Về bổ đề corput và tích phân dao động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THU HẰNG

VỀ BỔ ĐỀ CORPUT
VÀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI−2016


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn
để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình

học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 08 năm 2016
Học viên

Hoàng Thu Hằng

2


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Biến đổi Fourier

2
3

Biến đổi Fourier trên không gian L1 (R) . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . . . . .

9

1.2

Biến đổi Fourier trên không gian L1 (Rn ) . . . . . . . . . . . .

14

1.3

Biến đổi Fourier trên không gian Schwartz . . . . . . . . . . .

18

1.4

Biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn ) . . . . . . . . . . .

20

1.1

2 Bổ đề Van der Corput

22

2.1

Một số ước lượng thô cho tích phân dao động . . . . . . . . .

22

2.2

Ước lượng tập mức dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3

Bổ đề Van de Corput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1


LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết dao động tích phân là nguồn gốc quan trọng của hàm điều hòa
giải tích. Phần giới thiệu của biến đổi Fourier là nguồn gốc và có lẽ là ví
dụ tốt nhất của dao động tích phân, dẫn đến việc xem xét kĩ hơn về các
dao động tích phân tổng quát. Công trình này được thực hiện chủ yếu bởi

Fourier, Airy, Stokes, Lipschitz và Riemann vào thế kỷ 19 và nó được thực
hiện để hiểu được hành vi của Biến đổi Fourier. Các đối tượng này đã được
làm rõ vào đầu thế kỉ 20 khi J.G. van der Corput chứng minh bổ đề nổi tiếng
của mình. Ông đã quan tâm đến các ứng dụng trong lý thuyết số, đặc biệt là
trong những bài toán về ràng buộc hàm số mũ. Gần đây, trọng tâm đã được
thay đổi để các toán tử có dạng của tích phân dao động. Việc sử dụng biến
đổi Fourier trong tích phân điều hòa là tự nhiên và phổ biến.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương một là Biến đổi Fourier, đưa ra định nghĩa, các tính chất cơ bản
và Biến đổi Fourier trong các không gian L1 , L2 và không gian Schwartz,
cùng các ví dụ và hình ảnh minh họa.
Chương hai đề cập tới định lý tập mức dưới từ đó đưa đến bổ đề Van de
Corput.
Nội dung chính của luận văn là chi tiết hóa Chương 1 trong luận án của
tác giả K. M. Rogers [3].
Hà Nội, tháng 8 năm 2016
Hoàng Thu Hằng

2


Chương 1

Biến đổi Fourier
Trong chương này, luận văn trình bày các khái niệm, ví dụ và các tính
chất cơ bản của phép biến đổi Fourier. Tham khảo chính trong các tài liệu
[1], [2] và [4].

1.1

1.1.1

Biến đổi Fourier trên không gian L1 (R)
Định nghĩa và các ví dụ

Định nghĩa 1.1.1. Biến đổi Fourier của f (x) được ký hiệu bởi
F{f (x)} = F (k), k ∈ R, được xác định bởi tích phân
1
F{f (x)} = F (k) = √
2π

∞

e−ikx f (x)dx,

(1.1)

−∞

trong đó F được gọi là toán tử biến đổi Fourier hay biến đổi Fourier. Nó
thường được gọi là biến đổi Fourier phức. Điều kiện đủ cho f (x) có biến đổi
Fourier là f (x) khả tích tuyệt đối trên (−∞, ∞). Do f (x) là hội tụ tuyệt đối
nên tích phân trong (1.1) là hội tụ. Hơn nữa, nó còn là hội tụ đều theo k.

3


Vì vậy, đối với các hàm khả tích tuyệt đối thì ta mới có định nghĩa về biến
đổi Fourier. Hạn chế này là rất mạnh đối với nhiều ứng dụng vật lý. Nhiều
hàm đơn giản và phổ biến như là hàm hằng, hàm lượng giác sin ax, cos ax,

hàm mũ và xn H(x) không có biến đổi Fourier mặc dù chúng thường xuyên
xuất hiện trong các ứng dụng. Tích phân (1.1) không hội tụ khi f (x) là một
trong những dạng trên. Đây chính là hạn chế của lý thuyết biến đổi Fourier.
Định nghĩa 1.1.2. Biến đổi Fourier ngược ký hiệu bởi F −1 {F (k)} = f (x)
được xác định là
1
F −1 {F (k)} = f (x) = √
2π

