Xây dựng hệ thống bài tập phương trình vô tỉ theo các cấp độ nhận thức cho học sinh THPT

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÕN

ĐỖ THANH HÙNG
TẠ NGUYỄN THANH THỦY

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP
PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ
NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƢ PHẠM TỐN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN: TS. PHẠM SỸ NAM
NGƢỜI PHẢN BIỆN: TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2017


2

LỜI CAM ĐOAN

Chúng tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của chúng tơi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được cơng bố trong bất kì một cơng trình nào
khác.

Tác giả khóa luận
Đỗ Thanh Hùng
Tạ Nguyễn Thanh Thủy


3

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, chúng tơi đã cố gắng nỗ
lực hết mình. Để hồn thành tốt khóa luận này, chúng tơi đã nhận đƣợc sự động
viên, giúp đỡ tận tình của Quý thầy, cơ, gia đình và bạn bè. Nhân đây, chúng tôi xin
đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành nhất.
Đầu tiên, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Q thầy, cơ trong khoa
Tốn - Ứng dụng trƣờng Đại học Sài Gịn đã tận tình giảng dạy suốt bốn năm học
để chúng tơi có đƣợc nền tảng tri thức cũng nhƣ kinh nghiệm cuộc sống quý báu
làm hành trang cho chúng tôi sau này.
Đặc biệt, chúng tôi xin chân thành cảm ơn TS. Phạm Sỹ Nam. Thầy là ngƣời
đã giảng dạy những kiến thức nền tảng, tận tình giúp chúng tơi hồn thành khóa
luận một cách tốt nhất. Tiếp xúc với thầy, chúng tôi học hỏi đƣợc cách thức làm
việc khoa học, sự nhiệt tình, tính cẩn thận trong nghiên cứu và những bài học bổ ích
trong cuộc sống.
Chúng tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã ln quan tâm
động viên, khích lệ tinh thần chúng tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Cuối cùng, chúng tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Q thầy, cơ trong hội
đồng chấm khóa luận đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý cho những
điểm cịn thiếu sót giúp chúng tơi rút đƣợc kinh nghiệm cho khóa luận cũng nhƣ
q trình nghiên cứu sau này. Rất mong nhận đƣợc sự chỉ bảo tận tình của Q
thầy, cơ cũng nhƣ sự góp ý chân thành của các bạn. Xin chân thành cảm ơn.
Tác giả khóa luận

Đỗ Thanh Hùng
Tạ Nguyễn Thanh Thủy


4

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU ........................................................................................................6
Chƣơng I.
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Các hình thức đánh giá trong dạy học ..........................................................9
2. Các cấp độ nhận thức.................................................................................12
3. Vai trò của bài tập trong dạy học ...............................................................15
4. Thực trạng việc dạy và học giải phƣơng trình vơ tỉ ở trƣờng THPT ...........16
Chƣơng II.
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ
THEO CÁC CẤP ĐỘ NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT
1. Phƣơng pháp nâng lũy thừa .......................................................................19
2. Phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp .............................................................36
3. Phƣơng pháp hàm số ................................................................................ 57
4. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ ........................................................................... 91
5. Phƣơng pháp đánh giá ............................................................................ 120
6. Phƣơng pháp lƣợng giác hóa .................................................................. 140
7. Một số ứng dụng của phƣơng trình vơ tỉ ................................................. 152
KẾT LUẬN ................................................................................................ 165
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 166

5

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT
 : Với mọi

 : Tƣơng đƣơng
 : Thuộc

 : Suy ra
 : Vô cùng

 ,  : Khoảng

 ,  : Nửa khoảng

 ,  : Đoạn
ĐS: Đáp số
HS: Học sinh
PTVT: Phƣơng trình vơ tỉ
THPT: Trung học phổ thơng


