Xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian theo các cập độ nhận thức cho học sinh THPT khoá luận tốt nghiệp

41

II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1.1. Góc giữa hai đường thẳng

a

1.1.1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng

b

trong không gian là góc giữa hai đường
thẳng cùng đi qua một điểm bất kì lần

a'
O

α

lượt song song đường thẳng đó.

b'

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng, khi đó: 00    900 .
1.1.2. Các trường hợp đặc biệt
Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.
Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng 900.
1.1.3. Phương pháp tìm góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp 1

Lấy điểm O tùy ý qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng)
với hai đường thẳng đã cho.
Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại
O.
Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm, nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc
bù với góc đã tính.


42

Phương pháp 2
 
Tìm u1 , u 2 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 1 và 2
 
tính u1.u 2 .
 
u1.u 2
 

Khi đó cos(
  .
1 ,  2 )  cos(u1 , u 2 )  
u1 . u 2

1.1.3. Xây dựng hệ thống bài tập góc giữa hai đường thẳng
1.1.3.1. Mức độ nhận biết
Câu 1. Dựng hai đường thẳng d và d ',
góc  (như hình vẽ).
Hãy xác định góc giữa d và d '.
')  .

A. (d,d

d

d'


B. (d,
d ')  1800  .

α

')  900  .
C. (d,d
')  1800  .
D. (d,d

Câu 2. Dựng hai đường thẳng d và d ' , góc  (như hình vẽ).
Hãy xác định góc giữa d và d '.

A. (d,
d ')  1800  .

')  900  .
B. (d,d

')  .
C. (d,d



d ')  00.
D. (d,

α
d

d'

Câu 3. Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng bao
nhiêu ?


43

A. 900.

B. 600.

C. 450.

D. 00.

Câu 4. Gọi  là góc giữa hai đường thẳng bất kỳ. Vậy  thõa mãn các điều kiện
nào sau đây ?
A. 00    900.

B. 00    1800.

C. 900    1800.

D. 1800    3600.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, các mặt bên là các
tam giác nhọn. Xác định góc giữa hai cặp đường thẳng SA và SC, SA và CD.
 SAB.

A. ASC,

 SAB.

B. SAC,

 SDC.

C. ASC,

 SCD.

D. ASC,

Hướng dẫn giải:
  ASC.

* Dễ thấy (SA,SC)



* Vì CD  AB  (SA,
CD)  (SA,
AB)  SAB.

1.1.3.2. Mức độ thông hiểu
Câu 1. Cho tứ diện ABCD các mặt đều là các tam giác nhọn, M; N lần lượt là trung
điểm của BC và CD. Xác định góc giữa MN và BD; AB và MN.

A. 1800 ; ABD.


B. 00 ; ABM.


C. 1800 ; ABM.


D. 00 ; ABD.

Hướng dẫn giải:
* MN là đường trung bình trong tam giác BCD do đó MN  BD

BD)  00.
Vậy (MN;
  (AB;BD)
  ABD.

* MN  BD  (AB;MN)

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có tất cả các mặt đều là các tam giác nhọn. Gọi M, N,


44

P lần lượt là trung điểm AB; SC; SB. Xác định góc giữa SA và BC.

A. PMB.


B. SAB.


C. MPN.


D. PNC.

Hướng dẫn giải:

S

* MP là đường trung bình trong tam giác SAB
do đó MP  SA.

N
P

* PN là đường trung bình trong tam giác
SBC do đó PN  BC.
  (MP;PN)
  MPN.

Vậy (SA;BC)

A

C
M
B

Câu 3. Cho lập phương ABCD.A 'B'C'D' . Xác đinh và tính góc giữa AD ' và BC ' ;
AD ' và B'C'.

A. 00 , 900.

B. 00 , 450.

C. 450 , 00.

D. 900 , 00.

Hướng dẫn giải:
* Theo tính chất của hình lập phương tứ giác AD'C'B là hình vuông.
  00.
Do đó: AD '  BC '  (AD';BC')

  B'C'B.
 Do tứ giác B'C'CB là
* AD'  BC'  (AD
';B'C')  (BC';B'C')

hình vuông. Do đó B'C
'B  450.