∞

eikx F (k)dk,

(1.2)

−∞

trong đó F −1 được gọi là toán tử biến đổi Fourier ngược.
Ta thấy cả F và F −1 là toán tử tích phân tuyến tính. Trong toán ứng
dụng, x thường được biểu diễn là một biến không gian và k = ( 2π
λ ) là một
biến bước sóng, trong đó λ là bước sóng. Tuy nhiên, trong kỹ thuật điện, x
được thay thế bằng biến thời gian t và k được thay thế bởi tần số w = 2πν,
trong đó ν là tần số trong chu kỳ mỗi giây. Hàm F (w) = F{f (t)} được gọi là
phổ của hàm tín hiệu theo thời gian f (t). Trong lý luận kỹ thuật điện, biến
đổi Fourier được định nghĩa theo cách sau
∞

f (t)e−2πνit dt,

F{f (t)} = F (ν) =

(1.3)

−∞

và biến đổi ngược của nó
∞

F

−1

{F (ν)} = f (t) =

F (ν)e

2πiνt

−∞

1
dν =
2π

∞

F (w)eiwt dw,
−∞

trong đó w = 2πν được gọi là tần số góc.
Sau đây chúng ta sẽ đi xét một số ví dụ về biến đổi Fourier.
Ví dụ 1.1.1. Tìm biến đổi Fourier của exp(−ax2 ).

4

(1.4)


Ta chứng minh
k2
1
F (k) = F{exp(−ax2 )} = √ exp(− ),
4a
2a

a > 0.

(1.5)

Bằng định nghĩa ta có
∞
2
1
e−ikx−ax dx
F (k) = √
2π −∞
∞
1
ik 2 k 2

√
=
exp −a(x + ) −
dx
2a
4a
2π −∞
∞
2
1
k2
= √ exp(− )
e−ay dy,
4a −∞
2π

Đặt I =

∞
−ay 2
e
dy,
−∞

suy ra
∞

∞

e−a(x

I2 =
−∞

2

+y 2 )

dxdy

−∞

Đặt: x = r cos θ, y = r sin θ. Khi đó
∞

2π

e−a(r

2

I =
0

∞

0

2

0
2π

−

=
0
2π

=
0

1
θ
=
2a

1 −r2
e
2a

∞

dθ
0

1
dθ
2a
2π

=
0

π
.
a

Khi đó

1
F (k) = √ exp(−k 2 /4a)
2π
Nếu a =

rdr dθ

e−ar rdr dθ

=

π
a.

cos2 θ+r 2 sin2 θ)

0
2π

Suy ra I =

2

π
1
k2
= √ exp −
a
4a
2a

.

1
2

F{e−x

2

/2

} = e−k

2

/2

.

(1.6)

Điều này chỉ ra rằng F{f (x)} = f (k). Đồ thị của hàm f (x) = exp(−ax2 ) và
biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1 được minh họa bằng Hình 2.1.
5


Hình 1.1: Đồ thị hàm f (x) = exp(−ax2 ) và F (k) với a = 1.
Ví dụ 1.1.2. Tìm biến đổi Fourier của exp(−a|x|).
Ta sẽ đi chứng minh
F{exp(−a|x|)} =

2
a
· 2
,
π (a + k 2 )

a > 0.

(1.7)

Theo định nghĩa
F{e

−a|x|

∞
1
}= √

e−a|x|−ikx dx
2π −∞
∞
1
=√
e−(a+ik)x dx +
2π 0
1
1
1
+
=√
2π a + ik a − ik

=

0

e(a−ik)x dx
−∞

a
2
.
π (a2 + k 2 )

Ta chú ý rằng f (x) = exp(−a|x|) giảm nhanh về 0 và không khả vi tại x = 0.
Đồ thị của f (x) = exp(−a|x|) và biểu diễn Fourier của nó ứng với a = 1 được
minh họa bằng Hình 2.2.
Ví dụ 1.1.3. Tìm biến đổi Fourier của

f (x) =

1−

|x|
a

H
6

1−

|x|
a

, a = 0,

(1.8)


Hình 1.2: Đồ thị hàm f (x) = exp(−a|x|) và F (k) với a = 1.
trong đó H(x) là hàm Heaviside được định nghĩa bởi

H(x) =



1,

nếu x > 0,


0,

nếu x < 0.