6

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phƣơng trình vơ tỉ (PTVT) là một trong những kiến thức trọng tâm trong chƣơng
trình tốn học bậc phổ thơng. Đồng thời, phƣơng trình vơ tỉ cũng là một trong
những dạng tốn thƣờng gặp trong các kì thi học sinh giỏi cũng nhƣ kì thi tuyển

sinh vào trƣờng THPT chuyên hoặc kì thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng.
Bên cạnh đó, PTVT luôn là “nỗi sợ hãi” của các em học sinh bởi các bài tập về
PTVT khá rắc rối và phức tạp; việc giải các bài tập này đòi hỏi HS cần phải có sự
nhạy bén khi phân tích đề, hiểu và nắm vững các phƣơng pháp giải PTVT, từ đó
vận dụng đúng và chính xác vào bài tập; đồng thời cũng đòi hỏi HS phải khéo léo
và linh hoạt khi biến đổi phƣơng trình tƣơng đƣơng, tránh mắc những sai lầm cơ
bản khi giải.
Muốn khắc phục “nỗi sợ hãi” trên, ngƣời học cần phải đƣợc tiếp cận kiến thức một
cách bài bản, cặn kẽ, đi từ dễ đến khó, từ lý thuyết đến thực tiễn và phải có sự chủ
động trong tƣ duy tốn học để có thể phân loại, nhận dạng và giải đƣợc các bài tập
PTVT; từ đó nâng cao năng lực giải tốn ở bậc THPT nói chung và PTVT nói riêng.
Hiện nay, Bộ Giáo dục đang có chủ trƣơng tổ chức kì thi THPT Quốc gia theo hình
thức trắc nghiệm với bốn cấp độ: Nhận biết, thơng hiểu, vận dụng thấp, vận dụng
cao thì việc xây dựng hệ thống theo các cấp độ là điều cần thiết. Việc phân loại theo
từng cấp độ nhằm giúp HS dễ đánh giá việc học tập và giáo viên có đƣợc nguồn tƣ
liệu phục vụ giảng dạy đƣợc thuận tiện hơn, phù hợp với năng lực của các HS.
Chính vì những lí do trên, chúng tơi chọn đề tài là: "Xây dựng hệ thống bài tập
phương trình vơ tỉ theo các cấp độ nhận thức cho học sinh THPT".
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của khóa luận là xây dựng hệ thống các bài tập phƣơng trình vơ tỉ, trong
đó có sự phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với các cấp độ nhận thức nhằm


7

giúp HS phát triển năng lực trong học Toán và nâng cao chất lƣợng dạy học Toán ở
trƣờng THPT.
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Học sinh bậc trung học phổ thông.

3.2. Đối tƣợng nghiên cứu
Phƣơng trình vơ tỉ.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết
Thu thập thông tin từ các tài liệu, sách tham khảo có kiến thức liên quan đến
“Phƣơng trình vơ tỉ”, sau đó tổng hợp và phân loại một cách hợp lý nhất.
4.2. Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia
Trao đổi và tham khảo ý kiến từ giáo viên hƣớng dẫn và các thầy cơ ở trƣờng THPT
để tìm hiểu và thu thập những kiến thức liên quan đến đề tài nghiên cứu.
4.3. Phƣơng pháp điều tra
Khảo sát việc dạy và học phƣơng trình vơ tỉ ở trƣờng THPT nhằm tìm hiểu về thực
trạng trong việc dạy và học PTVT, phát hiện nguyên nhân của các hạn chế từ đó
đƣa ra đƣợc giải pháp thích hợp.
4.4. Phƣơng pháp quan sát khoa học
Sử dụng phƣơng pháp quan sát và tiếp cận nhằm phát hiện và phân tích tâm lý của
HS đối với việc học và giải bài tập về phƣơng trình vơ tỉ.
5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về nội dung liên quan đến “Phƣơng trình vơ tỉ”, đƣợc thực nghiệm tại
trƣờng THPT Trần Khai Nguyên và THPT Nguyễn Trãi từ ngày 13/02/2017 đến
ngày 08/4/2017.


8

6. Cấu trúc khóa luận
Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận đƣợc trình
bày trong hai chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống bài tập phƣơng trình vơ tỉ theo các cấp độ nhận thức
cho học sinh THPT

