Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến volterra fredholm loại hai (LV02295)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
--------------------

NGUYỄN THỊ TUYẾT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
VOLTERRA - FREDHOLM LOẠI HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
-----------------------

NGUYỄN THỊ TUYẾT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
VOLTERRA - FREDHOLM LOẠI HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2017


1

Lời cảm ơn
Bản luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
2, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Nhân dịp này tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã dành nhiều công sức
và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc tìm hiểu các
kiến thức chuyên ngành và hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Phòng Sau Đại học và đến các
thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 về các kiến
thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại
trường.
Xin cám ơn Lãnh đạo và các thầy cô trường THPT Vĩnh Yên về những
điều kiện thuận lợi đã dành cho tác giả để tác giả có thể hoàn thành
khoá học và bản luận văn này.
Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân, chỗ dựa về
tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Tuyết


2

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm
ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Tuyết


3

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mục lục

4

Mở đầu

5

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian C[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một số kiến thức về Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất . . . . . .
1.2.3 Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Định nghĩa phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm
loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Hàm trừu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Toán tử Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại
hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
7
8
9
10
10
11
12
12

.
.
.
.

13
13
13
13

. 14

2 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi
tuyến Volterra - Fredholm loại hai
2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dựa trên điều kiện Lipschitz . . . .
2.1.1 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15
15
18
22


4

2.3

2.2.1 Phương pháp chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phương pháp phân tích Adomian . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp hội tụ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Các định lý về bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . .
2.3.2 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm .
2.3.3 Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra
- Fredholm loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

22
24
27
27
39

. 43

3 Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân
phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai
54
3.1 Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Áp dụng công thức hình thang vào giải xấp xỉ phương trình tích
phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai . . . . . . . . . . . . . 55
Kết Luận

60

Tài liệu tham khảo

61


5

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Phương trình tích phân là công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên
được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn
tại nghiệm, sự xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh . . .
Trong các phương trình tích phân ta không thể không nhắc tới phương
trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai, một phương trình
xuất hiện trong nhiều ứng dụng khoa học.

Trong các ứng dụng thực tế việc tìm ra nghiệm của phương trình tích
phân đôi lúc gặp phải nhiều khó khăn, lúc này người ta quan tâm đến
các phương pháp giải xấp xỉ. Để giải xấp xỉ phương trình tích phân phi
tuyến Volterra – Fredholm loại hai người ta sử dụng nhiều phương pháp
như xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, phương pháp số. . . .
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về phương pháp giải
phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai, dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “ Một số
phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra –
Fredholm loại hai” để thực hiện luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình


6

tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân
phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân phi tuyến Volterra –
Fredholm loại hai.
- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình,
một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải xấp
xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai cụ thể.
5. Phương pháp nghiên cứu:

- Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
- Vận dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Lí
thuyết phương trình tích phân và lập trình máy tính.
- Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương
trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài

- Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu.
- Áp dụng giải xấp xỉ một số phương trình tích phân phi tuyến Volterra
– Fredholm loại hai cụ thể.


7

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
(Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [4]
và [5])
1.1
1.1.1

Các không gian hàm
Không gian Metric

Định nghĩa 1.1.1. Không gian Metric là một tập (X, d), trong đó
X là một tập hợp, d là một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các điều
kiện sau:
1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X.
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X.

Sự hội tụ trong không gian Metric
Định nghĩa 1.1.2. Dãy {xn } ⊂ (X, d) được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X
nếu d(xn , yn ) → 0 khi đó ta viết lim xn = x.
Tính chất 1: Mọi dãy có không quá một giới hạn. Nói cách khác, dãy hội


