Tiểu luận: Một số dạng bài tập số phức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

TIỂU LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

SỐ PHỨC

Giáo viên hướng dẫn
ThS. LÊ HỒNG ĐỨC

Sinh viên thực hiện
Trần Mỹ Tiên
MSSV: 1100136
Lớp: SP Toán – Tin học K36

Cần Thơ, 2013

-1-


LỜI CẢM ƠN
Với kiến thức đã có, em được bộ
môn phân công làm tiểu luận tốt nghiệp
dưới sự hướng dẫn của thầy Lê Hồng Đức.
Và em hoàn thành đề tài này đều nhờ vào
nhà trường, thầy Đức và các bạn của em .
Em xin cảm ơn nhà trường vì đã cung cấp

nguồn tài liệu cũng như các kiến thức để
em có thêm hiểu biết về đề tài. Khi bắt tay
vào làm tiểu luận em đã lo lắng vì không
biết phải bắt đầu từ đâu. Nhưng nhờ sự
giúp đỡ và những lời đóng góp của thầy
Đức thì sau cùng tiểu luận cũng đã hoàn
thành. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn của em
đến thầy hướng dẫn và các bạn đã nhiệt
tình giúp đỡ và ủng hộ.
Cần thơ, tháng 11 năm
2013
Người viết
SV Trần Mỹ Tiên

-2-


MỤC LỤC
Phần mở đầu............................................................................................................4
Phần nội dung..........................................................................................................5
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị..........................................................................5
1.1 Giới thiệu................................................................................................5
Tính chất của phép cộng..........................................................................................5
Tính chất của phép nhân..........................................................................................5
2.1 Biểu diễn hình học của số phức..............................................................5
3.1 Dạng đại số của số phức..........................................................................6
Dạng đại số của số phức..........................................................................................6
Các phép toán dưới dạng đại số...............................................................................7
Số phức liên hợp......................................................................................................7
Môđun của số phức.................................................................................................7

4.1 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức...............................................8
Dạng lượng giác......................................................................................................8
Dạng hàm số mũ....................................................................................................10
5.1 Lũy thừa và căn của số phức.................................................................10
Lũy thừa n của số phức..........................................................................................10
Căn bậc n của số phức...........................................................................................10
6.1 Giải phương trình bậc hai......................................................................11
Chương 2. Một số bài tập số phức.........................................................................12
Dạng 1. Các phép toán trên số phức...........................................................12
Dạng 2. Tính i n và áp dụng........................................................................17
Dạng 3. Dạng lượng giác của số phức........................................................19
Dạng 4. Lũy thừa và căn của số phức.........................................................23
Dạng 5. Tìm các số thực x, y thõa mãn đẳng thức......................................26
Dạng 6. Tìm số phức z thõa mãn điều kiện cho trước.................................27
Dạng 7. Tìm tập hợp số phức z trong mặt phẳng phức Oxy........................35
Dạng 8. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất, lớn nhất....................................36
Dạng 9. Giải phương trình bậc hai..............................................................39
Dạng 10. Giải hệ phương trình...................................................................52
Dạng 11. Chứng minh.................................................................................55
Một số đề thi tuyển sinh đại học.................................................................58
Phần kết luận.........................................................................................................63
Tài liệu tham khảo.................................................................................................64

-3-


PHẦN MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Do nhu cầu phát triển của toán học, trong thế kỷ 16 nhà toán học người Ý

Gerolamo Cardano đã đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải các phương
trình bậc ba. Ngoài ra số phức còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học
khác như khoa học kỹ thuật, cơ học lượng tử, toán học ứng dụng. . .
Trong các tập hợp số, số phức là tập mang tính trừu tượng nên để truyền đạt
kiến thức một cách tốt nhất cho học sinh thì người giáo viên phải nắm rõ về nó. Qua
đó, nhằm giúp học sinh hiểu rõ hơn về số phức. Mặt khác, số phức còn xuất hiện
trong các kì thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học của học sinh.
Ngoài ra, số phức là một vấn đề đã được trình bày trong các tài liệu và sách
với những quan điểm và cách trình trình bày khác nhau. Tổng hợp lại những kiến
thức trên là một điều cần thiết. Và để bổ sung thêm kiến thức và hiểu rõ hơn về số
phức, cũng như có tài liệu tham khảo cho quá trình giảng dạy sau này, em quyết
định chọn đề tài “Số phức” để làm tiểu luận tốt nghiệp.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tiểu luận với đề tài “Số phức” giúp người đọc có cái nhìn tổng quát và sâu
sắc hơn về số phức.
Ngoài ra việc thực hiện đề tài này giúp tôi củng cố lại những kiến thức về số
phức để chuẩn bị cho quá trình dạy học sau này.
Đồng thời đây cũng có thể là tài liệu để mọi người tham khảo.

III.

ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Tiểu luận nêu ra một số lý thuyết cơ bản như định nghĩa, tính chất và ứng dụng
của số phức. Sau đó là hệ thống bài tập và các đề thi tuyển sinh có lời giải, những
bài tập này được sắp xếp theo những dạng cơ bản của số phức.

IV.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu các tài liệu đã học có liên quan như: các loại sách về số phức, các

tài liệu trên mạng... để làm tài liệu nghiên cứu.
Trao đổi với giảng viên hướng dẫn thầy Đức, thầy đã hướng dẫn các bước làm
bài cũng như góp ý cho những thiếu sót về nội dung và cách trình bày, giúp tôi hoàn
thành tiểu luận này.
Phương pháp phân tích, tổng hợp và khái quát hóa các kiến thức.

-4-


PHẦN NỘI DUNG

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Giới thiệu
2
Tập R = { z = ( x, y ) : x, y ∈ R} với hai phép toán:
Phép cộng: ( x1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )
Phép nhân: ( x1 , y1 ).( x2 , y 2 ) = ( x1 x 2 − y1 y 2 , x1 y 2 − x 2 y1 )
Tạo thành một cấu trúc đại số gọi là trường số phức. Kí hiệu £ . Phần tử
z = ( x, y ) ∈ £ gọi là một số phức.
Hai số phức z1 ( x1 , y1 ) và z 2 ( x2 , y 2 ) được gọi là bằng nhau nếu x1 = x 2 và
y1 = y2

Kí hiệu i là cặp ( 0,1) ∈ £ . Ta có: i 2 = ( 0,1).( 0,1) = ( − 1,0 ) = −1 . Số phức i được
gọi là đơn vị ảo.
Tính chất của phép cộng
Giao hoán: z1 + z 2 = z 2 + z1 , ∀z1 , z 2 ∈ £
Kết hợp: ( z1 + z 2 ) + z 3 = z1 + ( z 2 + z 3 ) ∀z1 , z 2 , z 3 ∈ £
Tồn tại phần tử không: ∃0 = ( 0,0 ) ∈ £ , z + 0 = 0 + z = z , ∀z ∈ £
Một số có số đối: ∀z ∈ £ , ∃( − z ) ∈ £ : z + ( − z ) = ( − z ) + z = 0

Số z1 − z 2 = z1 + ( − z 2 ) : hiệu của hai số z1 , z 2 . Phép toán tìm hiệu hai số gọi là
phép trừ: z1 − z 2 = ( x1 − x 2 , y1 − y 2 ) ∈ £
Tính chất của phép nhân
Giao hoán: z1 .z 2 = z 2 .z1 , ∀z1 , z 2 ∈ £
Kết hợp: ( z1 .z 2 ).z 3 = z1 .( z 2 .z 3 ) , ∀z1 , z 2 , z 3 ∈ £
Tồn tại phần tử đơn vị: ∃1 = ( 0,1) ∈ £ , z.1 = 1.z = z , ∀z ∈ £
Một số khác 0 có số nghịch đảo: ∀z ∈ £ *, ∃z −1 ∈ £ : z.z −1 = z −1 .z = 1 .
−1
Ta có: z =

1
z

Thương hai số z1 = ( x1 , y1 ) , z = ( x, y ) ∈ £ * là
 x x + y1 y − x1 y + y1 x 
z1
∈ £ .
= z1 z −1 =  1 2
, 2
2
z
x + y 2 
 x +y

Phép toán tìm thương hai số phức được gọi là phép chia.
Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng:
z1 ( z 2 + z 3 ) = z1 z 2 + z1 z 3 , ∀z1 , z 2 , z 3 ∈ £

2. Biểu diễn hình học của số phức.

-5-


Cho số phức z = ( x, y ) ∈ £ tương ứng điểm z trong mặt phẳng Oxy. Trong đó:
O là gốc tọa độ, trục Ox được gọi là trục thực vì mỗi điểm trên trục này biểu diễn
một số thực và trục Oy là trục ảo vì mỗi điểm trên trục này là một số thuần ảo.
z = ( x; y )

y

Nếu z = ( x,0 ) nằm trên trục Ox ⇒ z ∈ Ox
Nếu z = ( 0, y ) nằm trên trục Oy ⇒ z ∈ Oy
⇒ z được gọi là số thuần ảo
Môđun z: z = Oz = x 2 + y 2 = r
Và ϕ = ( Ox, Oz ) = arg ( z )
Khi đó: ( r , ϕ ) được gọi là tọa độ cực của z.

r

ϕ

z = ( x;− y )

B

z2 + z1

C
z2

z2
z2 − z1

A
z1

O

z2 − z1
z1

Hình 1 Tổng hai số phức

Hình 2 Hiệu hai số phức

Phép cộng hai số phức tương ứng quy tắc hình bình hành đối với với phép
cộng hai vectơ. Vậy để cộng hai số phức z1 , z2 ta thiết lập hình bình hành OABC với
các cạnh OA, OC lần lượt tương ứng với z1 , z2 . Đường chéo hình bình hành OB
tương ứng với z1 + z2 .
Phép cộng các số phức z1 , z2 = ( x1 ; y1 ) + ( x2 ; y2 ) = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) đó chính là
thành phần của vector tổng (hình 1)
Hiệu hai số phức z2 − z1 là vector được minh họa ở hình 2. Trong trường hợp
z = z2 − z1 thì khoảng cách giữa hai điểm z1 , z2 trong mặt phẳng phức là bằng
khoảng cách giữa góc tọa độ và điểm ( x2 − x1 ; y2 − y1 ) . Nghĩa là
z = z2 − z1 = ( x2 − x1 ; y2 − y1 )

( x2 − x1 )

Hay z2 − z1 =

2

+ ( y2 − y1 )

2

Khi z1 = 0 thì còn lại z2 biểu thị khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm z2 .
3. Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức
Dạng z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) được gọi là dạng đại số của số phức z. Trong đó

{

}

2
i 2 = −1 . Khi đó: £ = x + yi | x, y ∈ ¡ ; i = −1

-6-


Các số thực x, y lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của z. Ký hiệu
x = Re ( z ) , y = Im ( z ) .
Tập các số thực có thể được xem là tập con của tập các số phức với b = 0 .
Nếu a = 0 thì số phức 0 + ib hay ib được gọi là số thuần ảo.
Các phép toán dưới dạng đại số
Cho hai số phức z1 = x1 + y1i, z 2 = x 2 + y 2 i .
Phép cộng: z1 + z 2 = ( x1 + x 2 ) + ( y1 + y 2 ) i
z1 − z 2 = z1 + ( − z 2 ) = ( x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 ) i
Phép trừ:

Phép nhân: z1 z 2 = ( x1 x 2 − y1 y 2 ) + ( x1 y 2 + x 2 y1 ) i
z1 z1 z 2 z1 z 2
=
=
2
z2 z2 z2
z2
1 z
z
Phép nghịch đảo: z = zz = 2
z

Phép chia:

Số phức liên hợp
Số phức a − ib được gọi là số phức liên hợp của số phức a + ib và ký hiệu là z
*
hay z . Từ định nghĩa phép cộng và phép trừ các số phức ta chứng minh được:
z1 + z 2 = z1 + z 2 và z1 − z 2 = z1 − z 2
Tương tự ta cũng có:
z
z1 .z 2 = z1 .z 2 ,  1
 z2

 z1
 =
và z = z
 z2

Định nghĩa phép cộng, phép trừ và phép nhân các số phức còn chứng tỏ rằng:

z + z = ( a + ib ) + ( a − ib ) = 2a

z.z = ( a + ib ) . ( a − ib ) = a 2 − i 2b 2 = a 2 + b 2
z − z = ( a + ib ) − ( a − ib ) = 2ib

Vì a = Re ( z ) và b = Im ( z ) nên từ các hệ thức trên ta có:
Re( z ) =

z+z
z−z
và Im( z ) =
2
2i

Môđun của số phức
Định nghĩa: Với mọi số phức z = x + yi ta gọi z = x 2 + y 2 là môđun hay
giá trị tuyệt đối của số phức z.
Môđun của một số phức là một số thực.
Ta biết rằng với số phức z = x + iy bất kỳ thì z.z là một số thực. Đặc biệt:
z. z = x 2 + y 2

Định lý

− z ≤ Re( z ) ≤ z ,− z ≤ Im( z ) ≤ z
z ≥0
z =0⇔ z=0

-7-

z = z. z
z = −z = z
2

z. z = z = z

2

z1 z 2 = z1 z 2 ; z1 z 2 ...z n = z1 z 2 ... z n
z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2
z −1 = z

−1

, z ∈£∗

z
z1
= 1 , z2 ∈ £ ∗
z2
z2

4. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
Dạng lượng giác
 Biểu diễn lượng giác của số phức
Cho số phức z = x + yi , ta có thể viết z dưới dạng:
z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (*)
Ta nói (*) là dạng lượng giác hay dạng cực của số phức z. Với r = z . Góc ϕ
thường được đo bằng radian và có giá trị dương khi được đo ngược chiều kim đồng
hồ và có giá trị âm khi được đo theo chiều ngược lại.

