Những vấn đề cơ bản về HHKG

 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (Lớp11).
NGUYỄN ĐỨC BÁ-GV TIỂU LA THĂNG BÌNH -QN
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:
a//b a b⇔ ∩ = ∅ a cắt b a b M⇔ ∩ = a b a b a b≡ ⇔ ∩ = ∨ a và b chéo nhau
Định lý về giao tuyến của 3 mp:

( ),( ),( )ph©n biÖt a b c I
( ) ( ) c;( ) ( ) a;( ) ( ) b a//b//c
α β γ ∩ ∩ =
 
⇒


α ∩ β = α ∩ γ = γ ∩ β =
 

c
b
a
γ
α
β
I

c
b
a
γ
β
α

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
a //
aα ⇔ ∩α = ∅
(h.1)

 a cắt
a Aα ⇔ ∩α =
(h.2)


a a a⊂ α ⇔ ∩α =
(h.3)

//α β ⇔ α ∩β = ∅
(h.4)

α
cắt
dβ ⇔ α ∩β =
(h.5)

α ≡ β ⇔ α ∩β = α ∨ β

{
a ,b
a // b
a b
⊂ α ⊂ α
⇔

∩ = ∅

a cắt b
{
a ,b
a b c
⊂ α ⊂ α
⇔
∩ =

a b a b a b≡ ⇔ ∩ = ∨ a chéo b
{
a ,b B
a b
⊂ α ∩ α =
⇔
∩ = ∅

{
a ,b
a // b
a b
⊂ α ⊂ α
⇔
∩ = ∅
Cho A, b và
.
A b a A a//b∉ ⇒ ∋ ∧
∃
.

Cho
a ,B B a⊂ α ∈α ∧ ∉
.Dựng b qua B và b//a b⇒ ⊂ α . (h.6)

}
a // b
b
a
⇒ α ∩ ≠ ∅
α ∩ ≠ ∅
(h.7) (h.7)
1
a
α
(h. 1)
(h.2)
a
α
a
α
(h.3)
(h.4)
β
α
d
α
β
(h.5)
b
a

α
B
a
b
β
α

a b
a // c a // b
b // c
≠


⇒




}
d
a // b a ,b
α ∩β =
⇒
∧ ⊂ α ⊂ β
d cùng phương với a và b. (h.8)
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG:
 a // aα ⇔ ∩α = ∅
(h.9)

{

a
a //
a' :a//a'
⊄ α
α ⇔
∃ ⊂ α
(h.9) 
}
d //
m // d
d m
α
⇒
β ⊃ ∧β∩α =
(h.10) (h.10) 
}
//d
a
Dùng a quaM vµ a//d
α
⇒ ⊂ α
∈α
(h.11) (h.11)
m
d
β
α


}

m
m//d
// d //d
α ∩β =
⇒
α ∧β
(h.12) (h.12)
a chéo b
a // b ( (a,b'),b'// b)⇒ ∃α ⊃ ∧ α α =

a che
a // b
! Om
b // a
O O
o b
µ //avµ //b


α ⊃ ∧ α
⇒ ∃ γ ∋ γ γ

β ⊃ ∧β

∉α ∧ ∉β

HAI MẶTPHẲNG SONG SONG

//α β ⇔ α ∩β = ∅


a v
a b //
a // v
µ b
µ b//
⊂ α ⊂ α


∩ ≠ ∅ ⇒ α β

β β



O ! O vµ //∉α ⇒ ∃ β ∋ β α

O ,O d,d // ! d vµ //∉α ∈ α ⇒ ∃ β ⊃ β α

//
a a // b
b
α β


α ∩ γ = ⇒

β∩ γ =


(h.13)


//
// //
α γ


β γ ⇒ α β

α ≠ β



// ,a // b
a A,a A' AA' BB'
b B,b B'
α β


∩α = ∩β = ⇒ =

∩α = ∩β =


(h.14) (h.14)
 NguyÔn §øc B¸ - GV THPT TIỂU LA THĂNG BÌNH
2
a
b
d
α

β
a'
a
α
m
d
α
β
m
d
β
α
a
b
β
α
A
B
A' B'
a
b
γ
β
α

// //
a A,b D
a B,b E
a C,b F
AB DE

BC EF
α β γ


∩α = ∩α =
⇒ =

∩β = ∩β =

∩ γ = ∩ γ =

(h.15)
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

·
0
a b (a,b) 90⊥ ⇔ =
(h. 16)

}
a // c
c b
a b
⇒ ⊥
⊥
(h.16)

d d a, a⊥ α ⇒ ⊥ ∀ ⊂ α
(h.18)


d a,d b
a b d
a ,b
⊥ ⊥


∩ ≠ ∅ ⇒ ⊥ α

⊂ α ⊂ α


(h.18) 
}
a // b
b
a
⇒ ⊥ α
⊥ α
(h.19)


}
//
d
d
α β
⇒ ⊥ β
⊥ α
(h.20) 
}

//
d, d
α ≠ β
⇒ α β
α ⊥ β ⊥

}
c
c// d
d
⊥ α
⇒
⊥ α

a
a d a //
d
⊄ α


⊥ ⇒ α

α ⊥


(h.21)

ChoO,d ! Ovµ d⇒ ∃ α ∋ α ⊥

Cho O,d,a O vµ a d a , d vµ O∋ ⊥ ⇒ ⊂ α α ⊥ α ∋


Cho a,b chÐo nhau vµ a b ! a vµ b ⊥ ⇒ ∃ α ⊃ α ⊥
Cho
O, !d O vµ dα ⇒ ∃ ∋ ⊥ α
.

{
l
AB t¹i I
µ mÆt trung trùc cña ®o¹n AB
IA=IB
α ⊥
α ⇔
(h.22)

M MA MB∈α ⇒ =

·
0
(a,b) 90α ⊥ β ⇔ =


}
, d
a
a vµ a d
α ⊥ β α ∩β =
⇒ ⊥ β
⊂ α ⊥


a vµ aα ⊥ β ⇔ ∃ ⊂ α ⊥ α


,M v aµ M a,aα ⊥ β ∈α ∈ ⊥ β ⇒ ⊂ α


}
d
d
vµ
α ∩β =
⇒ ⊥ γ
α ⊥ γ β ⊥ γ
(h.23) (h.23)

Định lý 3 đường vuông góc :

OA lµ ®­ êng xiªn.
HA lµ h×nh chiªu cña OA xuèng .
d .


α

⊂ α


(h.24)
Ta có :

OA d HA d⊥ ⇔ ⊥
(h.2)

3
a
b
β
α
γ
A
D
B
E
C
F
a
c
b
a
d
b
α
a
b
α
d
β
α
a
d

α
d
γ
β
α
α
A
B
M
I
d
α
O
H
A

}
a //
b a
b
α
⇒ ⊥
⊥ α
(h.25)


A
a
a
A a

α ⊥ β


∈α
⇒ ⊂ α

⊥ β

∈

(h.26)

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

IJ d(a; ) d(b; ) d( ; )= β = α = α β
(h.27) (h.27)

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Quy tắc 3 điểm:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’:
AC' AB AD AA'= + +
uuuur uuur uuur uuuur
Ba véctơ
a,b,c®ång ph¼ng
r
r r
nếu 3 đường thẳng chứa chúng cùng song song với 1
mặt phẳng.

Cho 3 véctơ
a,b,c
r
r r
,trong đó
a,b
r
r
không cùng phương .

a,b,c®ång ph¼ng !m,n:c=ma+nb⇔ ∃
r r
r r r r
Điều kiện để 3 véctơ
a,b,c ®ång ph¼ng
r
r r
là có các số m,n,p không đồng thời bằng 0
sao cho
ma nb pc 0+ + =
r
r
r r
.
Nếu 3 véctơ
a,b,c kh«ng ®ång ph¼ng d=ma+nb+pc,ví i (m,n,p) duy nhÊt
⇒
r r r
r r r r
.

Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian :
0 0
1 2
( , ) 0 90
ϕ = ∆ ∆ ⇒ ≤ ϕ ≤

1 2
u ,u
r r
là 2 vtcp của
0
1 2 1 2 1 2
0 0
, neu 90
, vµ (u ,u ) ( , )
180 ,neu 90

α α ≤
∆ ∆ = α ⇒ ϕ = ∆ ∆ =

− α α >


r r
Góc giữa đ/ thẳng và mp trong không gian :
0 0
( , ) 0 90ϕ = ∆ α ⇒ ≤ ϕ ≤
, (
)∆ ⊥ α
 Nếu

0
( ) 90∆ ⊥ α ⇒ ϕ =

S' S.cos= ϕ
, với:
S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P)
S’là diện tích hình chiếu ( H’) của đa giác (H) trên mp(P’)

((P),(P'))ϕ =
Độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật :
2 2 2
d a b c= + +
.
 NguyÔn §øc B¸ - GV THPT TIỂU LA THĂNG BÌNH
4
a
b
(h.25)
α
a
(h.26)
β
α
A
a
b
β
α
I
J