8

tụ chỉ có một giới hạn duy nhất.
Tính chất 2: d(x, y) là hàm liên tục theo hai biến, tức là
nếu lim xn = a, lim yn = b thì lim d(xn , yn ) = d(a, b).
Tính chất 3: Nếu xn → x thì mọi dãy con xnk cũng hội tụ đến x.
Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.1.3. Ánh xạ f từ (X, dX ) vào (Y, dY ) được gọi là liên tục
tại điểm xo ∈ X nếu ∀ε > 0 ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X nếu dX (x, x0 ) <
δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Tính chất 1: Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x ∈ X ⇔ ∀ dãy
xn ∈ X, xn → x thì lim f (xn ) = f (x0 ).
Tính chất 2: Nếu f : X → Y và g : Y → Z là những ánh xạ liên tục
thì g ◦ f : X → Z cũng liên tục.
Nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ A : X → X được gọi là ánh xạ co nếu
∃α : 0 < α < 1 để ∀x, y ∈ X ta có: d(Ax, Ay) ≤ αd(x, y).
Định nghĩa 1.1.5. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ
A nếu x = Ax.
1.1.2

Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P.
Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiệu . trong X là một ánh xạ từ X
vào P thỏa mãn các điều kiện
(i) x ≥ 0 ∀x ∈ X.
(ii) x = 0 khi và chỉ khi x = θ.


9

(iii) λx = λ

x , ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X.

(iv) x + y ≤ x + y .
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.7. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác
định trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc
phức, tùy theo P là thực hoặc phức).
Định lý 1.1. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với ∀x, y ∈ X,đặt
d(x, y) = x − y
Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.8. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim xn − x0 = 0 . Khi đó ta kí hiệu
lim xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.9. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi
là một dãy cơ bản nếu
lim xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
1.1.3

Không gian C[a,b]

Định nghĩa 1.1.11. C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác
định và liên tục trên [a, b], −∞ < a < b < +∞
Các tính chất
(i) Không gian C[a,b] là không gian Metric.
∀x, y ∈ C[a,b] , d(x, y) = max |x(t) − y(t)|
a≤t≤b

(ii) Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn


10

x = max |x(t)|
a≤t≤b

(iii) Không gian C[a,b] là không gian Banach.
(iv) Tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] nên
C[a,b] là không gian tách được.
n
Định nghĩa 1.1.12. Không gian C[a,b]
gồm tất cả các hàm x(t) xác định

trên đọan [a, b] và có đạo hàm liên tục đến cấp n, với chuẩn được xác
định bởi
x = max (|x(t)|, |x (t)|, ..., |xn (t)|)

a≤t≤b

1.2
1.2.1

Một số kiến thức về Giải tích
Chuỗi lũy thừa
+∞

Định nghĩa 1.2.1. Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng

an (x − x0 )n ,

n=0

trong đó x0 , a0 , a1 , . . . , a2 là những số thực.
Điểm x0 là tâm của chuỗi lũy thừa. Để ý rằng chuỗi lũy thừa luôn luôn
hội tụ tại điểm x = x0 .
+∞

Nếu đặt y = x − x0 thì ta có thể đưa chuỗi về dạng

an y n chuỗi có

n=0

tâm tại y = 0.
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
+∞

Định lý 1.2. Giả sử chuỗi lũy thừa

an xn có bán kính hội tụ R>0,

n=0

khi đó tổng S(x) của nó là hàm liên tục trong khoảng hội tụ (−R, R).
+∞

Định lý 1.3. Giả sử chuỗi lũy thừa

an xn có bán kính hội tụ R>0,

n=0

khi đó tổng S(x) của nó là hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] nằm trong
khoảng hội tụ (−R, R) và
b

+∞

S(x)dx =
a

b

an xn dx

n=0

a


11
x

Đặc biệt nếu x ∈ (−R, R) thì

S(t)dt =
0

1.2.2

+∞ a
n=0

n+1
nx

n+1

Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x ∈ [a, b]
và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho với mỗi y cố định
thuộc Y hàm f (x, y) khả tích trong đoạn [a, b].
b