1.1.3.3. Mức độ vận dụng thấp
Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
Góc giữa AB và CD bằng bao nhiêu ?. Biết AB  CD  a và MN 
A. 600.

B. 300.

C. 450.

a 3
.
2

D. 900.


45

Hướng dẫn giải:

A

Gọi I là trung điểm AC, suy
ra:

IM  AB
 
  (AB, CD)  (IM, IN) .
IN  CD 

N

a
I


Gọi   MIN

a 3
2

D

B


khi   900

.
 (IM, IN)   0
0
180   khi   90

M
C

a 3
a
.

Xét IMN có IM  IM  , MN 
2
2

Ta có: cos  

IM 2  IN 2  MN 2
2.IM.IN

a

a 2 a 2 3a 2
 
4 1
 4 4
a a
2
2. .
2 2


   1200. Do đó ta có: (AB,
CD)  1800  1200  600 .

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; cạnh
AB  2a; DC  a; SA  AB; SA  AD; SA 

2a 3
. Góc giữa hai đường
3

thẳng SB và DC bằng:
A. 900.

B. 600.

C. 450.

Hướng dẫn giải:

D. 300.

S




* DC  AB  (SB,
DC)  (SB,
AB)  SBA.
  900  SBA
  900 ).
( Do SBA
A

* Xét tam giác vuông SBA vuông tại A :

tan SBA

SA

3
  300 .

 SBA
AB
3


Vậy (SB,
DC)  300 .

D

B

C


46

Câu 3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB,
BC, AD. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A. 900.

B. 600.

C. 450.

D. 300.

Hướng dẫn giải:
A

 
KIJ

0
K
180  

IJ  AB   
  (AB,CD)  (IJ, IK)
IK  CD 


Ta có: cos KIJ

IJ 2  IK 2  JK 2
0
2IJ.IK

khi   90

khi   90

I
B

D


  900 . Do đó (AB,
CD)  900.
 KIJ

J

Câu 4. Cho tứ diện ABCD trong đó AB  AC, AB  BD .

C

Gọi P, Q lần lượt

là
trung điểm của AB và CD. Góc giữa 2 đường thẳng AB và PQ bằng:
A. 600.

B. 300.

C. 450.

D. 900.

Hướng dẫn giải:
   
   
Ta có: PQ  PA  AC  CQ và PQ  PB  BD  DQ .
  
     
Suy ra: 2PQ  AC  BD  2PQ.AB  AC.AB  BD.AB  0.

Vậy PQ  AB nên góc giữa chúng bằng 900.
1.1.3.4. Mức độ vận dụng cao
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA  a, SB  a 3
(SAB) vuông góc với đáy, M là trung điểm AB, N là trung điểm BC.
Tính góc giữa SM và DN.
Hướng dẫn giải:

S

Gọi K là trung điểm AD, I là trung điểm AK

A

M

B

I
K

D

N

C


47

Theo đinh lý Pitago đảo:

SA 2  AB2  3a 2  a 2  4a 2  SB2
Do đó SAB vuông tại A.
Nên SA  AB  SA  (ABCD).
Ta có: DNBK là hình bình hành suy ra
DN  KB . Lại có IM  KB ( IM là đường trung bình trong tam giác AKB).

  cos (SM;IM)
  cosSMI.

Nên cos(SM;DN)

 
 
 
Ta có: (SM  IM)2  SM 2  IM 2  2.SM.IM  SI 2  SM 2  IM 2  2SM.IM
  SM 2  IM 2  SI2
a2
5a 2
 SM.IM 
(1). Ta có: SI 2  IA 2  MA 2 
 a2 
,
2
4
4
1
1
1 2
5a 2

2
2
2
2
2
IM

(
KB)

(KA

AB
)

(a

4a
)

.
SM  2a ,
2
4
4
4
2

2

5a 2
5a 2
2
2a


 
4  a2.
Thay SI2 , SM 2 , IM 2 vào (1) ta được: SM.SI  2
2
 

Mặt khác: SM.IM  SM.IM.cosSMI

 a 2  2a.

5a
  cosSMI
  2  10  SMI
  arcos 10 .
.cosSMI
2
5
5
5

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2.
S

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn giải:

M

N

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, AC.
a
3a 2
5a 2
Ta có NB  MP  , SP 2 
, BP 2 
.
2
4
4

Trong tam giác BPS:

A

B
P
C


48

SB2
3a 2

2
.
BP  SP  2NP 
 NP 
2
4
2

2

2

Mà
  1  NMP
  1200.
  cos NMP
NP 2  NM 2  MP 2  2MN.MP.cos NMP
2

  (MP;MN)
  (SC;AB)
  600.
Ta có MP  SC , MN  AB  (SC;AB)

Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' tính góc giữa đường thẳng AC và
DA ' ; BD và AC' .

Hướng dẫn giải:

D

Gọi cạnh hình lập phương là x.
     
*Đặt AB  a, AD  b, AA'  c .
    
Ta có: AC  AB  AD  a  b .
    
DA '  AA'  AD  c  b .

A

 
   

 
AC.DA '
(a  b).(c  b)

cos(AC;DA ')    
AC.DA '
AC . DA '

A'

B
D'

      2

 

a.c  a.b  b.c  b
 x 2 1

 (AC;DA')  1200 .

 2 
2
2x
x 2.x 2
Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng 600.

      
*Ta có: BD  AD  AB, AC'  AB  AD  AA' .
      
    
Nên: BD.AC'  (AD  AB).(AB  AD  AA')  (b  a).(a  b  c)
  2   2    
 b.a  b  b.c  a  a.b  a.c  0  x 2  0  x 2  0  0  0.

Vậy BD  AC' nên góc giữa chúng bằng 900.

C

C'

B'


49

1.2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1.2.1. Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp 1:
  900.
Dùng định nghĩa a  b  (a;b)
b  c
 a  b.
Dùng định lí: 
a  c
 

a  b  a.b  0 nếu a; b lần lượt là các vectơ chỉ phương của a và b.

Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dung các kết luận đã có trong hình
học phẳng như : tính chất trung trực, định lí Pitago đảo… để chứng minh
chúng vuông góc.

Phương pháp 2:
d

d  () 
  d  d'
d'  () 

d'

α

d

d  (d ',  )  d  d '

d'

α

Sử dụng định lí 3 đường vuông góc

A

AH  () 
  d  AM
d  MH 
AH  ( ) 
  d  MH
d  AM 
H
d
α

M


50

1.2.2. Xây dựng hệ thống bài tập chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1.2.2.1. Mức độ nhận biết
Câu 1. Dựa vào hình bên, nhận xét nào sau đây là đúng ?
A. d1  d 2 ; d1  d 3 .

d2
d1

B. d1  d3 ; d1  d 4 .

d3

C. d1  d 2 ; d1  d 4 .
D. d1  d3 ; d3  d 4 .

d4

Câu 2. Dựa vào hình bên, nhận xét nào sau đây là đúng ?

A. d1  d 2 ; d1  d 4 .

d4

B. d1  d3 ; d1  d 4 .
C. d1  d 2 ; d1  d 3 .

d1

D. d 2  d 4 ; d1  d3 .

d3

d2

Câu 3. Dựa vào hình bên, nhận xét nào sau đây là sai ?

A. d1  d 4 , d 2  d3 .
d1

B. d1  d 4 , d3  d 4 .

d2

C. d1  d3 , d 2  d 4 .
D. d1  d 2 , d 2  d 4 .

d4
d3


51

Câu 4. Dựa vào hình bên dưới, nhận xét nào sau đây là sai ?
d1

d2

A. d1  d 4 , d 2  d3 .

d3

B. d1  d 4 , d 2  d3 .
C. d1  d3 , d 2  d 4 .
D. d1  d 2 , d 2  d 4 .

d4

1.2.2.2. Mức độ thông hiểu
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và ABC vuông ở B. Gọi AH là
đường cao của SAB khẳng định nào sau đây sai ?
A. SA  BC.

B. AH  BC.

C. AH  AC.

D. AH  SC.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA  (ABCD)
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD. Nhận xét
nào sau đây là đúng ?
A. SO  AI, HK  AI.

B. BD  SD, SO  AI.

C. BD  SC, HK  AI

D. BD  SC, HK  AB.

Hướng dẫn giải:
BD  AC 
  BD  (SAC)
BD  SA 

 BD  SC.

Chứng minh: (AHK)  SC :
AH  SB

AH  BC do BC  (SAB)
 AH  (SBC).

Chứng minh tương tự suy ra: AK  SC (2) . Từ (1),(2) suy ra: (AHK)  SC
 (AHK)  (SAC) (3) , BD  (SAC)  (SBD)  (SAC) (4)
(AHK)  (SBD)  HK

(5) .


52

Từ (3),(4),(5) suy ra: HK  (SAC)  HK  AI.
Câu 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều. Gọi I là trung điểm
AB.
a)

Chứng minh rằng IC  A 'B ', IC  A 'B.

b)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: AG  BC, AG  BC '.

c)

Gọi J là điểm thuộc BC sao cho 3CJ  2CB. CMR : JG  AA ', JG  IC '.

Hướng dẫn giải :
a)

A'

C'

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng.
Do đó: A ' A  (ABC)

B'

 A 'A  IC, (1).

C

A
G

Vì ABC là tam giác đều nên Suy ra :

I

IC  AB, (2); AB  A ' A  A, (3)

J
B

AB, A 'A  (AA 'BB '), (4). Từ (1)(2)(3)(4) suy ra: IC  (AA 'BB ')
 IC  A 'B ', IC  A 'B.

b)

Trong tam giác đều ABC, AG là đường trung tuyến. Do đó AG  BC (1),
AG  BB ' (2), BB ' BC  B (3), . BB ', BC  (BB 'C 'C) (4).

Từ (1)(2)(3)(4) suy ra: AG  (BB 'C 'C)  AG  BC, AG  BC '.

c)

CJ 2 

CJ CG
CB 3 
Theo giả thuyết:

 JG  IB  JG  IC (1),

CG 2  CB CI

CI 3 
JG  CC ' (2), IC  CC '  C (3), IC, CC '  (IC'C) (4).

Từ (1)(2)(3)(4) suy ra: JG  (IC'C)  JG  AA ', JG  IC '.
1.2.2.3. Mức độ vận dụng thấp
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' . Gọi H là trực tâm của ABC và biết rằng
A 'H  (ABC).

a)

Chứng minh rằng : AA'  BC và AA'  B'C'.

b)

Chứng minh mặt bên BCC'B' là hình chữ nhật .


53

Hướng dẫn giải:
a)

A'

C'

A 'H  (ABC) 

BC  (ABC) 

B'

 A 'H  BC, A 'H  (AA 'H) (1)
A

Theo giả thiết: AC  AH  (AA 'H) (2).
A 'H  AH  H

(3).

C
H

B

Từ (1), (2), (3)  BC  (AA ' H) mà AA '  (AA ' H)  BC  AA ' .
Ta có: BC  B 'C '  AA '  B 'C '.
b)

Theo tính chất hình lăng trụ thì BCB'C'
là hình bình hành. Mặt khác BB '  AA '  BC  BB '  BC nên BCB'C' là
hình chữ nhật.

Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Hãy chứng minh các mệnh đề sau:
a)

 = CAD
 = DAB
 = α thì AB  CD và
Nếu AB  AC  AD  a và BAC
AC  BD, AD  BC.

b)

Nếu AB  CD, AC  BD thì AD  BC.

A
Hướng dẫn giải:
     
a)

Đặt AB = b, AC = c, AD = d .
 2  2  2     
Suy ra: b = c = d ; b.c = c.d = d.b = a 2 .cosα.
        
AB.CD = b.(d - a) = b.d - b.a = 0
B
 
 AB  CD  AB  CD.
        
AC.BD = c.(d - b) = c.d - b.c = 0
C
 
 AC  BD  AC  BD.
        
 
AD.BC = d.(c - b) = c.d - b.d = 0  AD  BC  AD  BC.
 
 
b)
Vì AB  CD  AB.CD  0 , AC  BD  AC.BD  0 .
     
       2
Mà AD.BC = (AB + BD).(-CD + BD)  AB.CD  BD.CD  AB.BD  BD
     
= BD.(AB + BD + DC) = BD.AC = 0  AD  BC.

D


54

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , AB  3a, AC  4a, BC  5a.
a)

Chứng minh rằng: AC  SB.

b)

Gọi H là điểm thuộc BC sao cho AH 

12a
. Chứng minh rằng: BC  SH.
5

Hướng dẫn giải:
a)

S

Xét tam giác ABC:

AB2  AC2  (3a) 2  (4a)2  25a 2  BC2 .
Vậy ABC là tam giác vuông tại A.
AC  AB
AC  SA




  AC  (ABC)  AC  SB.

SA;AB  (SAB) 
SA  AB  A 

b)

4a

C

A
5a
3a
H
B

Xét tam giác vuông ABC ta có:
1
1
1
1
1
1
.





2
2

2
2
2
2
AB
AC
(3a)
(4a)
AH
12a




 5 

BC  AH
AB  SA




Vậy AH  BC , Ta có:
  BC  (SAH)  BC  SB.
SA; AH  (SAH) 
SA  AH  A 

Câu 4. Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a, AB  AC  a .
Tam giác ABC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, gọi I là trung điểm
BC.

a)

Chứng minh rằng: AI  CD, AI  BD.

b)

Chứng minh rằng: BC  AD . Tính độ dài canh AD.

Hướng dẫn giải:
a)

Nhận xét AB  AC  BC  a .
Vậy ABC là tam giác đều. Do đó AI  BC .


55

(ABC)  (BCD)



Ta có: (ABC)  (BCD)  BC   AI  (BCD).

AI  BC


A

a

 AI  CD, AI  BD.

a
B

D

I
a

b)

Xét tam giác đều BCD, DI là đường trung tuyến,

do đó DI cũng là

C

BC  AI
BC  DI




đường cao. Ta có:
  BC  (AID)  BC  AD.
AI  DI  I

AI, DI  (AID) 

Xét tam giác vuông AID, ta có: AI  ID 

a 3
.
2

Áp dụng định lí Pitago: AI 2  ID 2  AD 2  AD 2 

3a 2
a 6
 AD 
.
2
2

1.2.2.4. Mức độ vận dụng cao
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Trên các cạnh BC
và DD' lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM  DN  x (0  x  a).
a)

Chứng minh rằng MN  AC' .

b)

Tìm x để MN có độ dài nhỏ nhất, vị trí của M và N lúc đó.

Hướng dẫn giải :
     
a)
Đặt AA'  a, AB  b, AD  c thì

  
a  b  c a.
     x   x 
AC '  a  b  c; BM  .c; DN  .a.
a
a
    
Suy ra : MN  MB  BA  AD  DN
x  
x 
 .a  b  (1  ).c .
a
a

c

A

D

b
M

B

C
a
N
A'

B'

D'

C'


56

   x  
x    
Xét: MN.AC '   .a  b  (1  ).c  .(a  b  c)
a 
a



x 2
x
.a  a 2  (1  )2 .a 2  0. Vậy MN vuông góc với AC.
a
a
2

b)

2
x
x
6a 2

 x 1  6a
MN  .a 2  b2  (1  ) 2 .a 2  2a 2    

.
a
a
4
4
 a 2

2

Do đó: MN min 

x 1
a
a 6
. Khi   x  . Khi đó M, N là trung điểm của
a 2
2
2

BC và DD'.
2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
2.1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2.1.1. Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông
góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Kí hiệu: a  (  ).
Tức là: a  (  )  a  b, b  (  ).
2.1.2. Các định lí, hệ quả, tính chất cơ bản:
Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên

mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
d  a  ( ) 

d  b  ()   d  ().
a  b  O 

d

C

a
A
O

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với
α

hai cạnh của một tam giác thì cũng
vuông góc với cạnh thứ ba. Tức là:

d  AB 
  d  BC.
d  AC 

b
B


57

Một số tính chất cơ bản:
Tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc
với một mặt phẳng cho trước.
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với
một đường thẳng cho trước.
Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tồn tại duy nhất một mặt
phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.
Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùng đi qua một điểm và cùng
vuông góc với một đường thẳng thì đường thẳng đó nằm trên mặt phẳng
Ob  a 
  b  ().
O  ()  a 

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua
trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đường thẳng
đoạn thẳng đó.

M

chứa

A

Cho ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn
I

thẳng AB. Vậy tất cả những điểm M

B

thuộc ( ) đều cách đều A và B.

α

2.1.3. Một số phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp 1:
d

da
db




  d  ( ).
a, b  ( ) 
a  b  O 

a
b

O

α

Phương pháp 2 :
d

d'

d '  ( ) 
  d  ().
d  d' 

α

Phương pháp 3:
d

β

α


58

d  () 
  d  ().
()  () 

Phương pháp 4:
d

(P)  ()



(Q)  ()   d  ( ).
(P)  (Q)  d 

Q
P
α

Phương pháp 5:

(P)  ( )



(P)  ( )     d  .

d


d

α

P

2.1.4. Xây dựng hệ thống bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2.1.4.1. Mức độ nhận biết
Câu 1. Cho bậc thang và các mặt
phẳng, đường thẳng như hình bên. Nhận xét nào sau đây là đúng ?
A. d1  d 2 ,d 2  (),d 2  ().
B. d1  d 2 , d1  (), d 2  ().
C. d1  d 2 , d1  (), d 2  ().
D. d1  d 2 , d1  (), d 2  ().

Câu 2. Dựa vào hình vẽ bên, nhận
xét nào sau đây là đúng ?
A. d1  d 2 , d1  d 3 , d1  ( ).
B. d1  d 2 ,d1  d 3 ,d3  ().


59

C. d1  d3 , d1  d3 ,d1  ().
D. d1  d 2 ,d 2  d3 ,d1  ().
Câu 3. Dựa vào hình vẽ bên, nhận xét

nào sau đây là đúng ?

A. d1  d3 ,d1  d 2 ,d3  ().
B. d1  d 3 , d1  d 2 ,d 3  ().
C. d1  d 3 , d1  d 2 , d3  ().
D. d1  d3 ,d1  d 2 ,d 3  ().
Câu 4. Dựa vào hình vẽ bên, nhận xét
nào sau đây là đúng ?
A. d1  d 2 ,d1  d3 ,d 3  ().
B. d1  d 2 , d1  d 3 , d3  ().
C. d1  d 2 ,d1  d 3 ,d3  ().
D. d1 / /d 2 ,d1  d3 ,d3  ().

Câu 5. Dựa vào hình vẽ bên, nhận xét nào sau đây là đúng ?
A. d1  d 2 , d1  d3 ,d 3  ().
B. d1  d 2 , d1  d 3 , d3  ().
C. d1  d 2 ,d1  d3 ,d 3  ().
D. d1  d 2 ,d1  d 3 ,d3  ().

Câu 6. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Nếu đường thẳng d  ( ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( ) .
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì
d  ( ) .


60

C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
( ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( ) .

D. Nếu d  ( ) và đường thẳng a  ( ) thì d  (  ).
Câu 7. Trong không gian cho đường thẳng  và điểm O. Qua O có mấy đường
thẳng vuông góc với  cho trước ?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Câu 8. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

 cho trước ?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Câu 9. Mệnh đề nào sau đây có thể sai ?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song
song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song
song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau.
D. Một đường thẳng và một mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đã cho )
cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
Câu 11. Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là
A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
C. Mặt phẳng vuông góc với AB tại A.
D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB.

2.1.4.2. Mức độ thông hiểu
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc
với một mặt phẳng cho trước.
B. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc


61

với hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với

một đường thẳng cho trước.
D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với
một mặt phẳng cho trước.
Câu 2. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây
là đúng ?
A. Nếu a  b, (P)  a thì (P)  b .

B. Nếu a  (P), b  a thì b  (P) .

C. Nếu a  b, (P)  a thì (P)  b .

D. Nếu a  (P), b  a thì

b  (P) Câu 3. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) và một đường thẳng a. Trong các mệnh

đề sau
đây mệnh đề nào đúng ?
A. Nếu (P)  (Q), a  (P) thì a  (Q) .
B. Nếu (P)  (Q), a  (P) thì a  (Q) .
C. Nếu (P)  (Q), a  (P) thì a  (Q) .
D. Nếu (P)  a, (Q)  a thì (P)  (Q) .
Câu 4. Cho đường thẳng a có hình chiếu trên mặt phẳng (P) là đường thẳng a ' ,
đường thẳng b nằm trong (P). Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?
A. Nếu a  b thì a '  b.

B. Nếu a '  b thì a  b.

C. Nếu a  b thì a'  b hoặc a ' trùng b. D. Nếu a'  b thì a  b .
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. Trong các nhận xét
sau đây, nhận xét nào sai ?

A. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
B. Ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD) đôi một vuông góc.
C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam giác BCD.
D. Tam giác BCD vuông.
Câu 6. Cho 2 đường thẳng a, b và mặt phẳng ( ) . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. Nếu a  ( ) và a  b thì b  (  ).


62

B. Nếu a  ( ) và b  ( ) thì a  b .
C. Nếu a  ( ) và b  ( ) thì a  b .
D. Nếu a  ( ) và b  ( ) thì a  b.
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABD và BCD là hai tam giác cân có chung
cạnh đáy BD. Gọi E là trung điểm BD, AF là đường cao của tam giác ACE.
Nhận xét nào sau đây là đúng ?
A. BD  (ACE), A F  (BCD).

B. AB  CD, AB  CE.

C. AF  (BCD), AE  CE.

D. BD  (ACE), AF  (ABC).

Hướng dẫn giải:
Xét BCD cân tại C, E là trung điểm
BD  CE  BD (1).
Xét ABD cân tại A, E là trung điểm BD

 AE  BD (2), AE  CE  E (3),

AE,CE  (ACE) (4) .
Từ (1),(2),(3),(4) suy ra: BD  (ACE) .
BD  (ACE)  BD  AF (5)

AF  CE (6) , BD; CE  (BCD) (7) ,

BD  CE  E (8) . Từ (5),(6),(7),(8) suy ra: AF  (BCD) .
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) . Kẻ BI  AC, BJ  SC .
Nhận xét nào sau đây là đúng ?
A. SA  BI, SB  BC.

B. BI  (SAC), SC  (BIJ).

C. BI  (SAC), BC  (BIJ).

D. AC  (SBC), AC  (BIJ).

Hướng dẫn giải :
SA  (ABC)  SA  BI (1),
AC  BI

(2) .

Từ (1),(2) suy ra : BI  (SAC)
BI  (SAC)  BI  SC

(3),


63

BJ  SC

(4) .

Từ (3),(4)  SC  (BIJ) .
2.1.4.3. Mức độ vận dụng thấp
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) . Gọi H, K là trực tâm của
ABC, SBC.

a)

Chứng minh SC  (BHK).

b)

Chứng inh HK  (SBC).

Hướng dẫn giải:
a)

S

SA  (ABC) 
  SA  BH, SA  (SAC) (1).
BH  (ABC) 

Theo giả thiết: BH  SC  (SAC) (2).
K

SA  SC  S (3).

C

A

Từ (1)(2)(3): BH  (SAC)  BH  SC (4).
Theo giả thiết: SC  BK (5).

H

B

Từ (4)(5): SC  (BHK).
b)

Theo câu a: SC  (BHK)  HK  SC (6).
BC  AH  (SAH) 
 BC  (SAH) 
BC  SA  (SAH)  
  BC  HK (7).
HK
(SAH)



SA  AH  A

SB  BC  C

(8). Từ (6)(7)(8)  HK  (SBC) .

  1200 , cạnh BC  a 3. Lấy điểm S ở
Câu 2. Cho tam giác ABC cân tại A có BCA
ngoài mặt phẳng chứa tam giác ABC sao cho SA  a. Gọi O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
a)

Chứng minh AO  (SBC).

b)

Tính AO khi tam giác SBC vuông tại S.


64

Hướng dẫn giải:
a)

A

Gọi M là trung điểm BC, theo giải thiết suy ra:

600

  600 , MC  a 3 .
AM  BC, MAC
2

Suy ra: AB  AC 

CM
a 3 3

:
 a.
0
2
2
sin 60

600

a

S

C

Nhận xét: AS  AB  AC  a mà O là

O
M

a 3
2

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC nên
B

AO  (SBC).

b)

  600 ,
Khi tam giác SBC vuông tại S thì O  M , mà AM  BC và BAM
a
suy ra AO  AM  MB.cot 600  .
2

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA  (ABC). Trong
tam giác SAB kẻ đường cao AH, trong tam giác SAC kẻ đường cao AK.
a)

Chứng minh: BC  (SAB), AH  (SBC).

b)

Chứng minh: SC  (AHK).

Hướng dẫn giải:

a)

SA  BC, (SA  (ABC)) 

BC  AB

  BC  (SAB).

SA  AB  A


SA, AB  (SAB)
BC  AH, (BC  (SAB)) 

SB  AH

  AH  (SBC).
SB  BC  B


SB, BC  (SBC)

b)

AH  SC, (AH  (SBC)) 

AK  SC

  SC  (AHK).
AH  AK  A


AH, AK  (AHK)

2.1.4.4. Mức độ vận dụng cao

S

K

H

C

A

B


65

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và có SB  SD  AB.
a)

Chứng minh mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

b)

Chứng minh tam giác ASC vuông tại S.

c)

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD.
Chứng minh mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trục của HK.

Hướng dẫn giải:
a)

S

Theo giả thiết ta có:
Xét tam giác cân SBD có SO là đường

K

trung tuyến, do đó SO cũng là đường cao.

I
H

BD  SO
BD  AC




  BD  (SAC).
SO  AC  O 
SO, AC  (SAC) 

Mà mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm O

A

B

D

C

của BD nên (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.
b)

1
Vì SB = SD = AB = AD  ΔABD = ΔSBD , suy ra: SO  AO  AC.
2

Tức là tam giác SAC vuông tại S.
c)

Dễ thấy: ΔSAB = ΔSAD  AK = AH  ΔSAK = ΔSAH  SK = SH.
Mà: SB = SD 

SK SH
=
 HK  BD. Do HK  BD  (SAC)
SB SD

 (SAC)  HK . Nếu gọi I  SO  HK  I  HK  (SAC).

Mà HK  BD 

HI SI
KI


. Do BO = DO  HI = KI , tức là mặt
BO SO DO

phẳng (SAC) đi qua trung điểm của HK.Vậy mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng
trung trực của HK.
Câu 2. Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD.
Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy một điểm S
khác H.
a)

Chứng minh AC  (SHK).