Góc ϕ được gọi là argument của z và ký hiệu ϕ = Arg ( z ) . Argument của một
x
r

y
.
r
Argument của số phức là không duy nhất vì cos ϕ , sin ϕ là các hàm tuần hoàn
y
với chu kỳ 2π . Trong thực h ành ta thường dùng phương trình tan ϕ = để tìm ϕ .
x
tan
ϕ
π
Nhưng
là hàm tuần hoàn chu kỳ nên phải cẩn thận khi dùng phương trình
π
y π
trên. Kết quả tính được bằng máy tính chỉ cho góc thõa − < arctan < . Đó là
2
x 2
góc nằm trong góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Chúng ta phải chọn ϕ thích hợp với
vị trí của z (trong góc phần tư nào). Điều này đòi hỏi có thể cộng hay trừ π vào
y
arctan cho thích hợp.
x

số phức z phải thõa phương trình cos ϕ = , sin ϕ =

 Mối quan hệ giữa phần thực, phần ảo với môđun, argument của số phức

r = x 2 + y 2
 x = r cos ϕ

Ta có: 
với 
y
 y = r sin ϕ
tan ϕ =
x

y

arg tan x , x ≥ 0

y

Ta có công thức ϕ = arg tan + π , x < 0, y ≥ 0
x

y

arg tan x − π , x < 0, y < 0


-8-


Hay chọn ϕ sao cho cos ϕ cùng dấu với x và − π < arg z < π
Nhận xét: Chúng ta biết rằng trong tập hợp số thực, phương trình bậc n ≥ 2
không phải bao giờ cũng có nghiệm. Tuy nhiên, trong tập hợp số phức £ , phương

trình bậc n luôn có n nghiệm (có thể có nghiệm bội)
 Giá trị chính
Ký hiệu Arg ( z ) biểu diễn một tập các giá trị, nhưng argument ϕ của một số
phức nằm trong khoảng −π < 0 ≤ π hay 0 ≤ θ < 2π được gọi là giá trị chính của
Arg ( z ) hay argument chính của z. Argument chính của z là duy nhất và được ký
hiệu bởi arg ( z ) . Vậy ta có:
−π < arg ( z ) ≤ π hay 0 ≤ arg ( z ) < 2π

Tổng quát, ta có hệ thức liên hệ giữa arg ( z ) và Arg ( z ) sau:
Arg ( z ) = arg ( z ) + 2nπ , n = 0, ±1, ±2,...
 Tích và thương của số phức
Giả sữ z1 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) và z 2 = r2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) với ϕ1 , ϕ 2 lần lượt là
các argument của z1 , z2 . Khi đó
z1 z 2 = r1 r2 ( cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 + i ( sin ϕ1 cos ϕ 2 + cos ϕ1 sin ϕ 2 ) )
Hay z1 z 2 = r1 r2 [ cos( ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin ( ϕ1 + ϕ 2 ) ]
Với z2 ≠ 0 ta có
z1 r1
= ( cos ϕ1 cos ϕ 2 + sin ϕ1 sin ϕ 2 + i ( sin ϕ1 cos ϕ 2 − cos ϕ1 sin ϕ 2 ) )
z 2 r2
z1 r1
= [ cos( ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin ( ϕ1 − ϕ 2 ) ]
z 2 r2
z1
Vậy argument của z1 z2 và được cho bởi
z2

Hay

z 
arg ( z1 z2 ) = arg ( z1 ) + arg ( z2 ) và arg  1 ÷ = arg ( z1 ) − arg ( z2 )

 z2 
0, arg z1 + arg z 2 < 2π
arg ( z1 z 2 ) = arg z1 + arg z 2 − k 2π , k = 
1, arg z1 + arg z 2 ≥ 2π
Arg ( z1 z2 ) = { arg z1 + arg z2 + k 2π }
Argz n = { n.arg z + k 2π , k ∈ ¢}
z 
Arg  1 ÷ = { arg z1 − arg z2 + k 2π , k ∈ ¢}
 z2 
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ

 Công thức Euler

e −iϕ = cos ϕ − i sin ϕ

Trong đó ϕ có thể là số thực hoặc số phức.

-9-


Tổng quát ta có định nghĩa: e = e = e .e = e ( cos y + i sin y )
Trường hợp đặc biệt: y = 0 thì e z = e x
Hàm số mũ theo biến ϕ có các phép toán tương tự như hàm số lũy thừa
thông thường. Chẳng hạn:
x + iy

z

x

iy

x

e i ( ϕ1 +ϕ 2 ) = e iϕ1 + e iϕ 2
e

i ( ϕ1 −ϕ 2 )

e iϕ1
= iϕ 2
e

Hệ quả:
e iϕ − e − iϕ
2i
iϕ
e + e −iϕ
cos ϕ =
2

sin ϕ =

Dạng hàm số mũ
Thay công thức Euler vào dạng lượng giác của z ta được z = reiϕ
Nhận xét: Dạng lượng giác và dạng hàm số mũ cùng xuất hiện từ tọa độ cực,
nhưng ta gặp thuận lợi hơn nếu sử dụng hàm số mũ trong phép nhân và chia.
Thật vậy: Xét z1 = r1e iϕ , z 2 = r2 e iϕ
1

2

z1 z 2 = r1 r2 e i ( ϕ1 +ϕ 2 )

Ta được: z1
z2

=

r1 i ( ϕ1 −ϕ 2 )
e
r2

5. Lũy thừa và căn của số phức
Lũy thừa n của số phức
Cho z = re iϕ ⇒ z n = r n e inϕ
Đặc biệt: Khi r = 1, z = e iϕ . Đưa kết quả về dạng lượng giác ta được:
( cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ
Hệ thức trên được gọi là công thức De moivre và công thức này được sử
dụng trong rút gọn các đẳng thức lượng giác đã cho có chứa cos nϕ , sin nϕ
Căn bậc n của số phức
Cho n là số tự nhiên và z ∈ £ . Ta nói ω là căn bậc n của z nếu ω n = z
Với z ≠ 0 , đặt z = reiϕ và ω = ρ eiψ . Khi đó:
ω = n z ⇔ ω n = z ⇔ ρ n e iθn = re iϕ ⇔ ρ n ( cos nθ + i sin nθ ) = r ( cos ϕ + i sin ϕ )
ρ n = r
⇔
nθ = ϕ + 2kπ
ρ = n r

Ta có công thức: 

ϕ + k 2π
, k = 0, n − 1
θ =
n

  ϕ + k 2π 
 ϕ + k 2π
 + i sin 
Vậy: ω = n z = n r cos
n
n


 

Căn bậc n của đơn vị:

- 10 -


, k = 0, n − 1



Một nghiệm của phương trình z n − 1 = 0 gọi là một căn bậc n của đơn vị.
Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác, 1 = cos 0 + i sin 0 , từ công thức tìm căn bậc n của
số phức, ta có căn bậc n của đơn vị là
2kπ
2kπ
z = cos

n

+ i sin

Nhận xét: Nếu đặt w = cos

n

, k = 0, n − 1

2π i
2π
2π
+ i sin
= e n thì n nghiệm là 1, w2 , w3 ,..., wn −1 .
n
n

Về mặt hình học thì chúng biểu thị n đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong
đường tròn bán kính 1, tâm là gốc tọa độ. Đường tròn này có phương trình z = 1 và
thường được gọi là đường tròn đơn vị.
6. Giải phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0; b, c ∈ ¡ ) có ∆ = b 2 − 4ac
Nếu ∆ > 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt
x=

−b ± b 2 − 4ac
2a

Nếu ∆ = 0 , phương trình có nghiệm kép x = −

b
2a

Nếu ∆ < 0 , phương trình không có nghiệm thực. Tuy nhiên trong tập
hợp số phức, phương trình đã cho có nghiệm
−b + b 2 − 4ac
(*)
2a
Lưu ý: Khi b 2 − 4ac ≠ 0 thì ký hiệu b 2 − 4ac là biểu diễn tập các căn bậc hai
của số phức b 2 − 4ac . Vậy (*) cho hai nghiệm phức.
z=

Chương 2.
MỘT SỐ BÀI TẬP SỐ PHỨC

Dạng 1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC

- 11 -


1
z

Bài 1. Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm các số phức z 3 , , z , z − z 2 + z 3
Giải
Ta có:

z 3 = ( 2 − 3i ) ( 2 − 3i ) = ( − 5 − 6i )( 2 − 3i ) = −28 + 3i

1
1
2 + 3i
2 + 3i
2 3
=
=
=
=− − i
z 2 − 3i ( 2 − 3i )( 2 + 3i )
−5
5 5
z = 2 + 3i
2

z − z 2 + z 3 = ( 2 − 3i ) − ( 2 − 3i ) + ( 2 − 3i ) = 2 − 3i − ( − 5 − 6i ) + ( − 28 + 3i ) = −21 + 6i
1
3
1
3
2
2
Bài 2. Cho số phức z = − +
i . Tính , z , z , ( z ) ,1 + z + z
z
2 2
2

3

Giải
Ta có:
1
=
z

1
3
−
i
1
3
2
2
=
=− −
i
2 2
 1
 1

1
3
3
3


− +
i − +
 2 2 i  − 2 − 2 i 

2 2



−

1

 1
3 
1
3
z =  − +
i  = − −
i
2 2
 2 2 
2

 1
3 
1
3
z =  − +
i = − −
i
2
2
2
2



2

3



( z ) =  − 1 + 3 i  = − 1 + 3 3 i + 9 − 3 3 i = 1
8
8
8
8
 2 2 
 1
3   1
3 
1 + z + z 2 = 1 +  − +
i + − −
i = 0
 2 2   2 2 
1
Bài 3. Tìm số phức z, nghịch đảo của số phức , số phức liên hợp z , số phức đối
z
− z biết
3

a)

(

z=

2 −i

)

3

1 + 2i
b) z.z + 3( z − z ) = 4 − 3i

Giải
a) Ta có:

(
z=

Suy ra:

2 −i

)

3

1 + 2i

=

− 2 − 5i

1 + 2i

=

(− 2 − 5i )(1 − 2i ) = − 6
(1 + 2i )(1 − 2i )

- 12 -

2 − 3i
= −2 2 − i
3


z = −2 2 + i
1
1
2 2 +i
=
=
z −2 2 +i
9
− z = 2 2 −i

b) Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = x − yi
Khi đó z.z + 3( z − z ) = 4 − 3i trở thành

( x + yi )( x − yi ) + 3[ ( x + yi ) − ( x − yi ) ] = 4 − 3i ⇔ x 2 + y 2 + 6 yi = 4 − 3i



15
 x =

15 1
2

z1 =
− i
2
2

x + y = 4


2
2
15
⇔
⇔  x = −
⇒
2
6 y = −3

 z = − 15 − 1 i

 2
2
2
1
y = −


2
15 1
Với z1 =
− i thì ta có:
2
2
15 1
z1 =
+ i
2
2
1
1
15 1
=
=
− i
z1
8
8
15 1
+ i
2
2
15 1
− z1 = −
− i
2
2

15 1
Với z 2 = −
− i thì ta có:
2
2
15 1
z2 = −
+ i
2
2
1
1
15 1
=
=−
+ i
z2
8
8
15 1
−
− i
2
2
15 1
− z2 =
− i
2
2

Bài 4. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a) z = (1 − i )( 2 + 3i )( 5 + 2i )
b) z =

6−i
3 + 2i

c) z =

3+i
2i − 1

d) z = ( 3 − 2i ) − ( 2 − 3i )
2

Giải

- 13 -

2


a) Ta có: z = (1 − i )( 2 + 3i )( 5 + 2i ) = ( 5 + i )( 5 + 2i ) = 23 + 15i
Vậy số phức z có phần thực là 23 và phần ảo là 15

6 − i ( 6 − i )( 3 − 2i ) 16 − 15i 16
=
=
=
− 3i

3 + 2i ( 3 + 2i )( 3 − i )
5
5
16
Vậy số phức z có phần thực là
và phần ảo là -3
5
3+i
( 3 + i )( − 2i − 1) = − 1 − 7i = − 1 − 7 i
=
c) Ta có: z =
2i − 1 ( 2i − 1)( − 2i − 1)
5
5 5
1
7
Vậy số phức có phần thực là − và phần ảo là −
5
5
2
2
d) Ta có: z = ( 3 − 2i ) − ( 2 − 3i ) = 5 − 4i − ( − 5 − 6i ) = 10 + 2i

b) Ta có: z =

Vậy số phức có phần thực là 10 và phần ảo là 2
Bài 5. Số phức z thõa (1 + i) 2 (2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i) z . Tìm phần thực và phần ảo của
số phức z.
Giải
Đặt z = x + yi ( x, y ∈ R)

Ta có:
(1 + i ) 2 (2 − i )( x + yi) = 8 + i + (1 + 2i )( x + yi) ⇔ [ 2i(2 − i) − (1 + 2i) ] ( x + yi) = 8 + i
⇔ (1 + 2i )( x + yi) = 8 + i ⇔ x − 2 y + (2 x + y )i = 8 + i
x − 2 y = 8 x = 2
⇔
⇔
2 x + y = 1
 y = −3
⇒ z = 2 − 3i

Vậy số phức z có phần thực là 2 và phần 2 là − 3
Bài 6. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
a) Xác định phần ảo của số phức z, biết z −1 = 1 − 2i
b) Xác định phần thực và phần ảo của số phức ( 2 − 2i )( 3 + 2i )( 5 − 4i ) − ( 2 + 3i ) 3
c) Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 2 − 3i . Xác định phần thực và phần ảo
của số phức z1 − 2z 2 và z1 z2
3

1+ 3 

d) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 

 1+ i 
k + 9i
e) Tìm số thực k để bình phương của số phức z =
là số thực
1− i

Giải

a) Ta có:
z −1 = 1 − 2i ⇔

1
1
1 + 2i
1
2
= 1 − 2i ⇔ z =
=
= +
i
z
1 − 2i 1 − 2i 1 + 2i 3 3

(

Vậy phần ảo của số phức z là

2
3

b) Ta có:

- 14 -

)(

)

( 2 − 2i )( 3 + 2i )( 5 − 4i ) − ( 2 + 3i ) 3 = (10 − 2i )( 5 − 4i ) − ( 8 + 36i − 54 − 27i )
= 42 − 50i − ( − 46 + 9i ) = 88 − 59i
Vậy phần thực của số phức là 88 và phần ảo là -59
c) Ta có:
z1 − 2 z 2 = 1 + 2i − 2( 2 − 3i ) = −3 + 8i

z1 z 2 = (1 + 2i )( 2 − 3i ) = 8 + i
Vậy số phức z1 − 2z 2 có phần thực là -3 và phần ảo là 8; số phức z1 z2 có

phần thực là 8 và phần ảo là 1
d) Ta có:

(

)

(

)

1+ 3 
1+ 3
10 + 6 3 10 + 6 3 (1 + i )
 =
z = 
=
=
3


− 2(1 − i )
− 2(1 − i )(1 + i )
(1 + i )
 1+ i 
3

=−

3

5+3 3 5+3 3
−
i
2
2

5+3 3
5+3 3
và phần ảo là −
2
2
2
k 2 − 81 + 18ki − 18k + k 2 − 81 i
k 2 − 81
 k + 9i 
=
= −9k +
i
e) Ta có: z 2 = 
 =

− 2i
2
2
 1− i 
k 2 − 81
= 0 ⇔ k 2 = 81
Để bình phương của số phức z là số thực thì
2
⇔ k = 9 hoặc k = −9
k + 9i
Vậy với k = ±9 thì bình phương của số phức z =
là số thực
1− i

Vậy phần thực của số phức đã cho là −

(

Bài 7. Tính môđun của số phức

1− i

a) Tìm môđun của số phức z, biết z =

c) Tính môđun của số phức z, biết z =

z

Giải

- 15 -

)

2

1 + 2i − (1 − i )
. Tính môđun của
1+ i
3

1 − 5i
3
+ ( 2 − 3i )
1+ i

d) Cho số phức z thõa mãn z 2 − 6 z + 13 = 0 . Tính z +
a) Ta có:

(

( 2 − 3i ) z + 2 − i

b) Cho các số phức z1 = 4 − 3i + (1 − i ) 3 , z 2 =
số phức z = z1 .z 2

)

6
z+i

1 − i ( 2 − 3i ) z
1
z
=
+ 2 − i ⇔ (1 − i ) − ( 2 − 3i )
= 2−i
2
z
z
z. z
z
1
1
1
− ( 2 − 3i ) = 2 − i ⇔ ( − 1 + 2i ) = 2 − i
z
z.
z
− 1 + 2i ( − 1 + 2i )( 2 + i )
4 3
⇔z=
=
=− + i
( 2 − i )( 2 + i )
2−i
5 5
⇔ (1 − i )

2

2

4 3
 4 3
⇒ z = − + i = −  +   =1
5 5
 5 5

Vậy môđun của số phức z là 1
b) Ta có:

z1 = 4 − 3i + (1 − i ) = 4 − 3i + ( − 2 − 2i ) = 2 − 5i
3

1 + 2i − (1 − i )
1 + 2i − ( − 2 − 2i ) 3 + 4i ( 3 + 4i )(1 − i )
=
=
=
(1 + i )(1 − i )
1+ i
1+ i
1+ i
7 1
= + i
2 2
7 1
⇒ z2 = + i

2 2
 7 1  19 33
Nên z = z1 .z 2 = ( 2 − 5i )  + i  = − i
2
2 2  2
3

z2 =

Suy ra z =

19 33
5 58
− i =
2
2
2

c) Ta có:

(1 − 5i )(1 − i ) + ( 8 − 36i − 54 + 27i )
1 − 5i
3
+ ( 2 − 3i ) =
1+ i
(1 + i )(1 − i )
= −2 − 3i − 46 − 9i = −48 − 12i
Suy ra z = − 48 − 12i = 12 17
z=

d) Ta có phương trình z 2 − 6 z + 13 = 0 có ∆ = −16 = 4i
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là z1 = 3 − 2i, z 2 = 3 + 2i
Với z1 = 3 − 2i thì
z1 +

48 − 14i
6
6
6( 3 + i )
48 − 14i
= 3 − 2i +
= 3 − 2i +
=
=
=5
z1 + i
3 − 2i + i
10
10
10

Với z 2 = 3 + 2i thì
z2 +

6
6
6( 3 − 3i )
= 3 + 2i +
= 3 + 2i +
= 4 + i = 17

z2 + i
3 + 2i + i
18

(

) (
2

)

2

Bài 8. Tính giá trị của biểu thức P = 1 + 3i + 1 − 3i
Giải
2
2
Ta có: 1 + 3i + 1 − 3i = − 2 + 2 3i + − 2 − 2 3i = −4
Vậy P = −4

(

) (

) (

) (

- 16 -

)


Bài 9. Tìm số phức z =

i−m
1
, m ∈ R . Tìm m để z.z =
1 − m( m − 2i )
2

Giải

(

)

i−m
−m+i
m3 + 1 + m 2 + 1 i
m+i
=
=
= 2
2
4
2
1 − m( m − 2i ) 1 − m + 2mi
m + 2m + 1
m +1

1
1
1
 m + i  m − i  1
z. z = ⇔  2
= ⇔ m2 +1 = 2 ⇔ m2 = 1
 2
= ⇔ 2
2
m +1 2
 m + 1  m + 1  2
⇔ m = 1 hay m = −1

Ta có: z =

Vậy với m = 1 và m = -1 thì số phức đã cho thõa yêu cầu bài toán
Bài 10. Cho z, z là hai số phức thõa
Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡
z

Ta có ( ) 2
z

z. z

( z .z ) 2

=

)

z

3

z

2

( z ) 2 là số thực và

z − z = 2 3 . Tính z

Giải
suy ra z = x − yi
=

( x + yi ) 3
x2 + y2

=

x 3 − 3 xy 2
+i
x2 + y2

3x 2 y − y 3
= 0 (1)
là số thực nên 2
x + y2

z

Mà

=

2

z

( z)2

Và z − z = 2 3 ⇔ x + yi − ( x − yi ) = 2 3 ⇔ 2 yi = 2 3 ⇔ 2 y = 2 3 ⇔ y = 3
3 3x 2 − 3 3
= 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = −1
x2 + 3
Với x = 1, y = 3 thì z = 1 + 3i = 2

Thay y = 3 vào (1) ta được

Với x = −1, y = 3 thì z = − 1 + 3i = 2
DẠNG 2. TÍNH i n VÀ ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

b) (1 + i ) , (1 + 5) , (1 + i )
2

a.) z = i 2 , i 3 , i 4 , i 9 , i10 , i112
c) (1 − i ) , (1 − i ) , (1 − i )

2

10

2

Giải
a) i = −1 ⇒ Re z = −1; Im z − 0
i 3 = i 2i = −i ⇒ Re z = 0; Im z = −1
i9
i10

( ) = 1 ⇒ Re z = 1; Im z = 0
= ( i ) i = i ⇒ Re z = 0; Im z = 1
= ( i ) = −1 ⇒ Re z = −1; Im z = 0
= ( i ) = 1 ⇒ Re z = 1; Im z = 0

i112

26

d) z = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i )

13

2

i4 = i2

5

2

2 4

2 5

2 56

- 17 -

100


b) (1 + i ) = 2i ⇒ Re z = 0; Im z = 2
2

(1 + i ) 5 = [(1 + i ) 2 ] (1 + i ) = −4(1 + i ) = −4 − 4i ⇒ Re z = −4; Im z = −4
13
(1 + i ) 26 = [(1 + i ) 2 ] = ( 2i )13 = 213 ( i 2 )6 i = 8192i ⇒ Re z = 0; Im z = 8192
2
c.) (1 − i ) = −2i ⇒ Re z = 0; Im z = −2
5
(1 − i )10 = [(1 − i ) 2 ] = ( − 2i ) 5 = −32i Re z = 0; Im z = −32
16
(1 − i ) 33 = [(1 − i ) 2 ] (1 − i ) = ( − 2i )16 (1 − i ) = 216 − 216 i ⇒ Re z = 216 ; Im z = −216
100 +1
2 50
(
1 + i)

− 1 [ (1 + i ) ] ( 1 + i ) − 1
2
100
d) z = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) =
=
(1 + i ) − 1
i
50
50
50
= [( 2i ) (1 + i ) − 1]( − 1) = −2 + ( 2 + 1)i
2

⇒ Re z = −250 ; Im z = 250 + 1

Bài 2. Tính
23

 1+ i 
a) A = 
÷
 1− i 
b) B = 1 + (1 + i) + (1 + i ) 2 + ... + (1 + i) 20
c) C =

i 2009 + i 2010 + i 2011
1 + i 25 − i −4 − i −15

Giải
23

23

23

11
 (1 + i )(1 + i ) 
 1+ i 
 2i 
a) A = 
=  ÷ = i 2 i = −i
÷ =

 1− i 
2
 (1 − i )(1 + i ) 
(1 + i ) 21 − 1
b) B = 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + ... + (1 + i) 20 =
i

( )

10

( 1 + i ) 2  (1 + i) − 1
−1024(1 + i )(−i )

=
=
= −1024 + 1025i

i
i.(−i)
c) C =

i 2009 + i 2010 + i 2011 i 2009 + i 2011 + i 2010 2i 2010 + i 2010
=
=
1 + i 25 − i −4 − i −15 1 − 1 + i 25 − i −15
i10
i4

( )

= 3i 2010 = 3 i 2

Bài 3. Tính z =

1005

=3

1+ i
. Tính z100
1− i

Giải

Ta có:
z=

1 + i (1 + i )(1 + i ) 2i
=
= =i
1 − i (1 − i )(1 + i ) 2

⇒ z100 = i100 = (i 2 )50 = (−1)50 = 1

Bài 4. Tính (1 + i ) 2010 , (1 + i ) 2011 , (1 − i) 2010 , (1 − i) 2011

- 18 -


Giải
Ta có:
(1 + i ) 2010 = (2i )1005 = 21005 i 2 

502

i = 21005 i

(1 + i ) 2011 = (2i )1005 (1 + i ) = 21005 i (1 + i) = −21005 + 21005 i
(1 − i ) 2010 = (−2i )1005 = (−2)1005 i 2 

502

i = −21005 i

(1 − i ) 2011 = (−2i)1005 (1 − i) = −21005 i(1 − i ) = −21005 − 21005 i

Bài 5. Cho số phức z thõa mãn z + 1 = i 2011 + i 2012 . Tìm môđun của số phức iz + z

Giải
Ta có: z + 1 = i 2011 + i 2012 ⇔ z + 1 = ( i 2 ) i + ( i 4 ) = 1 − i ⇔ z = −i
Suy ra: iz + z = i.( − i ) + i = 1 + i
Vậy môđun của số phức iz + z là 1+i
Bài 6. Chứng minh rằng: 3(1 + i )100 = 4i(1 + i)98 − 4(1 + i)96
Giải
1005

Ta có :1 + i = 2e

i

503

π
4

100

π
i 

VT = 3  2e 4 



= 3.250 ei 25π

π
π

π
i
i
i



50 i 24π  2
4 2
VP = 4( 2e ) i ( 2e ) − 1 = 2 e e 2e 2 − eiπ 




50 i 24π
iπ
iπ
50 i 25π
= 2 e  2e + e  = 3.2 e
= VT
i

π
4 96

Bài 7. Chứng minh 3(1 + i ) 2010 = 4i(1 + i) 2008 − 4(1 + i) 2006
Giải
Ta có

1005

VT = 3(1 + i ) 2010 = 3  (1 + i ) 2 

= 3.21005 i

(1)

VP = 4i (1 + i ) 2008 − 4(1 + i ) 2006 = 4(1 + i) 2006 i (1 + i ) 2 − 1
1003

= 4  (1 + i) 2 

[ i.2i − 1] = −3.4.21003 i1003 = −3.21005 i

Từ (1) và (2) suy ra 3(1 + i )

2010

= 4i (1 + i )

2008

− 4(1 + i)

(2)
2006

DẠNG 3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Bài 1. Viết dạng lượng giác của số phức
a) z = 1 − i

b) z = −1 + i
1 + cos α + i sin α
e) z =
(0<α <π )
1 + cosα − i sin α

c) z = −1 − i
f) z = (1 − i )(1 − i 3)

Giải

a)

- 19 -

d) z = 1 − i 3


r = 2

Ta có : 
π
ϕ = arctan( −1) = −
4

π
π 

Suy ra: z = 2 cos(− ) + i sin( − ) 
4

4 



 π
 π 
 + i sin  − 
 4
 4 

Vậy số phức z cần tìm là z = 2 cos −


b)
r = 2

Ta có : 
3π
ϕ = arctan( −1) + π =
4

3π
3π 

Suy ra: z = 2 cos( ) + i sin( ) 
4
4 

  3π 
 3π 

Vậy số phức z cần tìm là z = 2 cos  + i sin  
 4 
  4 

c)
r = 2

Ta có : 
5π
ϕ = arctan( −1) − π = −
4

5π
5π 

Suy ra: z = 2 cos(− ) + i sin( − ) 
4
4 

  5π 
 5π 
Vậy số phức z cần tìm là z = 2 cos −  + i sin  − 
 4 
  4 

d)
r = 2

Ta có : 
π

ϕ = arctan( − 3) = − 3
π
π 

Suy ra: z = 2  cos(− ) + i sin(− ) 
3
3 

  π
 π 
Vậy số phức z cần tìm là z = 2 cos −  + i sin  − 
 3 
  3

e) Ta có:

1 + cos α + i sin α [1 + cos α + i sin α ]
=
1 + cos α − i sin α (1 + cos α ) 2 + sin 2 α
2

z=

2
(
1 + cos α ) + 2i sin α (1 + cos α ) − sin 2 α
=

1 + 2 cos α + cos α + sin α
= 1 + i sin α

Vậy số phức z cần tìm là z = 1 + i sin α
2

2

- 20 -

=

2( cos α + 1)(1 + i sin α )
2( cos α + 1)


f. Ta có
z = (1 − i )(1 − i 3)
  π
π  
π
π 
= 2 cos  − ÷+ i sin(− )  .2 cos( − ) + i sin( − ) 
4  
3
3 
  4
π π
π π 

= 2 2 cos(− − ) + i sin( − − ) 
4 3
4 3 


7π
7π 

= 2 2 cos(− ) + i sin( − ) 
12
12 

  7π 
 7π 
Vậy số phức z cần tìm là z = 2 2 cos −  + i sin  − 
12
12





π
π
z1
π
π
Bài 2. Cho z1 = 2(cos + i sin ) và z2 = 2(cos + i sin ). Tính z1 z2 , dưới dạng
6
6
z2
4
4


lượng giác
Giải
Ta có

π π
π π 
5π
5π 


z1 z2 = 2 2  cos( + ) + i sin( + )  = 2  cos
+ i sin 
4 6
4 6 
12
12 


z1
1
π
π 1
π
π
= z1. = 2(cos + i sin ).
(cos − i sin )
z2
z2
4

4
6
6
2
π
π
π
π
+ i sin )(cos − i sin )
4
4
6
6
π π
π π
π
π
= cos( − ) + i sin( − ) = cos + i sin
4 6
4 6
12
12
= (cos

Bài 3. Viết số phức z = 1 − i 3 dưới dạng lượng giác rồi tính z 2
Giải
r = 1 + ( − 3) 2 = 2

Ta có 
π

ϕ = arctan(− 3) = −
3

π
π 

Suy ra z = 2  cos(− ) + i sin( − ) 
3
3 

2π
2π 

2
Dùng công thức Moivre ta có z = 4 cos( − ) + i sin( − ) 
3
3 


Bài 4. Viết số phức sau dưới dạng đại số z =
Giải

- 21 -

( 3 − i ) 21
(1 + i )5


21

 i ( − π3 ) 
 2e

 21π 5π 
( 3 − i ) 21 
221 i − 3 − 4 

z=
=
=
.e
5
(1 + i )5
( 2)5
π

 2ei 4 
37

=22 e

i(−

33π
)
4

37
π
π 


= 2 2  cos(−8π − ) + i sin(−8π − ) 
4
4 


37
π
π
π
π 

= 2 2  (cos8π cos − sin 8π sin ) − i(sin 8π cos + cos8π sin ) 
4
4
4
4 

37
 2
2
18
18
=22 
−i
 = 2 −2 i
2
2



Bài 5. Cho số phức z =

z=

7 −i 3
. Tính S = 1 + z + z 2 + ... + z 2009
1 − 2i 3

(
(

)(
)(

)
)

Giải

7 − i 3 1 + 2i 3
7 −i 3
=
= 1+ i 3
1 − 2i 3 1 − 2i 3 1 + 2i 3

(

) (

S = 1 + z + z 2 + ... + z 2009 = 1 + 1 + i 3 + 1 + i 3

(1+ i 3 )
=

2010

i 3

( 1+ i 3 )
=

π
π

2  cos + i sin ÷
3
3


  π
 π 
cos  − 2 ÷+ i sin  − 2 ÷



 
3

2   2010π π 

 2010π π  
cos  3 − 2 ÷+ i sin  3 − 2 ÷
3 




=

2   π
2 3
 π 
cos  − 2 ÷+ i sin  − 2 ÷ = − 3 i
3 




Bài 6. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =

Giải
π
i
4

=

1
2 24

(

+ ... + 1 + i 3

(−i )

