Chương III - Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong Không gian

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Biên soạn
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách giáo khoa 2008
Click
Bài 3 :

I. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian cho điểm M
0
(1;2;3) và 2 điểm M
1
(1+t;2+t;3+t) ; M
2
(1+2t;2+2t;3+2t)
di động với tham số t . Chứng tỏ rằng 3 điểm đó luôn thẳng hàng .
Giải : Xét
( )
0 1
; ;M M t t t=
uuuuuur
và
( )
0 2
2 ;2 ;2M M t t t=
uuuuuur
Vậy
( )
0 2 0 1

2 ;2 ;2 2M M t t t M M= =
uuuuuur uuuuuur
Chứng tỏ 3 điểm đó thẳng hàng
Định lí :
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và nhận
( )
1 2 3
; ;a a a a=
r
làm vectơ chỉ phương .Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z)
nằm trên
∆
là có một số thực t sao cho :
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +



= +


= +

Chứng minh : Xét
( )
0 0 0 0
; ;M M x x y y z z= − − −
uuuuuur
Điểm M nằm trên
∆
khi và chỉ
khi
0
M M
uuuuuur
cùng phương với
a
r
Nghĩa là
0
.M M t a=
uuuuuur r
hay Điều đó tương đương với :
0 1
0 2
0 3

x x ta
y y ta
z z ta
− =


− =


− =

0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

Click

Định nghĩa :
Phương trình tham số của đường thẳng
∆

đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ
chỉ phương
( )
1 2 3
; ;a a a a=
r
là phương trình có dạng
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

(t tham số)

Chú ý : Nếu

a
1
; a
2
; a
3
đều khác 0 thì người ta viết phương trình đường thẳng
∆

dưới dạng chính tắc :
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
Ví dụ 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M(1;2;3) và có
vectơ chỉ phương
( )
1; 4; 5a = − −
r
Giải : Ta có phương trình tham số của
∆
:
1
2 4

3 5
x t
y t
z t
= +


= −


= −

Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1;-2;3) và B(3;0;0)
Giải : AB có vectơ chỉ phương :

( )
2;2; 3AB = −
uuur
Vậy phương trình tham số của AB là :
3 2
2
3
x t
y t
z t
= +


=



= −

Click

Ví dụ 3 : Chứng minh đường thẳng d :
1
2 2
4 3
x t
y t
z t
= +


= +


= +

vuông góc với mặt phẳng (
α
) : 2x + 4y + 6z + 9 = 0
Giải : d có vectơ chỉ phương :
( )
1;2;3a =
r
(
α
) có vectơ pháp tuyến :

( )
2;4;6n =
r
Vậy ta có :
( ) ( )
2;4;6 2 1;2;3 2n a= = =
r r
Nên d
⊥
(
α
)

Cho đường thẳng
∆
có phương trình tham số :
1 2
3 3
5 4
x t
y t
z t
= − +


= −


= +


Hãy tìm tọa độ một điểm M trên đường thẳng
∆
và tọa độ một vectơ chỉ phương của
∆
Ví dụ áp dụng tại lớp :
Giải : Tọa độ điểm M (-1;3;5)
∆
có vectơ chỉ phương :
( )
2; 3;4a = −
r
Hỏi : Các điểm sau có thuộc
∆
không ? Vectơ nào là vectơ chỉ phương của
∆
?
M
1
(-2 ; 6 ; 10)

M
2
(1 ; 0 ; 9) M
3
(-3 ; 6 ; 1)

( )
4
1 2 2;3 3 2;5 4 2M − + − +
( )

1
4; 6;8a = −
ur
( )
2
1;3;5a = −
uur
( )
3
2;3; 4a = − −
uur
( )
4
2 3;3 3; 4 3a = − − − − −
uur
Click

II. Điều kiện để hai đường thẳng song song , cắt nhau , chéo nhau
Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình tham số , lần lượt là :
3 2
: 6 4
4
x t
d y t
z t
= +


= +



= +

và
2 '
' : 1 '
5 2 '
x t
d y t
z t
= +


= −


= +

a) Hãy chứng tỏ điểm M(1;2;3) là điểm chung của d và d’ .
b) Hãy chứng tỏ d và d’ có 2 vectơ chỉ phương không cùng phương /
Giải : a) Thế tọa độ M vô phương trình d và d’

1 3 2
2 6 4 1
3 4
t
M d t t
t
= +



∈ ⇔ = + ⇔ = −


= +

và

1 2 '
' 2 1 ' ' 1
3 5 2 '
t
M d t t
t
= +


∈ ⇔ = − ⇔ = −


= +

Vậy M là điểm chung của d và d’
b) Tìm vectơ chỉ phương của d và d’
d có vectơ chỉ phương :
( )
2;4;1a =
r
d’ có vectơ chỉ phương :
( )

1; 1;2b = −
r
Vậy :
a b≠
r r
Nên d và d’ không cùng phương :
Click