BÀI tập TỔNG hợp qúa trình ngẫu nhiên ứng dụng

BÀI TẬP TỔNG HỢP QTNN
Đề tài 1:
BÀI 8.2: Cho các sự kiện A,B,C với P(A)=P(B)=P(C)=0.5
P(AB)=P(BC)=P(AC)=P(ABC)=0.25
Chứng minh rằng các vector liên quan đến các biễn ngẫu nhiên kia là không
độc lập tổng thể nhưng độc lập từng đôi
Bài Giải
Ta có:
P(A)P(B)=0,5*0,5=0,25=P(AB)
P(B)P(C)=0,5*0,5=0,25=P(BC)
P(A)P(C)=0,5*0,5=0,25=P(AC)


A,B,C độc lập đôi một
P(A)P(B)P(C)=0,5*0,5*0,5=0.0125≠P(ABC)




A,B,C không độc lập.
ĐCCM

BÀI 8.3:Cho x,y,z là các biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn,đôi
một độc lập.Chứng minh rằng chúng độc lập
Bài Giải
x,y,z tuân theo luật phân phối chuẩn





Công thức tổng quát: (Áp dụng định lý Goodman)
f(x) =

Với X =

Ma trận hiệp phương sai của f(x,y,z):

⅀=

=

|⅀|=

Ta có: (X-�) ==




=



f(x,y,z) =
=
= f(x)f(y)f(z)



x,y,z độc lập(ĐPCM)
Bài 8.32 : Cho 2 vector ngẫu nhiên x và y là không tương quan với trung bình bằng

không và � x = �y = �. Chứng minh rằng :
1/ Nếu z = x + jy thì :
fz(z) = f(x,y) = =
2/ Φz(Ω) = exp{-(�2u2 + �2v2)} = exp{- |Ω|2 } với Ω = u + jv.
Áp dụng công thức 8-62.
Bài giải :


Theo công thức 8-62 ta có :
Nếu 2 vector X và Y có Cxx=Cyy ; Cxy= -Cyx;
Và Z=X+jY thì :
Czz = 2(Cxx - jCxy)
fz(Z) = exp{-ZCzz-1Z+}
Φz(Ω) = exp{- ΩCzzΩ+}
1/ Ta có µx=µy=0 ;
z=x+jy ; => Czz = 2(Cxx – jCxy) =2Cxx = 2�x2 =2�2.
(Vì x và y là không tương quan nên Cxy=0 ; Cxx=

2
x

)

Ta có : Z.Z+ =(x+jy)(x-jy) = x2+y2.
fz(Z) = exp{-ZCzz-1Z+} = => ĐCCM
2/ Ω = u+jv => Ω.Ω+ = (u+jv)(u-jv) = u2+v2.
exp{- ΩCzzΩ+} = exp{ - 2�2.(u2+v2)} = exp{- (�2u2+�2v2)}
= exp{- |Ω|2 }


( Do |Ω|2 = u2+v2 )

ĐCCM

Bài 10.8 : Quá trình x(t) là WSS và phân phối chuẩn với E{x(t)}=0 và R(τ)=4e-2|τ|.


a)
b)

Tìm P(x(t))≤3
Tìm E{[x(t+1)-x(t+1)]2}
Bài giải.

a/ Ta có FX(�)=G(


P{x(t)≤3} = FX(3)=G(.

µ(t)=E{�(t)}=0 ; �2(t)=E{[�(t)]2}=Rxx(t,t)=4e0=4 => �(t)=2 ;


P{x(t)≤3} = FX(3)=G( =G(=G(

b/ Ta có :
E{[x(t+1)-x(t+1)]2}=E{x2(t+1)-2x(t+1).x(t-1) + x2(t-1)]}
= E{[x(t+1)]2} – 2.E{x(t+1).x(t-1)} + E{[x(t-1)]2}
= Rxx(t+1,t+1) – 2Rxx(t+1,t-1) +Rxx(t-1,t-1)
=4e0 – 2.4e-2.2 +4e0= 4-8e-8+4 = 8-8e-8.
Bài 10.12 : Chứng minh.

1/ Nếu �(t) là quá trình ngẫu nhiên với zero-mean và hàm Rxx(t1,t2)=f(t1)f(t2)w(t1t2). Chứng minh y(t)= là quá trình WSS với Ryy (t1,t2)=w(τ).
2/ Nếu �(t) là quá trình nhiễu trắng với Rxx(t1,t2)=q(t1)δ(t1-t2). Chứng minh z(t)= là
quá trình WSS nhiễu trắng với Rzz(t1,t2)=δ(τ).
Bài giải :
1/ Ta có �(t) là quá trình ngẫu nhiên với zero-mean => E{�(t)}=µ(t)=0 ;
y(t) = => E{y(t)} =E{ =


( do f(t) là hàm biến t nên tại 1 thời điểm t thì f(t) có giá trị xác định )
Ta có : Ryy (t1,t2)= E{y(t1).y(t2)}=E{ = = = =w(t1-t2) = w(τ) với τ=t1-t2. Czz(t1,t2)
2/ Để z(t) là quá trình WSS nhiễu trắng với Rzz(t1,t2)=δ(τ) thì ta cần chứng minh :
Ta có : E{z(t)}=E{ = = 0

(1)

( do q(t) là hàm biến t nên tại 1 thời điểm t thì q(t) có giá trị xác định )

Rzz(t1,t2)== = = δ(t1-t2) =δ(τ). (2)
Vì : q(t1)δ(t1-t2)= . δ(t1-t2) do khi t1≠t2 thì δ(t1-t2)=0 => q(t1)δ(t1-t2)= . δ(t1-t2)=0. khi
t1=t2 thì q(t1)=q(t2) => q(t1)δ(t1-t2)= . δ(t1-t2).
Từ (1) và (2) => z(t) là quá trình WSS.
Ta có : với mọi t1 ≠t2
Czz(t1 ,t2) = Rzz(t1,t2) –z(t1)µz(t2 ) = Rzz(t1,t2) (do z(t1)=µz(t2 )=0)
= δ(t1-t2) = 0 (do t1 ≠t2 ).
=> ĐCCM.
Đề tài 2 :

Bài 7.10:

Bài 7.11:


Bài 7.12:




Đề tài 3:
Không nộp bài tập cho cô.
Bài 7.17


Bài 7.18


Đề tài 4:
Không nộp bài tập cho cô.
Bài 2:




Bài 3:


Đề tài 5:

1. Chương 3 – Ví dụ 1
Cho biết

Hãy xét xem 2 biến X và Y có độc lập thống kê không ?
Bài giải
Xét :


Hàm mật độ biên của X

Đặt

Vậy



|

Hàm mật độ biên của Y




Tích của các hàm mật độ biên :
=
X và Y là 2 biến độc lập thống kê

2. Chương 3-Ví dụ 2
Biết phân bố chuẩn đồng thời của 2 biến ngẫu nhiên:

Xác định các hàm mật độ biên?
Bài giải

Đặt t= =>

Áp dụng tích phân

* Tương tự:

Đề tài 6:


Bài tập 10.10
Cho quá trình x(t) là quá trình ổn định theo nghĩa rộng và , chứng mình rằng nếu thì
Giải:
•

X(t) là quá trình ổn định theo nghĩa rộng và có



• , ta có:

(đpcm)

Bài tập 10.11
-

Tìm E[y(t)] , E[y2(t)] và Ryy() nếu y’’(t) + 4y’(t) + 13y(t) = 26 + v(t) ; R() = 10()
Tìm p[ y(t) ≤ 3] nếu v(t) là chuẩn.

Giải :

Ta có y’’(t) + 4y’(t) + 13y(t)=x(t) t
Quá trình y(t) là đáp ứng hệ thống với x(t) =26+v(t) và H(s) ,
h(t)= e-2tsin3t U(t)
Từ x=26 => y= xH(0)=2
Quá trình trung bình y(t) = y(t) - y là đáp ứng từ v(t)
Vậy E{y2(t)} = q =
Với b=4 ,c=13
Ryy() =

(cos 3r - sin3| |) + 4

Nếu V là chuẩn thì y(t) là phân phối chuẩn với mean 2 và hàm Ryy(0) - 4 = ,
vậy p { y(t) ≤ 3} = G( ) = G (3.24)


Đề tài 7:
Không nộp bài tập cho cô.
Đề tài 8:
Không nộp bài tập cho cô.
Đề tài 9:
18)
Cho biết số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson với tốc độ trung bình 2 cuộc
gọi trong 1 đơn vị thời gian.Hãy tính
a)
b)

P{X(1)=2} và P{X(1)=2, X(3)=6}
P{X(1)=2\X(3)=6} và P{X(3)=6\X(1)=2}
Lời giải
Gọi X(t) là số cuộc gọi đến tổng đài trong khoảng thời gian t, theo giả thuyết

X(t) là quá trình Poisson với tham số λ=2

a)
P{ X(1)=2 }=
P{ X(1)=2,X(3)=6 }=P{ X(1)=2,X(3)-X(1)=4}= =e

-6

.

b)
P{X(1)=2\X(3)=6}== =

19)
Cho {X1(t),t ≥ 0} và {X 2 (t),t ≥ 0} là các quá trình Poisson độc lập với các cường độ
là λ1 và λ2 tương ứng. Chứng minh rằng {X (t) = X1(t) + X 2 (t), t ≥ 0} là quá trình
Poisson với cường độ là λ = λ1 + λ2 .
Lời Giải


P[X1+X2=k]=
=.
= ..
=.
P[X(t)=k]= .
Vậy λ = λ1 + λ2 .
20)
Khách tới cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ 10 người trên giờ .Khách
có thể mua hàng với xác suất p=0,3 và không mua hàng với xác suất q=0,7.Tính
xác suất để trong giờ đầu tiên có 9 người vào mua hàng với xác suất 3 người mua

hàng và 6 người không mua hàng.
Lời Giải
Gọi X(t)là số khách hàng tới cửa hàng trong khoảng thời gian t theo giả thuyết X(t)
là quá trình Poisson tham số λ=10.

Gọi X1(t) và {X 2 (t), lần lượt là số khách hàng

tới cửa hàng có mua hàng và không mua hàng trong khoảng thời gian t thì X1(t) là quá trình
Poisson với tham số λ1 = 10.0,3=3 còn X2(t) là quá trình Poisson với tham số λ2 =
10.0,7=7
Xác suất để trong 9 người vào cửa hàng trong đó có 3 người mua hàng và 6 người
không mua hàng là:
P{X1(1)=3,X2(1)=6}=

=e-10.

Đề tài 10,11: Không phải làm BT
Đề tài 12:


Bài 8.8 (Chapter 8 E-Book – Papoulis).
Chứng Minh Rằng : {Y| X1} = { { Y| X1 ,X2} | X1} khi mà { Y| X1 ,X2} = a1 X1 + a2
X2 là ước lượng trung bình bình phương tuyến tính của biến ngẫu nhiên Y với điều
kiện X1, X2.
Giải:
Ước lượng của biến ngẫu nhiên Y được xác đinh như sau:
Ŷ = a1 X1 + a2 X2
Với a1 ,a2 glà tham số cần tìm để đạt ước lượng tốt nhất.
Khi đó giá trị ước lượng trung bình bình phương:
P = E{|Y – Ŷ |2} = E {|Y – (a1 X1 + a2 X2)|2}

Nguyên tắc: Tìm ước lượng Y sao cho P nhỏ nhất.
Nguyên tắc trực giao: P nhỏ nhất nếu vector sai số ε = Y – Ŷ là trực giao với Vector
thu thập được Xi, tức là:
E {[Y – (a1 X1 + a2 X2) ]Xi} = 0 với i = 1, 2
Hay E {Y Xi } – E {(a1 X1 + a2 X2) Xi} = 0 với i = 1, 2
Hay E {Y Xi } = E {(a1 X1 + a2 X2) Xi}

với i = 1, 2

Khi Xi cố định ở một giá trị X1 :
Ta có : E {Y X1 | X1 } = E {[(a1 X1 + a2 X2) X1 ]|X1}
Hay : E {Y | X1 } = E {(a1 X1 + a2 X2) |X1 }
Mặt khác : { Y| X1 ,X2} = a1 X1 + a2 X2
Thay vào ta có: {Y| X1} = { { Y| X1 ,X2} | X1} (đpcm).

Bài 8.18 (Chapter 8 E-Book – Papoulis).
Chứng Minh Rằng : Nếu a0+a1x1+a2x2 là ước lượng tuyến tính MS không thuần
nhất của biến ngẫu nhiên s với điều kiện x1 và x2 :


Ê{s-ns/x1-n1,x2-n2}= a1(x1-n1)+a2(x2-n2)
Chứng Minh:
Ta có Ŷ= Ê{s/x1,x2}= a0+a1x1+a2x2
Ta có ước lượng tuyến tính MS ko thuần nhất của biến ngẫu nhiên s với điều kiện
x1-n1và x2-n2 là:
Ê{s/x1-n1,x2-n2}= a0 +a1(x1-n1)+a2(x2-n2) (1)
Đưa về trường hợp không thuần nhất ta có : a0+a1n1+a2n2 = ns =Ê(s)
Từ đó Ê{ ns/x1-n1,x2-n2}=E{ a0 +a1(x1-n1)+a2(x2-n2)}= a0 (2)
Lấy (1) trừ cho ( 2) vế theo vế ta có :
Ê{s-ns/x1-n1,x2-n2}= a1(x1-n1)+a2(x2-n2) (đpcm).

Đề tài 13:
Ví dụ 1: Ước lượng tuyến tính LMS
Bài toán:
Tìm ước lượng ngẫu nhiên X phân bố đều trong khoảng , ước lượng tốt nhất đối với X theo tiêu chí LMS.
Biết tín hiệu quan sát được Y = X + N, với N là nhiễu phân phối đều trong khoảng , N độc lập với X, cho
E[X] = E[Y] = E[Z] = 0.
Hãy chứng tỏ tìm được ước lượng

Tìm sai số MSE của kết quả ước lượng này
Giải:
Ta có: ,
Suy ra:
Có:
Như vậy:
Có:


Vậy sai số MSE:

Ví dụ 2
Xét xem quan sát x[n], phát sinh từ một mô hình mức tín hiệu DC, s[n] = s[n,θ] = θ:
x[n] = θ + ω[n]
Tìm ước lượng tuyến tính, bình phương cực tiểu(Linear LSE).
Với ϴ là tham số chưa biết được ước tính. Theo công thức ta có hàm chỉ tiêu
phụ thuộc tham số sau:

J(ϴ) =

=

Áp dụng lỹ thuật đạo hàm hàm chỉ tiêu và đặt bằng 0 ta có:
== === 0
� -2
�
�
Vậy ước lượng tuyến tính bình phương cực tiểu là:
Sai số ước lượng bình phương cực tiểu: Jmin=
Độ chính xác của mô hình sẽ đạt được với giá trị biến ngẫu nhiên có trung bình bằng 0.

Đề tài 14: