tiểu luận nguyên lí dirichlet

MỤC LỤC
Trang
Lời mở đầu ................................................................................................ 2
Giới thiệu chung ....................................................................................... 3
Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng ............................................................ 6
I. Cơ sở lý thuyết ............................................................................... 6
II. Ứng dụng ........................................................................................ 9
1. Phương pháp ứng dụng .......................................................... 9
2. Ứng dụng .................................................................................. 9
a) Nguyên lý Derichlet trong số học...................................... 9
b) Nguyên lý Derichle trong tổ hợp...................................... 12
c) Nguyên lý Derichlet trong hình học ................................ 14
d) Nguyên lý Derichlet
trong chứng minh bất đẳng thức ..................................... 17
Tài liệu tham khảo .................................................................................. 19


Nguyên lí Dirichlet

LỜI MỞ ĐẦU

Một trong những nguyên lý quan trọng của toán học là nguyên lý Dirichlet. Nguyên lý
Dirichlet được nhà toán học người Đức Johnann Peter Gustav Lejeune Dirichlet đề xuất.
Đây là nguyên lý khá đơn giản, nhưng nó lại có nhiều ứng dụng trong lập luận giải các bài
tốn như số học, tổ hợp,… Cũng chính vì thế chúng ta thường xuyên bắt gặp định lý này
trong các kỳ thi lớn như IMO hay các kỳ thi quốc tế khác.
Có nhiều bài tốn chỉ cần chứng minh được sự tồn tại của sự vật hay hiện tượng mà không
cần chỉ ra tường minh sự vật, hiện tượng đó. Do đó, Nguyên lý Dirichlet tưởng chừng đơn
giản như vậy, nhưng nguyên lý là này là một công cụ hết sức hiệu quả để chứng minh nhiều
kết quả sâu sắc ở các lĩnh vực khác nhau trong tốn học.
Vì những lý do trên, trong bài tiểu luận này, chúng tơi đã chọn đề tài Ngun lý Dirichlet.

Mong rằng nó có thể trở thành một tài liệu hữu ích bạn đọc.
Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu và tìm hiểu dù đã rất nỗ lực nhưng khó tránh khỏi
những sai sót. Hi vọng nhận được sự góp ý của thầy và bạn đọc.
Và cuối cùng, xin được chân thành cảm ơn thầy Trần Nam Dũng đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho chúng em hoàn thành cuốn tiểu luận này.

Người thực hiện
Nhóm SV Số học và logic toán học

pg. 2


Ngun lí Dirichlet

GIỚI THIỆU CHUNG
I.

Vài nét tiểu sử nhà tốn học người Đức Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 tháng 2 năm 1805 – 5 tháng 5 năm
1859)
1. Cuộc đời
Nhà tốn học người Đức Dirichlet là học trị của Gauss là người rất hâm mộ
Gauss. Nhờ giỏi tiếng Pháp, ông đóng vai trị quan trọng trong việc giao lưu tư
tưởng giửa hai phía của sơng Rhin.
Trong thời gian học ở Pari, giữa 1822 và 1825, ông làm gia sư trong gia đình
của tướng và nhà chính trị Maximilien Foy. Trong thời gian này, ông tham gia
nhà bác học trẻ, quây quần xung quanh Fourier. Vì vậy ơng gắn bó với Fourier
và… với các chuỗi lượng giác.
Từ 1826 đến 1828, Dirichlet là giảng viên trường Đại Học Breslau. Từ 1829

ông làm việc ở trường Đại học Berlin. Từ 1931 đến 1855 ông là giáo sư trường
Đại học Berlin. Từ 1855, sau khi Gauss qua đời, ông kế tục Gauss ở trường Đại
học Gôttinggen.

pg. 3


Nguyên lí Dirichlet

Dirichlet là một người khiêm tốn trung thực và nhân ái. Nhưng, khác với vợ
ông là Jacobi, Dirichlet không xuất sắc về mặt sư phạm. Mặc dù vậy, các bài
giảng của ơng có ảnh hưởng lớn đến các nhà toán học thuộc thế hệ sau
như:Riemann, Eisenstein, Kronecker, Dedekin…
Sau khi Dirichlet qua đời, bộ óc của ơng được bảo quả tại khoa sinh lý học
Trường Đại Học Gôttingen.
2. Sự nghiệp
Dirichlet có những phát minh lớn trong lí thuyết số. Ông thiết lập các công
thức cho cho số các lớp dạng tồn phương hai ngơi với định thức cho trước.
Ơng chứng minh định lý về tập hợp vô hạn các số nguyên tố trong một cấp số
cộng gồm những số nguyên mà số hạng đầu và công sai là nguyên tố cùng
nhau. Để giải các bài tốn trên, ơng sử dụng những hàm giải tích, gọi là hàm
(chuỗi) Dirichlet. Ơng sáng lập ra lý thuyết tổng quát về các đơn vị đại số trong
một trường số đại số.
Về giải tích, Dirichlet là một trong những người đầu tiên quan niệm hàm là
sự cho ứng với mọi x một phần tử y, mà khơng cần phải có biểu thức của y
theo x bằng các phép tính số học. Dirichlet cũng là người đầu tiên đề xuất và
nghiên cứu khái niệm hội tụ có điều kiện của chuỗi.
Ơng phát biểu và chứng minh những điều kiện đủ, thường gọi là điều kiện
Dirichlet, để chuỗi Fourier của một hàm số hội tụ tới hàm số đó.
Dirichlet cũng có những cơng trình đáng kể về cơ học và vật lý toán, đặc biệt

về lý thuyết thế.

II.

Nguyên lý Dirichlet
(Nguyên lý này được Dirichlet phát biểu đầu tiên năm 1834)
Nếu f: E→F là một ánh xạ, trong đó E và F là những tập hợp hữu hạn sao cho

Card(E)>Card(F) thì F khơng là đơn ánh.
Ngun lý này được Dirichlet thiết lập, sử dụng và đặt tên là “Nguyên lý ô
chuồng chim bồ câu”. Người ta cũng gọi nó là “nguyên lý ngăn kéo” hay “nguyên
lý hộp”.

pg. 4


Ngun lí Dirichlet

“Ngun lý ơ chuồng chim bồ câu” được phát biểu như sau: Nếu n chim bồ câu
được phân phối vào m ơ chuồng và nếu n>m thì có một ơ chứa ít nhất hai chim bồ
câu.
“Ngun lý ngăn kéo” hay “Nguyên lý hộp” được phát biểu như sau: Nếu n đồ
vật được phân phối vào m ngăn kéo và nếu n>m thì có một ngăn kéo chứa ít nhất
hai đồ vật.
Gắn với tên của Dirichlet cịn có một hàm số, minh họa quan niệm về hàm của
Dirichlet.
Hàm số của Dirichlet: Đó là hàm số f: R→R xác định bởi f(x)=1 nếu x là một
số hữu tỉ và f(x)=0, nếu x là một số vơ tỉ.
Nó là hàm đặc trưng của Q trong R.

III. Phương pháp
Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet là phương pháp mà học sinh được
làm quen sớm nhất ngay từ khi học ở bậc tiểu học. Đây là một trong những
phương pháp thể hiện rõ “cái đẹp” của toán học, làm cho học sinh thêm u
thích mơn tốn. Chính vì vậy mà trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, các bậc
thường xuyên xuất hiện các bài toán sử dụng phương pháp này.
Để hiểu rõ hơn về nguyên lý này ta đến với phần Nguyên lý Dirichlet và Ứng dụng.

pg. 5


Ngun lí Dirichlet

NGUN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG

I.

CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1. Nguyên lý Dirichlet cơ bản:
Nếu nhốt n + 1con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng
chứaít nhất hai con thỏ.
2. Nguyên lý Dirichlet tổng quát:
Mệnh đề: Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một hộp
N 
chứa ít nhất   đồ vật.
k

(Ở đây, [x] là giá trị của hàm trần tại số thực x, đó là số nguyên nhỏ nhất có giá
trị lớn hơn hoặc bằng x. Khái niệm này đối ngẫu với [x] – giá trị của hàm sàn

hay hàm phần nguyên tại x – là số nguyên lớn nhất có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng
x.)
Chứng minh:
N 
Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn   vật. Khi đó tổng số đồ vật là;
k
N 
N 
k (   - 1) < k   = N.
k
k

Điều này mâu thuẩn với giả thiết là có N đồ vật cần xếp.
3. Ngun lí Dirichlet đối ngẫu.
Cho tập hữu hạn S ≠ ∅ và S1, S2, …, Sn là các tập con
của S sao cho | S1 | + | S2 | + … + | Sn | > k. | S |. Khi đó, tồn tại một phần tử x
 S sao cho x là phần tử chung của k+ 1 tập Si ( i = 1, 2, … n).

4. Nguyên lí Dirichlet mở rộng.

pg. 6


Nguyên lí Dirichlet

Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất
 n  m  1
 m 
con thỏ, ở đây kí hiệu [α] để chỉ phần nguyên của số α.

Chứng minh : Giả sử trái lại mọi chuồng thỏ khơng có đến
 n  m  1  n  1   n  1
 m    m  1   m   1
 n  1


con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng  m  con.
 n  1
 m   n  1
Từ đó suy ra tổng số con thỏ không vượt quá m.
con

Điều này vô lí vì có n con thỏ. Vậy giả thiết phản chứng là sai.
Nguyên lí Dirichlet mở rộng được chứng minh.
5. Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp.
Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng
phầntử của A lớn hơn số lượng phần tử của B. Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi
phầntử của A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần
tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với một phần tử của B.

Hình 1
6. Ngun lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng

pg. 7


Nguyên lí Dirichlet

Giả sử A,B là hai tập hợp hữu hạn và S (A),S (B) tương ứng kí hiệu là các
sốlượng phần tử của A và B. Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà

S(A)>k.S(B) và ta có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử
của B. Khi đó tồn tại ít nhất k+1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng
một phần tử của B.
Chú ý: Khi k = 1, ta có ngay lại ngun lí Dirichlet.
7. Ngun lí Dirichlet vơ hạn:
Nếu chia một tập hợp vơ hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo, thì phải có ít
nhất một ngăn kéo chưa vơ hạn các quả táo.
8. Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử.
*Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng.
Trong mục này ta kí hiệu d(I) là độ dài của khoảng I  R.
+ Cho A là một khoảng giới nội, A 1, A2, … , An là các khoảng sao cho Ai
 A (i = 1, 2, …, n) và d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(An). Khi đó ít nh ất có

hai khoảng trong số các khoảng trên có một điểm trong chung.
Chứng minh.
Thật vậy, giả sử khơng có cặp nào trong những khoảng đã cho có
điểm trong chung.
Khi đó, d(A1  A 2  … An) = d(A1) + d(A2) + … + d(An) > d(A).
Mặt khác, từ Ai  A (i = 1, 2, …, n) suy ra d(A1  A 2  … An )≤ d(A).
Các bất đẳng thức trên mâu thuẫn với nhau. Vậy ít nhất có hai khoảng trong số
các khoảng trên có điểm trong chung.

 Tập phần tử là miền phẳng giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín
Trong mục này ta kí hiệu S(A) là diện tích miền A trong một mặt phẳng.
+ Nếu A là một miền giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín, cịn
A1, A2, … , An là các miền sao cho Ai  A (i = 1, 2, …, n) và S(A) < S(A1) +
S(A2) + … + S(An), thì ít nhất có hai miền trong số các miền nói trên có điểm
trong chung.

pg. 8

Nguyên lí Dirichlet

Chứng minh. Tương tự như chứng minh Định lí 1.

II. ỨNG DỤNG
1. Phương pháp ứng dụng.
Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt
“thỏ” vào “chuồng” và thoả mãn các điều kiện :
+ Số ‘thỏ” phải hiều hơn số chuồng
+ “Thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng”, nhưng không bắt buộc
chuồng nào cũng phải có thỏ.
Bí quyết thành cơng của ngun lý Dirichlet chính là kỹ thuật “xây chuồng” và
“tạo thỏ”. Trong nhiều bài tốn, chuồng là gì, thỏ là gì khá rõ ràng, nhưng trong nhiều
bài toán, xây chuồng và tạo thỏ là cả một sự tinh tế. Ta phải biết chọn các thành phần
chính” và “hướng đến mục tiêu”. (Trần Nam Dũng)
Thường phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng.
2. Ứng dụng
a) Nguyên lý Dirichle trong số học
Ví dụ 1:
Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất
một lớp có từ

học sinh trở lên

Giải:
Giả sử 23 lớp mỗi lớp có khơng q 3 học sinh.
Khi đó số học sinh là:
3.23=989 học sinh (ít hơn 1000–989=11 học sinh)

Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ

học sinh trở lên.

Trong bài toán này, “thỏ” là 1000 học sinh, “chuồng” là 23 lớp.
Ví dụ 2:

pg. 9


Ngun lí Dirichlet

Có năm loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên
để chắc chắn rằng có ít ra là 6 người cùng nhận học bổng như nhau.

Giải:
Gọi N là số sinh viên, khi đó:
[ ]
Vậy số N bé nhất thỏa mãn là 26.
Trong bài toán này, số “chuồng” là 5 loại học bổng, số “thỏ” là số sinh
viên cần tìm.
Ví dụ 3:
Trong 5 học sinh làm bài kiểm tra, khơng có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học
sinh được điểm 10. Chứng minh rẳng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm
kiểm tra bằng nhau(điểm kiểm tra là một số tự nhiên).

Giải:
Có

–

hoc sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả sử mỗi

loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có
khơng q: 5.8 = 0 học sinh, ít hơn 3 học sinh. Vậy tồn tại 6 học sinh có
điểm kiểm tra bằng nhau.
Trong bài tốn này “thỏ” là 43 điểm kiểm tra từ 2 đến 9, “chuồng” là 8 loại
điểm nói trên.

Bài tập tự luyện
Bài 1: CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007.
Bài 2: Chứng minh rằng trong các số tự nhiên luôn luôn tồn tại số k sao cho
chia hết cho
Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại số dạng 20032003…2003000…0 chia hết cho 2002.

pg. 10


Ngun lí Dirichlet

Hướng dẫn giải:
1. Xét 2008 số có dạng 1,11,...,11...11. Theo ngun tắc Dirichlet thì tồn tại
hai số có cùng số dư khi chia cho 2007. Giả sử hai số đó là:
và
Khi đó

với

–

.

chia hết cho 2007

Do

chia hết cho 2007.

2. Đặt A=

, ta lấy

giá trị đầu của k tính từ số 1. Với các giái trị

của k ta được một giá trị khác nhau của A. Đem A chia cho
phép chia, nhưng chỉ có số dư từ 0 đến

ta sẽ có
số dư.

, tức là có nhiều nhất

Áp dụng định lý Dirichlet, ta sẽ có ít nhất hai giái trị của A có cùng số dư khi
chia cho
Ta giả sử hai số đó là A1=
có cùng số dư khi cho


và A2=

. (giả sử m>n)Vì hai số

, nên hiệu của chúng sẽ chia hết cho
)-(

.

=

chia

hết cho

Vì

khơng chia hết cho

, nên

) phải chia hết cho

,

vậy luôn tồn tại k=m-n thỏa mãn điều kiện đề bài( dpcm)
3. Ta xét một dãy gồm 2002 số hạng có dạng: 2003; 20032003; 200320032003;…;
2003…2003.
Chia lần lượt các số hạng trong dãy trên cho 2002.
Ta sẽ được các số dư từ 1-2001, ta khơng thể có số dư là 0 vì số chia là số chẵn, số
bị chia là số lẻ nên không thể là phép chia hết. Ta nhận thấy có tất cả 2002 phép
chia, nhưng chỉ có 2001 số dư. Vậy theo nguyên lý Dirichlet trong 2002 số sẽ có ít

nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 2002.
Ta giả sử hai số đó là am=20032003…2003 và an=2003..2003. Khi đó hiêu của hai
số sẽ chia hết cho 2002. Hiệu của hai số có dạng: 2003..2003000..0.
Vậy ln ln tồn tại số có dạng 20032003…2003000…0 chia hết cho 2002 (đpcm)

pg. 11


Nguyên lí Dirichlet

b) Nguyên lý Dirichlet trong tổ hợp

Ví dụ1:
Một lớp học có 30 học sinh. Khi viết chính tả, em A phạm 14 lỗi, các em khác
phạm ít lỗi hơn. Chứng minh rằng có ít nhất là 3 học sinh khơng mắc lỗi hoặc
mắc số lỗi bằng nhau.
Giải:
Phịng 1: Chứa các em mắc 1 lỗi.
Phòng 2: Chứa các em mắc 2 lỗi.
…………………………………….
Phòng 14: Chứa các em mắc 14 lỗi.
Phòng 15: Chứa các em khơng mắc lỗi.
Theo giả thiết phịng 14 chỉ có em A. Cịn lại 14 phịng chứa 29 em. Theo
nguyên lý Dirichlet tồn tại một phòng chứa ít nhất 3 em. Từ đó có điều phải
chứng minh.
Trong bài tốn này, số “chuồng” là số phịng, số “thỏ” là số học sinh.
Ví dụ 2:
Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ
rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn
nhau.

Giải:
Gọi A là một trong 6 người. Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít nhất ba
người là bạn của Ahoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của A, điều này suy ra từ
ngun lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của A.

pg. 12


Nguyên lí Dirichlet

Trong trường hợp đầu ta gọi B,C,D là bạn của A. nếu trong ba người này có
hai người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau,
ngược lại, tức là nếu trong ba người B,C,D khơng có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ
họ là bộ ba người thù lẫn nhau. Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp
có ít nhất ba người là kẻ thù của A. (ĐPCM)

Bài tập tự luyện
Bài1: Trong một lưới ơ vng kích thước 5.5, người ta điền ngẫu nhiên vào các
ô một trong các giá trị −1,0 hoặc 1, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo
cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị
bằng nhau.
Bài 2: Trong một giải bóng chuyền có 8 đội tham gia, thi đấu vịng trịn 1 lượt.
Chứng minh rằng tìm được

đội A, B, C, D sao cho A thắng B, C, D, B thắng C,

D và C thắng D.
Bài 3: Trong một nhóm gồm 2n+1 người với mỗi n người tồn tại một người
khác n người này quen với tất cả họ. Chứng minh rằng trong nhóm người này có 1
người quen với tất cả mọi người.

Hướng dẫn giải:

1. Gọi các tổng lần lượt là S1,S2,..S12.
Có tất cả 12 tổng. Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị
là {−5,− …0,… ,5}. Có tất cả 11 giá trị khác nhau. Từ đó, theo nguyên lý
Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh.
2. Trong bóng chuyền khơng có hồ, do đó 8 đội thi đấu vịng trịn 1 lượt thì sẽ có
tất cả 28 trận thắng. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại đội bóng A có ít nhất 4 trận
thắng. Xét

đội thua A.

đội này đấu với nhau 6 trận, do đó tồn tại một đội

thắng ít nhất 2 trận (trong số các trận đấu giữa

đội này với nhau). Giả sử đó là

pg. 13


Nguyên lí Dirichlet

B và C, D là 2 đội thua B. Cuối cùng, nếu C thắng D thì A, B, C, D là
tìm, cịn nếu D thắng C thì

đội cần

đội cần tìm là A, B, D, C.

3. Ta chứng minh rằng trong nhóm người này có n+1 người đơi một quen nhau. Rõ
ràng có 2 người quan nhau và nếu như có k người đơi một quen nhau (trong đó k
 n) thì tồn tại một người khác trong số họ quen với k người này. Từ đó suy ra
tồn tại n+1 người đôi một quen nhau A1, A2, …, An+1.
Xét n người còn lại. Theo điều kiện,tồn tại một người Ai quen với tất cả n người này.
Nhưng khi đó Ai quen với tất cả mọi người.
c) Ngun lí Dirichlet trong hình học
Ví dụ 1:
Cho một hình vng và 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vng
thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2:3. CMR trong số 13 đường thẳng đó, có ít
nhất đường thẳng cùng đi qua một điểm.
Giải:
Gọi d là đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện
tích 2:3. Đường thẳng d khơng thể cắt hai cạnh kề nhau của hình vng vì khi
đó khơng tạo thành hai tứ giác. Giả sử d cắt hai cạnh AB và CD tại M và N, khi
đó nó cắt đường trung bình EF tại I.
Giả sử

thì

Như vậy mỗi đường thẳng đã cho chia các đường trung bình của hình vng
theo tỉ số 2:3. Có

điểm chia các đường trung bình của hình vng ABCD

theo tỉ số 2:3.
Có 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua một trong

điểm. Vậy theo

nguyên lý Dirichlet có ít nhất đường thẳng đi qua một điểm.
Ví dụ 2:

pg. 14


Ngun lí Dirichlet

Trong hình vng cạnh bằng 1, đặt 51 điểm bất kì, phân biệt .Chứng minh rằng
có ít nhất 3 trong số 51 điểm đó nằm trong một hình trịn bán kính

1
.
7

Giải :
Chia hình vng đã cho thành 25 hình vng con bằng nhau có cạnh bằng

1
5

.Theo ngun lý Dirichlet ,tồn tại ít nhất một hình vng con (a) chứa ít nhất
điểm trong số 51 điểm đó . Đường trịn ngoại tiếp (a) có bá kính

1
5 2



1
.Vậy
7

ba điểm nói trên nằm trong hình trịn đồng tâm với đường trịn (a) có bán kính
1
.
7

Bài tập tự luyện
Bài 1: Trong một mặt phẳng có 1995 điểm và trong ba điểm bất kì bao giờ cũng tìm
được 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một
hình trịn có bán kính bằng 1 chứ khơng ít hơn 998 điểm đó.
Bài 2: Trong một hình vng có cạnh là 1 chứa một số đường tròn. Tổng tất cả
chu vi của chúng là 10. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 4
đường trịn trong những đường trịn đó?
Bài 3: (Bổ đề Minkowsky) Trên mặt phẳng cho hình lồi F nhận gốc tọa độ làm
tâm đối xứng và có diện tích lớn hơn . Khi đó nó chứa một điểm nguyên khác
gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải:
1. Gọi A là một trong các điểm đã cho. Ta vẽ đường trịn (A,1)
Trường hợp 1: Có nhiều hơn 998 điểm nằm trong đướng trong (A,1)= > (A,1) là
đường trịn thỏa mãn.
Trường hợp 2: Có ít hơn 998 điểm năm trong (A,1). Gọi B là điểm không nằm trong
(A,1), AB>1, ta vẽ đường tròn (B,1).

pg. 15


Nguyên lí Dirichlet

Ta chứng minh mọi điểm sẽ nằm trong hai đường trịn này.
Xét một điểm C bất kì, giả sử C khơng thuộc một trong hai đường trịn.
AC>1,BC>1, AB>1( Mẫu thuẫn với giả thiết, 3 điểm bất kì ln tìm được khoảng
cách giữa hai điểm nhỏ hơn 1)
Vậy điều giả sử sai, hay mọi điểm sẽ thuộc và 1 trong hai đường trịn này.
Ta có 1995 điểm, 1995=2x1997+1, áp dụng ngun lí Dirichlet, ta có khơng ít hơn
998 điểm thuộc cúng một đường trịn có bán kính 1.(dpcm)
2. Ta chọn một cạnh hình vng rồi chiếu vng góc các đường trịn xuống
cạnh đó (xem hình 1). Ta có, hình chiếu của một đường trịn bán kính R
xuống AB là một đoạn thẳng có độ dài 2R. Vì vậy trên cạnh hình vng
đã chọn có những đoạn thẳng chiếu xuống với tổng độ dài là

10



. Mà

10



> 3. Nên theo nguyên lý Dirichlet đối ngẫu suy ra có một điểm M nào đó
thuộc AB là điểm trong chung của ít nhất

đoạn thẳng đã chiếu xuống.

Khi đó, đường thẳng đi qua M vng góc với AB cắt ít nhất 4 trong
những đường trịn đó.

B

C

chiếu
lên
cạnh
CD

A

D

3. Xét phép vị tự tâm O, tỷ số 1/2 , biến F thành G. Do G có diện tích lớn hơn
1 nên theo bổ đề 1, tồn tại hai điểm A, B thuộc G sao cho véc-tơ AB có toạ

pg. 16


Nguyên lí Dirichlet

độ nguyên. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O. Do hình G đối xứng qua
gốc toạ độ nên A’ thuộc G. Do G lồi nên trung điểm M của A’B thuộc G.
Gọi N là điểm đối xứng của O qua M thì N thuộc F và ON = AB, suy ra N
là điểm nguyên khác O (đpcm).
d) Nguyên lý Dirichlet trong chứng minh bất đẳng thức
Từ ngun lí Derichle, ta có mệnh đề: Từ 3 số thực bất kì x, y, z ln tìm được 2
số có tích khơng âm.(*)
Mệnh đề này có thể áp dụng hiệu quả cho nhiều bài bất đẳng thức, một số ví dụ:

Ví dụ 1:
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

Giải:
Theo nguyên lý Dirichlet, nhận thấy rằng trong 3 số a,b,c sẽ có hai số cùng ≥ 1
hoặc cùng ≤ 1. Giả sử 2 số đó là a,b, khi đó:
Sử dụng hằng đẳng thức, ta có:

Ví dụ 2:
Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z + 1 = 4xyz.
Chứng minh rằng
xy + yz + zx  x + y + z (1)
Giải:
Ta có: x + y + z + 1 = 4xyz  z 

x  y 1
4 xy  1

pg. 17


Nguyên lí Dirichlet

Thay vào (1), ta được

x  y 1
( x  y  1)  x  y  xy
4 xy  1

VT  1 với mọi x, y
VP  1 nếu x, y nằm cùng phía nhau đối với 1.
Theo mệnh đề (*), ta ln có thể chọn được.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  3(a + b + c)2
Bài 2: Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải:
1. Áp dụng bất đẳng thức CBS, ta có
(a + b + c)2  (a2 + 1 + 1)(1 + b2 + c2) = (a2 + 2)(b2 + c2 + 1). Như vậy ta chỉ còn cần
chứng minh
(b2 + 2)(c2 + 2)  3(b2 + c2 + 1)



(b2 – 1)(c2 – 1)  0

Điều này ln có được nếu ta chọn b2, c2 cùng phía nhau đối với 1.

2. Nhân cả 2 vế với 2, biến đổi ta được:

Theo ví dụ 1, ta chỉ cần chứng minh

 ĐPCM

pg. 18


Nguyên lí Dirichlet

Tài liệu tham khảo
1. />2. />1. />2. />-DUNG-DIRICHLET-CM-BAT-DANG-THUC.rar
3. />4. />5. />6. />7. />8. />9.

/>
10. />
11. />
pg. 19