Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
---------------------------------VĂN BẢO NGÂN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG
CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: THS. TRẦN SƠN LÂM

Thành phố Hồ Chí Minh – Tháng 5 năm 2017


2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công
trình nghiên cứu của tôi, các kết quả nghiên
cứu và số liệu thực nghiệm được nêu trong
khóa luận là trung thực và chưa từng được
công bố trong bất kì một công trình nào khác.

Tác giả khóa luận.
Văn Bảo Ngân

3

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến ThS. Trần Sơn Lâm –
thầy là người tận tình hướng dẫn cho tôi và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp tôi
hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này. Tôi đã học hỏi được từ thầy cách làm việc
khoa học và sự cẩn thận trong nghiên cứu toán học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm khoá luận đã dành
thời gian quý báu để xem xét và góp ý về khoá luận để tôi rút ra kinh nghiệm cho
quá trình nghiên cứu sau này.
Tôi vô cùng biết ơn và cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè đã luôn quan
tâm, động viên và khích lệ tinh thần tôi trong suốt thời gian thực hiện khoá luận.
Cuối cùng, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báo từ Quý Thầy, Cô cũng như
sự góp ý chân thành của các bạn.
Xin chân thành cảm ơn.
Tác giả khóa luận.
Văn Bảo Ngân


4

MỤC LỤC
Trang phụ bìa……………………………………………………………………...... 1
Lời cam đoan……………………………………………………………………...... 2
Lời cảm ơn………………………………………………………………………….. 3
Mục lục………………………………………………………………………….….. 4
Danh sách các chữ viết tắt………………………………………………………….. 7
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………...

8

1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………….... 8
2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….….... 8
3. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………... 9
4. Phạm vi nghiên cứu……………………………………………………………... 9
NỘI DUNG………………………………………………………………..

10

CHƯƠNG 1
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Khoảng cách…………………………………………………………………… 10
1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng………………………….

10

1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng…………………………….

10

1.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song………………....

10

1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song……………………………….

11

1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau…………………………….

11

1.5.1. Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung thứ nhất………………...11
1.5.1.1. Cạch 1.........................................................................................11
1.5.1.2. Cách 2…………………………………………….....................12
1.5.2. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng…..13
2. Góc.......................................................................................................................13
2.1. Góc giữa hai mặt phẳng……………………………………………………...... 13
2.1.1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng…………………………………13
2.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau……………………13
2.1.3. Chú ý………………………………………………………………...14


5

2.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……………………………………....

14

2.2.1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……………………14
2.2.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng………………...14
2.2.3. Chú ý…………………………………………………………….......14
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN
1. Công thức khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên chứa đỉnh của hình
chóp…………………………………………………………………………......15
1.1. Xét bài toán…………………………………………………………. ……..15
1.2. Áp dụng……………………………………………………………..............16
1.3. Chú ý………………………………………………………………............. 18

2. Phân loại các dạng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình học không
gian………………………………………………………………….................. 19
2.1. Loại 1: Khoảng cách từ chân đường cao (tính từ đỉnh của hình chóp) đến
mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp......………………………..................19
2.2. Loại 2: Khoảng cách từ một điểm (khác chân đường cao của hình chóp) đến
mặt phẳng không chứa đường cao của hình chóp……………………….... 20
2.2.1. Phương pháp dời khoảng cách trự tiếp...............................................20
2.2.2. Phương pháp dời khoảng cách gián tiếp ……………………….......21
2.3. Loại 3: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt phẳng chứa
đường cao của hình chóp…………………………………….......................23
2.4. Loại 4: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chứa chân đường cao của
hình chóp……………………………………………………........................23
3. Công thức tính các loại góc trong hình học không gian…………………….......25
3.1. Công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (1) (công thức tính góc giữa đường thẳng với mặt
phẳng)……………………………………………………………..................25
3.2. Công thức 𝑠𝑖𝑛𝜑 số (2) (công thức tính góc giữa hai mặt phẳng cắt
nhau)…………………………………………………………………............25


6

CHƯƠNG 3
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Một số bài tập trong sách "Chinh phục các kỳ thi THPT trắc nghiệm môn Toán"
của NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2017…………………………..................27
1.1. Bài tập khoảng cách…………………………………………………............27
1.2. Bài tập góc…………………………………………………………..............33
2. Một số câu tính khoảng cách và góc trong đề thi thử của các trường THPT năm
2016……………………………………………………………………...............35
3. Bài tập thực tiễn ………………………………………………………………...48

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………………………… 51
PHỤ LỤC…………………………………………………………………………. 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………….. 62


7

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT

:

Trung học phổ thông

GD-ĐT

:

Giáo dục – Đào tạo

NXB

:

