Thế nhiệt động của q phonon

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM BÍCH PHƯỢNG

THẾ NHIỆT ĐỘNG CỦA q - PHONON

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày luận văn này, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và
sâu sắc nhất tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan - người đã định hướng đề
tài, luôn tận tình hướng dẫn, truyền đạt cho tôi những kiến thức mang tính
khoa học để giúp tôi hoàn thành luận văn này. Cô là tấm gương sáng để thế hệ
trẻ chúng tôi noi theo về tinh thần say mê nghiên cứu khoa học, sự cẩn thận,
nghiêm túc trong công việc.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy, Cô khoa Vật Lý, phòng Sau
Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội II đã tạo điều kiện thuận lợi nhất
cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa học này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Tác giả

Phạm Bích Phượng


LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu,
nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận. Tôi xin cam đoan luận văn này
được hoàn thành từ nỗ lực bản thân dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và hiệu quả
của PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan. Đây là đề tài không trùng với các đề tài
khác và các số liệu, kết quả nghiên cứu trong đó là trung thực và không trùng
lặp với các kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Tác giả

Phạm Bích Phượng


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 2
5. Những đóng góp mới của đề tài ............................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 2
CHƯƠNG 1. THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN
NGUYÊN....................................................................................................... 3
1.1. Thống kê của các hạt có spin nguyên.................................................... 3
1.1.1. Dao động tử Boson:........................................................................ 3
1.1.2. Thống kê của các hạt có spin nguyên.............................................. 6
1.2. Thống kê biến dạng – q của các hạt có spin nguyên.............................. 8
1.2.1. Dao động tử biến dạng –q của các hạt có spin nguyên ................... 8
1.2.2. Thống kê biến dạng –q của các hạt có spin nguyên ...................... 14
Kết Luận chương 1 .................................................................................... 15

CHƯƠNG 2. THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN
BÁN NGUYÊN ........................................................................................... 16
2.1. Thống kê của các hạt có spin bán nguyên ........................................... 16
2.2. Thống kê biến dạng q của các hạt có spin bán nguyên ........................ 18
Kết Luận chương 2 .................................................................................... 20
CHƯƠNG 3. XÁC ĐỊNH THẾ NHIỆT ĐỘNG CỦA q-PHONON ............. 21
3.1. Thế nhiệt động của phonon................................................................. 21
3.1.1. Phonon ......................................................................................... 21
3.1.2. Thế nhiệt động .............................................................................. 29


3.1.3 Thế nhiệt động của phonon............................................................ 30
3.2. Thế nhiệt động của q – phonon ........................................................... 32
3.2.1. q- phonon ..................................................................................... 32
3.2.2. Thế nhiệt động của q – phonon ..................................................... 34
Kết Luận chương 3 .................................................................................... 36
KẾT LUẬN.................................................................................................. 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 38


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vật lý hiện đại nghiên cứu cấu trúc vi mô của vật chất. Vật chất là một hệ
nhiều hạt đối với hệ nhiều hạt thì nó tuân theo quy luật của thống kê . Cho nên
có thể nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê, để xác định các đại
lượng vật lý của nhiều hạt bằng quy luật thống kê cần phải tìm hàm phân bố
thống kê. Khi một tập hợp hạt được xem như một tập hợp các dao động điều

hòa thì phân bố thống kê của hệ đã được xác định. Các đại lượng vật lý mô tả
hệ hoàn toàn có thể tính được khi biết hàm phân bố thống kê của hệ.
Vài chục năm gần đây, có nhiều nhà vật lý trong nước và trên thế giới
nghiên cứu và đưa ra khái niệmvề nhóm lượng tử, đại số biến dạng và dao
động biến dạng bởi vì chúng có nhiều ứng dụng trong các mô hình vật lý như
: chúng liên quan đến những vấn đề tán xạ ngược lượng tử ,mẫu hòa tan chính
xác trong cơ học thống kê, nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter
lượng tử, và đặc biệt chúng tỏ ra rất hữu ích trong việc nghiên cứu các môi
trường đậm đặc, trong nghiên cứu quang lượng tử,…
Theo quan niệm của dao động biến dạng thì một hệ hạt được xem như là
một hệ dao động biến dạng và nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng hình thức luận
dao động biến dạng thì thống kê của các hạt được gọi là biến dạng q. Các nhà
vật lý học đã và đang nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng hình thức luận dao động
biến dạng với một hi vọng rằng tính được hàm phân bố thống kê biến dạng để
tìm các đại lượng vật lý mô tả trạng thái của hệ nhiều hạt sẽ cho các kết quả
gần với thực nghiệm hơn tính bằng hàm phân bố thống kê của trường hợp
chưa biến dạng.
Ở luận văn này chúng tôi áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để
tính các thế nhiệt động của hệ q – phonon.


2

2. Mục đích nghiên cứu
- Áp dụng phương pháp thống kê của dao động biến dạng để xác định
các thế nhiệt động của hệ q – phonon.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu dao động biến dạng và phân bố thống kê của dao động
biến dạng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu và áp dụng thống kê biến dạng xác định các thế nhiệt động
của hệ q – phonon.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Bằng phương pháp thống kê biến dạng xác định thế nhiệt động của hệ q
– phonon.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp của vật lý thống kê.
- Phương pháp của đại số lượng tử (đại số biến dạng).


3

CHƯƠNG 1
THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN NGUYÊN
1.1. Thống kê của các hạt có spin nguyên
1.1.1. Dao động tử Boson:
Dao động tử Boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:
 
a, a   1.



(1.1)

Toán tử số dao động tử N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động
tử a và toán tử sinh dao động tử a+ như sau:
N  a a,

Và thỏa mãn hệ thức giao hoán:
N , a   a






N , a   a ,



Không gian Fock là không gian mà các véctơ cơ sở của nó là những
trạng thái với số hạt xác định. Trong không gian Fock trạng thái chân không
|0> được định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0, thỏa mãn điều kiện:
a 0  0.
n : Trạng thái n hạt (số hạt n hay trạng thái n dao động tử)

Đại số (1) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các véc tơ
riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:
| n 

Ta có:

n

 
n!

1

a

0 . n = 0,1,2........

(1.2)


4

1

N n  a a



1
n!
1

n!

(a  )n 0

a a(a  )n 0


n
a  a, a   0
n!


n


1
1 

a n a
0
n!
n
n

a 0
n!

 
 
 
a  0
 n.




(1.3)

n

n!
n n .

Ta có hệ thức sau:


a, a 



n

 

n 1

 

  n. a 



.

Chứng minh
Ta chứng minh (1.4) bằng phương pháp quy nạp như sau:
a, a    1,





Với n=1:

Với n=2:


2
a, a    a  a, a    a, a   a   2a ,



 




 

Nhận thấy (1.4) đúng với n=1, 2.
Ta giả sử biểu thức (1.4) đúng với n=k, tức là:

(1.4)


5


a, a 



k

 

k 1

 

  k a



.

Ta phải chứng minh biểu thức trên đúng với n=k+1
Ta có:

a, a 



k 1 

 


  a  a, a 





k

 

k

 

  a, a   a 

 



k 1

k

   
 k  1a  .
 a .k a 



 a

k

(đpcm)
Dễ dàng thử lại được:  m | n  mn .

m,n = 1, 2......

(1.5)

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ x và xung
lượng p được định nghĩa:
1

  2 
 a a
x  
 2m 



1
 m  2






(1.6)



 a a ,
p  i
 2 

(1.7)

Chúng thỏa mãn hệ thức giáo hoán:
 p, x   i.
 

(1.8)

Thật vậy
1



 p, x   i  m   2  a   a a   a  a   a a   a 
 
 2 2m   








i
2a a  2aa 
2





 






6

 i a, a  


 i.

Toán tử Hamiltion mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các
toán tử sinh, hủy dao động a+,a như sau:
p2
1
 m  2x 2
2m 2

H 

2
 
 
a a 
a a

4
4
 

a a  aa 
2




2a a  a, a  


2


1
  N  .

2 















2





1.1.2. Thống kê của các hạt có spin nguyên
Bây giờ chúng ta đi tính phân bố thống kê của nó nhưng trước hết ta tìm
hiểu về phân bố thống kê của toán tử F:
 được định
Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử F

nghiã qua công thức:



1
 F  Tr eH F
z


1
Z

  n |eH F | n 

n

Z : hàm phân bố





Z  Tr eH



 n e | n


7





 en

n 0



1
1  e

.

Hàm phân bố Z xác định tính chất nhiệt động của hệ thống kê  

1
,
KT

Và H là Hamiltionian mà thông thường nó có dạng H  N , với  là
năng lượng dao động của một hạt.
Áp dụng ta tính thống kê cho dao động tử điều hòa Boson như sau:



1
Tr eH a a
Z

a a  









1
Z

 n | eN a a | n 

1
Z

 n | eN  N | n 

1
Z

 en

1
Z

 enn

1
Z

n

n

n n

n

n

e 
2

1  e 


Mà ta có:



Z  Tr eN 



.


8

  n | e N  | n 
n

  en 
n



1

1  e 

(1.9)

.

Từ đây suy ra
a a  

1
e



1

.

(1.10)

1.2. Thống kê biến dạng – q của các hạt có spin nguyên
1.2.1. Dao động tử biến dạng –q của các hạt có spin nguyên
Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử
hủy và toán tử sinh dao động tử aˆ và aˆ tuân theo các hệ thức giao hoán sau:
ˆˆ  qaˆaˆ  q N ,
aa

Trong đó :

(1.11)

q là thông số biến dạng

N là toán tử số dao động tử biến dạng thỏa mãn phương trình hàm riêng,
trị riêng:
N | n q  n | n q ,

(1.12)

Và thỏa mãn hệ thức giao hoán:
Nˆ, aˆ  aˆ


 ˆ ˆ  ˆ
N , a   a ,



(1.13)

Nếu q  1 thì (1.11) lại trở về hệ thức của dao động tử điều hòa Boson:
ˆˆ  aˆaˆ  1.
aa

Chúng ta đưa vào không gian Fock có các véctơ cơ sở là các véctơ riêng
của toán tử số dao động tử N:


9

| n q 

n

 
aˆ

n  !
 q

| 0,

(1.14)

Ở đây | 0 là trạng thái nền và dùng kí hiệu:
n
n
n   q  q
 q
q  q 1
n  !  n  n  1 n  2 ........... 1 ,
q
 q
 q 
q 
 q

(1.15)

ˆˆ lên trạng thái riêng | nq ta được :

Tác dụng aˆaˆ, aa

aˆaˆ | n q  n  | n q
q


ˆˆ | n q  n  1 | n q .
aa



(1.16)

q

Chứng minh
aˆaˆ | n q  n  | n q .
q

(1.16.1)

Ta chứng minh (1.16.1) bằng phương pháp quy nạp như sau :
Với n=0
aˆaˆ | 0q   0 | 0q ,
q

Với n=1
aˆaˆ | 1q  aˆaˆ

aˆ | 0

1
 
q





aˆ qaˆaˆ  q N
 0

1
| 0

 aˆ q
 1 | 1,
q

Với n=2

0


10

aˆaˆ | 2q  aˆaˆ

2

 

aˆ

| 0

2 !
  q





1
aˆ qaˆaˆ  q N aˆ | 0
2 !
  q
1
ˆˆ | 0  aˆq N | 1
qaˆaˆaa
2 !
  q

1   2

N
 1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
q a

qa a  q
| 0  a q | 1
2 ! 

  q









 





1   2 0

q aˆ q | 0  q 1 aˆ

2 ! 
  q
2
1
1



q q
aˆ
| 0
 2 !
  q
 q  q 1 | 2q  2 | 2q .
q

 





2

 


| 0


 



Nhận thấy (1.16.1) đúng với n=0, 1, 2.
Giả sử (1.16.1) đúng với n=k tức là : aˆaˆ | k q  k  | k q , bây giờ ta
q

hãy chứng minh nó đúng với n=k+1 :
aˆaˆ | k  1q  aˆaˆ

1

k 1

aˆ


k  1

q 

| 0


11

1

ˆˆ
 aˆaa










| k q

k  1

q

1
k  1

q

1
k  1
q

1

ˆˆ | k q
aˆaa



qaˆ



k  1


q



aˆ qaˆaˆ  q N | k q

k  | k   aˆq k | k 
q
q
 k



 k

k
 q  q
k  
 q aˆ | k q
q
k  1  q  q 1

q

 k 1
k 1 
q
1
q

 

aˆ | k q

1
k  1  q  q


q 
1

k  1 aˆ | k 
q
q


k  1

 q
k 1

 

k  1 aˆ

q

k  1

q

 k  1
q


| 0

k  !
 q

1
k  1 !

q

k 1

 
aˆ

| 0

k  1 | k  1 .

q
q

 Điều phải chứng minh.

Áp dụng (1.16.1) ta đi chứng minh biểu thức thứ 2 của (1.16):

ˆˆ | n q  n  1 | n q .
aa

q

(1.16.2)


12





ˆˆ | n q  qaˆaˆ  q N | n q
aa

 q n  | n q  q n | n q
q

 n

n
 q  q
n 
 q
 q  | n q
 q  q 1



q n 1  q

n 1

q  q 1
 n  1 | n q .

| n q

q

Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ x và toán tử xung lượng p
có dạng:
pˆ2
1
Hˆ 
 m 2xˆ2,
2m 2

(1.17)

Toán tử tọa độ và toán tử xung lượng có thể biểu diễn qua các toán tử
sinh, hủy dao động a  , a như sau:







aˆ  aˆ
2m 
m 
pˆ  i
aˆ  aˆ ,
2

xˆ 



(1.18)



Hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ x và toán tử xung lượng p có dạng:





 p, x   i q N  q  1 N  .
 
 q

(1.19)

Chứng minh
 pˆ, xˆ  px
ˆˆ  xp

ˆˆ.
 

Nên ta được:





 





 p, x   i  aˆ  aˆ aˆ  aˆ  aˆ  aˆ aˆ  aˆ 
 
2 



13











ˆˆ  aˆaˆ  i N  1  N 
 i aa

q  q
 i N  1  q N   q N   N 
q
q
q
q
 i q N  q  1 N  .
q






 Điều phải chứng minh.

Khi q=1 thì (1.19) trở về biểu thức thông thường:
 p, x   i,
 

Từ hệ thức (1.17) và (1.18) ta có:
Toán tử Hamiltonian được biểu diễn như sau:

Hˆ 
2

N 



 N  1 ,
q

q

(1.20)

Phổ năng lượng của dao động điều hòa biến dạng q được xác định từ
phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử H:
Hˆ | n q  En | n q ,

(1.21)

Mà lại có :
Hˆ n

q

N 




2




2

n 



q

 N  1 | n q
q

q

 n  1

q

 | n

q

Vậy:
En 


2

n 

q



 n  1 .
q

(1.22)

Khi q=1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng trở về
phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều.

En 


2n  1.
2


14

1.2.2. Thống kê biến dạng –q của các hạt có spin nguyên
Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử Fˆ được định
nghĩa :
F  





1
Tr eN Fˆ ,
Z



Z  Tr eN 

(1.23)





 n |eN  | n 



n 0


 en

Z 

n 0



1
1 e



.

(1.24)

Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q là phân bố thống
kê của a a :
a a  

1
Tr
Z



N  

a a



1 
  n | eN a a | n 
Z n 0




1 
n | eN  N  | n 

q
Z n 0
1  N   
e
n q
Z n 0


15

1   N  q n  q n 
  e

Z n 0 
q  q 1 


1
1    n

q   eq 1
  e

1
Z q  q n 0

n 0
1
1 
1
1





Z q  q 1 1  qe 1  q 1e 









n 

 



q  q 1 e
1
1


.
Z q  q 1 q  q 1 e   e 2





a a  





e   1



e 2  q  q 1 e   1

.

(1.25)

Trong trường hợp giới hạn q=1 thì phân bố trở về phân bố Boson
Einstein thông thường như trong cơ học lượng tử mà ta đã biết.
a a  

1
e   1

.

(1.26)

Kết Luận chương 1
Ở chương 1, chúng tôi đã trình bày về dao động của các hạt có spin
nguyên và đồng thời tính thống kê của các dao động đó cho cả trường hợp
thông thường và trường hợp đã biến dạng.
Đối với trường hợp dao động biến dạng, khi thông số biến dạng tiến tới 1
thì các kết quả trùng với các kết quả tương ứng với các kết quả của dao động
chưa biến dạng.
Như vậy, dao động biến dạng là tổng quát và chứa dao động thông
thường như là một trường hợp riêng.


16

CHƯƠNG 2
THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN BÁN NGUYÊN

2.1. Thống kê của các hạt có spin bán nguyên
Dao động tử Fermion
Dao động tử Fermion đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:
bb   b b  1
2

b  0,

(2.1)

Toán tử số dao động tử N biểu diễn theo các toán tử sinh và hủy dao
động tử b+ , b như sau:
N  b b


1  N  bb ,

(2.2)

Và thỏa mãn hệ thức giao hoán:
N ,b   b


N ,b    b ,





(2.3)

Trạng thái chân không thỏa mãn :
b | 0  0,

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số dao động tử N:
1 1
b b   n | en  n | n ,
Z n 0


(2.4)

Trong đó: | n là trạng thái n hạt thỏa mãn điều kiện trực chuẩn:
m | n   mn
m, n  0,1.

Tác dụng của các toán tử b, b+ lên các véc tơ trạng thái | n như sau:


17

b | 0  0
b | 1 | 0
b  | 1 | 0
b  | 0 | 1,

Cũng tương tự với dao động tử Boson ta tính thống kê cho dao động tử
Fermion :



Z  Tr eN 




1

 n | eN  | n

n 0
1

 n | en | n

n 0
1

 en

n 0
n 

e

b b 





 1.

1
1  e 

.

1 1
n | e n  n | n 


Z n 0

1 1 n 
n
e
Z n 0
1
 e 
Z
1

1  e  .



18

2.2. Thống kê biến dạng q của các hạt có spin bán nguyên
Dao động Fermion biến dạng q
Các toán tử sinh và hủy bˆ,bˆ của dao động tử Fermion biến dạng q thỏa
mãn hệ thức giao hoán :
ˆˆ  qbˆbˆ  q N
bb
2

 

bˆ2  bˆ

Trong đó:

(2.5)

 0,

q: là thông số biến dạng
N: là toán tử số dao động tử thỏa mãn hệ thức giao hoán:
Nˆ, bˆ  bˆ


Nˆ, bˆ   bˆ,





(2.6)

Phương pháp hàm riêng và trị riêng của toán tử dao động N là:
N | n q  n | n q ,

(2.7)

Các trạng thái riêng đã chuẩn của toán tử N được định nghĩa như sau:

| n q 

n

 
bˆ

n  !

| 0,

(2.8)

q

Với:
n

n q 

q n  1 q n
q q

1

,

Khi q=1 thì

n q  n,
Trong không gian Fock với cơ sở là các véc tơ trạng thái | nq ta có:

(2.9)

19

bˆbˆ  N 

q

ˆˆ

bb

(2.10)

 N  1 .
q

Khi q=1 ta có dao động tử Fermion thông thường:
ˆˆ  bˆbˆ  1,
bb

Ở đây nguyên lí loại trừ Pauli là hệ quả trực tiếp từ điều kiện:
2

 

bˆ2  bˆ

 0,

Đối với hệ Fermion thỏa mãn hệ thức giao hoán (2.5) ta thu được phân

bố thống kê :
bb   

1 
n | e N bb  | n 

Z n 0




1 
n eN  N  n

q
Z n 0
1 
n en  n  n

q
Z n 0

1  n 
 e
n q
Z n 0


1   n  q n  (1)n q n 


  e

Z n o 

1
q q




n


1
1    1 n

q
  e q  
  e

1
Z q  q n 0

n 0

1
1 
1
1





Z q  q 1 1  eq 1 1  eq 









e   1



e 2  q  q 1 e   1.






20

ˆˆ  
 bb
e

2



e   1

 q q

1

e



1

.

Kết Luận chương 2
Ở chương 2, chúng tôi đã trình bày về dao động của các hạt có spin bán
nguyên và đồng thời tính thống kê của các dao động đó cho cả trường hợp
thông thường và trường hợp đã biến dạng.
Đối với trường hợp dao động biến dạng, khi thông số biến dạng tiến tới 1
thì các kết quả trùng với các kết quả tương ứng với các kết quả của dao động
chưa biến dạng.
Như vậy, dao động biến dạng là tổng quát và chứa dao động thông
thường như là một trường hợp riêng.