Về tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————-

LÊ HẢI LY

VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU
CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ HẢI LY

VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA
DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI−2016


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Danh mục kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 Tập lồi và hàm lồi trong không gian vectơ tôpô

6

1.1

Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi

20

2.1

Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . .

31

3 Ứng dụng trong bài toán tối ưu

39

3.1

Tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2

Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3

Ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán tối ưu . . . . . . . . . .

50

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Tài liệu tham khảo

58

1


LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích lồi là bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, có vai trò quan trọng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt trong tối ưu
hoá, các bài toán cân bằng, ...
Khái niệm dưới vi phân là một khái niệm mở rộng của khái niệm vi phân
đối với hàm lồi. Khái niệm này được Jean Jacques Moreau và R. Tyrrell
Rockafellar đưa ra vào những năm sáu mươi của thế kỉ 20 đã mở ra một kỉ

nguyên mới cho lĩnh vực giải tích không trơn phát triển rực rỡ.
Như chúng ta đã biết, đạo hàm là công cụ cơ bản và cổ điển nhất nghiên
cứu các tính chất của hàm như tính tăng, giảm, các điểm cực trị,...và nó chỉ
có thể tính đối với các hàm khả vi. Tuy nhiên trong các vấn đề thực tiễn, các
lớp hàm xuất hiện thường là các hàm lồi không khả vi, chẳng hạn như hàm
khoảng cách hay hàm max, hàm min ... Vậy nên các bài toán tối ưu cần dưới
vi phân để khảo sát tính cực tiểu của lớp các hàm này.
Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi là một trong những tính chất
quan trọng của hàm lồi. Ta đã thấy với hàm lồi một biến khả vi thì đạo
hàm của nó là một hàm đơn điệu không giảm. Tính chất này có thể mở rộng
cho hàm lồi nhiều biến không nhất thiết khả vi. Khi đó ánh xạ (toán tử)
x → ∂f (.) là một ánh xạ đa trị. Trên thực tế lớp các toán tử đơn điệu tuần
hoàn cực đại trùng với lớp các toán tử dưới vi phân của hàm lồi, đóng, chính
thường.
Do vậy, mục đích của luận văn là nghiên cứu dưới vi phân hàm lồi và tính
đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi.
Nội dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản như: Không gian tôpô,
không gian tôpô lồi địa phương, tập lồi, hàm lồi, ... .

2


Chương 2: Nội dung chương này là trình bày: Khái niệm dưới vi phân
hàm lồi trong không gian tôpô và các tính chất của dưới vi phân trong không
gian Hilbert: tính đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu
cực đại).
Chương 3: Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi và tính đơn điệu của dưới
vi phân hàm lồi trong bài toán tối ưu.

3


Danh mục kí hiệu
R: Tập số thực;
¯ Tập số thực mở rộng (R
¯ = R ∪ {−∞; +∞});
R:
N: Tập hợp số tự nhiên;
¯ Bao đóng của A;
A:
coA: Bao lồi của A;
af f (A): Bao affine của tập A;
ri(A): Tập điểm trong tương đối của A;
coA:
¯
Bao lồi đóng của A;
intA: Tập các điểm trong của A;
coreA: Lõi của tập A;
spanx0 : Không gian căng bởi x0 ;
f |M : Hạn chế của f trên tập M ;
H, K: không gian Hilbert thực;
2H : Tập tất cả các tập con của H;
. : Chuẩn trên không gian Hilbert;
x, y : Tích vô hướng của hai vectơ x và y;
B(H, K): Không gian các toán tử bị chặn từ H vào K
linA: Bao tuyến tính của A;
Γ(H): Tập các hàm lồi nửa liên tục dưới từ H vào [−∞; +∞];
Γ0 (H): Tập các hàm lồi nửa liên tục dưới từ H vào (−∞; +∞];
f ∗ : Hàm liên hợp của f ;

f ⊕ f ∗ : Tổng trực tiếp của f và f ∗ ;
domf : Miền hữu dụng của hàm f ;
epif : Trên đồ thị của f ;
∂f (x): Dưới vi phân của f tại x;

4


∇f (x): Đạo hàm của f tại x;
f (x; d): Đạo hàm theo hướng d của f tại x;
X # := L(X, R): Không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X.