Nhà xuất bản


8

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Khoảng cách và góc là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học không
gian, đề tài này còn được ra trong các Kỳ thi THPT Quốc Gia, Kỳ thi học sinh giỏi
nhưng khi nhắc đến những câu tính khoảng cách và góc trong hình học không gian
thì nhiều học sinh khá ngại ngần vì phải vẽ thêm hình cũng như xác định khoảng
cách và xác định góc; thậm chí một số học sinh khá, giỏi chọn phương pháp gắn hệ
trục toạ độ để giải nhưng phương pháp này khá mất thời gian ảnh hưởng đến kết
quả bài thi của các em.
Vào ngày 28 tháng 9 năm 2016 Bộ GD-ĐT ra thông báo trong Kỳ thi tốt nghiệp
THPT Quốc Gia các môn Khoa học tự nhiên và Khoa học xã hội thi theo hình thức
trắc nghiệm khách quan (ngoại trừ môn Ngữ văn). Đặc biệt là môn Toán, vì trước
giờ các em đều trình bày theo phương pháp truyền thống là tự luận nên khi chuyển
đổi sang phương pháp trắc nghiệm các em gặp nhiều khó khăn, thậm chí một số học
sinh có ý định bỏ hẳn phần hình học không gian.
Là người giáo viên tương lai tôi trăn trở về vấn đề này nên chọn đề tài “Một số
phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian” để giúp các em
có hướng làm bài hiệu quả hơn mà vẫn rút ngắn được thời gian.
2. Mục đích nghiên cứu
“

Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không gian” là đề tài

giúp các em học sinh không còn e ngại giải các bài tập liên quan đến khoảng cách
và góc trong hình học không gian một cách hiệu quả trong thời gian ngắn nhất.
Hướng các em sử dụng máy tính cầm tay để hổ trợ tìm ra kết quả một cách hiệu quả
và nhanh nhất. Các máy tính cầm tay được phép mang vào phòng thi theo Quy định
của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
Lưu ý: Những công thức này chỉ có giá trị khi học sinh đã học qua bài toán khoảng
cách nghĩa là kiến thức này tương đối phù hợp với học sinh lớp 12 hơn.

9

3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này tôi đã sử dụng phương pháp phân tích, nghiên cứu tài liệu trên
cơ sở đó tổng hợp và chứng minh các vấn đề nghiên cứu, đồng thời trình bày các
bài tập có liên quan và đã làm khảo sát phương pháp này đối với học sinh 11.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về nội dung liên quan đến “Khoảng cách và góc trong không gian”,
được thực nghiệm tại trường THPT Trần Khai Nguyên từ ngày 13/2/2017 đến ngày
8/4/2017.
Nội dung khóa luận gồm 3 chương
Chương 1. Lí thuyết về khoảng cách và góc trong không gian.
Chương 2. Một số phương pháp tính khoảng cách và góc trong hình học không
gian.
Chương 3. Bài tập áp dụng.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài khóa luận này nhưng vẫn còn nhiều
thiếu sót về kiến thức và kinh nghiệm. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp từ quý Thầy, Cô và các bạn sinh viên để khóa luận nghiên cứu của tôi được
hoàn chỉnh nhất.


10

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Khoảng cách
1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm 𝑂 và đường thẳng 𝑎. Trong mặt phẳng (𝑂, 𝑎)

gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝑂 lên 𝑎. Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm 𝑂 và 𝐻 được gọi là khoảng
cách từ điểm 𝑂 đến đường thẳng 𝑎. Kí hiệu là 𝑑(𝑂, 𝑎).
1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm 𝑂 và mặt phẳng (𝛼). Gọi 𝐻 là hình chiếu
vuông góc của 𝑂 lên (𝛼). Khi đó khoảng cách giữa
hai điểm 𝑂 và 𝐻 được gọi là khoảng cách từ điểm 𝑂
đến mặt phẳng (𝛼). Kí hiệu là 𝑑(𝑂, (𝛼)).
Phương pháp dựng khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.
𝐵1 : Tìm một mặt phẳng (𝛽) qua điểm 𝑂 và vuông góc với mặt phẳng (𝛼).
𝐵2 : Tìm giao tuyến Δ = (𝛼) ∩ (𝛽).
𝐵3 : Hạ hình chiếu vuông góc 𝐻 của 𝑂 lên Δ thì : 𝑑(𝑂, (𝛼)) = 𝑂𝐻.
1.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song
Cho đường thẳng 𝑎 và mặt phẳng (𝛼). Khoảng cách
giữa đường thẳng 𝑎 và mặt phẳng (𝛼) là khoảng cách
từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng 𝑎 đến mặt
phẳng (𝛼). Kí hiệu là 𝑑(𝑎, (𝛼)).