(1.9)

Hoặc tổng quát hơn

H(x − a) =



1,

nếu x > a,


0,

nếu x < a,

(1.10)

ở đây a là số thực cố định. Như vậy hàm Heaviside H(x − a) gián đoạn hữu
hạn tại x = a.
1
F{f (x)} = √
2π

2
=√
2π
2a
=√
2π
2a
=√
2π

a

e−ikx 1 −
−a
a

1−
0

|x|
a

dx

x
cos(kx)dx
a

1

(1 − x) cos(akx)dx
0
1

(1 − x)
0

d
dx
7

sin akx
ak

dx,

(k = 0, a = 0)


2a
=√
2π
a
=√
2π

1

sin(akx)
dx

ak

1

d sin2 ( akx
2 )
dx
2
dx
( ak
)
2

0

0

a sin2 ak
2
=√
2 .
ak
2π
2

Ví dụ 1.1.4. Tìm biến đổi Fourier của hàm đặc trưng χ[−a,a] (x), trong đó

χ[−a,a] (x) = H(a − |x|) =




1,

nếu |x| < a,


0,

nếu |x| > a.

(1.11)

Ta có
∞

1
Fa (k) = F{χ[−a,a] (x)} = √
2π

e−ikx χ[−a,a] (x)dx
−∞
a

1
=√
2π

e−ikx dx =
−a

2
π

sin(ak)
k

.

Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a] (x) và biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1.

Hình 1.3: Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a] (x) và F (k) với a = 1.

8


1.1.2

Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Định lý 1.1.1. Nếu F{f (x)} = F (k) thì
(a)

(Dịch chuyển)

F{f (x − a)} = e−ika F{f (x)},

(b)

(Chia tỷ lệ)

F{f (ax)} =

(c)

(Liên hợp)

F{f (−x)} = F{f (x)},

(d)

(Tịnh tiến)

F{eiax f (x)} = F (k − a),

(e)

(Đối ngẫu)

F{F (x)} = f (−k),

1
F
|a|

k
a

∞

(f )

(Hợp thành)

a=0

∞

F (k)g(k)e
−∞

ở đây

,

ikx

f (ξ)G(ξ − x)dξ,

dk =
−∞

G(k) = F{g(x)}.

Chứng minh. (a) Theo định nghĩa ta có
∞

1
F{f (x − a)} = √
2π
1

=√
2π

e−ikx f (x − a)dx
−∞
∞

e−ik(ξ+a) f (ξ)dξ,

(x − a = ξ)

−∞

1
√
=e
2π
1
=e−ika √
2π

∞

−ika

e−ikξ f (ξ)dξ,
0
∞

e−ikx f (x)dx,

0

=e−ika F{f (x)}.
(b)
∞
1
F{f (ax)} = √
e−ikx f (ax)dx
2π −∞
∞
ikt
1 1
√
=
e− a f (t)dt, (ax = t)
|a| 2π −∞
∞
ikx
1 1
√
=
e− a f (x)dx
|a| 2π −∞

9


=

1

F
|a|

k
a

.

(c) Ta có
1
F{f (−x)} = √
2π
1
=√
2π
1
=√
2π

∞

e−ikx f (−x)dx
−∞
∞

eikt f (t)dt,

(−x = t)

−∞

∞

eikx f (x)dx.
−∞

Suy ra

∞

1
F{f (−x)} = √
2π

eikx f (x)dx.
−∞

Mặt khác
1
F{f (x)} = √
2π
1
=√
2π
1
=√
2π

∞

e−ikx f (x)dx

−∞
∞

e−ikx f (x)dx
−∞
∞

eikx f (x)dx.
−∞

Vậy
F{f (−x)} = F{f (x)}.
(d)
1
F{eiax f (x)} = √
2π
1
=√
2π

∞

eiax e−ikx f (x)dx
−∞
∞

e−ix(k−a) f (x)dx
−∞

= F (k − a).

(e) Theo định nghĩa biến đổi ngược Fourier
∞

1
f (x) = √
2π

eikx F (k)dk = F −1 {F (k)}.
−∞

10

(1.12)


Đổi thứ tự của x và k đồng thời thay k bởi −k, ta có
∞

1
f (−k) = √
2π

e−ikx F (x)dx = F{F (x)}.
−∞

Cuối cùng ta chứng minh phần (f), vì F (k) = F{f (x)} nên theo định nghĩa
ta có
∞

∞

∞

F (k)g(k)eikx dk =
−∞

−∞
∞

=
−∞
∞

1
g(k)eikx dk √
2π

e−ikξ f (ξ)dξ
−∞

∞

1
f (ξ)dξ √
2π

e−ik(ξ−x) g(k)dk
−∞

f (ξ)G(ξ − x)dξ.