9

Chƣơng I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Các hình thức đánh giá trong dạy học
1.1. Xu hƣớng kiểm tra, đánh giá của các quốc gia trên thế giới
Xu hƣớng kiểm tra, đánh giá của các quốc gia trên thế giới đều chú trọng đánh giá
năng lực ngƣời học, coi trọng đánh giá quá trình kết hợp đánh giá định kì, tổng kết,
sử dụng nhiều cơng cụ để đánh giá: đánh giá qua sản phẩm, qua các dự án, qua hồ
sơ học tập, qua câu hỏi (Tự luận hoặc Trắc nghiệm) sử dụng trong các bài thi viết.
Đối với các bài thi viết, căn cứ vào mục đích/ mục tiêu của kì đánh giá: đánh giá
trên diện rộng (cấp quốc gia, cấp quốc tế), đánh giá trên diện hẹp (trong phạm vi lớp
học) để lựa chọn sử dụng các hình thức, cơng cụ đánh giá cho phù hợp, hiệu quả.
Nhiều quốc gia nhƣ Mĩ, Nhật… đang sử dụng hình thức thi Trắc nghiệm trong các
kì thi đánh giá trên diện rộng và cho kết quả chính xác, khách quan.
1.2. Đặc điểm của hình thức thi trắc nghiệm, tự luận
1.2.1. Các dạng câu hỏi Trắc nghiệm
Hiện nay, đánh giá bằng trắc nghiệm khách quan là một phƣơng pháp hiện đại mới
đƣợc nghiên cứu trên thế giới khoảng những năm 60 của thế kỉ XX, vận dụng ở
Việt Nam cuối thế kỉ XX bên cạnh phƣơng pháp đánh giá truyền thống.
Trong dạy học Tốn có nhiều loại câu hỏi, bài tập trắc nghiệm khách quan:
- Dạng câu hỏi lựa chọn nhiều khả năng (dạng đúng – sai, dạng phổ biến 4 lựa
chọn).
Ví dụ: Cho phƣơng trình

x  2  x  1 . Điều kiện để phƣơng trình đã cho có nghĩa

là:
A. x  2  0

B. x  1  0

C. x  2  0

D. x  1  0

Ví dụ: Điền dấu X thích hợp vào ơ trống:
Cho phƣơng trình

2x 1  x  2

(1)


10

Câu

Đúng

Sai

Điều kiện để phƣơng trình (1) có nghĩa là x  2
Phƣơng trình (1) có tập nghiệm là S  5
- Dạng câu hỏi điền khuyết.
Ví dụ: Hồn thành câu.
Cho phƣơng trình

x  3  5  x  2 x  8. Giải phƣơng trình đã cho bằng phƣơng

pháp nhân lƣợng liên hợp, ta nhân hai vế phƣơng trình đã cho với…
- Dạng câu hỏi sắp lại thứ tự.
Ví dụ: Sắp xếp thứ tự các câu sau để có đƣợc lời giải hồn chỉnh của bài tốn trên
A.

x 3  5 x

 x5

B.   x  4
 x  7


x5
 x  11x  28  0


C.  

2

D.  x  4
5 x  0
2
 x  3  (5  x)


E.  

F. Vậy x  4 là nghiệm của phƣơng trình đã cho
- Dạng câu hỏi ghép đơi.
Ví dụ: Ghép một ý ở cột 1 với 1 ý trong cột 2 để đƣợc khẳng định đúng:


11

Cột 1
Điều kiện để phƣơng trình

Cột 2
x  1  5  x có

S  3

nghĩa là
Phƣơng trình

3  x  5  2 x có tập

S  2

nghiệm là
Điều kiện để phƣơng trình

x  1

x  1  3  x  x  2 có nghĩa là

Phƣơng trình

2 x3

2 x  3  3 có tập nghiệm là

1.2.2. So sánh Trắc nghiệm và Tự luận
Trong dạy học, muốn đánh giá năng lực của HS cần sử dụng các công cụ để đo
lƣờng. Trắc nghiệm hay tự luận đều là những công cụ đánh giá.
a. Điểm tương đồng
 Đều có thể đo lƣờng hầu hết kết quả học tập quan trọng bằng hình thức viết;
 Đều khuyến khích học sinh học tập để đạt mục tiêu: hiểu biết các nguyên lí,
tổ chức, phối hợp các ý tƣởng, ứng dụng kiến thức trong việc giải quyết các
vấn đề.
 Đều đòi hỏi vận dụng ít nhiều sự phán đốn chủ quan và giá trị của hai loại
tuỳ thuộc vào tính khách quan và độ tin cậy của chúng.
b. Điểm khác biệt
Tự luận

Trắc nghiệm

Học sinh phải tự soạn câu trả lời và diễn

Chọn câu trả lời đúng nhất trong 1 số

tả bằng ngơn ngữ của mình.

câu đã cho sẵn.

Ít câu hỏi, nhƣng có tính tổng qt và

Nhiều câu hỏi chun biệt, chỉ cần trả

phải trả lời dài.

lời ngắn gọn.


12

Phải suy nghĩ, viết.

Phải đọc và suy nghĩ.

Chất lƣợng của bài tự luận phụ thuộc

Chất lƣợng của bài trắc nghiệm khách

vào kĩ năng của ngƣời chấm bài xác

quan do kĩ năng của ngƣời biên soạn

định.

quyết định.

Dễ soạn, khó chấm và khó cho điểm
chính xác

Khó soạn, dễ chấm, cho điểm chính xác.

Thí sinh tự do bộc lộ cá tính, ngƣời

Ngƣời soạn tự do bộc lộ kiến thức, thí

chấm cũng tự do cho điểm theo xu

sinh chỉ có quyền chứng tỏ mức độ hiểu

hƣớng của mình.

biết qua số các câu trả lời đúng.

Khó xác định mức độ hồn thành tồn

Dễ thẩm định mức độ hoàn thành các

diện nhiệm vụ học tập.

nhiệm vụ học tập.

Cho phép hoặc đơi khi khuyến khích sự
“lừa phỉnh”.
Cho phép ngƣời chấm ấn định sự phân
bố điểm (sửa đáp án).

Cho phép “đốn mị”.

Sự phân bố điểm do bài thi ấn định.

Nguồn Dương Thiệu Tống - Trắc nghiệm và đo lường thành quả học tập, tr.16.

2. Các cấp độ nhận thức
2.1. Nhận biết
Nhận biết thông tin, ghi nhớ, tái hiện thông tin. Chẳng hạn, HS phát biểu đúng một
định nghĩa, định lí nhƣng chƣa giải thích và vận dụng chúng.
Có thể cụ thể hóa mức độ này bằng các động từ:
+ Nhận ra, nhớ lại khái niệm, định lí, định luật, tính chất.
+ Nhận dạng (khơng cần giải thích) đƣợc khái niệm, hình thể, vị trí tƣơng đối giữa
các đối tƣợng trong các tình huống đơn giản.


13

+ Liệt kê, xác định các vị trí tƣơng đối, các mối quan hệ đã biết giữa các yếu tố.
Câu hỏi thuộc cấp độ nhận biết: Là câu hỏi kiểm tra việc thuộc, hiểu đúng, nhớ các
khái niệm, các kết quả lý thuyết (các cơng thức, tính chất, định lí, quy tắc…) đã
đƣợc học; kiểm tra khả năng nhận ra, nêu hoặc tái hiện các khái niệm, kết quả đó
trong tình huống cụ thể.
2.2. Thơng hiểu
Hiểu đƣợc ý nghĩa của các khái niệm, hiện tƣợng, sự vật; giải thích đƣợc, chứng
minh đƣợc là mức độ cao hơn nhận biết nhƣng là mức độ thấp nhất của việc thấu
hiểu sự vật, hiện tƣợng, nó liên quan đến ý nghĩa của các mối quan hệ giữa các khái
niệm, thông tin mà HS đã học hoặc đã biết.
Có thể cụ thể hóa mức độ này bằng các động từ:
+ Diễn tả bằng ngôn ngữ cá nhân về khái niệm, định lí, tính chất, định luật, chuyển
đổi từ hình thức ngơn ngữ này sang hình thức ngơn ngữ khác (ví dụ từ lời sang cơng
thức, kí hiệu, số liệu và ngƣợc lại).
+ Biểu thị, minh họa, giải thích ý nghĩa của các khái niệm, định lí, tính chất, định
luật.
+ Lựa chọn, bổ sung, sắp xếp lại những thông tin cần thiết để giải quyết vấn đề nào
đó.

+ Sắp xếp lại lời giải bài tốn theo một cấu trúc logic.
Câu hỏi thuộc cấp độ thông hiểu: Là câu hỏi kiểm tra việc sử dụng các kiến thức lý
thuyết (khái niệm, kết quả) đã đƣợc học để giải quyết các tình huống Tốn học
khơng phức tạp, giống hoặc tƣơng tự các tình huống HS đã đƣợc luyện tập trên lớp,
cũng nhƣ đã gần giống hoặc gần tƣơng tự các tình huống trong SGK, kiểm tra khả
năng vận dụng các tình huống khơng phức tạp có liên quan trong thực tiễn cuộc
sống hoặc trong các môn học khác.


14

2.3. Vận dụng
Là khả năng đòi hỏi HS phải biết vận dụng kiến thức, biết sử dụng phƣơng pháp,
nguyên lí hay ý tƣởng để giải quyết một vấn đề nào đó.
Có thể cụ thể hóa mức độ này bằng các động từ:
+ So sánh các phƣơng án giải quyết vấn đề.
+ Phát hiện lời giải có mâu thuẫn, sai lầm, chỉnh sửa đƣợc.
+ Giải quyết đƣợc những tình huống mới bằng cách vận dụng các khái niệm, định
lí, tính chất, định luật.
+ Khái qt hóa, trừu tƣợng hóa từ tình huống quen thuộc, tình huống đơn lẻ sang
tình huống mới, tình huống phức tạp hơn.
Câu hỏi thuộc cấp độ vận dụng thấp: Là câu hỏi nhằm kiểm tra việc hiểu rõ, hiểu
sâu (ở mức độ nhất định) các kiến thức lí thuyết đã đƣợc học và biết tạo ra sự liên
kết giữa các kiến thức đó với nhau để giải quyết tình huống tốn học khơng đơn
giản, gần giống hoặc tƣơng tự các tình huống có trong SGK, SBT; kiểm tra khả
năng vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các tình huống khơng phức tạp có
liên quan trong thực tiễn cuộc sống hoặc trong các môn học khác.
Câu hỏi thuộc cấp độ vận dụng cao: Là câu hỏi kiểm tra khả năng vận dụng tổng
hợp các kiến thức lý thuyết đƣợc học để giải quyết các tình huống Tốn học mới,
khơng quen thuộc và khơng q phức tạp trong khoa học cũng nhƣ trong thực tiễn

cuộc sống.
Câu hỏi thuộc cấp độ vận dụng (thấp, cao) còn là câu hỏi kiểm tra sự linh hoạt vận
dụng kiến thức để tìm ra cách xử lí nhanh, vận dụng kiến thức để giải quyết các bài
tốn có liên quan đến thực tiễn.


15

Có thể tóm tắt các cấp độ tƣ suy bằng bảng sau:

“Nguồn: Trích cơng văn số 8773/BGDĐT-GDTrH, ngày 30/12/2010 của Bộ GD
và ĐT”.
3. Vai trò của bài tập trong dạy học
Hệ thống các bài tập đƣợc xây dựng theo nhiều cấp độ từ dễ đến khó phù hợp với
từng giai đoạn học của học sinh, giúp học sinh có thể nâng cao dần kỹ năng giải
toán. Đồng thời, với mỗi bài tập đƣa ra, đều sẽ có các bƣớc phân tích đề bài từ đó
nêu hƣớng gợi mở vấn đề nhằm giúp HS tìm cách giải quyết bài tốn. Ngồi ra,
chúng tơi cịn nêu các sai lầm thƣờng gặp ở học sinh trong cách logic và trình bày
bài tốn. Cách thức xây dựng bài tập nhƣ vậy mang lại lợi ích quan trọng trong việc
vận dụng giải toán của HS và việc dạy học của giáo viên:
3.1. Đối với học sinh
Các bài tốn về lý thuyết với nhiều hình thức trình bày khác nhau, lật mở đƣợc
nhiều khía cạnh nhằm giúp HS có thể hiểu sâu sắc về lý thuyết và bản chất của nó,
từ đó hiểu đƣợc ý nghĩa thực tiễn của toán học và vận dụng đƣợc vào việc giải các
bài toán về PTVT.


16

Phƣơng pháp gợi mở vấn đề bằng cách nhận xét, phân tích đề ở mỗi bài tốn sẽ phát

huy đƣợc tính tích cực, tự giác, chủ động và tƣ duy sáng tạo của HS. Tránh cách
học thụ động và truyền thống.
Các bài tốn tìm lỗi sai và phƣơng pháp nêu sai lầm trong việc giải toán ở HS sẽ
giúp HS có thể nhận ra đƣợc lỗ hổng kiến thức hay những mặc định sai lầm về lý
thuyết.
Hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận với hình thức điền khuyết, ghép đôi,
sắp xếp, đúng sai hay nhiều lựa chọn giúp HS liên kết đƣợc kiến thức từ giải thiết
của câu hỏi và các đáp án. Đồng thời, xác định đƣợc đúng trọng tâm của lý thuyết,
từ đó loại suy đƣợc những câu trả lời sai.
Hệ thống các bài tập theo 04 mức độ nhận thức và Phƣơng pháp gợi mở vấn đề sẽ
rèn luyện đƣợc kỹ năng giải quyết vấn đề và phát triển năng lực giải tốn tồn diện
của HS.
3.2. Đối với giáo viên
Giúp ngƣời giáo viên có thể định hƣớng đƣợc cách điều khiển và tổ chức các hoạt
động dạy học của mình một cách hiệu quả.
Giúp ngƣời giáo viên tiếp cận với phƣơng pháp dạy học mới với phƣơng châm “Lấy
ngƣời học làm trung tâm”, từ đó xây dựng đƣợc phƣơng pháp gợi mở vấn đề cho
học sinh nhằm bồi dƣỡng cho HS năng lực tự học, khả năng thực hành và khơi dậy
lòng say mê học tập của HS.
Với hệ thống các bài tập về PTVT từ dễ đến khó với mỗi dạng tốn, ngƣời giáo viên
có thể xây dựng đƣợc lộ trình dạy cũng nhƣ mức độ đề bài đặt ra phù hợp mức độ
hiểu và vận dụng đối với từng học sinh, từ đó nâng cao năng lực giải tốn của HS.
4. Thực trạng việc dạy và học giải phƣơng trình vơ tỉ ở các trƣờng THPT
Hiện nay, việc dạy và học môn Tốn nói chung và phƣơng trình vơ tỉ nói riêng ở
bậc trung học phổ thông chƣa đạt chất lƣợng và hiệu quả cao. Qua quá trình khảo


17

sát, chúng tơi thấy có một số ngun nhân chính sau:

4.1. Về việc học của học sinh
Việc học lý thuyết bị xem nhẹ dẫn đến học sinh không nắm vững những kiến thức
cơ bản; từ đó khơng tạo đƣợc nền tảng chắc chắn, dẫn đến thƣờng mắc phải những
sai lầm trong giải tốn, khơng phát huy đƣợc hết năng lực trong việc giải quyết
những bài toán phức tạp hơn.
Năng lực của học sinh trong các lớp không đồng đều; trong khi đó các bài tập trên
lớp và trong sách giáo khoa chƣa có tính phân loại theo mức độ nhận thức, chƣa
thực sự phù hợp với năng lực của từng đối tƣợng học sinh.
HS còn nhiều lỗ hổng kiến thức, dẫn đến gặp khó khăn trong việc tiếp thu các khái
niệm và kiến thức mới, gây nên việc e dè và chán nản trong việc học Tốn.
HS cịn bị động trong việc học, chủ yếu chỉ tiếp nhận các kiến thức từ thầy cơ cung
cấp, khơng có sự đào sâu, tìm tịi và học hỏi từ bên ngồi; dẫn đến bị rập khn
trong việc trình bày và giải Tốn, thiếu sự linh hoạt trong việc xử lý các tình huống
phức tạp hơn.
HS chƣa thấy đƣợc ý nghĩa của việc học tốn và tính ứng dụng vào thực tiễn của nó
nên không gây đƣợc sự hứng thụ và niềm đam mê đối với bộ mơn Tốn nói chung
và PTVT nói riêng.
4.2. Về việc dạy của giáo viên
Thời lƣợng giảng dạy ở trên lớp so với khối lƣợng kiến thức cần truyền tải còn hạn
chế; dẫn đến GV chỉ tập trung dạy phần nội dung trọng tâm và bỏ qua việc dẫn dắt
HS đến với kiến thức mới cũng nhƣ ứng dụng thực tiễn trong đời sống.
Một số GV chƣa đổi mới phƣơng pháp giảng dạy, còn dạy học theo kiểu truyền
thống là “thầy đọc, trò chép” nên chƣa phát huy đƣợc tính tích cực, chủ động của
học sinh.