=


 2e

z=
 i π6
 2e



2

3

2010

=

2010

)












(

(1 + i ) 50
3 +i

)

49

50

49

( 2)
=

50

2 49 e

e

i

i

50π
4

49π
6

13π
13π

+ i sin
 cos
3
3


 50π 49π 
−

4
6 

2 25 i 
= 49 e
2

1 i

= 24 e
2

13π
3

1 1
3 
1
3

=
+
i
 = 24  + i
25
25
2  2
2
 2 2

- 22 -

)

2009


Vậy số phức z có phần thực là

1
3
25 và phần ảo là
25
2
2

DẠNG 4. LŨY THỪA VÀ CĂN CỦA SỐ PHỨC
n

 3 − 3i 
Bài 1. Với n nguyên dương nào số phức 
÷
÷ là số thực
 3 − 3i 
Ta có

Giải
π

3 − 3i
3 +i
π
=
= cos + i sin
2
6
6
3 − 3i
n

 3 − 3i 
nπ
nπ
=
cos
+
i
sin
( n > 0)

÷
÷
6
6
 3 − 3i 
nπ
= 0 ⇔ n = 6k (k > 0, k ∈ Z)
Số phức là số thực sin
6
Bài 2.Tìm căn bậc hai của các số phức a + bi (a + bi ≠ 0) . Áp dụng hãy tính:
z = 1 + i, z = 1 − i, z = i

Giải

Gọi x + yi ( x, y ∈ R) là căn bậc hai của số phức a + bi .
Nên ta có:

a + a 2 + b2


x
=
±
 x2 − y 2 = a

2
( x + yi ) 2 = a + ib ⇔ 
⇔
 2 xy = b

−a + a 2 + b 2
y
=
±

2

Nếu b > 0 thì x, y cùng dấu, nếu b < 0 thì x, y trái dấu. Do đó có hai cặp (x, y)

thõa mãn bài toán.
Áp dụng:
• z = 1+ i
Gọi w = x + yi ( x, y ∈ R) là căn bậc hai của số phức z. Ta có:

( x + yi ) 2


1+ 2
x = ±
2

2
x − y = 1
2

= 1+ i ⇔ 
⇔
2 xy = 1

−1+ 2
y = ±
2


1+ 2
−1+ 2
1+ 2
−1+ 2
Do xy > 0 nên 1 + i là
+
i và −
−
i
2

2

2

• z = 1− i
Gọi w = x + yi ( x, y ∈ R) là căn bậc hai của số phức z. Ta có

- 23 -

2


( x + yi ) 2


1+ 2
x = ±
2
2
x − y = 1
2

= 1− i ⇔ 
⇔
2 xy = −1

−1+ 2
y = ±
2


1+ 2
−1 + 2
1+ 2
−1+ 2
Do xy < 0 nên 1 − i là −

+
i và
−
i
2

2

2

• z=i
Gọi w = x + yi ( x, y ∈ R) là căn bậc hai của số phức z. Ta có:

x = ±
x − y = 0

2
( x + yi ) = i ⇔ 
⇔
2 xy = 1
y = ±

2
2
Do xy > 0 nên i là
+
i và −
2
2

2
2
2
2
2
2
−
i
2
2
1+ i
Bài 3. Tìm căn bậc hai của số phức w+1 với w =
1− i
2

Ta có: w + 1 =
Ta có:

2

1+ i
+1 = 1+ i
1− i

Giải

1+ i = 2
π
i


4
⇒
1
+
i
=
2
e

π
ϕ = arctan1 =

4
iθ
Gọi ω = ρ e là căn bậc hai của số phức 1+i

Áp dụng công thức ta có:
ρ =
2=42


π
θ = + kπ , k = 0,1
8

π
8

π
π

+ i sin )
8
8
9π
i
9π
9π
k = 1 ⇒ ω1 = 4 2e 8 = 4 2(cos
+ i sin )
8
8
Bài 4. Tìm căn bậc ba của các số phức
a. z = 1 + i
b. z = i
Giải
k = 0 ⇒ ω0 = 4 2e

i

= 4 2(cos

π

a. Ta có: z = 1 + i = 2e i 4
Đặt ω = ρ eiθ là căn bậc ba của số phức z.
Áp dụng công thức ta có:

- 24 -

2

ρ = 3 2 = 6 2


π
2π
, k = 0, 2
θ = + k
12
3

π

π
π
+ i sin )
12
12
3π
i
3π
3π
k = 1 ⇒ ω1 = 6 2e 4 = 6 2(cos
+ i sin )
4
4
17π
i
17π

17π
k = 2 ⇒ ω2 = 6 2e 12 = 6 2(cos
+ i sin
)
12
12
i

k = 0 ⇒ ω0 = 6 2e 12 = 6 2(cos

π

b. Ta có: z = i = ei 2
Đặt ω = ρ eiθ là căn bậc ba của số phức z=i
Áp dụng công thức ta có:
ρ = 3 1 = 1


π
2π
, k = 0, 2
θ = + k


6

3

π
π

3 1
+ i sin =
+i
6
6
2
2
5π
5π
3 1
k = 1 ⇒ ω1 = cos
+ i sin
=−
+i
6
6
2
2
3π
3π
k = 2 ⇒ ω2 = cos
+ i sin
= 0 − i = −i
2
2
Bài 5. Tìm số phức z sao cho z 3 = 1
Giải
3
3
Ta có z = 1 ⇒ z = 1

Đặt z′ = 1
r = 1
⇒ z′ = 1 = 1ei 0
Ta có 
ϕ = 0
Gọi ω = ρ eiθ là căn bậc ba của số phức z′
Áp dụng công thức ta có:
ρ = 3 1 = 1


0
2π
, k = 0, 2
θ = + k
3
3

k = 0 ⇒ ω0 = ei 0 = 1
k = 0 ⇒ ω0 = cos

2π
3

2π
2π
1
+ i sin
=− +
3
3

2
4π
i
4π
4π
1
k = 2 ⇒ ω2 = e 3 = cos
+ i sin
=− −
3
3
2
4
Bài 6. Tìm số phức z thõa mãn z = −1
k = 1 ⇒ ω1 = e

i

= cos

- 25 -

3
i
2
3
i
2