Đặt I(y) =

f (x, y)dx
a

Khi đó hàm I(y) là một hàm số xác định trên tập Y và được gọi là tích
phân phụ thuộc tham số của hàm f (x, y) trong đoạn [a, b].
Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số
Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật
D = [a, b] × [c, d] = {(x, y), a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Định lý 1.4. Nếu mỗi hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ
nhật D thì tích phân phụ thuộc tham số I(y) =

b
a f (x, y)dx

là một hàm

liên tục trong đoạn [c, d].
Định lý 1.5. Giả sử hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ
nhật D, liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d]. Hơn
∂f
nữa f (x, y) có đạo hàm riêng
(x, y) liên tục trên D. Khi đó tích phân
∂y
phụ thuộc tham số
b

fy (x, y)dx, y ∈ [c, d]

I (y) =
a

Định lý 1.6. Nếu f (x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D =
[a, d] × [c, d] thì ta có công thức
d

d

b

I(y)dy =
c

b

d

f (x, y)dx dy =
c

a

f (x, y)dy dx
a

c


12

1.2.3

Công thức khai triển Taylor

Giả sử hàm số y = f (x) có tất cả các đạo hàm đến cập n + 1 (kể cả
đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a. Khi đó
công thức khai triển Taylor của hàm số f (x) tại điểm x = a là:
f (a)
f (a)
f (a)
f (x) = f (a) +
(x − a) +
(x − a)2 +
(x − a)3 + ...
1!
2!
3!
f (n+1) [a + θ(x − a)]
f (n) (a)
n
(x − a) +
(x − a)n+1 , (θ ∈ [0; 1])
+
n!
(n + 1)!
Trong công thức trên, nếu thay a = 0 ta có:
x
x2
x3
f (x) = f (0) + f (0) + f (0) + f (0) + ...+
1!

2!
3!
xn (n)
xn+1 (n+1)
f (0) +
f
(θx),
(θ ∈ [0; 1])
n!
(n + 1)!
1.3

Phương pháp cầu phương

Cho hàm f xác định và liên tục trên [a, b] do đó f khả tích trên [a, b].
Ta chia đoạn [a, b] thành n phần
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
Công thức sau gọi là công thức cầu phương.
b

n

ϕ(x)dx =
a

Ak ϕ(xk ) + Rn (ϕ)

(1.1)

k=0

Trong đó Ak , xk tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,
Rn (ϕ) là phần dư của công thức cầu phương.
Nếu như chọn công thức hình thang, chúng ta có:
h=

1
b−a
, A1 = An = h, Ak = h, k = 2, · · · , n − 1;
n
2
xk = a + (k − 1)h, k = 1, · · · , n

b

1
ϕ(x)dx = h(ϕ(x1 ) + ϕ(xn )) +
2
a

n−1

hϕ(xk ) + Rn (ϕ)
k=2


13

1.4

Định nghĩa phương trình tích phân phi tuyến Volterra Fredholm loại hai

1.4.1

Hàm trừu tượng

Giả sử X là một không gian Banach. Giả sử x(t) là hàm trừu tượng
xác định trên đoạn [0;T] và nhận giá trị trong X, nghĩa là với mỗi
t ∈ [0; T ], x(t) là một phần tử trong X.
Hàm trừu tượng x(t) được gọi là liên tục tại điểm t0 ∈ [0; T ] nếu:
lim x(t) − x(t0 ) = 0

t→t0

Kí hiệu XT là không gian các hàm trừu tượng liên tục trên đoạn [0; T ]
với chuẩn:
x

XT

= sup x(t)
0≤t≤T

1.4.2

Toán tử Fredholm

Định nghĩa 1.4.1. Toán tử F tuyến tính tác động từ không gian
XT vào không gian XT được gọi là toán tử kiểu Fredholm
Phương trình tích phân Fredholm là phương trình có dạng

T

(F x)(t) =

K(t, s)x(s)ds
0

trong đó K(t, s) là hạch của toán tử tích phân.
1.4.3

Toán tử Volterra

Định nghĩa 1.4.2. Toán tử V tuyến tính tác động từ không gian
Xt (0 ≤ t ≤ T ) vào không gian XT được gọi là toán tử kiểu Volterra


14

Phương trình tích phân Volterra là phương trình có dạng
t

(V x)(t) =

K(t, s)x(s)ds
0

trong đó K(t, s) là hạch của toán tử tích phân.
1.4.4

Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm

loại hai

Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai là
phương trình có dạng:
b

x

K1 (x, t)F1 (u(t))dt +

u(x) = f (x) +
a

K2 (x, t)F2 (u(t))dt
a

trong đó F1 (u(t)), F2 (u(t))(0 ≤ t ≤ T ) là họ những toán tử phi tuyến tác
x

động trong X, còn hàm trừu tượng f (t) ∈ XT , V =

K1 (x, t)F1 (u(t))dt
a

b

là toán tử Volterra, F =

K2 (x, t)F2 (u(t))dt là toán tử Fredholm.
a

Từ nay về sau ta giả thiết X = C[a,b] .


15

Chương 2

Một số phương pháp giải xấp xỉ
phương trình tích phân phi tuyến
Volterra - Fredholm loại hai
(Kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [2], [6], [7], [8])
2.1
2.1.1

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dựa trên điều kiện Lipschitz
Định lý tồn tại nghiệm

Giả sử X là không gian Banach, M và N là hai toán tử tác động trong
X
Xét phương trình u = M (u) + N (u) + f

(2.1)

(f là phần tử bất kì cho trước thuộc X)

Định lý 2.1. Giả sử các toán tử M và N thỏa mãn các điều kiện sau
1.

M (u1 ) − M (u2 ) ≤ α u1 − u2

2.

N (u1 ) − N (u2 ) ≤ β u1 − u2

3.

0<α+β <1


16

Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u∗ , u∗ là giới hạn của dãy
un được xác định theo công thức:
un+1 = M un +N un +f,

n = 0, 1, 2, ...

Trong đó u0 tùy ý thuộc X và ta có công thức đánh giá sai số:
qn
un −u∗ ≤
u1 −u0 ,
q = α+β
1−q
Chứng minh

(2.2)

(2.3)

Đặt Au = f + M u + N u ta có
Au1 − Au2 = M u1 − M u2 + N u1 − N u2
⇒ Au1 − Au2 ≤ M u1 − M u2 + N u1 − N u2
≤ α u1 − u2 + β u1 − u2
= (α + β) u1 − u2
hay Au1 − Au2 ≤ q u1 − u2
Vì 0 < q < 1 nên A là ánh xạ co từ X vào X
Theo nguyên lý ánh xạ co, toán tử A có một điểm bất động u∗ thỏa mãn
Au∗ = u∗ hay f + M u∗ + N u∗ = u∗ .
Áp dụng định lý 2.1 vào giải phương trình Volterra - Fredholm.
Xét X = C[a;b] , M, N là hai toán tử tác động trong X. Xét phương trình
u = f + M (u) + N (u) = Au
x

trong đó M (u)(x) =

(2.4)
b

K1 (x, t)F1 (u(t))dt, N (u)(x) =
a

K2 (x, t)F2 (u(t))dt
a

M, N thỏa mãn điều kiện Lipschitz
M (u1 ) − M (u2 )| ≤ α u1 − u2
N (u1 ) − N (u2 )| ≤ β u1 − u2

17
x

x

ta có M (u1 )−M (u2 ) = max | K1 (x, t)F1 (u1 (t))dt− K1 (x, t)F1 (u2 (t))dt|
x∈[a;b] a

x

a

Ta có | K1 (x, t)(F1 (u1 (t)) − F1 (u2 (t)))dt| ≤
a
x

≤

|K1 (x, t)||F1 (u1 (t)) − F1 (u2 (t))|dt
a

Giả sử |K1 (x, t)| ≤ k1

∀(x, t) ∈ [0; T ]

|F1 (u1 (t)) − F1 (u2 (t))| ≤ k2 |u1 (t) − u2 (t)|
x

⇒

|K1 (x, t)||F1 (u1 (t)) − F1 (u2 (t))dt|
a

x

≤ k1 k2

x

|u1 (t) − u2 (t)|dt ≤ k1 k2
a

max |u1 (t) − u2 (t)|dt

a t∈[a;b]

≤ k1 k2 (x − a) max |u1 (t) − u2 (t)|
t∈[a,b]

≤ k1 k2 (b − a) u1 − u2
|M (u1 (t)) − M (u2 (t))| ≤ k1 k2 (b − a) u1 − u2
⇒ max |M (u1 (t)) − M (u2 (t))| ≤ k1 k2 (b − a) u1 − u2
t∈[a;b]

⇔ M (u1 ) − M (u2 ) ≤ α u1 − u2 , trong đó α = k1 k2 (b − a)
b

b

Xét N (u1 )−N (u2 ) = max | K2 (x, t)F2 (u1 (t))dt− K2 (x, t)F2 (u2 (t))dt

x∈[a;b] a

a

b

K2 (x, t)(F2 (u1 (t)) − F2 (u2 (t)))dt| ≤

Ta có |
a
b

≤

|K2 (x, t)||F2 (u1 (t)) − F2 (u2 (t))|dt
a

Giả sử |K2 (x, t)| ≤ k3

∀(x, t) ∈ [0; T ]

|F2 (u1 (t)) − F2 (u2 (t))| ≤ k4 |u1 (t) − u2 (t)|
b

⇒ | K2 (x, t)||F2 (u1 (t)) − F2 (u2 (t))dt|
a
b

≤ k3 k4

b

|u1 (t) − u2 (t)|dt ≤ k3 k4
a

max |u1 (t) − u2 (t)|dt

a t∈[a,b]

≤ k3 k4 (b − a) max |u1 (t) − u2 (t)|
t∈[a,b]

= k3 k4 (b − a) u1 − u2
|N (u1 (t)) − N (u2 (t))| ≤ k3 k4 (b − a) u1 − u2


18

⇒ max |N (u1 ) − N (u2 )| ≤ k3 k4 (b − a) u1 − u2
⇔ N (u1 − N (u2 ) ≤ β u1 − u2 , trong đó β = k3 k4 (b − a)

⇔ A(u1 ) − A(u2 ) ≤ (α + β) u1 − u2
Nếu 0 < α + β < 1 khi đó A là ánh xạ co. Do vậy phương rình có nghiệm
duy nhất u∗ thỏa mãn A(u∗ ) = M (u∗ ) + N (u∗ ) = u∗
với u∗ = lim un , un được xác định theo công thức lặp
n→+∞

un+1 = Aun

(n = 0, 1, 2, ...)

(2.5)

u0 tùy ý cho trước
x

un+1 (x) = f (x) +

b

K1 (x, t)F1 (un (t))dt +
a

2.1.2

K2 (x, t)F2 (un (t))dt.
a

Ví dụ

Ví dụ 2.1 Xét X = C[0;1] giải phương trình:
x

1

1 2
(t + x) sin(u(t))dt +
4

u(x) = x +

0

1
(t + x) cos(u(t))dt, x ∈ [0; 1]
5
0

x

1 2
(t + x) sin(u(t))dt,
0 4
1 1
N (u(x)) =
(t + x) cos(u(t))dt, f (x) = x
5
0
Au = f + M (u) + N (u).

Đặt M (u(x)) =

Khi đó phương trình có dạng u = Au.
Ta có sin(u(t)) là hàm khả vi liên tục trong [0; 1] nên theo định lý Lagrange, tồn tại một hằng số c1 ∈ [0; 1] để
| sin(u1 (t)) − sin(u2 (t))| = |(cos c1 )(u1 (t) − u2 (t))| ≤ |u1 (t) − u2 (t)|
Tương tự cos(u(t)) là hàm khả vi liên tục trong [0; 1] nên theo định lý
Largrange, tồn tại một hằng số c2 ∈ [0; 1] để


19

| cos(u1 (t)) − cos(u2 (t))| = |(cos c2 )(u1 (t) − u2 (t))| ≤ |u1 (t) − u2 (t)|
x 1
(t2 + x)(sin(u1 (t)) − sin(u2 (t)))dt|
|M (u1 ) − M (u2 )| = |
0 4
x
1
1
max |u1 (t) − u2 (t)|dt ≤ u1 − u2
≤
2 0 t∈[0;1]
2
1
⇒ max |M (u1 ) − M (u2 )| ≤ u1 − u2
2
1
1
⇔ M (u1 ) − M (u2 ) ≤ u1 − u2 , đặt α =
2
2
1 1
|N (u1 ) − N (u2 )| = |
(t + x)(cos(u1 (t)) − cos(u2 (t)))dt|
0 5
2
2 1
max |u1 (t) − u2 (t)|dt ≤ u1 − u2
≤
5 0 t∈[0;1]
5

2
⇒ max |N (u1 ) − N (u2 )| ≤ u1 − u2
5
2
2
⇔ N (u1 ) − N (u2 ) ≤ u1 − u2 , đặt β =
5
5
7
Khi đó q = α + β =
<1
10
Au1 − Au2 ≤ M u1 − M u2 + N u1 − N u2
≤ α u1 − u2 + β u1 − u2
= (α + β) u1 − u2
hay Au1 − Au2 ≤ q u1 − u2
Vì 0 < q < 1 nên A là ánh xạ co từ X vào X.
Theo nguyên lý ánh xạ co, toán tử A có một điểm bất động u∗ thỏa mãn
Au∗ = u∗ hay f + M u∗ + N u∗ = u∗
với u∗ = lim un , un được xác định theo công thức lặp
n→+∞

un+1 = Aun

(n = 0, 1, 2, ...)

x

1

1 2
(t + x) sin(un (t))dt +
4

⇔ un+1 (x) = x +
0

1
(t + x) cos(un (t))dt
5
0


20

Chọn u0 = 0
Khi đó
x

u1 (x) = x +
0

1 1
1 2
1 t2
(t + x) sin(0)dt +
(t + x) cos(0)dt = x + ( + xt)
4
5 2
0 5

1
0

1 1
= x + ( + x)
5 2
6
1
⇒ u1 (x) = +
5 10
x 1
1 1
6
1
6
1
u2 (x) = x +
(t2 + x) sin( t + )dt +
(t + x) cos( t + )dt
5
10
5
10
0 4
0 5
Theo khai triển Maclaurin ta có
sin y = y −

y3

+ o(y 5 )
3!

y2
cos y = 1 −
+ o(y 4 )
2
y3
y2
nên sin y ≈ y − , cos y ≈ 1 −
6
2
6
1
599
597
9 2
36 3
+
t−
t −
t
do đó sin( t + ) ≈
5
10
6000 500
125
125
6
1

199
3
18
cos( t + ) ≈
− t − t2
5
10
200 25
25
x 1
599
597
9 2
36 3
⇒ u2 (x) = x +
(t2 + x)(
+
t−
t −
t )dt
6000 500
125
125
0 4
1 1
199
3
18
(t + x)(
− t − t2 )dt

+
200 25
25
0 5
Dùng phần mềm Maple tính vế phải của phương trình trên ta nhận được
111 1139
599 2 2269 3 549 4
27 5
3 6
u2 (x) =
+
x+
x +
x +
x −
x −
x
2000 1000
24000
14400
8000
1250
250
Ta có bảng so sánh giữa u1 và u2 trong đoạn [0; 1]


21

i

xi

0 0

u1 (xi ) u2 (xi )

|u2 (xi ) − u1 (xi )|

0.1

0.9445

0.0555

1 0.2 0.34

0.2856010089 0.0543989911

2 0.4 0.58

0.5266642417 0.0533357583

3 0.6 0.82

0.7885743210 0.031425679

4 0.8 1.06

1.081234073

0.021234073

5 1

1.412052778

0.112052778

1.3

Vậy ta thấy u1 (x) ≈ u2 (x)
Giả sử các bước tiếp theo ta có
u3 (x), u4 (x), ..., un (x), un+1 (x), ..., un+p (x)
khi đó
un+1 − un ≤ q un − u1 ≤ q 2 un−1 − un−2 ≤ ... ≤ q n−1 u2 − u1
un+p − un ≤ un+p − un+p−1 + ... + un+1 − un
≤ q n+p−2 u2 − u1 + ... + q n−1 u2 − u1
= (q n+p−2 + ... + q n−1 ) u2 − u1
= q n−1 (q p−1 + ... + q + 1) u2 − u1
q n−1
u2 − u1
=
1−q
q n−1
∗
⇒ un − u ≤
u2 − u1
1−q
Xét với n = 2 ta có
q

7
u2 − u∗ ≤
u2 − u1 = u2 − u1 = ε
1−q
3
∗
⇒ max u2 − u ≤ ε ⇔ |u2 (x) − u∗ (x)| < ε
Do đó u2 (x) là nghiệm gần đúng của phương trình.


22

2.2

Phương pháp giải tích

Xét phương trình tích phân Volterra - Fredholm:
x

b

u(x) = f (x)+ K1 (x, t)F1 (u(t))dt+ K2 (x, t)F2 (u(t))dt
a

2.2.1

(2.6)

a

Phương pháp chuỗi

Hàm u(x) được gọi là giải tích nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm sao
cho dạng chung của chuỗi Taylor tại x = 0 được viết dưới dạng
+∞

u(x) =

an xn

(2.7)

n=0

Giả sử nghiệm của phương trình tích phân Volterra - Fredholm phi tuyến
loại hai là hàm giải tích.
Từ (2.6) và (2.7) ta có
x

+∞

an xn = T (f (x))+
n=0

b

K1 (x, t)F1 (u(t))dt+
a

K2 (x, t)F2 (u(t))dt (2.8)

a

Chúng ta có thể viết dưới dạng
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
x

K1 (x, t)F1 ((a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + · · · ))dt

= T (f (x)) +
a
b

+ K2 (x, t)F2 ((a0 +a1 t+a2 t2 +a3 t3 +· · · ))dt

(2.9)

a

Cân bằng hệ số hai vế của phương trình (2.9) ta tìm được các hệ số
a0 , a1 , a2 , · · ·
N

Tổng riêng u(x) =

an xn cho ta nghiệm xấp xỉ của phương trình nên

n=0
N

u(x) ≈

an xn .

n=0

(Nguồn từ tài liệu [6] trang 393, 394)


23

Ví dụ 2.2. Giải phương trình Volterra - Fredholm bằng phương pháp
chuỗi
x

58
2
4
u(x) = 1 − x − x2 − x3 +
27
3
27

1

u2 (t)dt +
0

+∞

Giả sử u(x) =

(x)u2 (t)dt
0

an xn thay vào phương trình ta có:

n=0

a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · = 1 −

x
2
4
58
x − x2 − x3 + (a0 + a1 t + a2 t2 + · · · )2 dt
27
3
27
0

1

+ (x)(a0 + a1 t + a2 t2 + · · · )2 dt
0

⇔ a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·
1
58
1
2

1
= 1 + ( a22 + a1 a2 + a0 a2 + a21 + a0 a1 + 2a20 − )x
5
2
3
3
27
1 2 2
4 3
2 2
+(a0 a1 − )x + ( a1 + a0 a2 − )x + · · ·
3
3
3
27
Cân bằng hệ số hai vế của phương trình ta thu được
2
a0 = 1, a1 = , a2 = 0, a3 = a4 = .... = 0
3
2
Vậy phương trình có nghiệm u(x) = 1 + x.
3
Ví dụ 2.3. Giải phương trình Volterra - Fredholm sau bằng phương
pháp chuỗi:
x
1
1
2 1 3
2
u(x) = −1+ x+x − x + u (t)dt+ xu(t)dt

2
3
0
0
Thế hàm chưa biết u(x) bởi chuỗi:
∞

u(x) =

an xn

(2.10)

(2.11)

n=0

vào hai vế của phương trình (2.10) ta được:
∞
1
1 3 x
n
2
an x = −1 + x + x − x + (a0 + a1 t + a2 t2 + · · · )2 dt+
2
3
n=0
0
1

+ x(a0 + a1 t + a2 t2 + · · · )dt

(2.12)

0

Tích phân hai vế của (2.12) và nhóm các hệ số theo lũy thừa của x ta
được: