toán lý hóa bắc trung nam toán lớp 9 BIẾN đổi đại số ( giải chi tiết)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 20 trang )
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2 a .
Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là
bình phương của nó bằng a :
a là một số thực không âm x mà
x 0
a 0
2
x a
a x
a b a b.
Với hai số thực không âm a , b ta có:
Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+
A0
A
A2 A
nếu
A0
A
+
A2 B A B A B với A, B 0 ;
+
A
B
+
+
A.B
B2
A2 B A B A B với A 0; B 0
A.B
với AB 0, B 0
B
M
M. A
với A 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
A
A
M A B
M
với A, B 0, A B (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)
A B
A B
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:
a là số x sao cho x 3 a
Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là
Cho a R; 3 a x x 3
Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.
Nếu a 0 thì
3
a 0.
Nếu a 0 thì
3
a 0.
Nếu a 0 thì
3
a 0.
a
3
3
3
a
3
3
a
a
3 với mọi b 0 .
b
b
3
ab 3 a . 3 b với mọi a , b .
ab 3 a 3 b.
A 3 B 3 A3 B .
3
A
B
3
AB 2
với B 0
B
Admin : />
- Trang | 1 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />3
3
A 3 A
B
B3
3
1
A3 B
A2 3 AB 3 B 2
với A B .
A B
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số a R, n N ; n 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.
Trường hợp n là số lẻ: n 2k 1, k N
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
2 k 1
a x x 2 k 1 a , nếu a 0 thì
2 k 1
a 0
2 k 1
a 0 , nếu a 0 thì
2 k 1
a 0 , nếu a 0 thì
Trường hợp n là số chẵn: n 2k , k N .
Mọi số thực a 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là
2k
bậc 2k số học của a ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là a ,
a;
2k
2k
a x x 0 và x
2k
a (gọi là căn
2 k a x x 0 và x 2 k a .
Mọi số thực a 0 đều không có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a)
P x4 4
b) P 8 x 3 3 3
P x4 x2 1
Lời giải:
c)
a)
b) P 2 x
3
c)
x 2 x 2 .
3 4 x 2 3 x 3 .
P x 2 2 x 2 2 x 2
3 2x
3
2
2
P x 2 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 .
2
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a)
A x x x
1
khi x 0 .
4
b) B 4 x 2 4 x 1 4 x 2 4 x 1 khi x
1
.
4
c) C 9 5 3 5 8 10 7 4 3
Lời giải:
2
a)
A x x x
1
1
x x x
4
2
Admin : />
x
1
2
- Trang | 2 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />x
+ Nếu
x
1
1
x thì
2
4
1
1
0 x thì
2
4
x
x
1
1
1
x A .
2
2
2
+ Nếu
1
1
1
x A2 x
2
2
2
b)
B 4x 2 4x 1 4x 2 4x 1 4x 1 2 4x 1 1 4x 1 2 4x 1 1
Hay B
+ Nếu
+ Nếu
2
4x 1 1
4x 1 1
2
4x 1 1
4x 1 1
4x 1 1 4x 1 1
1
thì 4 x 1 1 4 x 1 1 suy ra B 2 4 x 1 .
2
1
1
4 x 1 1 0 4 x 1 1 x thì 4 x 1 1 4 x 1 1 suy ra B 2 .
4
2
4x 1 1 0 4x 1 1 x
c) Để ý rằng: 7 4 3 2 3
2
74 3 2 3
Suy ra C 9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3 9 5 3 5
5 3
2
.Hay C 9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2
Ví dụ 3) Chứng minh:
a)
A 7 2 6 7 2 6 là số nguyên.
b) B 3 1
84 3
84
là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT
1
9
9
chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).
c) Chứng minh rằng: x 3 a
a 1 8a 1 3
a 1 8a 1
1
với a
là số tự nhiên.
a
3
3
3
3
8
d) Tính x y biết x x 2 2015
y
y 2 2015 2015 .