5


Chương 1

Tập lồi và hàm lồi trong
không gian vectơ tôpô
Mục đích chính của chương này là nêu lại các khái niệm cơ bản về giải
tích lồi như không gian vectơ tôpô, tập lồi, hàm lồi trong không gian vectơ
tôpô. Các kiến thức trong chương này được trích từ tài liệu [2], [3].

1.1

Không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ τ những tập
con của X (hay τ ⊂ P (X)) được gọi là tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các
tính chất sau:

i) ∅, X ⊂ X.
ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .

6


Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian tôpô (X, τ ). Một họ B được gọi là cơ sở
lân cận của τ nếu mọi tập U ∈ τ đều biểu diễn dưới dạng hợp các tập thuộc
B.
Định nghĩa 1.1.3. Một họ V ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của x0 ∈ X
nếu mọi lân cận U của x0 đều tồn tại V ∈ V sao cho x0 ∈ V ⊆ U .
Ta có kết quả sau: Cho B ⊆ P(X ). Để tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ
sở thì điều kiện cần và đủ là B thỏa mãn các tính chất sau:
i)

V ∈B

V = X.

ii) ∀U, V ∈ B; ∀x ∈ U ∩ V , ∃W ∈ B : x ∈ W ⊆ U ∩ V
Cho một họ C ⊆ P(X ) tùy ý. Khi đó họ
k

Ci |k ∈ N∗ ; Ci ∈ C, 1 ≤ i ≤ k

B :=
i=1

thỏa mãn (i-ii) nên sẽ là cơ sở của một tôpô τ nào đó trên X.

Định nghĩa 1.1.4. Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là cân
đối nếu với mọi |λ| ≤ 1 ta có λA ⊆ A.
Định nghĩa 1.1.5. Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp
thụ nếu
∀v ∈ X, ∃ε > 0, (−εv, εv) ⊂ A
hay một cách tương đương,
∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀ |t| ≥ δ, v ∈ tA.
Một điểm x0 được gọi là điểm bọc của A nếu A − x0 là hấp thụ. Tập tất
cả các điểm bọc của A, kí hiệu coreA, gọi là lõi của A. Như vậy:
x0 ∈ coreA ⇔ ∀v ∈ X, ∃ε > 0, ∀λ ∈ (−ε, ε) : x0 + λv ∈ A
7


Một dãy vô hạn các phần tử {xn } trong không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
hội tụ đến x
¯ nếu với mọi lân cận V của x
¯ , tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0
ta có xn ∈ V , kí hiệu xn → x
¯.
Định nghĩa 1.1.6. Một tập con A của X gọi là compact nếu mọi dãy vô
hạn các phần tử trong A đều tồn tại dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A.

1.2

Tập lồi

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian vectơ tôpô, hai điểm x, y ∈ X
khi đó, ta có các định nghĩa dưới đây
i) Một đường thẳng đi qua hai điểm x, y là tập hợp có dạng
L (x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ R} .

ii) Đoạn thẳng nối hai điểm x, y trong X có dạng
[x, y] = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ [0, 1]} .
iii) Khoảng mở nối hai điểm x, y trong X có dạng
(x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ (0, 1)} .
iv) Nửa khoảng nối hai điểm x, y trong X có dạng
[x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ (0, 1]} .
Định nghĩa 1.2.2. Tập hợp C ⊂ X gọi là tập lồi nếu mọi cặp x, y ∈ C ta
có (x, y) ∈ C tức là ∀x, y ∈ C ta có
λx + (1 − λ)y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) .
Ví dụ 1.2.1.

+) Các tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi.
8


+) Toàn bộ không gian là tập lồi.
+) Hình cầu là tập lồi.
+) Các không gian con là các tập lồi.
Định nghĩa 1.2.3. Ta nói x là một tổ hợp lồi các điểm (vec tơ) x1 , x2 , ..., xk
nếu
k

k
j

λj = 1.