11

1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc
mặt phẳng này đến mặt phẳng đến mặt phẳng kia.
Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng (𝛼) và
(𝛽)

song

song

nhau

𝑑((𝛼), (𝛽)) = 𝑑(𝑀, (𝛽))

là

𝑑((𝛼 ), (𝛽)).Khi

với

𝑀 ∈ (𝛼 )

đó
hay

𝑑((𝛼), (𝛽)) = 𝑑(𝑀′, (𝛼)) với 𝑀′ ∈ (𝛽).
1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai hai đường thẳng chéo nhau là độ
dài của đoạn vuông góc chung.
1.5.1. Phương pháp dựng đoạn vuông góc chung
1.5.1.1. Cách 1: Cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 chéo nhau
𝐵1 : Dựng mặt phẳng (𝛼) chứa đường thẳng 𝑎 và song song với đường thẳng 𝑏.

𝐵2 : Hạ hình chiếu vuông góc 𝑏′ của đường thẳng 𝑏 trên mặt phẳng (𝛼).
𝐵3 : Đặt 𝐴 = 𝑎 ∩ 𝑏′

12

z𝐵4 : Hạ hình chiếu vuông góc của điểm 𝐴 là 𝐵 lên đường thẳng 𝑏 thì 𝐴𝐵 là đoạn
vuông góc chung nên ta có 𝑑 (𝑎, 𝑏) = 𝐴𝐵.

1.5.1.2. Cách 2: Cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 chéo nhau trong không gian và
(𝑎, 𝑏) = 900 .

𝐵1 : Tìm một mặt phẳng (𝛽) chứa đường thẳng 𝑏 và 𝑎 ⊥ (𝛽).
𝐵2 : Đặt A = 𝑎 ∩ (𝛽).

𝐵3 : Hạ hình chiếu vuông góc 𝐻 của 𝐴 lên 𝑏 thì : 𝑑 (𝑎, 𝑏) = 𝐴𝐻.


13

1.5.2. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 chéo nhau
𝐵1 : Dựng mặt phẳng (𝛼) chứa đường thẳng 𝑎 và song song với đường thẳng 𝑏.
𝐵2 : Ta có: 𝑑 (𝑎, 𝑏) = 𝑑(𝑏, (𝛼)) = 𝑑(𝑀, (𝛼)) (với 𝑀 là điểm thuộc đường thẳng 𝑏).
Như vậy nếu đề bài không yêu cầu dựng đoạn vuông góc chung mà chỉ tính khoảng
cách thì ta sẽ dựa vào phương pháp này để đưa bài toán về việc tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt, và ta sẽ xây dựng phương pháp cho loại khoảng cách này.
2. Góc
2.1. Góc giữa hai mặt phẳng
2.1.1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt
phẳng đó bằng 0°.
2.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt

nhau
Giả sử hai mặt phẳng (𝛼) và (𝛽) cắt nhau theo giao
tuyến là 𝑐. Từ một điểm 𝐼 bất kì nằm trên 𝑐 ta dựng
một đường thẳng 𝑎 nằm trong mặt phẳng
(𝛼) vuông góc với 𝑐 và dựng một đường thẳng 𝑏
nằm trong mặt phẳng (𝛽) vuông góc với 𝑐. Góc
giữa hai mặt phẳng (𝛼) và (𝛽) là góc giữa hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏.
2.1.3. Chú ý: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn [0; 90°].


14

2.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.2.1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (𝛼):
+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (𝛼) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng d và mặt phẳng (𝛼) bằng 900 .
+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (𝛼) thì góc giữa d và
hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng (𝛼) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng (𝛼).
2.2.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau
Khi d không vuông góc với mặt phẳng (𝛼) và d
cắt (𝛼) tại điểm O, ta lấy một điểm A tùy ý trên
d khác điểm O.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (𝛼)
̂ = 𝜑.
và 𝜑 là góc giữa d và (𝛼) thì 𝐴𝑂𝐻
2.2.3. Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng có giá trị trong đoạn [0; 90°].

15

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Công thức khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng chứa đỉnh của
hình chóp.
1.1. Xét bài toán: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy. Hãy
xác định khoảng cách từ điểm 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶 ).
Giải:
Theo cách giải của SGK:
Tìm mặt phẳng (𝛼) chứa điểm 𝐴 và vuông góc với mặt
phẳng (𝑆𝐵𝐶).
Tìm giao tuyến của (𝛼) và (𝑆𝐵𝐶).
Hạ hình chiếu vuông góc 𝐻 của 𝐴 lên giao tuyến.
Thì: 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) = 𝐴𝐻.
Trình bày:
Kẻ 𝐴𝐾 ⊥ 𝐵𝐶 tại 𝐾.
Ta có: 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐴𝐾), suy ra (𝑆𝐵𝐶 ) ⊥ (𝑆𝐴𝐾).
Lại có: (𝑆𝐵𝐶 ) ∩ (𝑆𝐴𝐾) = 𝑆𝐾.
Kẻ 𝐴𝐻 ⊥ 𝑆𝐾 tại 𝐻.
Suy ra: 𝐴𝐻 ⊥ (𝑆𝐵𝐶)⟹ 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) = 𝐴𝐻.
Xét tam giác vuông 𝑆𝐴𝐾 ta có :

1
𝐴𝐻 2

=

Ta có:

𝑆𝐴 là đường cao của hình chóp.
𝐴𝐾 là khoảng cách từ điểm 𝐴 đến 𝐵𝐶.
Vì vậy ta có công thức sau:

1
𝑆𝐴2

+

1
𝐴𝐾2


16

1
𝑑2 (𝐴,(𝑆𝐵𝐶))

=

1
𝑆𝐴2

+

1
𝑑2 (𝐴,𝐵𝐶)

(1)

1.2. Áp dụng:
Bài 1: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝑆𝐴 =
𝑎. Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy. Tính 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )).
A.

𝑎√3
3

B.

𝑎√3

C.

2

𝑎√2

A.

3

𝑎√2
2

Giải:
Do 𝑆𝐴 vuông góc đáy nên suy ra 𝐴 là chân đường cao, (𝑆𝐵𝐶) đi qua đỉnh 𝑆 nên ta
có thể sử dụng công thức (1), lại có cạnh đáy (𝑆𝐵𝐶) là 𝐵𝐶 và tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam
giác vuông cân tại 𝐴 nên suy ra: 𝑑 (𝐴, 𝐵𝐶 ) =

𝑎
√2

Áp dụng công thức (1) ta có:
𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) =

1
1
1
√𝑆𝐴2 +𝑑2(𝐴,𝐵𝐶)

=

𝑎√3
3

chọn A.

Bài 2: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶, cạnh bên 𝑆𝐴 = 𝑎 vuông góc với đáy. Tính
(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) biết tam giác 𝐴𝐵𝐶:
a) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều cạnh:
A.

𝑎√7
21

B.

𝑎√21

C.

7

𝑎

D.

√7

𝑎√7
3

Giải :
Do 𝑆𝐴 vuông góc đáy nên suy ra 𝐴 là chân đường cao, (𝑆𝐵𝐶) đi qua đỉnh 𝑆 nên ta
có thể sử dụng công thức (1), lại có cạnh đáy (𝑆𝐵𝐶) là 𝐵𝐶.
Tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều nên suy ra: 𝑑 (𝐴, 𝐵𝐶 ) =
Áp dụng công thức (1) ta có:
𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) =

1
1
1
√𝑆𝐴2 +𝑑2(𝐴,𝐵𝐶)

=

𝑎√21
7

chọn B.

𝑎√3
2

.


17

b) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑎√3:
A.

𝑎√7

B.

21

𝑎√21

C.

7

𝑎

D.

√7

𝑎√7
3

Giải :
Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑎√3 suy ra độ dài đường cao góc
𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: 𝐴𝐻 =

𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) =

1
1
1
√𝑆𝐴2 +𝑑2(𝐴,𝐵𝐶)

=

1
1
1
√ 2+ 2
𝐴𝐵 𝐴𝐶

𝑎√21
7

=

𝑎√3
2

. Suy ra: 𝑑 (𝐴, 𝐵𝐶 ) =

𝑎√3
2

chọn B.

̂ = 120∘ , 𝐴𝐵 = 𝑎:
c) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại A và có 𝐵𝐴𝐶
A.

𝑎√7

B.

21

𝑎√21

C.

7

𝑎

D.

√7

𝑎√5
5

Giải :
̂ = 120∘ , 𝐴𝐵 = 𝑎 suy ra độ dài đường cao góc
Tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại A và có 𝐵𝐴𝐶
𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: =
Suy ra: 𝑑 (𝐴, 𝐵𝐶 ) =
𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) =

2𝑆∆𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶

=

1
̂
2 𝐴𝐵.𝐴𝐶.𝑠𝑖𝑛𝐵𝐴𝐶

2
̂
√𝐴𝐵2 +𝐴𝐶 2 −2𝐴𝐵.𝐴𝐶.𝑐𝑜𝑠𝐵𝐴𝐶

𝑎

= .
2

𝑎
2

1

1
1
√𝑆𝐴2 +𝑑2(𝐴,𝐵𝐶)

=

𝑎√5
5

chọn D.

d) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎√2, 𝐴𝐶 = 𝑎√5:
A.

𝑎√7
21

B.

𝑎√3

C.

3

𝑎
√7

D.

𝑎√5
5

Giải :
Tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎√2, 𝐴𝐶 = 𝑎√5 suy ra độ dài đường cao góc
𝐴 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 là: 𝐴𝐻 =

2.𝑆∆𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐶

Sử dụng công thức Heron ta có: 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =

𝑎2
2


18

Suy ra: 𝑑 (𝐴, 𝐵𝐶 ) =
𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶 )) =

𝑎
√2
1

1
1
√𝑆𝐴2 +𝑑2(𝐴,𝐵𝐶)

=

𝑎√3

chọn B.

3

1.3. Chú ý: Công thức số (1) chỉ sử dụng để tính khoảng cách từ chân đường cao
(tính từ đỉnh của hình chóp) đến mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp.
Ví dụ: Cho lăng trụ tam giác 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′ 𝐵′𝐶′ có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎,
𝐴′ 𝐴𝐵𝐶 là hình chóp tam giác đều, gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴′ 𝐴 = 2𝑎.
Tính khoảng cách từ 𝐺 đến các mặt phẳng:
𝑎)(𝐴′ 𝐵𝐶 )
𝑏)(𝐵𝐶𝐶 ′ 𝐵′ )
Giải:
a) Ở câu này mặt phẳng (𝐴′ 𝐵𝐶)
đã đi qua đỉnh 𝐴′ nên ta áp dụng trực tiếp công
thức (1):
1

𝑑(𝐺, (𝐴′ 𝐵𝐶)) =

1
1
+
𝐴′ 𝐺 2 𝑑 2 (𝐺, 𝐵𝐶 )

√

1

=

1

2+

√ ′ 2 √3
𝐴 𝐴 −( 𝐴𝐵)
3

b)

1
2
3
√
( 𝐴𝐵)
6

=

𝑎√165
45

Ở câu này mặt phẳng (𝐵𝐶𝐶 ′ 𝐵 ′ ) không đi qua đỉnh 𝐴′ nên ta không áp dụng

công thức (1) ngay được, mà ta sẽ dựng một đường cao phụ như sau:
Dựng hình bình hành 𝐺𝐴′𝐶′𝐻 thì ta có 𝐻 nằm trên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) và

𝐺𝐴𝐶𝐻 cũng là một hình bình hành.
Ta có:
𝑑(𝐺, (𝐵𝐶𝐶 ′ 𝐵′ )) = 𝑑(𝐻, (𝐵𝐶𝐶 ′ )).

𝑁𝐺
𝑁𝐻


19

⟺ 𝑑(𝐺, (𝐵𝐶𝐶 ′ 𝐵′ )) = 𝑑(𝐻, (𝐵𝐶𝐶 ′ )).

𝐺𝑀

⟺ 𝑑(𝐺, (𝐵𝐶𝐶 ′ 𝐵′ )) = 𝑑(𝐻, (𝐵𝐶𝐶 ′ )).

𝐺𝑀

⟺ 𝑑(𝐺, (𝐵𝐶𝐶 ′ 𝐵′ )) =

𝐶𝐻

𝐴𝐺

𝑑(𝐻,(𝐵𝐶𝐶 ′ ))
2

Đối với 𝑑(𝐻, (𝐵𝐶𝐶 ′ )) ta đã có công thức (1).
𝑑(𝐻, (𝐵𝐶𝐶 ′ )) =

𝑑(𝐻, (𝐵𝐶𝐶 ′ )) =

=

1
1

1

√𝐶′ 𝐻2 +𝑑2(𝐻,𝐶𝐵)

1
√ ′1 2 + 1 2
𝐴𝐺
𝐶𝐻

⟹ 𝑑(𝐻, (𝐵𝐶𝐶 ′ ))

𝑎√11
6

Với bài tập trên ta có một phương pháp là dựng hình bình hành để tạo ra các đường
cao phụ nhằm hỗ trợ ta đổi các khoảng cách không áp dụng được công thức số (1)
về các khoảng cách áp dụng được (1).
2. Phân loại các dạng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình học
không gian
Việc phân loại dựa trên tư tưởng sử dụng công thức (1), áp dụng được và không áp
dụng được công thức (1).
2.1. Trường hợp 1: Khoảng cách từ chân đường cao (tính từ đỉnh của hình
chóp) đến mặt phẳng chứa đỉnh của hình chóp

Đối với các bài tập dạng này ta có thể áp dụng công thức (1) để làm bài.
Ví dụ 1 : Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵.
Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 2𝑎. Tính khoảng
cách từ điểm 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷).
[Học Kì II- Trần Quang Diệu – Quãng Ngãi- 2016]

Giải:


20

1

𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐷 )) =
√

1
1
+ 2
2
𝑆𝐴
𝑑 (𝐴, 𝐵𝐷)

=

1
√ 12 + 1 2 + 1 2
𝑆𝐴
𝐴𝐵
𝐴𝐷

=

2
𝑎
3

Ví dụ 2: Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có cạnh bằng 𝑎. Tính khoảng cách
từ điểm 𝐴 đến mặt phẳng (𝐵𝐷𝐴′ ).
[Học Kì II- Nguyễn Du – Hòa Bình-2016]

Giải:
1

𝑑(𝐴, (𝐴′𝐵𝐷 )) =

1
1
+ 2
2
𝑑 (𝐴, 𝐵𝐷)
𝐴𝐴′

√

=

1
√ 1′2 + 1 2 + 1 2
𝐴𝐴

𝐴𝐵
𝐴𝐷

=

√3
𝑎
3

Bài tập tương tự:
1. Cho hình hộp đứng 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có đáy là hình vuông, tam giác 𝐴′𝐴𝐶 vuông
cân, 𝐴′ 𝐶 = 𝑎. Tính thể tích của khối tứ diện 𝐴𝐵𝐵′𝐶′ và khoảng cách từ điểm 𝐴 đến
mặt phẳng (𝐵𝐶𝐷′) theo 𝑎.
[Câu 5, Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012, khối D]

2. Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐷 vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶). Biết 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 =
4𝑐𝑚, 𝐴𝐵 = 3𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 5𝑐𝑚. Tính khoảng cách từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝐵𝐶𝐷).
[Câu IV, Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2002, khối D]

2.2. Trường hợp 2: Khoảng cách từ một điểm (khác chân đường cao của hình
chóp) đến mặt phẳng không chứa đường cao của hình chóp
Vì mặt phẳng này không chứa chân đường cao của hình chóp nên ta sẽ sử dụng
công thức đổi khoảng cách để biến đổi liên tục khoảng cách đề bài cần tính về
khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng cần tính. Đối với bài tập rơi vào loại
này tôi chia làm 2 dạng:
2.2.1. Phương pháp dời khoảng cách trự tiếp:
Ta sử dụng phương pháp này khi dễ dàng nhìn ra giao điểm giữa điểm cần tính
khoảng đến chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính khoảng cách; và
ta cũng dễ lập được tỉ số đồng dạng giữa khoảng cách cần tính và khoảng cách từ
chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính.

21

Để hiểu rõ hơn về phương pháp này ta xét ví dụ 3.
Ví dụ 3: Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐵, 𝐴𝐶 = 2√2𝑎,
̂ = 30°. Hình chiếu vuông góc 𝐻 của đỉnh 𝑆 trên mặt đáy là trung điểm của
𝐴𝐶𝐵
cạnh 𝐴𝐶 và 𝑆𝐻 = 2𝑎. Tính khoảng cách từ điểm 𝐶 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵).
[Học Kì II- Lê Quảng Chí – Hà Tĩnh-2016]

Giải:
Ta có 𝐻 là chân đường cao của hình chóp nên ta biến
đổi tính khoảng cách từ điểm 𝐶 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵)
về tính khoảng cách từ điểm 𝐻 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵).
Ta có: 𝐶𝐻 ∩ (𝑆𝐴𝐵 ) = 𝐴 nên

𝑑(𝐶,(𝑆𝐴𝐵))
𝑑(𝐻,(𝑆𝐴𝐵))

⇒ 𝑑(𝐶, (𝑆𝐴𝐵)) = 2𝑑(𝐻, (𝑆𝐴𝐵)) = 2.
2.

1
1
1
+
2
√𝑆𝐻2 1
( 𝐶𝐵)

2

=

4√33
11

=

𝐶𝐴
𝐻𝐴

=2
1

1
1
√ 2 + 2 (𝐻,𝐴𝐵)
𝑆𝐻 𝑑

=

𝑎

Bài tập tương tự:
̂=
1. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐵, 𝐴𝐶 = 2𝑎, 𝐴𝐶𝐵
300 . Hình chiếu vuông góc 𝐻 của đỉnh 𝑆 trên mặt đáy là trung điểm của cạnh 𝐴𝐶 và
𝑆𝐻 = √2𝑎. Tính theo 𝑎 thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 và khoảng cách từ điểm 𝐶 đến
mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵).

[Câu 6, Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015]

2. Cho lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′𝐵′𝐶′ có đáy là tam giác đều cạnh 𝑎. Hình chiếu vuông góc
của 𝐴′ trên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) là trung điểm của cạnh 𝐴𝐵, góc giữa đường thẳng 𝐴′𝐶
và mặt đáy bằng 600 . Tính theo 𝑎 thể tích của khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′𝐵′𝐶′ và khoảng
cách từ điểm 𝐵 đến mặt phẳng (𝐴𝐶𝐶 ′ 𝐴′ ).
[Câu 6, Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014, khối B]


22

2.2.2. Phương pháp dời khoảng cách gián tiếp:
Ta áp dụng phương pháp này khi sử dụng phương pháp dời trực tiếp không thể đưa
khoảng cách cần tính về dạng tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng
chứa đỉnh của hình chóp (nghĩa là ta vẫn thấy giao điểm giữa điểm cần tính khoảng
cách đến chân đường cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính khoảng cách, nhưng
việc lập tỉ số đồng dạng giữa khoảng cách cần tính và khoảng cách từ chân đường
cao của hình chóp với mặt phẳng cần tính không dễ dàng).
Để hiểu rõ hơn về phương pháp này ta xét ví dụ 4.
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật (𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷 ′ ) có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông
cạnh 𝑎√2, 𝐴𝐴′ = 2𝑎. Gọi 𝐼 là điểm đối xứng của 𝐴 qua 𝐷, tính 𝑑(𝑀, (𝐷 ′ 𝐶𝐼)) với
𝑀 là trung điểm 𝐴𝐴′.
Giải:
Nếu đổi trực tiếp tính khoảng cách từ điểm M về tính khoảng cách từ điểm D thì rất
khó xác định được tỷ số.
Ta đổi tính khoảng cách từ điểm 𝑀 về tính
khoảng cách từ điểm 𝐴′ rồi đổi từ tính khoảng
cách từ điểm 𝐴′ về tính khoảng cách từ điểm 𝐷.
Gọi 𝐸 = 𝐴𝐴′ ∩ 𝐼𝐷′
Ta có:

𝑑(𝑀, (𝐶𝐷 ′ 𝐼)) = 𝑑(𝐴′ , (𝐶𝐷 ′ 𝐼).

𝐸𝑀
𝐸𝐴′

⟺ 𝑑(𝑀, (𝐶𝐷 ′ 𝐼 )) = 𝑑(𝐷, (𝐶𝐷 ′ 𝐼).
Ta có:
𝑑(𝐷, (𝐷 ′ 𝐶𝐼) =

1
1

1

√ ′ 2+
𝐷 𝐷 𝑑(𝐷,𝐶𝐼)2

3
2


23

1

=
√

𝐷𝐷 ′2

1
+ 𝐷𝐶 2 + 𝐷𝐼2

Vậy: 𝑑(𝑀, (𝐶𝐷 ′ 𝐼)) =

=

3√5
5

2√5
𝑎
5

𝑎

Bài tập tương tự:
̂ = 𝐵𝐴𝐷
̂ = 900 , 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝑎,
Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình thang, 𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 = 2𝑎. Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎√2. Gọi 𝐻 là hình chiếu
vuông góc của 𝐴 trên 𝑆𝐵. Chứng minh tam giác 𝑆𝐶𝐷 vuông và tính (theo 𝑎)
khoảng cách từ 𝐻 đến mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷 ).
[Câu V.b Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 2007, khối B]

2.3. Trường hợp 3: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt
phẳng chứa đường cao của hình chóp
Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, hãy tính khoảng cách từ
điểm 𝐵 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶 ).
Giải:

Gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝐵 lên 𝐴𝐶 thì ta có:
𝑩𝑯 = 𝒅(𝑩, (𝑺𝑨𝑪)) hay 𝒅(𝑩, (𝑺𝑨𝑪)) = 𝒅(𝑩, 𝑨𝑪) (2)
Ta gọi đây là công thức tính khoảng cách số (2)
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật (𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷 ′ ) có đáy
𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh √2 . Tính 𝑑(𝐴, (𝐵𝐷𝐷 ′ ))?
Giải:
Ta có 𝐵𝐵′ là đường cao của hình chóp (𝐵′ 𝐴𝐵𝐷) mà 𝐵𝐵′ ⊂ (𝐵𝐷𝐷 ′ ) và 𝐴′ ∈ (𝐴𝐵𝐷)
nên áp dụng công thức khoảng cách số (2)
Ta có: 𝑑(𝐴, (𝐵𝐷𝐷 ′ )) = 𝑑(𝐴, 𝐵𝐷) =

𝑎
√2


24

2.4. Trường hợp 4: Khoảng cách từ một điểm thuộc đáy đến mặt phẳng chứa
chân đường cao của hình chóp
Cho lăng trụ tam giác 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′ 𝐵′𝐶′ có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎, 𝐴′ . 𝐴𝐵𝐶 là
hình chóp tam giác đều, gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴′ 𝐴 = 2𝑎. Tính
𝑑(𝐵, (𝐺𝐶𝐶 ′ )).
Dựng hình bình hành 𝐺𝐴′𝐶′𝐻 thì ta có 𝐻 nằm trên
mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) và 𝐺𝐴𝐶𝐻 cũng là một hình bình
hành.
Lúc này thay vì ta tính trực tiếp thì rất khó. Vì vậy ta
tiến hành đổi khoảng cách này sang tính khoảng
cách mà ta đã có công thức, cụ thể chính là tính
khoảng cách 𝑑(𝐻, (𝐺𝐶𝐶 ′ )) đã có công thức (1)
Gọi 𝑁 là giao điểm của 𝐺𝐻 và 𝐵𝐶.
Ta có: 𝑑(𝐵, (𝐺𝐶𝐶 ′ )) = 𝑑(𝑁, (𝐺𝐶𝐶 ′ )).

𝐶𝐵
𝐶𝑁

Lại có: 𝑑(𝑁, (𝐺𝐶𝐶 ′ )) = 𝑑(𝐻, (𝐺𝐶𝐶 ′ )).
Nên: 𝑑(𝐵, (𝐺𝐶𝐶 ′ )) = 𝑑(𝐻, (𝐺𝐶𝐶′)).

𝐺𝑁
𝐺𝐻

𝐺𝑁 𝐶𝐵

.

𝐺𝐻 𝐶𝑁

Lúc này ta có:
1

𝑑(𝐻, (𝐺𝐶𝐶 )) =
√

1

𝐶 ′ 𝐻2

𝑑(𝐻, (𝐺𝐶𝐶 )) =

+

1

𝑑 2 (𝐻, 𝐺𝐶)

1
√ ′1 2 + 1 2
𝐴𝐺
𝐻𝐾

Như vậy một bài toán khoảng cách trở thành một bài tập tính các độ dài trong hình
học phẳng

𝐺𝑁 𝐶𝐵

.

𝐺𝐻 𝐶𝑁

và 𝐻𝐾 là các độ dài hoàn toàn dễ tính bằng các công cụ như :

Thales, diện tích, tam giác đồng dạng,…


25

Bài tập tương tự (trường hợp 3 và trường hợp 4):
Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang cân, 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 =
𝐶𝐷 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑆𝐴 = 2𝑎 và 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶).
a) Tính khoảng cách từ 𝐵 đến mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶).
b) Gọi 𝐼 là trung điểm của 𝑆𝐷. Tính khoảng cách từ 𝐵 đến mặt phẳng (𝐴𝐼𝐶).

3. Công thức tính các loại góc trong hình học không gian
3.1. Công thức sin𝝋 số (1) (công thức tính góc giữa đường thẳng với mặt
phẳng):
Cho đường thẳng AB không song song với mặt phẳng (𝑃), đặt 𝜑 là góc giữa 𝐴𝐵 và
mặt phẳng (𝑃), đặt 𝐶 = 𝐴𝐵 ∩ (𝑃). Thì ta có:
𝒔𝒊𝒏𝝋 =

𝒅(𝑨, (𝑷)) 𝒅(𝑩, (𝑷))
=
(𝟏)
𝒅(𝑨, 𝑪)
𝒅(𝑩, 𝑪)

Nếu 𝐴𝐵 ∩ (𝑃) = 𝐵 thì ta có: 𝑠𝑖𝑛𝜑 =

𝑑(𝐴,(𝑃))
𝑑(𝐴,𝐵)

=

𝑑(𝐴,(𝑃))
𝐴𝐵

Chú ý: Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 đặt 𝜑 là góc giữa 𝐴𝐵 và mặt phẳng (𝐵𝐶𝐷 )
Thì ta có:
𝒔𝒊𝒏𝝋 =

𝒅(𝑨, (𝑩𝑪𝑫)) 𝟑. 𝑽𝑨𝑩𝑪𝑫
=
𝑨𝑩

𝑨𝑩. 𝑺𝑩𝑪𝑫

Bài tập tương tự:
1. Cho hình chóp đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, biết 𝑆𝑂 = 3𝑎
với 𝑂 là giao điểm của 𝐴𝐶 và 𝐵𝐷. Gọi 𝐺 là trọng tâm của tam giác 𝑆𝐴𝐵. Tính góc
được tạo bởi 𝐵𝐷 và mặt phẳng (𝐵𝐶𝐺).
2. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh , mặt bên (𝑆𝐴𝐵) là
tam giác đều. Gọi 𝐻 là trung điểm của các cạnh 𝐴𝐵. Tính số đo góc giữa 𝑆𝐶 và mặt
phẳng (𝑆𝐻𝐷).