Lời giải:
a) Dễ thấy A 0,
Tacó A2
72 6 72 6
7 2 6 7 2 6 2 7 2 6 . 7 2 6 14 2.5 4
2
Suy ra A 2 .
b) Áp dụng hằng đẳng thức: u v u 3 v 3 3uv u v . Ta có:
3
3
84 3
84
84
84
84 3
84
1
B 3 1
1
1
3 3 1
. 1
9
9
9
9
9
9
3
84 3
84
3 1
. Hay
1
9
9
Admin : />
- Trang | 3 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
84
84
84
3
3
3
B 3 2 3 3 1
1
.B B 2 3 3 1 B B 2 B B B 2 0
9
9
81
2
1 7
B 1 B B 2 0 mà B B 2 B 0 suy ra B 1 . Vậy B là số nguyên.
2 4
2
2
c)
Áp dụng hằng đẳng thức: u v u 3 v 3 3uv u v
3
Ta có x 3 2a 1 2a x x 3 2a 1 x 2a 0 x 1 x 2 x 2a 0
Xét đa thức bậc hai x 2 x 2a với 1 8a 0
1
1
1
ta có x 3 3 1 .
8
8
8
1
1
+ Khi a , ta có 1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x 1 Vậy với mọi a
ta
8
8
+ Khi a
có: x 3 a
a 1 8a 1 3
a 1 8a 1
a
1 là số tự nhiên.
3
3
3
3
d) Nhận xét:
x 2 2015 x
x 2 2015 x x 2 2015 x 2 2015 .
x 2 2015 x
Kết hợp với giả thiết ta suy ra
y 2 2015 y
y 2 2015 y x 2 2015 x x 2 2015 x y 2 2015 y x y 0 Ví dụ 4)
a) Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 . Tính giá trị biểu thức: P
x 4 4 x 3 x 2 6 x 12
x 2 2 x 12
.
b) Cho x 1 3 2 . Tính giá trị của biểu thức B x 4 2 x 4 x 3 3 x 2 1942 .(Trích đề thi vào lớp
10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
c) Cho x 1 3 2 3 4 . Tính giá trị biểu thức: P x 5 4 x 4 x 3 x 2 2 x 2015
Giải:
2
a) Ta có: x 2 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5
x2 8 2 6 2 5 8 2
5 1
2
82
5 1 6 2 5
2
5 1 x 5 1 . Từ đó ta
suy ra x 1 5 x 2 2 x 4 .
2
x
Ta biến đổi: P
2
2 x 2 x 2 2 x 12
2
x 2 2 x 12
42 3.4 12
1.
4 12
b) Ta có x 1 3 2 x 1 2 x 3 3 x 2 3 x 3 0 . Ta biến đổi biểu thức P thành:
3
P x 2 ( x3 3 x 2 3 x 3) x x 3 3 x 2 3 x 3 x 3 3 x 2 3 x 3 1945 1945
Admin : />
- Trang | 4 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />c) Để ý rằng: x 3 2 2 3 2 1 ta nhân thêm 2 vế với
a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 . Khi đó ta có:
3
3
3
2 1 x
2 1 để tận dụng hằng đẳng thức:
3
2 1
22 3 2 1
3
2 1 x 1 3 2 x x 1 2 x3 x 1 x3 3x 2 3x 1 0 .
3
Ta biến đổi: P x5 4 x 4 x 3 x 2 2 x 2015 x 2 x 1 x3 3 x 2 3 x 1 2016 2016 Ví dụ
5) Cho x, y , z 0 và xy yz zx 1 .
1 y 1 z y 1 z 1 x z 1 x 1 y
2
a) Tính giá trị biểu thức: P x
b) Chứng minh rằng:
2
2
1 x2
2
2
1 y2
x
y
z
2
2
1 x 1 y 1 z2
2
1 z2
2 xy
1 x 1 y 1 z
2
2
2
Lời giải:
a) Để ý rằng: 1 x 2 x 2 xy yz zx ( x y )( x z )
Tương tự đối với 1 y 2 ;1 z 2 ta có:
1 y 1 z x y x y z z x z y x y z
2
x
2
x y x z
P x y z y z x z x y 2 xy yz zx 2 .
1 x2
Suy ra
b) Tương tự như câu a)
Ta có:
x
y
z
x
y
z
2
2
2
1 x 1 y 1 z
x y x z x y y z z y z x
x y z y z x z x y
x y y z z x
2 xy
x
y
y
z z x
1 x
1 y 2 1 z 2
x12 12 2 x2 2 2 2 .. n xn 2 n 2
a) Tìm x1 , x2 ,..., xn thỏa mãn:
b) Cho f ( n)
2 xy
2
Ví dụ 6)
1 2
x1 x2 2 ... xn 2
2
4n 4n 2 1
với n nguyên dương. Tính f (1) f (2) .. f (40) .
2n 1 2 n 1
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:
2
x12 12 1
2
x2 2 22 2 ...
xn 2 n 2 n
2
0
Hay x1 2, x2 2.2 2 ,..., xn 2.n 2
x 2 y 2 4n
b) Đặt x 2n 1, y 2 n 1 xy 4n 2 1 .
2
2
x y 2
Admin : />
- Trang | 5 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
x 2 xy y 2 x3 y 3 1 3
1
2
x y3
2
x y
x y
2
2
Suy ra f (n)
toán ta có: f 1 f 2 .. f 40
1
2
2n 1
33 13
3
2n 1
53 33 ..
3
. Áp dụng vào bài
813 793
1
813 13 364
2
Ví dụ 7)
1
1
1
....
4 . Đề thi chuyên ĐHSP 2011
1 2
3 4
79 80
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
...
2 1
.
1 2 2 3 3 4
n n 1
n 1
c) Chứng minh: 2 n 2
1
1
1
1
1
...
2 n 1 với mọi số nguyên dương
1
2
3
4
n
n2.
Lời giải:
a)
Xét A
1
1
1
, B
....
1 2
3 4
79 80
1
1
1
..
2 3
4 5
80 81
Dễ thấy A B .
1
1
1
1
1
....
1 2
2 3
3 4
79 80
80 81
Ta có A B
1
Mặt khác ta có:
k k 1
Suy ra A B
2 1
3
k 1 k
k 1 k
2 ... 81 80
k 1 k
k 1 k
81 1 8 . Do A B suy ra
2A A B 8 A 4 .
1
1
1
1
b) Để ý rằng:
với mọi k nguyên dương.
k
k 1
2k k 1
k ( k 1) k 1 k
1 1
1
1
1
1
Suy ra VT 2 1
.. 2
2 1
.
2
2 2
3
n 1
n 1
n
c) Đặt P
1
2
2
với mọi số tự nhiên n 2 .
n n 1
n 2 n
n n 1
2
2
2
Từ đó suy ra 2 n 1 n
2 n n 1 hay
n 1 n 2 n
n n 1
2
2 n 1 n
2 n n 1
n
Ta có:
2
1
1
1
1
1
...
1
2
3
4
n
Admin : />
- Trang | 6 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
T 1 2
Do đó: 2
3 2 ... n 1 n T và
2 1 3 2 .... n n 1 .
2 1
Hay 2 n 2 T 2 n 1 .
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương a , b, c thỏa mãn a 1 b 2 b 1 c 2 c 1 a 2
a 2 b2 c 2
3
.Chứng minh rằng:
2
3
.
2
a) Tìm các số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x 1 y 2 y 2 z 2 z 3 x 2 3 . (Trích đề thi
tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
a 1 b2 b 1 c2 c 1 a 2
a 2 1 b2 b 2 1 c 2 c 2 1 a 2 3
.
2
2
2
2
a 1 b 2
a 2 1 b2
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b 1 c 2 b2 1 c 2 a 2 b 2 c 2 (đpcm).
2
c 2 1 a 2
2
c
1
a
b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 x 1 y 2 2 y 2 z 2 2 z 3 x 2 6 .
Áp dụng bất đẳng thức : 2ab a 2 b 2 ta có:
2 x 1 y 2 2 y 2 z 2 2 z 3 x 2 x 2 1 y 2 y 2 2 z 2 z 2 3 x 2 6 . Suy ra VT VP . Dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi:
x 2 y 2 z 2 3; x, y, z 0
x, y , z 0
x 1 y2
2
2
2
2
x y 1
x y 1
2
y
2
z
x 1; y 0; z 2 Ví dụ 9) Cho
2
2
2
2
y
z
2
y
z
2
2
2
z 3 x
z 2 x2 3
2
z x 3
A
x
x4 x4 x4 x4
với x 4
x 2 8 x 16
a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x 4 .
Admin : />
- Trang | 7 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
x
A
x
x4 2
2
x 4
x4 2
x4 2
2
2
x4 2 x
x4 2
x4
x4
+ Nếu 4 x 8 thì
x4 2
x 4 2 0 nên A
x
x4 22 x4
x4
4x
16
4
x4
x4
Do 4 x 8 nên 0 x 4 4 A 8 .
+ Nếu x 8 thì
x
x 4 2 0 nên
x4 2 x4 2
2x
x4
x4
2x
8
2 x4
2 16 8 (Theo bất đẳng
x4
x4
x4
8
thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 x 4
x4 4 x 8.
x4
Vậy GTNN của A bằng 8 khi x 8 .
16
16
b) Xét 4 x 8 thì A 4
, ta thấy A Z khi và chỉ khi
Z x 4 là ước số
x4
x4
nguyên dương của 16 . Hay x 4 1; 2; 4;8;16 x 5;6;8;12; 20 đối chiếu điều kiện suy ra x 5
A
hoặc x 6 .
2x
, đặt
x4
+ Xét x 8 ta có: A
A
2 m2 4
m
2m
x m2 4
x4 m
khi đó ta có:
m 2
8
suy ra m 2; 4;8 x 8; 20; 68 .
m
Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x 5;6;8; 20;68 .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
2 x
và B
x
1) Tính giá trị biểu thức A khi x 64 .
2) Rút gọn biểu thức B .
A 3
3) Tính x để
.
B 2
Với x 0 , cho hai biểu thức A
x 1 2 x 1
.
x
x x
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
1) Cho biểu thức A
x 4
. Tính giá trị của biểu thức A .
x 2
x
x 4
2) Rút gọn biểu thức B
4 x 16
(với x 0, x 16 )
:
x 4 x 2
Admin : />
- Trang | 8 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức
B A 1 là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
x
10 x
5
, với x 0, x 25 .
x 5 x 25
x 5
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x 9 .
1
3) Tìm x để A .
3
Cho A
Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).
x
2 x
3x 9
, với x 0, x 9 .
x 3
x 3 x 9
1) Rút gọn P .
1
2) Tìm giá trị của x để P .
3
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .
Cho P
Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau:
A
5 5
5
3 5
52
5 1 3 5
x
1
2
6
B
: 1
x 0 .
x 3
x x3 x
x3 x
Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)
Thu gọn các biểu thức sau:
x
3 x 3
với x 0, x 9 .
A
.
x 3 x 9
x 3
B 21
2 3 3 5
2
6
2 3 3 5
15 15 .
2
Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)
x 2
2x 2
, với x 0, x 2 .
x2
2 xx 2
Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)
1
1
1
1
Cho A
...
và
1 2
2 3
3 4
120 121
1
1
B 1
...
.
2
35
Rút gọn biểu thức P
Admin : />
- Trang | 9 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />Chứng minh rằng B A .
Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)
x3 y3
x y
. 2
,x y.
2
2
x xy y x y 2
1) Rút gọn biểu thức P .
Cho biểu thức P
2) Tính giá trị của P khi x 7 4 3 và y 4 2 3 .
Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương a , b ; a b .
Chứng minh rằng:
a b
3
a b
3
b b 2a a
3a 3 ab
0.
ba
a a b b
Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)
x x 6 x 7 x 19 x 5 x
; x 0, x 9 .
x9
x x 12 x 4 x
Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)
A
1
1
2 x
x 0, x 4 .
2 x 2 x 4 x
1
Rút gọn A và tìm x để A .
3
Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).
Cho biểu thức A
1) Cho biểu thức P
3
3
x xx
. Tìm tất cả các giá trị của x để P 2 .
x 3 x
x3 x
x 1
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho P : y x 2 và đường thẳng d : y mx 1 ( m là tham số).
chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 2 .
Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)
a
2
2
Cho biểu thức C
.
a 16
a 4
a 4
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a 9 4 5 .
Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)
2
3
5 x 7 2 x 3
Cho biểu thức A
:
x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 5 x 10 x
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Admin : />
x 0, x 4 .
- Trang | 10 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)
x 1
, khi x 9 .
x 1
1) Tính giá trị của biểu thức A
x2
x2 x
1 x 1
với x 0 và x 1 .
.
x 2 x 1
2) Cho biểu thức P
x 1
.
x
a) Chứng minh rằng P
b) Tìm các giá trị của x để 2 P 2 x 5 .
Câu 17) Cho a 3 5 2 3 3 5 2 3 . Chứng minh rằng a 2 2 a 2 0 .
Câu 18) Cho a 4 10 2 5 4 10 2 5 .
a 2 4a 3 a 2 6a 4
.
a 2 2a 12
Câu 19) Giả thiết x, y , z 0 và xy yz zx a .
Tính giá trị của biểu thức: T
a y a z y a z a x
2
Chứng minh rằng: x
2
2
a x2
a y2
2
a x a y 2a .
2
z
2
a z2
Câu 20. Cho a 2 7 3 61 46 5 1 .
a) Chứng minh rằng: a 4 14a 2 9 0 .
5
4
3
2
b) Giả sử f x x 2 x 14 x 28 x 9 x 19 . Tính f a .
Câu 21. Cho a 3 38 17 5 3 38 17 5 .
Giả sử có đa thức f x x 3 3 x 1940
Câu 22. Cho biểu thức f n
2016
. Hãy tính f a .
2n 1 n n 1
n n 1
.
Tính tổng S f 1 f 2 f 3 ... f 2016 .
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:
1 1 1
1 5
1 2 2 2 ... 2 .
1 2 3
n
3
Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 , ta có
1 1 1
1 65
3 3 ... 3
.
3
1 2 3
n 54
Câu 25) Chứng minh rằng:
43
1
1
1
44
...
44 2 1 1 2 3 2 2 3
2002 2001 2001 2002 45
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:
Admin : />
- Trang | 11 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
1
1
1
1
...
1
.
2 2 1 1 3 3 2 2
n 1
n 1 n 1 n n
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2 , ta có:
1 4 7 10 3n 2 3n 1
1
. . . ....
.
.
3 6 9 12
3n 3n 3 3 n 1
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1
1). Lời giải:
1) Với x 64 ta có A
B
2 64 2 8 5
.
8
4
64
x 1 . x x 2 x 1 . x
x. x x
Với x 0 , ta có:
x x 2x
1
1
x xx
x 1
A 3
2 x 2 x 3
:
B 2
x
x 1 2
x 2
x 1
x 1 3
2
x
2 x 2 3 x x 2 0 x 4 (do x 0 ).
2. Lời giải:
36 4 10 5
.
36 2 8 4
1) Với x 36 , ta có A
2) Với x 0, x 16 ta có:
x x 4 4 x 4
B
x 16
x 16
3) Biểu thức B A 1
x 2 x 16 x 2
x 2
.
x 16 x 16 x 16
x 16
x 2 x 4 x 2
2
x 16
x 2
x 16
B A 1 nguyên, x nguyên thì x 16 là ước của 2 , mà U 2 1; 2 . Ta có bảng giá trị
tương ứng:
Kết hợp điều kiện, để B A 1 nguyên thì x 14;15;16;17 .
3). Lời giải:
x 5
x 5 x 5
x 5 A
x 5 x 10 x 5 x 25
x 10 x 25
x 5 x 5
x 5 x 5 x 5 x 5
A
x
10 x
5
x 5 x 25
x 5
x.
x 5 10 x 5.
2
có:
x 3 . Vậy A
x 5
. Với x 9 ta
x 5
3 5 2
1
.
35 8
4
Admin : />
- Trang | 12 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />4). Lời giải:
x
1) P
x 3 2 x
x 3
x 3 3x 9
x 3
3
x 3
3
1
x 3 9 x 36 (thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3 3
3
3
3) Với x 0, P
1 Pmax 1 khi x 0 (TM).
x 3 03
2) P
1
3
5. Lời giải:
A
5 5
5
3 5
52
5 1 3 5
5 5
5 2
3 5 5
5 2
5 2
5
5 1
5 1
3 5 3 5
3 5 3 5
5 1
5 5 9 5 15
5 5 9 5 15
3 5 5
4
4
4
3 5 552 5 5 .
x
1
2
6
B
: 1
x 0
x 3
x x3 x
x3 x
x
1 x 2
6
:
x 3
x
x x 3
x 3
x 1 .
x 3 6
x 1 x 2
:
x 3
x x 3
6. Lời giải:
Với x 0 và x 9 ta có:
x x x 1.
x 3 x 3 x 9 x 3 1
A
.
3.
x 3
x
x 3 x 9
2
2
21
4 2 3 6 2 5 3 4 2 3 6 2 5 15 15
2
2
2
2
21
15
3 1 5 1 3 3 1 5 1 15 15
3 5 15 15 60 .
2
2
7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:
B
P
2x
x 2
2 x
2
x 2
x 2
x 2
x
2
1.
2 x
x 2
8. Lời giải:
Admin : />
- Trang | 13 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />Ta có: A
1
1
1
1
...
1 2
2 3
3 4
120 121
1 2
2 3
1 2 1 2
2 3
2 3
...
120 121
120 121
120 121
1 2
2 3
120 121
2 1 3 2 ... 121 120 1 121 10 (1)
...
1
1
1
1
2
2
Với mọi k * , ta có:
Do đó
2 k 1 k
k
k k
k k 1
B 1
1
1
...
B2
2
35
2 1 3 2 4 3 ... 36 35
B 2 1 36 2 1 6 10
(2) . Từ (1) và (2) suy ra B A .
9. Lời giải:
1) P
x3 y3
x y
x y
.
.
2
2
x xy y x y x y x y
2) Với x 7 4 3 2 3 và y 4 2 3 3 1
Thay vào P ta được: P
2 3 3 1
2 3
3 1
1
3 2 3
.
3
32 3
10.Lời giải:
a b
Ta có: Q
a b
a b
3
b b 2a a
a a b b
3
a b
a b
3
3
3
b b 2a a
a b a ab b
a a 3a b 3b a b b 2a a
3a 3 ab
ba
a b a ab b
3 a
a b
3 a
a b
3a a 3a b 3b a 3a a 3a b 3b a
a b a ab b
a b
a b
0
0 (ĐPCM).
11. Lời giải:
Admin : />
- Trang | 14 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
A
x x 6 x 7 x 19 x 5 x
x9
x x 12 x 4 x
x 2 x 8 x 7 x 19 x 8
x 3
x 4
x 2
x 3
x 7 x 19
x 3 x 4
x 1
x 15 x 1 x 4
.
x 3 x 4 x 3
12. Lời giải:
x 5
x 4
1
1
2 x
4
2 x 2 2 x
2
1
2
1
. Với A
4 x
3
2 x 2 x 4 x 4 x 4 x
2 x
2 x 3
1
x 4 x 16 (nhận). Vậy A khi x 16 .
3
13. Lời giải:
1) ĐKXĐ: x 3
A
3
3
x x x 3 x 3 3 3 3 x 3 3 x x x 1
x 3 x
x3 x
x 3 x
x 1
x 1
P
6 x3
x x 2 x 3 .
3
Vì P 2 x 2 x 3 2 x 3 2 x 3 1 0
2
x 3 1 0 x 3 1 0 x 3 1 x 4 .Vậy x 3 và x 4 .
2) Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x 2 mx 1 0 .
có m 2 4 0 với mọi m , nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Viet ta
có: x1 x2 m và x1 x2 1
x1 x2 m x12 x22 2 x1 x2 m 2 x1 x2 4 x1 x2 m 2 x1 x2 4. 1 m 2
2
2
2
2
x1 x2 m 2 4 4 với mọi m x1 x2 2 với mọi m (ĐPCM).
2
14. Lời giải:
a 0
a 0
a 16 0
a 16
1) Biểu thức C có nghĩa khi:
a 0, a 16 .
a 4 0 a 16
a 4 0 a 0
a
2
2
a
2
2
Rút gọn C
a 16
a 4
a 4
a 4
a 4
a 4
a 4
a 4 a 2 a 8 2 a 8
a 4 a 4
a 4 a 4
a2
a 4 2
a4 a
a 4
Admin : />
a 4
- Trang | 15 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
a
a 4
a 4
a 4
a
.
a 4
2) Giá trị của C khi a 9 4 5 .
