắc của elip
(E) :

x2

+

y2

a 2 b2
với b2 = a2 – c2

=1

• F1(-c; 0), F2(c; 0)
a > b>0
a > c>0

Ví dụ1: Trong các phương trình
sau phương trình nào là phương
trình chính tắc của (E) ?
x y
A. + = −1
9 4
x y
B. − = 1
9 4
x y
x y
+ =1
C. + = 1 ⇔
3 2
9 4
2

2

2

2

2

2

x y
D. − = −1
9 4
2

2

Đáp án : C

2

2

2

2


Tiết 37: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa đường elip

phương
Ví dụ 2:Cho elip 2(E) có
2
y .
2. Phương trình chính tắc của elip trình chính tắc là x
+ =1
5 3
2

2
x
y
Trong các điểm sau điểm nào thuộc (E) ?
+ 2 =1
(E) :
2
a
b
A. M(1;-1)
với b2 = a2 – c2
B. N(3;5)
• F1(-c; 0), F2(c; 0)
C. P(5;3)
a > b>0
D. H(0;- 3)
a > c>0

Đáp án D


Bài toán : Viết phương trình chính tắc của (E)
Bước 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giải sử phương
trình chính tắc của elip có dạng
x 2 y2
+ = 1 (a > b > 0)
a 2 b2

Bước 2: Dựa vào dữ kiện đề bài và các công thức liên
quan để tìm a,b hay a2 ,b2 .Thay vào phương trình, kết

luận.


VD2: Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E)
có tiêu cự bằng 4 và đi qua A(0; 3)
F1F2 =2c
Bài giải:
Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng:
x2
y2
2
2
2
+
=
1
(Với
b
=
a
c
)
2
2
a
b
2c =4

Có tiêu cự F1F2 = 4
 2

(E) :
⇒  0 + 32 = 1
Đi qua A(0; 3)

b2
a2
2
 c=2

a
= 13

⇒  2
⇒  9 =1
b =9


 b2
x2
y2
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
+
=1

{

13

9

Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
y

1. Định nghĩa đường elip
2. Phương trình chính tắc của elip
(E):

x2
a

2

+

y2
b

2

= 1 với b2 = a2 – c2

3. Hình dạng của elip
• (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy,
tâm đối xứng là O.
•M1(x0; y0) (E) M2(-x0; y0) (E),
M3(-x0; -y0) (E), M4(x0; -y0) (E).
• A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0; b)
là các đỉnh của Elip.
• A1A2 = 2a gọi là trục lớn của (E).

• B1B2 = 2b gọi là trục nhỏ của (E).

B2

M2
A1

- x0

M3

F1

y0

M1

0

F2 x0 A2

-y0

B1

M4

x

Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
2

1. Định nghĩa đường elip
2. Phương trình chính tắc của elip
Có dạng:

x2
a2

+

y2
b2

= 1 với b2 = a2 – c2

3. Hình dạng của elip
• F1(-c; 0), F2(c; 0);Tiêu cự F1F2 =2c
• A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0; b)
là các đỉnh của Elip.
• A1A2 = 2a gọi là trục lớn của (E).
• B1B2 = 2b gọi là trục nhỏ của (E).
• M1(x0; y0) (E) M2(-x0; y0) (E),
M3(-x0; -y0) (E), M4(x0; -y0) (E).

x
y2
+
=1

Ví dụ 4: Cho (E):
25 9
a) Xác định toạ độ đỉnh và toạ độ
tiêu điểm của (E).
b) Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn,
độ dài trục nhỏ của (E).
Giải:
a = ?25 a = ?5
a) Ta có: 
⇒
b = ?9
b = ?3
22

22

b = a − c ⇒ c = a − b = 16 ⇒ c = 4
2

2

2

2

2

2

Toạ độ đỉnh: A1(-5; 0), A2(5; 0),

B1(0;-3), B2(0; 3).
Toạ độ tiêu điểm: F1(-4; 0), F2(4; 0)
b) Tiêu cự: F1F2 = 8.
Độ dài trục lớn: A1A2 = 10.
Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 6.


Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

1. Định nghĩa đường elip
2. Phương trình chính tắc của elip
Có dạng:

x

2

a2

+

y

2

b2

= 1 với b2 = a2 – c2

3. Hình dạng của elip

• F1(-c; 0), F2(c; 0);Tiêu cự F1F2 =2c
• A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0; b)
là các đỉnh của Elip.
• A1A2 = 2a gọi là trục lớn của (E).
• B1B2 = 2b gọi là trục nhỏ của (E).
• M1(x0; y0) (E) M2(-x0; y0) (E),
M3(-x0; -y0) (E), M4(x0; -y0) (E).

Ví dụ5:
Lập phương trình chính tắc của
elip biết :

Nhóm 1: a. Độ dài trục lớn
và trục nhỏ của (E) lần lượt là
8 và 6 ?
Nhóm 2: b. Độ dài trục lớn
bằng 10 và tiêu điểm F1(-3; 0)
.


Nhóm 1: Độ dài trục lớn và trục nhỏ của (E) lần lượt là 8 và 6 ?
Nhóm 2: b. Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu điểm F1(-3; 0) .
• Nhóm 1:Phương trình chính
tắc của elip (E) có dạng:

x 2 y2
+ 2 =1
2
a
b

• Nhóm 2:Phương trình
chính tắc của elip (E) có
dạng

(a > b > 0)

Theo bài ra

{

{

x 2 y2
+ 2 =1
2
a
b

(a > b > 0)

2a = 8
a = 4 • Theo bài ra
⇔
2b = 6
b =3
2a = 10
a = 5 a 2 = 25
⇔
⇒ 2 2 2

−c = −3 c = 3 b = a − c = 16
Vậy phương trình (E) là:
2

2

x
y
+
=1
16
9

{

{

• Vậy phương trình (E) là:

x 2 y2
+
=1
25 16


Tổng kết
Định nghĩa : M ∈ (E ) ⇔ F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )
Trong đó F1, F2 là hai tiêu điểm cố định, F1F2 = 2c là tiêu cự

Phương trình chính tắc của elip :

2

2

x
y
+ 2 =1
2
a
b

y

(E)

-c


F1

°
°

O

M

c



F2

Trong đó a > b > 0, a > c> 0 , c2 = a2 – b2
Tiêu
Tiêuđiểm
điểm FF11 (( -- cc ;; 0)
0) ,, FF22 ((cc ;; 0)
0)

Trục lớn A1A2 = 2a Trục nhỏ B1B2 = 2b
Tọa độ các đỉnh A1(– a ; 0) , A2 ( a ; 0) , B1 (0 ; – b) , B2(0 ; b)
Các
Tâm
Cáctrục
trụcđối
đốixứng
xứng::Ox
Ox ,, Oy
Oy
Tâmđối
đốixứng
xứng::gốc
gốctọa
tọađộ
độO
O

x