=
−∞

Nói riêng, khi x = 0 thì
∞

∞

f (k)G(k)dk =
−∞

f (ξ)G(ξ)dξ.
−∞

Định lý được chứng minh.
Định lý 1.1.2. Nếu f (x) là một hàm khả vi liên tục từng khúc và khả tích
tuyệt đối thì
(i) F (k) bị chặn trên khoảng (−∞, +∞),
(ii) F (k) liên tục trên khoảng (−∞, +∞).
Chứng minh. Từ định nghĩa ta có
∞

1
|F (k)| ≤ √
2π
1
=√
2π

|e−ikx ||f (x)|dx
−∞
∞

−∞

c
|f (x)|dx = √ ,
2π

11


ở đây

∞

|f (x)|dx = const.

c=
−∞

Phần (i) được chứng minh.
Chứng minh phần (ii), ta có
∞

1
|F (k + h) − F (k)| ≤ √
2π

|e−ihx − 1||f (x)|dx
−∞
∞

2
≤√
π

|f (x)|dx.
−∞

Do lim |e−ihx − 1| = 0 với mọi x ∈ R, nên
h→0

∞

1
lim |F (k + h) − F (k)| ≤ lim √
h→0
h→0
2π

|e−ihx − 1||f (x)|dx = 0.
−∞

Điều này chứng tỏ F (k) là hàm liên tục. Mệnh đề được chứng minh.
Định lý 1.1.3 (Bổ đề Rieman - Lebesgue). Nếu F (k) = F{f (x)} thì
lim |F (k)| = 0.

(1.13)

|k|→∞

Chứng minh. Từ e−ikx = −e−ikx−iπ ta có
∞

1
F (k) = − √
2π
1
=− √
2π

π

e−ik(x+ k ) f (x)dx
−∞
∞

e−ikx f x −

π
dx.
k

−∞

Do vậy
∞

1
1
√
F (k) =
2
2π

∞

e

−ikx

e−ikx f x −

f (x)dx −

−∞

−∞

12

π
dx
k


∞

1 1
= √
2 2π

e−ikx f (x) − f x −

π
k

dx.

−∞

Khi đó

∞

1
|F (k)| ≤ √
2 2π

f (x) − f x −

π
k

dx.

−∞

Chuyển qua giới hạn, ta có
∞

1
lim |F (k)| ≤ √
lim
|k|→∞
2 2π |k|→∞

π
k

f (x) − f x −

dx = 0.

−∞

Định lý được chứng minh.
Định lý 1.1.4. Nếu f (x) là hàm khả vi liên tục và f (x) → 0 khi |x| → ∞
thì
F{f (x)} = (ik)F{f (x)} = (ik)F (k).

(1.14)

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có
∞

1
F{f (x)} = √

2π

e−ikx f (x)dx.
−∞

Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta có
1
F{f (x)} = √
2π

e−ikx f (x)

∞
−∞

∞

ik
+√
2π

e−ikx f (x)dx
−∞

=(ik)F (k).
Định lý được chứng minh.
Nếu f (x) có đạo hàm cấp n liên tục và f (k) (x) → 0 khi |x| → ∞ với
k = 1, 2, . . . , n − 1 thì biến đổi Fourier của đạo hàm cấp n là
F{f (n) (x)} = (ik)n F{f (x)} = (ik)n F (k).

13

(1.15)


Kết quả tính toán trong (1.14) và (1.15) là điều kiện cần cho đạo hàm
riêng của hàm hai biến hay nhiều biến. Ví dụ cho hàm u(x, t) là hàm của
biến không gian x và biến thời gian t thì
∂u
∂x
∂u
F
∂t
F

=(ik)U (k, t),
=

dU
,
dt

∂2u
= −k 2 U (k, t),
2
∂x
2
∂ u
d2 U
F

= 2,
∂t2
dt
F

ở đây U (k, t) = F{u(x, t)}.

1.2

Biến đổi Fourier trên không gian L1 (Rn )

Xét hàm số f : Rn → C sao cho
f

|f (x)|dx < +∞

L1 (Rn ) :=
Rn

Không gian các hàm này được ký hiệu bởi L1 (Rn ) và đây là không gian
Banach với chuẩn xác định ở trên.
Định nghĩa 1.2.1. Biến đổi Fourier của hàm f : Rn → C được ký hiệu bởi
fˆ hoặc F(f ) xác định bởi:
fˆ(ξ) = F(f )(ξ) :=

1
2π

n
2

f (x)e−ixξ dx,

ξ ∈ Rn ,

Rn

trong đó, xξ = x1 ξ1 + ... + xn ξn là tích trong giữa x và ξ.
Chú ý 1.2.1. Khi thảo luận về biến đổi Fourier song song với lý thuyết dao
động tích phân, ta cần lưu ý trong trường hợp biến đổi fourier của hàm pha
φξ (x) = −xξ khi ψ(x) = f (x). Như vậy, trọng tâm chính của ta khi thảo luận
về dao động tích phân là theo pha và hàm ψ đóng vai trò thứ yếu, trong biến
đổi Fourier thì ψ ≡ f .
Chúng ta cùng xét ví dụ sau.

14


2

Ví dụ 1.2.1. Với a > 0, cho f (x) = e−πa|x| . Khi đó
fˆ(ξ) =

n
2

1
2π

−π

2 −

a

e

|ξ|2
4a

.

Thật vậy, xét trong trường hợp một chiều ta có
2
1
e−πax e−ixξ dx
fˆ(ξ) = √
2π R
ξ2
2
ε
1
=√
e−πa(x+i 2πa ) dxe− 4πa
2π R
ξ2
2
1
=√
e−πax dxe− 4πa
2π R

ξ2
1
1
= √ a− 2 e− 4πa .
2π

Trường hợp n chiều tương tự.
Mệnh đề dưới đây là các tính chất quan trọng của biến đổi Fourier:
Mệnh đề 1.2.1. Cho f, g ∈ L1 (Rn ) và a, b ∈ C.
(i) Biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính:
F(af + bg) = aF(f ) + bF(g).
(ii) Hàm fˆ liên tục đều và bị chặn. Hơn nữa ta có
fˆ

L∞ (Rn ) ≤

1
2π

n
2

f

L1 (Rn )

.

Do đó, ánh xạ F : L1 (Rn ) → L∞ (Rn ) là toán tử tuyến tính bị chặn.
(iii) (Riemann - Lebesgue) Ta có

lim

|ξ|→+∞

fˆ(ξ) = 0.

Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được (i) và (ii), ta chứng minh (iii).
∞
Đầu tiên, giả sử f là hàm trơn với giá compact, tức là f ∈ CC
(Rn ) ⊂ L1 (Rn ).

Với j = {1, 2, ..., n}, giả sử rằng
∂xj (e−ixξ ) = (−iξj )e−ixξ
15


khi đó
ξj ∂j (e−ixξ ) = −i|ξ|2 e−ixξ .
j

Ký hiệu bởi toán tử đạo hàm riêng D
D(φ) :=

−

j ξj ∂j φ
i|ξ|2

Ta có
e−ixξ = D(e−ixξ ) = DN (e−ixξ )

∞
(Rn ) và kết hợp các phần
với N nguyên dương tùy ý. Giả thiết rằng f ∈ CC

trong mỗi biến ta thu được
f (x)e−ixξ dx =
Rn

f (x)DN (e−ixξ ) =
Rn

(−D)N (f )(x)e−ixξ dx.
Rn

Ta kết luận rằng
|fˆ(ξ)|

f,N

1
|ξ|N

với mọi N nguyên dương bất kì và ở đây ngụ ý rằng hằng số chỉ phụ thuộc
vào N và chuẩn trên đạo hàm của f lên đến N. Điều này chỉ ra rằng fˆ giảm
nhanh hơn bất kì đa thức bậc tại vô cùng, đặc biệt lim|ξ|→∞ fˆ(ξ) = 0.
Mở rộng kết quả với bất kì f ∈ L1 (Rn ) kéo theo hệ quả của việc Cc∞ (Rn )
trù mật trong L1 (Rn ).
Mệnh đề dưới đây là công thức của phép biến đổi Fourier ngược trong
L1 (Rn ).
Mệnh đề 1.2.2. Cho f ∈ L1 (Rn ) thỏa mãn fˆ ∈ L1 (Rn ). Khi đó công thức

Fourier ngược được xác định như sau
f (x) =

1
2π

n
2

fˆ(ξ)eix.ξ dξ,
Rn

với mọi x ∈ Rn .
16


Chứng minh. Chứng minh này dựa trên tính toán. Cho a ≥ 0 ta có
fˆ(ξ)e

−a|ξ|2 ix.ξ

e

dξ

n
2

1
2π

1
2π

=

Rn

=

1
2π
1
2

=
=

2

f (y)e−iyξ dye−a|ξ| eix.ξ dξ
Rn

n
2

Rn
2

e−iyξ e−a|ξ| dξdy

f (x + y)
Rn
n
2

Rn

n
2

|y|2
f (x + y)e a dy

n
2

π
a

−

Rn

f (x +

√

2

ay)e−|y| dy,

Rn

Ta có thể viết
I

2
fˆ(ξ)e−a|ξ| eix.ξ dξ − f (x) dx

=
Rnn

Rn

1
2

=
Rn

=
Rn

1
2

≤

f (x +

√

2

ay)e−|y| dy − f (x) dx

Rn

n
2

1
2

{f (x +

√

2

ay) − f (x)}e−|y| dy dx

Rn

n
2

|f (x +
Rn

n
2

1
2

=

2

√

2

ay) − f (x)|dxe−|y| dy

Rn
2

Rn

||f − τ−√ay f ||L1 (Rn ) e−|y| dy.

Từ đó ||f − τ−√ay f ||L1 (Rn ) → 0 khi a → 0 và ||f − τ−√ay f ||L1 (Rn ) ≤
2||f ||L1 (Rn ) , định lý hội tụ trội của Lebesgue chỉ ra rằng là hầu khắp nơi
bằng giới hạn trên L1 của chuỗi các hàm
2
fˆ(ξ)e−a|ξ| eix.ξ dξ,

ga (x) =

Rn

khi a → 0. Mặt khác, từ fˆ ∈ L1 (Rn ), định lý hội tụ trội Lebesgue cũng chỉ
fˆ(ξ)eix.ξ dξ.

ra rằng ga cũng bằng
Rn

Mệnh đề được chứng minh.
Nhận xét 1.2.1. Từ phát biểu của bổ đề trên, ta có thế đưa ra định nghĩa
biến đổi Fourier ngược của hàm g ∈ L1 (Rn ) như sau
g˜(x) = F

−1

g(x) =

1
2π
17

n
2

g(ξ)eix.ξ dξ.
Rn


Thực vậy, với nhận xét trên và mệnh đề 0.6 ta có f = F −1 F f với mọi
f, fˆ ∈ L1 (Rn ).

Hệ quả 1.2.1. Cho f1 , f2 ∈ L1 (Rn ) và giả sử rằng fˆ1 = fˆ2 với mọi ξ ∈ Rn .
Khi đó ta có f1 (x) = f2 (x) với mọi x ∈ Rn .

1.3

Biến đổi Fourier trên không gian Schwartz

Ta đã nghiên cứu thấy rằng biến đổi Fourier tương tác tốt đối với các hàm
∞
trơn có giá compact; thực vậy, nếu f ∈ CC
(Rn ) thì fˆ cũng trơn và phân rã

nhanh hơn bất kỳ bậc đa thức nào tại vô cùng. Hơn thế nữa, với một tính
toán đơn giản có thể chỉ ra các đạo hàm của fˆ phân rã nhanh hơn bất kỳ
bậc đa thức tại vô cùng. Một nhược điểm của lớp này đó là không đóng dưới
tác động của biến đổi Fourier. Tức là, một hàm có giá compact thì biến đổi
Fourier của nó không bao giờ có giá compact và đây chính là một cách diễn
tả của nguyên lý bất định: Nếu f, fˆ đều có giá compact thì hàm f phải đồng
nhất bằng không. Hay nói cách khác, không thể xảy ra trường hợp cả hàm số
và biến đổi Fourier của nó đều địa phương tốt trong không gian (thời gian)
và tần số tương ứng.
Đó là một động lực tốt để làm việc với lớp các hàm Schwartz trên Rn .
Định nghĩa 1.3.1. S(Rn ) là không gian các hàm khả vi vô hạn (C ∞ ) f :
Rn → C sao cho
sup |xα ∂ β f (x)| < ∞,
x∈Rn

với mọi đa chỉ số α = (α1 , . . . , αn ), β = (β1 , . . . , βn ) của các số nguyên không
âm.
Nói cách khác, các hàm Schwartz là các hàm trơn mà đạo hàm riêng mọi

cấp phân rã nhanh hơn bất kỳ bậc đa thức nào tại vô cùng. Dĩ nhiên, mọi
∞
hàm trong lớp CC
(Rn ) đều là một hàm Schwartz tầm thường vì đạo hàm

18


mọi cấp của nó đồng nhất triệt tiêu tại vô cùng.
Xét ví dụ hàm Schwartz là hàm Gauss φ : Rn → C sao cho
2

φ(x) = e−δ|x| ,

δ > 0.

Không gian S(Rn ) trù mật trong mọi không gian Lp (Rn ) với 1 ≤ p < ∞.
Có một thực tế hơi khó chịu về không gian các hàm Schwartz S(Rn ) là
nó không phải một không gian Banach khi tôpô của nó không cảm sinh bởi
một chuẩn duy nhất mà do một họ đếm được các bán chuẩn. Ví dụ, ta có
thể định nghĩa với số nguyên không âm N :
pN (f ) :=

sup |xα ∂ β f (x)|,

sup

|α|≤N,|β|≤N x∈Rn

ở đó α, β là các đa chỉ số và |α| = α1 + . . . + αn .b Do vậy, f ∈ S(Rn ) nếu và

chỉ nếu f ∈ C ∞ (Rn ) và pN (f ) < +∞ với mọi N ∈ N0 .
Mệnh đề 1.3.1. Không gian S(Rn ) là một không gian Fréchet, tức là một
không gian vectơ tôpô phức địa phương được cảm sinh bởi một metric bất biến
đủ.
Một metric có thể được dễ dàng xác định như
∞

ρ(f, g) :=
N =0

1 pN (f − g)
,
2N 1 + pN (f − g)

f, g ∈ S(Rn ).

Một điều quan trọng là nhớ rằng lớp Schwartz là một không gian vectơ đủ có
tôpô tự nhiên được biểu diễn bởi tất cả các bán chuẩn ở trên. Bổ đề dưới đây
nói về các toán tử liên lục từ S(Rn ) tới chính nó hoặc từ S(Rn ) tới không
gian Banach nào đó.
Bổ đề 1.3.1. Cho không gian Banach (X, ·

X ).

(i) Toán tử tuyến tính T : S(Rn ) → X liên tục khi và chỉ khi tồn tại N ≥ 0
và C > 0 sao cho
T (φ)
với mọi φ ∈ S(Rn ).
19

X≤

CpN (φ),


(ii) Giả sử T : S(Rn ) → S(Rn ) là một toán tử tuyến tính. Khi đó T liên
tục nếu và chỉ nếu với mỗi N > 0 tồn tại N > 0 và C > 0 sao cho
pN (T (φ)) ≤ CpN (φ),
với mọi φ ∈ S(Rn ).
Với các khái niệm và định nghĩa đã được hiểu để nghiên cứu sự tác động
của biến đổi Fourier trên lớp Schwartz S(Rn ). Quan sát đơn giản đầu tiên
là fˆ ∈ S(Rn ) bất cứ khi nào f ∈ S(Rn ). Ta có thể dễ dàng chứng minh
bằng cách dùng công thức giao hoán cho biến đổi Fourier, các đạo hàm và
phép nhân đơn thức. Hơn nữa, có thể kiểm tra biến đối Fourier F là lên
S(Rn ), tức với f ∈ S(Rn ) thì tồn tại g ∈ S(Rn ) sao cho f = gˆ. Thật vậy,
nếu f ∈ S(Rn ) thì fˆ ∈ S(Rn ) ⊂ L1 (Rn ) nên từ công thức đảo ta được
ˆ
˜
f = F −1 Ff = F −1 fˆ = F(f˜), với h(x)
= h(−x). Kết hợp các điều trên ta
được:
Định lý 1.3.1. Biến đổi Fourier là một đồng phôi của S(Rn ) lên chính nó.
Toán tử
F −1 : S(Rn ) → S(Rn ),

g → F −1 (g)(x) =

1
2π

n
2

f (ξ)eixξ dξ,
Rn

là nghịch đảo liên tục của F trên S(Rn ):
FF −1 = F −1 F = Id,
trên S(Rn ).

1.4

Biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn )

Định nghĩa về biến đổi Fourier trên L2 (Rn ) không có ngay lập tức do tích
phân
1
2π

n
2

f (x)e−ixξ dx
Rn

20


không có nghĩa nếu f chỉ là một hàm L2 . Thay vào đó, chúng ta có thể tiến
hành chứng minh sự tồn tại và liên tục của biến đổi Fourier trên một tập con

trù mật nào đó của L2 như lớp S(Rn ) ∩ L2 (Rn ).
Mệnh đề 1.4.1 (Công thức nhân). Cho f, g ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ). Khi đó
fˆ(ξ)g(ξ)dξ =
Rn

f (x)ˆ
g (x)dx
Rn

¯
Nếu thay g = fˆ chúng ta có đẳng thức Parseval
fˆ

L2 (Rn ) =

f

L2 (Rn )

với mọi f ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ). Từ đó, các lớp hàm trù mật trong L2 (Rn ) và
hạn chế của F trên S là liên tục, biến đổi Fourier trở thành toán tử tuyến
tính bị chặn F : L2 (Rn ) → L2 (Rn ). Thật vậy, đẳng thức Parseval tiến tới
toán tử mới mà ta gọi là F và chỉ ra rằng biến đổi Fourier là một toán tử
đồng nhất trên L2 (Rn ). Một cách dễ dàng để đưa ra công thức cho biến đổi
Fourier trên L2 (Rn ) dưới đây:
Bổ đề 1.4.1. Giả sử f ∈ L2 (Rn ). Công thức dưới đây là xác định
fˆ(ξ) = L2 − lim =
R→+∞

2

f (x) = L − lim =
R→+∞

1
2π
1
2π

n
2

f (x)e−ixξ dx,
|x|≤R

n
2

fˆ(ξ)e−ixξ dξ,
|ξ|≤R

ở đó các ký hiệu trên có nghĩa là các giới hạn được xét trên chuẩn L2 .

21


Chương 2

Bổ đề Van der Corput
Mục đích chính của phần này là đưa ra ước lượng mạnh cho trường hợp

đặc biệt của tích phân dao động dưới dạng
b

eif (x) dx ≤ Cn
a

n
λ1/n

,

(2.1)

trong đó λ là hằng số thỏa mãn |f (n) (x)| ≥ λ với mọi x ∈ [a, b]. Vấn đề này
được tham khảo trong tài liệu [2] và [3].
Trước khi chứng minh Định lí chính, ta đưa ra một số ước lượng thô cho
các hàm khả vi cấp 1 và cấp 2.

2.1

Một số ước lượng thô cho tích phân dao
động

Mệnh đề 2.1.1. Giả sử φ ∈ C 2 (R) thỏa mãn φ là hàm tăng và φ (x) = 0
∀x ∈ [a, b]. Khi đó ta có ước lượng dưới đây
b

eiφ(x) dx ≤
a

3
inf x∈[a,b] |φ (x)|

22

.


Hơn nữa, nếu φ là hàm giảm và φ (x) = 0 ∀x ∈ [a, b] thì kết quả trên vẫn
đúng.
Chứng minh. Trước tiên, ta có
b

b

1
d(eiφ(x) )
iφ (x)

eiφ(x) dx =
a

a

1
=
eiφ(x)
iφ (x)
=

b

b
a

a

eiφ(a)
eiφ(b)
−
−
iφ (b) iφ (a)

b
a

1
1
+
+
φ (b)
φ (a)

eiφ(x)
d
i
b

|eiφ(b) |
|eiφ(a) |

≤
+
+
|iφ (b)| |iφ (a)|
≤

1
iφ (x)

eiφ(x) d

−

a
b
a

1
φ (x)

eiφ(x)
i

d

1
φ (x)

d
dx

1
φ (x)
dx.

Do đó,
b

eiφ(x) dx ≤
a

b

1
1
+
+
|φ (b)| |φ (a)|

a

d
dx

1
φ (x)

dx .

(2.2)

Do φ (x) = 0, φ (x) liên tục và tăng trên [a, b] nên xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1. Xét φ (a) ≤ φ (b) < 0. Khi đó
inf |φ (x)| = |φ (b)|.
x∈[a,b]

Áp dụng (2.2) ta có
b

e

iφ(x)

a

1
1
dx ≤
+
+
|φ (b)| |φ (b)|

b
a

|φ (x)|
dx.
|φ (x)|2

Do φ (x) đơn điệu tăng, nên

φ (x) ≥ 0.
Bởi vậy,
b

eiφ(x) dx ≤
a

2
+
|φ (b)|
23

b
a

φ (x)
dx
(φ (x))2

(2.3)