Ta có: a a 9 4 5 4 4 5 5 2 5
Vậy C
a
a 4
2
a
2 5
2
5 2
5 2
5 2
94 5 .
5 24
52
15. Lời giải:
1) Với x 0, x 4 biểu thức có nghĩa ta có:
2
3
5 x 7 2 3 3
A
:
x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 5 x 10 x
x 2 2 x 1
2 2 x 1 3
x 2 5 x 7
Vậy với x 0, x 4 thì A
2) Ta có
A
:
2 x 3
5 x
x 2
2 x 3
x 2 2 x 1
.
5 x
x 2
2 x 3
5 x
.
2 x 1
5 x
.
2 x 1
x 0, x 0, x 4 nên A
5 x
0, x 0, x 4
2 x 1
5 x
5
5
5
5
, x 0, x 4 0 A , kết hợp với A nhận giá trị là một số
2
2 x 1 2 2 2 x 1 2
nguyên thì A 1, 2 .
A 1 5 x 2 x 1 x
1
1
x thỏa mãn điều kiện.
3
9
A 2 5 x 4 x 2 x 2 x 4 không thỏa mãn điều kiện.
1
Vậy với x thì A nhận giá trị là nguyên.
9
16. Lời giải:
1) Với x 9 ta có A
3 1
2.
3 1
2) a)
x2 x
P
x x 2
b)
. x 1
x 1
Theo câu a) P
x 1 .
x
x 2 x 1
.
x 1
x 2
x 1
.
x
x 1
x
Admin : />
- Trang | 16 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
2P 2 x 5
2 x 2
2 x 5 2 x 2 2 x 5 x 2 x 3 x 2 0 và x 0
x
1
1
1
x 2 x 0 x x .
2
2
4
17. Giải:
3 . Do a 0 nên a
3 1 . Do đó
a2 3 5 2 3 3 5 2 3 2 9 5 2 3 6 2 4 2 3
62
a 1
3 hay a 2 2a 2 0 .
2
3 1
2
62
2
3 1 4 2 3 1
18. Giải:
a 2 8 2 16 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2
5 1
2
8 2
5 1 6 2 5 . Vì a 0
nên a 5 1 . Do đó a 1 5 hay a 2 2 a 4 . Biểu diễn
2
a
T
2
2a 3 a 2 2a 4
2
a 2 2a 12
42 3.4 4 1
.
4 12
2
19. Giải:
Ta có: a x 2 x 2 xy yz zx x y x z .Tương tự ta có:
a y 2 y x y z ; a z 2 z x z y .
a y a z x x y y z z x z y x x y . Tương tự:
2
Từ đó ta có: x
x y x z
a x2
a z a x y z x ; z a x a y z x y . Vậy
2
y
2
2
2
a y2
2
a z2
VT x y z y z x z x y 2 xy yz zx 2a .
20. Giải:
a) Vì
3
61 46 5
3
1 2 5
3
1 2 5
Từ đó a 2 7 1 2 5 1 2 5
a2
2 5
2
a 2 7 2 10 a 4 14a 2 9 0 .
b) Do f x x 4 14 x 2 9
x 2 1 và x
4
14a 2 9 0 nên ta được f a 1 .
21. Giải:
Vì a 3 38 17 5 38 17 5 3.3. 3 38 17 5 . 3 38 17 5
a 3 76 3a a 3 3a 76 f a 76 1940
2012
20162016 .
Admin : />
- Trang | 17 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />22. Nhân cả tử và mẫu của f n với
n 1 n , ta được:
f n n 1 n 1 n n . Cho n lần lượt từ 1 đến 2016 , ta được:
f 1 2 2 1 1; f 2 3 3 2 2;...; f 2016 2017 2017 2016 2016 Từ đó suy ra:
S f 1 f 2 f 3 ... f 2016 2017 2017 1 .
23. Giải:
Vì n là số nguyên dương nên: 1
1 1 1
1 1
2 2 ... 2 2 1 (1) . Mặt khác, với mọi k 1 ta
2
1 2 3
n 1
có:
1
4
4
1
1
2 2
2
. Cho k 2,3, 4,..., n ta có:
2
k
4k
4k 1
2k 1 2 k 1
1
4
4
2
2
2 2 1
4
4
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
4.2
4.2 1 2.2 1 2.2 1 3 5 3
4.3
4.3 1 2.3 1 2.3 1 3 7
1
4
4
2
2
2 2
2
2
2
4
4.4
4.4 1 2.4 1 2.4 1 7 9
………….
1
4
4
2
2
2
2
2 2
2
n
4n
4n 1 2n 1 2 n 1 2 n 1 2n 1
Cộng vế với vế ta được:
1 1 1
1
2
2
2 5
2 2 ... 2 1
1
(2). Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
2
1 2 3
n
3 2n 1
3 3
24. Giải:
1 1 1
1
Đặt P 3 3 3 ... 3 . Thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái bằng cách làm giảm mẫu, ta
1 2 3
n
có:
2
2
2
1
1
3
, k 1
3
k
k k k 1 k 1 k 1 k k k 1
1
1 1
1
1
1 1 1 1
Cho k 4,5,..., n thì 2 P 2 3 3 3
...
1 2 3 3.4 4.5 4.5 5.6
n 1 n n n 1
65
251 1
1
251 1
65
. Do đó P
(đpcm).
108 3.4 n n 1 108 3.4 27
64
25. Giải:
Đặt Sn
1
1
1
...
2 1 1 2 3 2 2 3
n 1 n n n 1
Để ý rằng :
k 1
k 1 k k k 1 k 1 k k k 1 1 1 , k 1
1
2
k k 1
k k k 1 k 1 k k 2 k 1
k
k 1
Cho k 1, 2,..., n rồi cộng vế với vế ta có:
Admin : />
- Trang | 18 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
1
1
1
1
...
1
2
2
3
1
Do đó S2001 1
2002
Như vậy ta phải chứng minh:
43
1
44
1
1
44
45
2002 45
Sn
1
1
1
1
n
n 1
n 1
1
1
2002 44
44 2002 45 1936 2002 2025
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.
26. Giải:
Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: với mọi số thực dương x, y ta có: x y y x x x y y .
Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
x y y x x xy y x x y yx yy x 0
x
y x 0 x y
y x y 0 .
x y y
x
x y 0
2
Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề ta có:
n 1
n 1
Vì thế:
n 1 n n n n 1 n 1 n
1
1
n 1 n n n n 1 n 1 n
1
1
1
...
2 2 1 1 3 3 2 2
n 1 n 1 n n
1
1
1
. Mà theo kết quả câu 25 thì:
...
n 1
2 1 1 2 3 2 2 3
n 1 n n
1
1
1
1
...
1
. Vậy bài toán được chứng minh.
2 1 1 2 3 2 2 3
n 1
n 1 n n n 1
Câu 27)
Giải:
Để ý rằng các phân số có tử và mẫu hơn kém nhau 2 đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức
n
n 1
1 4 7 10 3n 2 3n 1
n 2 n 2 n 2 n 2 . Kí hiệu P . . . ....
.
. Ta có:
n2
n
3 6 9 12
3n 3n 3
1 4 7 10 3n 2 3n 1 1 4 7 10 3n 2 3n 1
P 2 . . . ...
.
.
. . . ...
3n 3n 3 3 6 9 12
3n 3n 3
3 6 9 12
1 3 6 9 3n 3 3n 1 4 7 10 3n 2 3n 1
. . . ...
.
.
. . . ...
3n 3n 3
3 4 7 10 3n 2 3n 1 3 6 9 12
Admin : />
- Trang | 19 -
Toán – Lý – Hóa Bắc Trung Nam
Page: />
1 1 3 6 7 9 3n 3 3n 2 3n 3n 1
1
1
. . . . . ...
.
.
.
.
3 3 4 7 9 10 3n 2 3n 3n 1 3n 3 3 3n 3 9 n 1
ra P
Từ đây suy
1
. Bất đẳng thức được chứng minh.
3 n 1
Admin : />
- Trang | 20 -