λj x ; λj > 0, j = 1, 2, ..., k;
j=1

j=1

Định nghĩa 1.2.4. Bao lồi của tập A ⊂ X, kí hiệu coA, là giao tất cả các
tập lồi chứa A.
Nhận xét: coA là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa A.
Tính chất:
1) Giao của một họ bất kì các tập lồi là tập lồi.
2) C là tập lồi ⇔ C = coC.
3) A, B là các tập lồi và α ∈ R ⇒ A + B; αA cũng là các tập lồi.
Định nghĩa 1.2.5. Siêu phẳng trong không gian X là một tập hợp các điểm
có dạng
x ∈ X : aT x = α
trong đó a ∈ X là một vectơ khác 0 và α ∈ R.
Cho X là một không gian vectơ tôpô. Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là
một phiếm hàm dưới tuyến tính nếu
a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với ∀x, y ∈ X.
b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X.

9


Định lý 1.2.1. (Định lý Hahn - Banach) Cho ϕ là một phiếm hàm dưới
tuyến tính trên X, M là một không gian con của X và f ∈ M # thoả mãn
f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M . Lúc đó, tồn tại F ∈ X # sao cho
a) F |M = f .
b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X.
Cho A, B là hai tập con của không gian vectơ tôpô X. Một phiếm hàm tuyến
tính f ∈ X # \ {0} gọi là tách A và B nếu f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b));
∀a ∈ A, b ∈ B. Tức là, tồn tại số α ∈ R sao cho f (a) ≤ α ≤ f (b), ∀a ∈
A, b ∈ B.

Khi đó ta nói siêu phẳng H(f ; α) := f −1 (α) = {x ∈ X|f (x) = α} tách A
và B.
Nhận xét: Siêu phẳng tách hai tập nếu có là không duy nhất.
Định lý 1.2.2. (Định lý tách cơ bản) Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng,
coreA = ∅ và A ∩ B = ∅. Lúc đó, tồn tại siêu phẳng tách A và B.
Bổ đề 1.2.1. Nếu C là một tập lồi, hấp thụ và x0 ∈
/ C thì tồn tại siêu phẳng
tách C và x0 .
Chứng minh. Đặt M = span {x0 } và g : M → R xác định bởi g(λx0 ) = λ
với ∀λ ∈ R . Lúc đó g ∈ M # , hơn nữa do pC (x0 ) ≥ 1 (pC là phiếm hàm
Minkowskii của C xác định bởi: pC (x) := inf {λ > 0|x ∈ λC} ; x ∈ X) nên
g(m) ≤ pC (m) với ∀m ∈ M .
Áp dụng định lý Hahn - Banach tồn tại f ∈ X # sao cho f |M = g và
f (x) ≤ pC (x), ∀x ∈ X.
Rõ ràng, f (x0 ) = 1. Mặt khác, với mọi c ∈ C ta có: f (c) ≤ pC (c) ≤ 1.
Nên f tách C và x0 .
Chứng minh. (định lý tách) Giả sử a0 ∈ coreA và b0 ∈ B. Đặt x0 = a0 − b0
và C := A − B − (a0 − b0 ) ⇒ C là tập lồi, hấp thụ và không chứa x0 . Theo
10


bổ đề trên ⇒ ∃f ∈ X # \ {0} tách C và x0 ⇒ f tách A và B.
Cho H là một không gian Hilbert và M là một không gian con đóng của
H. Ta biết rằng với mỗi x ∈ H có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x = y + z trong đó y ∈ M, z ∈ M ⊥ .
Định nghĩa 1.2.6. Xét toán tử P : H → H được định nghĩa bằng cách với
mọi x ta lấy P x = y trong đó x = y + z ⇒ P là toán tử tuyến tính. Ta gọi
P là phép chiếu hay toán tử chiếu từ không gian H lên không gian con đóng
M.
Chú ý: Kí hiệu I là toán tử đồng nhất trên H ta có z = x − y = x − P x =

(I − P )x nên I − P là toán tử chiếu từ không gian H lên không gian con đóng
M ⊥.
Với mọi x ∈ H ta có x

2

= y

2

+ z

2

do y⊥z.

Như vậy P x = y ≤ x nghĩa là P liên tục và P ≤ 1.
Nếu M = {0} ta lấy y ∈ M thì P y = y nên P ≥ 1.
Tức là, P = 1.
Mệnh đề 1.2.1. Toán tử chiếu từ không gian Hilbert H lên không gian con
đóng M là tự liên hợp và thỏa mãn đẳng thức P 2 = P .
Mệnh đề 1.2.2. Cho P : H → H là một toán tử liên hợp trong không gian
Hilbert thỏa mãn điều kiện P 2 = P . Khi đó P là một toán tử chiếu.
Định nghĩa 1.2.7. Một tập C được gọi là nón nếu ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈
C.
Nhận xét:
• Gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc nón.
• Một nón không nhất thiết phải là tập lồi.
Ví dụ 1.2.2. Tập C := {x ∈ R|x = 0} là nón nhưng không lồi.
11

Định nghĩa 1.2.8. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập
lồi.
Ví dụ 1.2.3. Cho X = Rn , bα ∈ Rn (α ∈ I). Khi đó tập
K = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0, ∀α ∈ I}
Kα , trong đó: Kα = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0} là một

là một nón lồi vì K =
α∈I

nón lồi.
Mệnh đề 1.2.3. Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi C có các tính chất:
i) λC ⊆ C, ∀λ > 0.
ii) C + C ⊆ C.
Chứng minh. (⇒) Giả sử C là một nón lồi. Do C là nón lồi nên ta có i).
Do C là một tập lồi nên với ∀x, y ∈ C thì

1
2 (x

+ y) ∈ C theo i) ta có

x + y ∈ C ⇒ ii).
(⇐) Giả 
sử có i) và ii). Từ i) suy ra C là một nón.

λx ∈ C
Từ i) ⇒
. Theo ii) ta có: λx + (1 − λ)y ∈ C ⇒ C là một

 (1 − λ)y ∈ C
tập lồi.
Vậy C là nón lồi.
Định nghĩa 1.2.9. Nửa không gian đóng là tập hợp có dạng x|aT x ≥ α
trong đó a = 0 và α ∈ R.
Định nghĩa 1.2.10. Một tập được gọi là lồi đa diện nếu nó là giao của một
số hữu hạn các nửa không gian đóng.
Định nghĩa 1.2.11. Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốc gồm toàn các tập
lồi thì τ sẽ được gọi là tôpô lồi địa phương và X được gọi là không gian tôpô
lồi địa phương.
12


Ví dụ 1.2.4. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh
bởi họ chỉ gồm một tập V0 = {B(0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng
là V = { B(0; 1)| > 0} = {B(0; )| > 0}.
Định lý 1.2.3. Cho X là không gian vectơ
a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận
gốc V gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ.
b) Ngược lại, nếu V0 là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ
m

V :=

Vi | > 0, m ∈ N ; Vi ∈ V0
i=1

Là một cơ sở lân cận gốc của một tô pô lồi địa phương nào đó.

1.3

Hàm lồi

Giả sử X là không gian tôpô lồi địa phương, D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞}.
Định nghĩa 1.3.1. Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu epif , được định nghĩa
như sau
epif = {(x, r) ∈ D × R|f (x) ≤ r} .
Định nghĩa 1.3.2. Miền hữu hiệu của f , kí hiệu domf , được định nghĩa
domf = {x ∈ D|f (x) ≤ +∞} .
Định nghĩa 1.3.3. Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅ và
f (x) > −∞ (∀x ∈ D).
Định nghĩa 1.3.4. Hàm f được gọi là hàm lồi trên tập lồi D, nếu epif là
một tập lồi trong không gian X × R. Hàm f được gọi là hàm lõm trên D nếu
−f là hàm lồi trên D.

13


Nhận xét: f lồi ⇒ domf là tập lồi.
Chứng minh. Ta có domf là hình chiếu trên X của epif .
domf = {x ∈ D|f (x) ≤ +∞} = {x : ∃r : (x; r) ∈ epif }
Như vậy domf là ảnh của tập lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính. Do đó,
domf lồi.
Ví dụ 1.3.1. Giả sử A là hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lần trên tập
lồi, mở A ⊂ Rn . Khi đó, f lồi trên A khi và chỉ khi ma trận Hessian Qx =
∂2f
∂xi ∂xj

là xác định dương, ∀x ∈ A tức là: z, Qx z ≥ 0 (∀z ∈ Rn , ∀x ∈ A).

Ví dụ 1.3.2. Chuẩn Euclide là một hàm lồi trên Rn
x = x, x

1
2

= x21 + x22 + ... + x2n

1
2

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .
Định nghĩa 1.3.5. Hàm f được gọi là lồi mạnh trên tập D với hệ số lồi
η > 0, nếu ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) có:
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) −

ηλ(1 − λ)
2
x−y .
2

Định lý 1.3.1. Giả sử D là tập lồi trong không gian X, f : D → (−∞; +∞].
Khi đó f lồi trên D khi và chỉ khi
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀λ ∈ [0, 1]; ∀x, y ∈ D.

(1.1)

Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi, không mất tổng quát có thể xem λ ∈ (0, 1)
không thể xảy ra trường hợp f (x) < +∞, f (y) < +∞ mà f (λx + (1 − λ)y) =
+∞ bởi vì domf lồi, với x, y ∈ domf thì [x, y] ⊂ domf .

Do λ ∈ (0, 1) nên f (x) < +∞ ⇒ λf (x) = +∞.
Nếu x hoặc y không thuộc domf thì f (x) = +∞ hoặc f (y) = +∞ và
(1.1) đúng.
14


Bởi vì epif lồi, ∀(x, r) ∈ epif, ∀(y, s) ∈ epif, ∀λ ∈ (0, 1):
λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y, λr + (1 − λ)s) ∈ epif
⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s
⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
lấy r = f (x), s = f (y).
Ngược lại, giả sử (1.1) đúng, lấy (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif, λ ∈ [0, 1] ta
chứng minh
λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epif.
Thật vậy,(x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif ⇒ f (x) ≤ r; f (y) ≤ s
⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λr + (1 − λ)s
⇒ (λx + (1 − λ)y, λr + (1 − λ)s) ∈ epif
⇒ λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epif.
Suy ra f là lồi.
Định nghĩa 1.3.6. Hàm f trên X gọi là thuần nhất dương nếu ∀x ∈ X, ∀λ ∈
(0, +∞) ta có: f (λx) = λf (x).
Định lý 1.3.2. Hàm thuần nhất dương là lồi khi và chỉ khi
f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ X.

(1.2)

Chứng minh. Giả sử hàm thuần nhất dương f là lồi, lấy x, y ∈ X. Khi đó:
f (x + y) = 2f

x y

+
2
2

≤2

1
1
f (x) + f (y) = f (x) + f (y).
2
2

Ngược lại, giả sử (1.2) đúng lấy (xi , ri ) ∈ epif (i = 1, 2) ta có: (x1 + x2 , r1 + r2 ) ∈
epif bởi vì f (x1 + x2 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 ) ≤ r1 + r2 .

15


Hơn nữa, vì f là hàm thuần nhất dương cho nên nếu (x, r) ∈ epif thì
f (x) ≤ r và λf (x) = f (λx) ≤ λr (0 < r < ∞) ⇒ λ(x, r) ∈ epif .
Như vậy, epif đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng ⇒ epif là
một nón lồi. Vậy f là hàm lồi.
Định lý 1.3.3. Giả sử f1 , f2 , ..., fm là các hàm lồi, chính thường trên X.
Khi đó, tổng f1 + f2 + ... + fm là một hàm lồi.
Nhận xét: Nếu f1 , f2 , ..., fm là các hàm lồi thì f1 + f2 + ... + fm là hàm
lồi nhưng có thể không chính thường.
Định lý 1.3.4. Giả sử F là tập lồi trong X × R và
f (x) = inf {µ : (x, µ) ∈ F } .

(1.3)

Khi đó, f là hàm lồi trên X. (Qui ước: infimum trên tập ∅ (các số thực) bằng
+∞).
Chứng minh. Nếu f (x1 ) ≤ r thì từ (1.3) ⇒ ∃µ1 < r : (x1 , µ1 ) ∈ F .
Nếu f (x2 ) ≤ s thì từ (1.3) ⇒ ∃µ2 < r : (x2 , µ2 ) ∈ F .
⇒ (λx1 + (1 − λ)x2 , λµ1 + (1 − λ)µ2 ) ∈ F (0 < λ < 1)
⇒ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) = inf {µ : (λx1 + (1 − λ)x2 , µ) ∈ F }
≤ λµ1 + (1 − λ)µ2 < λr + (1 − λ)s
⇒ f là hàm lồi.
¯ Ta định nghĩa bao lồi của f là
Định nghĩa 1.3.7. Cho hàm lồi f : X → R.
hàm cof := fco epif . Tức là,
¯
cof (x) := inf γ ∈ R|(x,
γ) ∈ co epif .
Mệnh đề 1.3.1. Với mọi x ∈ X ta có:
n

cof (x) = inf

n

λi xi = x, λi ≥ 0,

λi f (xi )|
i=1

n

i=1

λi = 1, xi ∈ X
i=1

16

.


¯ f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0
Định nghĩa 1.3.8. Cho f : X → R.
nếu
lim inf f (x) ≥ f (x0 ).

x→x0

¯ Các mệnh đề sau là tương đương
Mệnh đề 1.3.2. Cho f : X → R.
1) f là nửa liên tục dưới.
¯
2) C(f ; α) đóng với mọi α ∈ R.
¯
3) epif là tập đóng trong X × R.
Định nghĩa 1.3.9. Hàm f được gọi là hàm đóng nếu epif đóng trong X ×R.
¯ Ta gọi bao đóng của f là hàm f¯ :=
Định nghĩa 1.3.10. Cho f : X → R.
fepif . Tức là,
f¯(x) := inf γ ∈ R|(x, γ) ∈ epif ; x ∈ X.
và bao lồi đóng của hàm f là hàm cof := co f .
Định lý 1.3.5. Giả sử f là hàm lồi, chính thường trên X. Khi đó, các khẳng

định sau là tương đương:
1) f bị chặn trên trong một lân cận của x
¯.
2) f liên tục tại x
¯.
3) int(epif ) = ∅.
4) int(domf ) = ∅ và f liên tục trên int(domf ).
Đồng thời
int(epif ) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ}

17

(1.4)


Chứng minh. (2 ⇒ 1) Giả sử f liên tục tại x
¯. Khi đó, hiển nhiên f bị chặn
trong một lân cận của x
¯.
(1 ⇒ 2) Giả sử f bị chặn trong lân cận U của x
¯, tức là tồn tại c > 0 sao
cho: f (x) ≤ c < +∞(∀x ∈ U ).
Ta có thể xem như x
¯ và f (0) = 0 , bởi vì nếu x
¯ = 0 ta thay U bằng U − x
¯
và nếu f (0) = 0 ta thay f (x) bằng f (x + x
¯) − f (¯
x). Lấy ε ∈ [0, c] và đặt
Vε =

ε
cU

∩ − εc U . Khi đó, Vε là một lân cận của 0.

Bây giờ ta chứng minh |f (x)| ≤ ε, ∀x ∈ Vε .
Lấy ∀x ∈ Vε ⇒ x ∈ εc U ⇒ εc x ∈ U
ε
c
ε
⇒ f (x) ≤ f
x + 1−
f (0)(do f lồi).
c
ε
c
ε
⇒ f (x) ≤ c = ε (1)
c
ε
c
Mặt khác, x ∈ − c U ⇒ − ε x ∈ U bởi vì
ε
1
c
x
+
ε
1+ c

1+

Cho nên: 0 = f (0) ≤

1
1+ εc

f (x) +

ε
c

1+ εc

ε
c

c
− x =0
ε

f − εc x ≤

1
1+ εc

f (x) +

ε
c

1+ εc

c

⇒ f (x) ≥ −ε (2)
Từ (1) và (2) suy ra |f (x)| ≤ ε ⇒ f liên tục tại 0.
(4 ⇒ 1) Hiển nhiên.
(1 ⇒ 3) Nếu f (x) ≤ µ0 , ∀x ∈ U thì {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ U, µ > µ0 } ⊂
epif ⇒ int(epif ) = ∅.
(3 ⇒ 4). Giả sử int(epif ) = ∅. Khi đó, (x, µ) ∈ int(epif ) thì f bị chặn
trong một lân cận của x. Theo chứng minh trên f liên tục tại x.
Hơn nữa, int(domf ) = {x ∈ X : ∃µ ∈; (x, µ) ∈ int(epif )}.
Vì vậy int(domf ) = ∅ và f liên tục trên int(domf ).
Cuối cùng, công thức (1.4) là hiển nhiên: Nếu (x, µ) ∈ int(epif ) thì rõ
ràng x ∈ int(domf ) và f (x) < µ.
Ngược lại, nếu f liên tục trên int(domf ), x ∈ int(domf ) và f (x) < µ thì
(x, µ) ∈ int(epif ).
18


Cho X là không gian tôpô lồi địa phương, X ∗ là không gian liên hợp của
X, X ∗ là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
Định nghĩa 1.3.11. Cho hàm f : X → (−∞; +∞]. Ta gọi hàm f ∗ : X ∗ →
(−∞; +∞] được xác định như sau:
f ∗ (x∗ ) = sup { x∗ , x − f (x)|x ∈ X}
= sup { x∗ , x − f (x)|x ∈ domf}
là hàm liên hợp của f .
Ví dụ 1.3.3. Hàm f (x) = ex (x ∈ R) là hàm lồi chính thường đóng. Ta có:
f ∗ (x∗ ) = sup {x∗ x − ex , x∗ ∈ R}

x


x∗ ln x∗ − x∗ khi x∗ > 0


=
0
khi x∗ = 0



 +∞
khi x∗ < 0
Ví dụ 1.3.4. Với f (x) = x∗0 , x + α, x ∈ X ta có:

 −α, x∗ = x∗
0
∗
∗
f (x ) =
 +∞, x∗ = x∗
0
Mệnh đề 1.3.3. f ∗ là hàm lồi đóng * yếu.
∗

Từ định nghĩa ta có: f ∗∗ (x) = (f ∗ ) (x) = sup { x∗ , x − f ∗ (x∗ )}.
Mệnh đề 1.3.4. Với hàm f bất kì ta có: f ∗∗ ≤ f .
Định lý 1.3.6. Giả sử f là hàm lồi, chính thường đóng trên X. Khi đó, f ∗
là hàm lồi chính thường.

Định lý 1.3.7. Giả sử X là không gian tôpô lồi địa phương Haussdorf,
f : X → (−∞; +∞]. Khi đó f = f ∗∗ ⇔ f lồi đóng.

19


Chương 2

Tính đơn điệu của dưới vi
phân hàm lồi
Dưới vi phân hàm lồi là một trong những công cụ quan trọng trong giải
tích lồi được dùng nhiều để nghiên cứu các đặc trưng cho nghiệm của bài
toán tối ưu. Chương này tập trung trình bày định nghĩa và các tính chất cơ
bản liên quan được dùng trong chương 3. Các kiến thức trong chương được
trích từ tài liệu [2], [3], [4], [9].

2.1

Dưới vi phân

Giả sử hàm f : X → (−∞; +∞].
Định nghĩa 2.1.1. Đạo hàm của hàm f theo phương d tại x0 , kí hiệu là
f (x0 , d), được định nghĩa là giới hạn sau:
f (x0 + λd) − f (x0 )
λ→0
λ

f (x0 , d) := lim
nếu giới hạn này tồn tại.

20


Mệnh đề 2.1.1. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên R. Khi đó, f có
đạo hàm phải f + (.) tại mọi điểm của domf . Đồng thời, f + (t) là hàm không
giảm và nhận giá trị hữu hạn khi t ∈ int(domf ).
Định lý 2.1.1. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X. Khi đó, f có đạo
hàm theo phương tại mọi điểm x ∈ domf . Đồng thời,
f (x + λd) − f (x)
λ>0
λ

f (x; d) = inf

(2.1)

Chứng minh. Lấy x ∈ domf , d ∈ X. Đặt ϕ(t) := f (x + td). Khi đó ϕ là hàm
lồi chính thường trên R và 0 ∈ domϕ. Mệnh đề trên chỉ ra đạo hàm phải
ϕ+ (0) tồn tại. Đồng thời,
ϕ+ (0) = f (x; d)
Như vậy, f có đạo hàm theo phương d tại x.
Bởi vì ϕ+ (.) là hàm không giảm (Mệnh đề 2.1.1), cho nên (2.1) đúng.
Nhận xét:
1) f (x, .) là hàm thuần nhất dương R.
2) Nếu f là hàm lồi chính thường trên X, x ∈ domf , thì f (x, .) là hàm
lồi.
Chứng minh. 1) Với ∀λ > 0 ta có
f (x+ελd)−f (x)
ε
f (x+ε d)−f (x)

λ lim
ε
ε →0

f (x; λd) = lim

ε→0

=

= λf (x; d).
2) Lấy d1 , d2 ∈ X, ta có:
f (x; d1 + d2 ) = lim

f x + λ2 (d1 + d2 ) − f (x)
λ
2

λ→0

21


= 2 lim

f

λ→0

1

2 (x

+ λd1 ) + 12 (x + λd2 ) − f (x)
λ

f (x + λd1 ) − f (x) + f (x + λd2 ) − f (x)
λ→0
λ

≤ lim

= f (x; d1 ) + f (x; d2 ).

Mệnh đề 2.1.2. Giả sử f là thuần nhất dương trên X. Khi đó,
1) Nếu f liên tục tại mọi điểm của tập U ⊂ X thì f liên tục tại mọi điểm
của nón KU sinh bởi tập U .
2) Nếu f liên tục trong một lân cận của 0, thì f liên tục trên X.
Chứng minh. 1) Lấy x0 = 0 thuộc KU . Khi đó, ∃λ > 0 : λx0 ∈ U . Do f liên
tục tại điểm λx0 , với mọi

> 0, tồn tại lân cận V của λx0 sao cho:

|f (x) − f (λx0 )| < λ
Ta có

1
λV

(∀x ∈ V ).

là một lân cận của x0 và ∀x ∈ λ1 V ,
|f (x) − f (x0 )| = λ−1 |f (λx) − f (λx0 )| <

⇒ f liên tục tại x0 .
2) Nếu f liên tục trong lân cận W của 0, thì theo chứng minh phần (1) f
liên tục tại mọi điểm của nón KW sinh bởi tập W . Ta lại có KW = X và tại
0 ta đã giả thiết f liên tục. Vì vậy, f liên tục trên toàn X.
Định lý 2.1.2. Giả sử f lồi chính thường trên X, liên tục tại các điểm của
tập U ⊂ X. Khi đó,
1) Nếu tại điểm d ∈ X thoả mãn x + d ∈ U mà f (x, d) hữu hạn thì
f (x, .) liên tục tại mọi điểm của nón KU −x sinh bởi tập U − x.
2) Nếu f liên tục tại x, thì f (x, .) hữu hạn và liên tục trên X.
22


Định nghĩa 2.1.2. Giả sử f là hàm lồi trên X. Một phiếm hàm x∗ ∈ X ∗
gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x0 nếu
f (x) ≥ f (x0 ) + x∗ , x − x0 ; ∀x ∈ X.
Về mặt hình học, điều này có nghĩa là hàm affine
φ(x) := f (x0 ) + x∗ , x − x0 ; x ∈ X
có đồ thị là một siêu phẳng nằm dưới epif và tựa vào epif tại điểm (x0 , f (x0 )).
Định nghĩa 2.1.3. Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x0 gọi là dưới vi
phân của f tại x0 , kí hiệu là ∂f (x0 ).
Tức là,
∂f (x0 ) = {x∗ ∈ X ∗ |f (x) − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 ; ∀x ∈ X}

(2.2)

Định nghĩa 2.1.4. Hàm f gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Ví dụ 2.1.1. Nếu f là hàm affine liên tục: f (x) = x∗ , x + α (x∗ ∈ X ∗ , α ∈

R).
Khi đó, ∂f (x0 ) = {x∗ } (∀x0 ∈ X).
Ví dụ 2.1.2. Cho f là hàm chuẩn trong không gian định chuẩn X: f (x) =
x thì

 {x∗ | x∗ = 1, x∗ , x = x } ; x = 0
0
0
0
∂f (x0 ) =
 {x∗ | x∗ ≤ 1} ;
x0 = 0
Định lý 2.1.3. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và x0 ∈ domf . Khi
đó,
1) x∗ ∈ ∂f (x0 ) ⇔ f (x0 ; d) ≥ x∗ ; d

(∀d ∈ X).

2) x∗ ∈ ∂f (x0 ) ⇔ f (x0 ) + f ∗ (x∗ ) = x∗ , x0 .
23