18

Việc phân tích đề từ đó đặt ra câu hỏi gợi mở vấn đề là một trong những yếu tố
quan trọng giúp HS tiếp cận kiến thức từ đơn giản đến phức tạp cũng nhƣ tạo đƣợc

lối tƣ duy sáng tạo của HS trong Toán học. Nhƣng đa số GV còn chƣa áp dụng vào
việc giảng dạy, còn áp đặt tƣ duy cá nhân đối với HS.
GV chƣa có hệ thống các bài tập phù hợp với năng lực của từng học sinh. Các bài
tập ở mức độ nhận biết, thơng hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví dụ minh họa cho
bài giảng và trong bài tập về nhà.


19

Chƣơng II. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH
VƠ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT
1. Phƣơng pháp nâng lũy thừa
1.1. Kiến thức cần thiết
Với mọi k 
2k



2 k 1





, ta có:

 b0
a b
2k
a  b



2k

*

a  b  a  b2 k 1

a

2 k 1

2k

a  0

b  b  0
a  b


a  2k 1 b  a  b

1.2. Phạm vi áp dụng
Sử dụng phƣơng pháp nâng lũy thừa cho các phƣơng trình vơ tỉ có dạng:


2k

f ( x)  g ( x), k 

 2k 1 f ( x)  g ( x), k 



2 k 1

2k

*

*

f ( x)  2 k 1 g ( x), k 

f ( x)  2 k g ( x), k 

*

*



f ( x)  g ( x)  h( x)



f ( x)  g ( x)  h( x)  q( x)



3

f ( x)  3 g ( x)  3 h( x)

1.3. Phƣơng pháp giải
+ Sử dụng phép nâng lũy thừa để đƣa về phƣơng trình đại số giải đƣợc.


20

+ Phƣơng pháp nâng lũy thừa cho một số dạng phƣơng trình cơ bản:



 2 k f ( x )  g( x )  

g( x )  0


 f ( x )   g( x ) 

2k

 2 k 1 f ( x )  g( x )  f ( x )   g( x )

2 k 1

 2 k 1 f ( x )  2 k 1 g( x )  f ( x )  g( x )

(k 

*

)

(k 

*

)

(k 

*

)

Lưu ý: Đối với phƣơng trình hệ quả:
+ Nâng lũy thừa 2 vế phƣơng trình và đƣa về phƣơng trình hệ quả.
+ Giải phƣơng trình hệ quả trên tìm nghiệm.
+ Thử lại nghiệm của phƣơng bằng cách thay nghiệm đó vào phƣơng trình ban đầu.
1.4. Bài tập theo các cấp độ
1.4.1. Bài tập cấp độ nhận biết
Chọn đáp án đúng:
Bài 1.1. Điều kiện để phƣơng trình

f ( x)  g ( x) có nghĩa là:

A. f ( x)  0

B. f ( x)  0

C. g ( x)  0

D. g ( x)  0

Đáp án: A
Bài 1.2. Cho phƣơng trình:

f ( x)  g ( x) .

Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả nào sau đây:
A. f ( x)   g ( x) 

2




B. 

f ( x)  0


 f ( x)   g ( x) 

2

21




C. 

g ( x)  0


 f ( x)   g ( x) 

2

  f ( x)  0

2
  f ( x)   g ( x) 
D. 
  g ( x)  0
2

  f ( x)   g ( x) 

Đáp án: C.
Bài 1.3. Cho phƣơng trình: 3 f ( x)  3 g ( x) .
Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả nào sau đây:
 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

A. f ( x)  g ( x)

B. 

 f ( x)  0

C.  g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)


  g ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
D. 
  f ( x)  0

  f ( x)  g ( x)

Đáp án: A
Bài 1.4. Điều kiện để phƣơng trình

3x  4  x  6 có nghĩa là:

A. 3x  4  0

B. x  6  0

C. 3x  4  0

D. x  6  0

Đáp án: A
Bài 1.5. Điều kiện để phƣơng trình

A. h( x)  0

f ( x)  g ( x)  h( x) có nghĩa là:

 f ( x)  0
B.  g ( x)  0
 h( x)  0


22

 f ( x)  0

D.  g ( x)  0
 h( x )  0


 f ( x)  0
C. 
 g ( x)  0

Đáp án: D.
1.4.2. Bài tập cấp độ thơng hiểu
Hồn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống
Bài 1.6. Cho phƣơng trình:

f ( x)  g ( x) ( k 

2k

*

).

Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả là…



Đáp án: 

g ( x)  0


 f ( x)   g ( x) 

2k

Bài 1.7. Cho phƣơng trình:

2 k 1

f ( x)  2 k 1 g ( x) (k 

*

Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả là…

Đáp án: f ( x)  g ( x) .
Bài 1.8. Cho phƣơng trình:

2k

f ( x)  2 k g ( x) ( k 

Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả là…
  f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
Đáp án: 
  g ( x)  0

  f ( x)  g ( x)

Bài 1.9. Cho phƣơng trình:

2x 1  x  2 .

Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả là…

*

).

).


23

x20
2
2 x  1  ( x  2)


Đáp án: 

Bài 1.10. Cho phƣơng trình:

x2  6 x  4  x  4 .

Khi biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc kết quả là…
 x40
2
 x  5x  0

Đáp án: 

Bài 1.11. Ghép giữa các phƣơng trình ở cột A với phép biến đổi tƣơng đƣơng tƣơng
ứng ở cột B để đƣợc biến đổi đúng.
CỘT A

CỘT B
1.

3

x 
2



x  7

3x  2  2 x  6 x  5

2.

5

x

3

 3 x  5 3   x  12


C.

2x  3  x  4

3.

x4

 2
 x  9 x  19  0

D.

3x  5  3 x  1

4.

2 x2  9 x  7  0

x 3  x 4

A.

B.

3

3

2

Đáp án: A  3 ; B  4 ; C  1; D  2
Bài 1.12. Sắp xếp thứ tự các câu sau để có đƣợc lời giải hồn chỉnh của bài tốn
trên:
A. x  2 x  3  0
x  0

B.    x  1
 x  3


x  0

C.  

2
x  2x  3  0

D.

2x  3  x

E.  x  3


24

F. Vậy x  3 là nghiệm của phƣơng



G.  

x0

2 x  3  x

trình đã cho

2

Đáp án: A - D - G - C - B - E - F
1.4.3. Bài tập vận dụng thấp

1.4.3.1. Sử dụng phƣơng pháp nâng lũy thừa để đƣa về phƣơng trình tƣơng
đƣơng
Bài 1.13. Giải phƣơng trình: x  1  3  x
Nhận xét: Phƣơng trình đã cho có dạng:

f ( x)  g ( x) , do đó giải phƣơng trình đã

cho bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng.
Giải:
3 x  0
2
 x  1  (3  x)


Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng: 

 x3
x3


 2
  x  2  x  2
 x  7 x  10  0
 x  5


Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S  2 .
Bài 1.14. Giải phƣơng trình: 3 2 x2  3x  1  3 2 x2  x  4
Giải:
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng: 2 x2  3x 1  2 x2  x  4  4 x  5  x 

5
4

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S    .

Bài 1.15. Giải phƣơng trình:

 3x

2

 7 x  2

2

 x  3  11x  22

5
4


25

Nhận xét:
Phƣơng trình đã cho có dạng:

f ( x)  g ( x)

Do đó, giải phƣơng trình đã cho bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng.
Giải:

11x  22  0




Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng: 

2

 3x  7 x  2   x  3  11.( x  2) 
2

2

x2

11x  22  0




2
2
2
2
2  
x  2   3x  1 ( x  3)  121  0




 x  2  .  3x  1 .  x  3  121 x  2 



x2

x2

 x2

x  2


2

 
  x  2  
x2

 x  2  0
x  4
 9 x3  33x 2  19 x  124  0
 x  4

2



3
x


1
x

3

121

0









Vậy tập nghiệm phƣơng trình là S  2; 4 .
1.4.3.2. Sử dụng phƣơng pháp nâng lũy thừa đƣa về phƣơng trình hệ quả
Bài 1.16. Giải phƣơng trình: 3 3x  2  3 3  x  1
Giải:
Lập phƣơng 2 vế phƣơng trình đã cho, ta đƣợc:
4 x  1  3. 3  3x  2  .  3  x .



3



3x  2  3 3  x  1

 4 x  3. 3  3x  2  .  3  x   2 (vì

3

3x  2  3 3  x  1 )

 4 x  2  3. 3  3x  2  .  3  x 

Tiếp tục lập phƣơng 2 vế phƣơng trình trên, ta đƣợc: