Nghiên cứu một số bài toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến tt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN Ý

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN TOÁN BIÊN
CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI TUYẾN

Ngành:
Mã số chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH
62 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN MINH THUYẾT
Trường Đại học Kinh tế TP. HCM
TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG TP. HCM

Phản biện 1:

PGS. TS. Nguyễn Bích Huy

Phản biện 2:

PGS. TS. Nguyễn Hội Nghĩa

Phản biện 3:

TS. Đào Nguyên Anh

Phản biện độc lập 1:

PGS. TS. Nguyễn Hội Nghĩa

Phản biện độc lập 2:

TS. Nguyễn Thành Nhân

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
vào lúc 9 giờ ngày 16 tháng 12 năm 2017

Có thể tìm luận án trên tại các thư viện:
Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh
Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh


Mở đầu
Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực
quan trọng của toán học lý thuyết và áp dụng. Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong khoa
học kỹ thuật, vật lý, hóa học, sinh học,..., và đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều nhà toán

học. Quá trình tìm kiếm nghiệm cho các bài toán biên đã góp phần rất lớn vào sự phát triển
của giải tích hàm phi tuyến về mặt lý thuyết, chẳng hạn như lý thuyết không gian Sobolev,
lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, ..., cũng như về mặt phương pháp nghiên cứu
như phương pháp xấp xỉ, phương pháp nghiệm trên-nghiệm dưới, v.v.
Hiện nay, có rất nhiều phương pháp khác nhau để nghiên cứu các phương trình đạo hàm
riêng, đặc biệt là phương trình nhiệt phi tuyến với các điều kiện biên khác nhau như phương
pháp biến phân, phương pháp đơn điệu, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, .... Tuy
nhiên, nói chung, chúng ta không có một phương pháp tổng quát cho phép nghiên cứu các
khía cạnh khác nhau của các bài toán biên khác nhau vốn dĩ phong phú và đa dạng. Vì vậy
khi xét đến các bài toán cụ thể thì còn nhiều dạng bài toán vẫn là "bài toán mở" - cần tiếp
tục khảo sát. Bằng cách lựa chọn các công cụ toán học thích hợp và mang tính đặc thù, chúng
ta cố gắng tìm kiếm các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt. Thông thường ta xem xét
tính giải được của bài toán và các tính chất có thể có của nghiệm của bài toán như tính duy
nhất, tính trơn, tính ổn định, tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính bùng nổ, tính tắt dần, dáng
điệu tiệm cận của nghiệm, ...Chính vì thế, việc khảo sát các bài toán giá trị biên và ban đầu
cho phương trình nhiệt phi tuyến là cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn.
Luận án này trình bày những kết quả nghiên cứu cho ba bài toán biên cụ thể cho ba dạng
phương trình nhiệt phi tuyến một chiều có hoặc không có số hạng đàn hồi nhớt liên kết với
điều kiện biên Robin. Cấu trúc của luận án gồm phần giới thiệu, ba chương chính, kết luận,
phần phụ lục, danh mục các công trình của tác giả và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo.
Các nội dung chính của luận án có thể tóm tắt như sau:
Nội dung thứ nhất, được trình bày ở Chương 1, liên quan đến bài toán cho phương trình
nhiệt phi tuyến
∂
ut
(1)
[µ( x, t)u x ] + f (u) = f 1 ( x, t), ( x, t) 2 (0, 1) (0, T ),
∂x
liên kết với điều kiện biên Robin không thuần nhất
u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t),

(2)
và điều kiện đầu
u ( x, 0) = u0 ( x ) ,
(3)
h0 , h1 0 là các hằng số với h0 + h1 > 0 và u0 , µ, f , f 1 , g0 , g1 là các hàm số cho trước.
Bài toán thuộc dạng này có nhiều ý nghĩa trong vật lý, hóa học, sinh học, ...đã được đề
cập nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay và trong các
tài liệu tham khảo trong đó (xem Du [Siam J. Math. Anal. 31 (1) (1999)], Duzgun [J. Appl.
Anal. Comput. 4 (3) (2014)], Marras [Numer. Funct. Anal. Optim. 30 (1–2) (2009), Z. Angew.
Math. Phys. 59 (2008)], Ozturk [Nonlinear Anal. 108 (2014), Ukrainian Math. J. 68 (3) (2016)],
Levine [Arch. Ration. Mech. Anal. 51 (1973)], Zhang [Nonlinear Anal. 69 (2008)], Alexandre
[Nonlinear Anal. Appl. Vol. 1, 2 (2003) và Appl. Math. Comput. 199 (2008)], Long [J. Comput.
Appl. Math. 196 (2006)]).
Điều kiện (2) gọi là điều kiện Dirichlet-Robin (hay còn gọi là điều kiện Robin). Chúng kết
nối điều kiện Dirichlet và điều kiện Neumann. Các điều kiện này xuất hiện từ các hiệu ứng điện
giải của hệ điện hóa nhiễu (xem Choi [Nonlinear Anal. TMA. 18 (4) (1992) 317- 331], Bard
1


[Electrochemical Methods, Wiley, New York 1980], Newman [Ind. Engng. Chem. Fundam. 60
(4) (1968) 2–27]). Trong điện hóa, các phản ứng oxi-hóa khử sinh ra dòng điện được mô hình
bởi bài toán giá trị biên elliptic phi tuyến mà sự tuyến tính hóa của nó dẫn đến điều kiện
Dirichlet – Robin (xem Bhat [J. Compu. Math. 25 (6) (2007)]).
Phương trình (1) được viết lại dưới dạng
ut + Au = F ( x, t, u),
(4)
∂
trong đó Au = ∂x
[µ( x, t)u x ] , F ( x, t, u) = f (u) + f 1 ( x, t), liên kết với các điều kiện biên
khác với điều kiện biên Dirichlet mà theo sự hiểu biết của chúng tôi, thì bài toán tổng quát

(4), (2) – (3) cho đến nay cũng chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ. Các kết quả thu được
không nhiều và chỉ giải quyết được trên một số dạng cụ thể bài toán của bài toán này, chẳng
hạn như:
Trường hợp Au = ∆u, f (u) có dạng đa thức a juj p 2 u hoặc tổng quát ở một mức độ
nào đó, bài toán (4), (2) – (3) đã được đề cập trong các công trình của nhiều tác giả,
ví dụ như Du [Siam J. Math. Anal. 31 (1) (1999)], Duzgun [J. Appl. Anal. Comput. 4
(3) (2014)], Levine [Arch. Ration. Mech. Anal. 51 (1973)], Marras [Numer. Funct. Anal.
Optim. 30 (1–2) (2009), Z. Angew. Math. Phys. 59 (2008)], Ozturk [Nonlinear Anal.
108 (2014), Ukrainian Math. J. 68 (3) (2016)], Payne [Appl. Anal. 91 (12) (2012), Appl.
Anal. 87 (2008)], Sun [J. Differential Equations, 248 (2010)], Xie [Nonlinear Anal. 85
(2013)], v.v.
n
n
∂
Trường hợp Au = ∑i,j
=1 ∂x aij ( x )u xi ( x ) + ∑i =1 bi ( x )u xi ( x ) bài toán (4), (2) – (3) được
j

xét đến trong Levine [Math. Ann. 214 (1975)], Zhang [Nonlinear Anal. 69 (2008)].
a(t)

∂
γ
Trường hợp Au =
xb(t)u x bài toán trên được khảo sát bởi Alexandre
x γ ∂x ( x u x )
[Nonlinear Anal. Appl. Vol. 1, 2 (2003) và Appl. Math. Comput. 199 (2008)], Long [J.
Comput. Appl. Math. 196 (2006)].
Các tác giả nêu trên đã thu được các kết quả về sự tồn tại nghiệm cùng các vấn đề liên
quan như tính ổn định, tính bị chặn hoặc không bị chặn, dáng điệu tiệm cận của nghiệm

khi t ! +∞, ...

Ở đây chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và các tính chất của
nghiệm như tính bị chặn của nghiệm, dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t ! +∞ của bài
toán (1) – (3). Kết quả trên đây được công bố trong [Y1].

Nội dung thứ hai, được trình bày ở Chương 2, liên quan đến bài toán cho phương trình
nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng
ut

∂
∂x

[µ( x, t)u x ] +

Z t
0

g(t

∂
s) ∂x
[µ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f 1 ( x, t),

( x, t) 2 (0, 1)

(5)

(0, ∞),

liên kết với điều kiện biên Robin dạng phụ thuộc
µ(0, t)u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), µ(1, t)u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t),
(6)
và điều kiện đầu
u ( x, 0) = u0 ( x ) ,
(7)
trong đó h0 , h1 0 là các hằng số, u0 , µ, g, f , f 1 , g0 , g1 là các hàm số cho trước.
Trong điều kiện biên (6), do có sự xuất hiện các số hạng µ(0, t) và µ(1, t) của hàm µ xuất
hiện trong phương trình (5) nên chúng tôi gọi điều kiện này là điều kiện phụ thuộc với ý nghĩa
chỉ sự liên quan giữa điều kiện này với phương trình đang xét.
Phương trình (5) xuất hiện một cách tự nhiên từ nhiều mô hình toán học trong khoa học
kỹ thuật và vật lí. Chẳng hạn như trong nghiên cứu sự dẫn nhiệt trong vật liệu có độ đàn hồi,
từ phương trình cân bằng nhiệt, nhiệt độ u( x, t) sẽ thỏa phương trình (5).
2


Các bài toán liên quan đến phương trình (5) đã thu hút rất nhiều sự chú ý trong vài thập
kỷ qua (xem Messaoudi [Abstr. Appl. Anal. 2005 (2) (2005), Progr. Nonlinear Differential
Equations Appl. 64 (2005)], Messaoudi [Appl. Math. Lett. 25 (2012)], Liu [Math. Meth. Appl.
Sci. 37 (2014)]). Đã có nhiều kết quả về sự tồn tại, bùng nổ hoặc tắt dần của nghiệm. Ví
dụ như trong Messaoudi [Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 64 (2005)], tác giả đã
nghiên cứu phương trình
∆u +

ut

Z t
0

g(t

s)∆u( x, s)ds = juj p

2

(8)

u,

p 2

u, f 1 ( x, t) 0) liên kết với điều kiện biên Dirichlet,
(có dạng (5) với µ( x, t) 1, f (u) = juj
với giảZ thiết là hàm hồi phục g không âm, g0 (t) 0 và
∞
p 2
g(s)ds <
,
p
3/2
0
Messaoudi đã chứng minh sự bùng nổ của nghiệm yếu với năng lượng ban đầu âm bằng phương
pháp hàm lồi.
Trong Messaoudi [Abstr. Appl. Anal. 2005 (2) (2005)], tác giả xét bài toán giá trị biên ban
đầu cho phương trình
∆u +

ut

Z t

0

g(t

s)∆u( x, s)ds = juj p

2

(9)

u,

và chứng minh rằng với điều kiện thích hợp của g và p, nghiệm yếu bùng nổ nếu năng lượng
ban đầu dương.
Hệ phương trình nhiệt tựa tuyến tính dạng
A(t) jut jm

2

ut

∆u +

Z t
0

g(t

s)∆u( x, s)ds = a juj p

2

(10)

u,

với a 0, m 2, A(t) là ma trận bị chặn và xác định dương, hàm g khả vi liên tục và tắt dần
cũng được khảo sát trong Messaoudi [Appl. Math. Lett. 25 (2012)] và Liu [Math. Meth. Appl.
Sci. 37 (2014)]. Trong Messaoudi [Appl. Math. Lett. 25 (2012)], các tác giả đã xét hệ (10) với
a = 0 và thiết lập kết quả tổng quát về sự tắt dần của năng lượng của nghiệm trong đó chứa
các kết quả tắt dần mũ và đa thức như là các trường hợp riêng. Trong Liu [Math. Meth. Appl.
Sci. 37 (2014)], các tác giả đã xét hệ (10) với a = 1 và thu được kết quả tổng quát về sự tắt
dần của năng lượng của nghiệm toàn cục và tính bùng nổ của nghiệm cho cả hai trường hợp
năng lượng ban đầu âm và dương.
Mặt khác, phương trình (5) khi không có số hạng đàn hồi nhớt (tức g
0) có thể xem
là một trường hợp riêng của (1). Tuy nhiên, do nhưng tính chất đặc trưng của số hạng đàn
hồi nhớt

Z t
0

g(t

∂
s) ∂x
[µ( x, s)u x ( x, s)] ds nên nghiệm của phương trình (5) có những điểm khác

biệt so với (1), ta sẽ thấy điều này rõ hơn ở kết quả tồn tại cũng như tính chất của nghiệm
của hai bài toán được trình bày chi tiết ở chương 1 và chương 2 khi so sánh với nhau.

Tiếp nối các kết quả nêu trên, chúng tôi khảo sát bài toán (5)-(7). Mục đích của chúng tôi
là thiết lập sự tồn tại và duy nhất cũng như tính trơn của nghiệm. Tiếp theo, tính bùng nổ
của nghiệm cũng thu được nhờ các giả thiết về điều kiện đầu và số hạng phi tuyến phù hợp.
Cuối cùng, kết quả về sự tắt dần mũ của nghiệm cũng được thiết lập nhờ xây dựng phiếm
hàm Lyaponov phù hợp. Kết quả trên đây được công bố trong [Y2].
Nội dung cuối cùng, được trình bày ở Chương 3, chúng tôi xét một phương trình nhiệt phi
tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng
ut

∂
∂x

[µ1 ( x, t)u x ] +

Z t
0

g(t

∂
s) ∂x
[µ2 ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f 1 ( x, t),

( x, t) 2 (0, 1)
3

(0, ∞),

(11)

liên kết với điều kiện biên Robin dạng độc lập
u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t),
và điều kiện đầu
u ( x, 0) = u0 ( x ) ,
trong đó h0 , h1 0 là các hằng số, u0 , µ1 , µ2 , g, f , f 1 , g0 , g1 là các hàm số cho trước.

(12)
(13)

Cũng như đã trình bày ở phần nội dung thứ 2, điều kiện biên (12), so với điều kiện (6), ta
thấy không có sự xuất hiện của các số hạng µi (0, t), µi (1, t) (i = 1, 2) nên chúng tôi gọi điều
kiện này là điều kiện độc lập với ý nghĩa rằng điều kiện này độc lập với phương trình đang
xét.
Phương trình (11) với µ1 = µ2
µ và điều kiện biên dạng (6) cũng đã được xét trong
chương 2, và các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu, tính bùng nổ và tắt dần mũ của
nghiệm cũng được thiết lập.
Liên quan đến mô hình dạng này với số hạng nhớ xuất hiện trên biên cũng được khảo sát
bởi một số tác giả, chẳng hạn như Fang [Abstr. Appl. Anal. 2013 (2013), Bound. Value Probl.
2014 (197) 2014], Han [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 353 (2015)]. Trong Fang [Abstr. Appl.
Anal. 2013 (2013) và Bound. Value Probl. 2014 (197) 2014], với giả thiết rằng nhân g khả vi
và tắt dần mũ, bằng cách xây dựng một phiếm hàm Lyapunov phù hợp và sử dụng phương
pháp nhiễu năng lượng, các tác giả đã thu được kết quả về tính tắt dần mũ và đa thức của
nghiệm toàn cục cho phương trình
ut

∆u +

Z t

g(t

Z t

g(t

0

s) div[ a( x )ru( x, s)]ds = 0, x 2 Ω, t > 0.

(14)

Trong Han [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 353 (2015)], các tác giả đã xét phương trình
ut

∆u +

0

s)∆u( x, s)ds = 0,

(15)

và chứng minh rằng nghiệm yếu bùng nổ nếu năng lượng ban đầu âm nhờ phương pháp nhiễu
năng lượng và lý luận hàm lõm.
Như một sự mở rộng những kết quả nêu trên cũng như trong [Y2], chúng tôi khảo sát
bài toán (11)-(13). Chúng tôi tìm lại các kết quả cho bài toán (5)-(7) cũng đúng cho bài toán
(11)-(13) với các giả thiết và phương pháp thực hiện tinh tế hơn, đặc biệt ở các kết quả bùng
nổ và tắt dần mũ của nghiệm chúng tôi xét bài toán với µ1 là hàm của hai biến x, t còn µ2 là

hàm chỉ của biến x, trong khi ở chương 2 chúng tôi chỉ mới xét được với µ là hàm số của biến
x. Hơn nữa, ở kết quả tắt dần mũ của nghiệm chúng tôi xét bài toán với điều kiện của nguồn
phi tuyến f (u) dành cho một lớp hàm rộng hơn so với điều kiện của f (u) ở chương 2. Kết quả
trên đây được công bố trong [Y3].
Toàn bộ các kết quả trình bày trong luận án này đã được công bố trong [Y1, Y2, Y3]. Một
phần trong số các kết quả này đã được báo cáo tại "Hội nghị khoa học Miền Trung và Tây
Nguyên", Qui Nhơn 08/2015, Hội thảo khoa học "Toán học Giải tích và Ứng dụng", Đại học
Hồng Đức-Thanh Hóa 26-28/05/2016, "Hội nghị Khoa học Trường ĐHKHTN TP. HCM lần
thứ 10, 11/11/2016" và một số hội nghị khác.

Chương 1
Phương trình nhiệt phi tuyến không chứa số hạng đàn hồi nhớt
Nội dung chính của chương này là khảo sát bài toán Robin cho phương trình nhiệt phi

4


tuyến dạng
ut

∂
[µ( x, t)u x ] + f (u)
∂x
u x (0, t) h0 u(0, t)
u ( x, 0)

=

f 1 ( x, t), ( x, t) 2 (0, 1)

=
=

(0, T ),

g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) =

g1 ( t ) ,

(1.0.1)
(1.0.2)
(1.0.3)

u0 ( x ) ,

trong đó h0 , h1 0 là các hằng số và u0 , µ, f , f 1 , g0 , g1 là các hàm cho trước thỏa các điều
kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Các kết quả chính liên quan đến bài toán này được trình bày ở 3 mục, từ mục 1.1 đến
1.3. Trong mục 1.1, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán
(1.0.1)-(1.0.3). Mục 1.2 đề cập đến tính chất bị chặn của nghiệm yếu với giả thiết điều kiện
đầu bị chặn. Cuối cùng, trong mục 1.3, dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t ! +∞ với đánh
giá sai số tiệm cận là tắt dần mũ cũng được xét đến. Các kết quả của chương này được công
bố trong [Y1].
1.1

Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu
Ta thành lập các giả thiết sau:

( H1 ) h0 , h1
( H2 ) u0 2

0 sao cho h0 + h1 > 0,

L2 ,

( H3 ) g0 , g1 2 W 1,1 (0, T ),

( H4 ) µ 2 C1 ([0, 1]

[0, T ]), µ( x, t)

µ0 > 0, 8( x, t) 2 [0, 1]

[0, T ],

( H5 ) f 1 2 L2 ( Q T ),

( H6 ) f 2 C0 (R) sao cho tồn tại các hằng số dương C1 , C10 , C2 và p > 1 thỏa
(i ) u f ( u )
(ii ) j f (u)j

C1 juj p

C10 , với mọi u 2 R,

C2 (1 + juj p

1

), với mọi u 2 R.

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi một hàm u 2 L∞ (0, T; L2 ) \ L2 (0, T; H 1 ) thỏa điều kiện tu 2 L∞ (0, T; H 1 ),
tut 2 L2 (0, T; L2 ) là nghiệm yếu bài toán (1.0.1)-(1.0.3) nếu
u (0) = u0
và với mọi v 2 H 1 , ta có
d
hu(t), vi + a(t; u(t), v) + h f (u(t)), vi
dt

=

h f 1 ( t ), v i

µ(0, t) g0 (t)v(0)

µ(1, t) g1 (t)v(1)

(1.1.1)

a.e. t 2 (0, T ), trong đó
a(t; u, v) =

Z 1
0

µ( x, t)u x ( x )v x ( x )dx + h0 µ(0, t)u(0)v(0)

+ h1 µ(1, t)u(1)v(1), 8u, v 2 H 1 .

(1.1.2)

Định lý 1.1.2. Giả sử ( H1 ) ( H6 ) thỏa. Khi đó, với mỗi T > 0, bài toán (1.0.1)-(1.0.3) có một nghiệm
yếu u. Hơn nữa, nếu f thỏa thêm điều kiện
( H7 ) (y z)( f (y) f (z))
δ jy zj2 , với mọi y, z 2 R, với δ > 0,
5


thì nghiệm yếu trên là duy nhất.
Trong chứng minh Định lý 1.1.2, chúng tôi đã sử dụng các bổ đề sau.
∂a
Bổ đề 1.1.4. Ký hiệu
(t; u, v) là dạng song tuyến tính trên H 1 H 1 xác định bởi
∂t
∂a
(t; u, v) = µ0 ( , t)u x , v x + h0 µ0 (0, t)u(0)v(0) + h1 µ0 (1, t)u(1)v(1),
∂t
với mọi u, v 2 H 1 . Khi đó
∂a
e
(i )
(t; u, v)
a T kuk H 1 kvk H 1 , với mọi u, v 2 H 1 ,
∂t
d
∂a
(ii )
a(t; um (t), um (t)) = 2a(t; um (t), u0m (t)) + (t; um (t), um (t)),
dt
∂t

trong đó e
a T = (1 + 2h0 + 2h1 ) sup( x,t)2[0,1] [0,T ] jµ0 ( x, t)j .
Bổ đề 1.1.5. Đặt λ0 =
Khi đó, ta có

C10
C1

1/p

, m0 =

Z λ0

λ0

j f (y)j dy và f (z) =

1 p
j z j , 8 z 2 R.
p
Bổ đề 1.1.7. Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán
8
∂
ut ∂x
[µ( x, t)u x ] = fe( x, t), 0 < x < 1, 0 < t < T,
>
>
>
>

>
> u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0,
>
>
<
u( x, 0) = 0,
>
>
>
> u 2 L∞ (0, T; L2 ) \ L2 (0, T; H 1 ) \ L p ( Q ),
>
T
>
>
>
:
∞
1
2
tu 2 L (0, T; H ), tut 2 L ( Q T ).
Khi đó
Z t
Z tD
E
a(s; u(s), u(s))ds = 2
fe(s), u(s) ds.
ku(t)k2 + 2
m0

f (z)

C2 jzj +

0

Z z
0

f (y)dy, z 2 R.
(1.1.3)

(1.1.4)

0

1.2

Tính bị chặn của nghiệm
Trong mục này, chúng tôi xét tính bị chặn của nghiệm. Để phục vụ cho mục đích này ngoài
các giả thiết ( H3 ) ( H6 ) ở trên, ta còn cần thêm các giả thiết sau:

( H10 ) h0 > 0 và h1 > 0,
( H20 ) u0 2 L∞ ,

( H50 ) f 1 2 L2 ( Q T ), f 1 ( x, t)

0, a.e. ( x, t) 2 Q T ,

( H60 ) f 2 C0 (R) thỏa các điều kiện ( H6 ), ( H7 ) và
u f (u) 0, 8u 2 R, juj ku0 k L∞ .

Khi đó, ta có định lý sau
Định lý 1.2.1. Giả sử ( H10 ), ( H20 ), ( H3 ), ( H4 ), ( H50 ), ( H60 ) thỏa mãn. Khi đó nghiệm yếu duy nhất của
bài toán biên và ban đầu (1.0.1)-(1.0.3), như trong định lý 1.1.2, thuộc L∞ ( Q T ).
Hơn nữa, ta cũng có
1
1
.
(1.2.1)
k g0 k L∞ (0,T ) ,
kg k ∞
kuk L∞ (QT ) max ku0 k L∞ ,
h0
h1 1 L (0,T )

6


Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t ! +∞.
Trong mục này, giả sử T > 0, các giả thiết ( H1 ) ( H7 ) đúng. Khi đó, tồn tại duy nhất
một nghiệm yếu u của bài toán (1.0.1)-(1.0.3) sao cho
(
u 2 L∞ (0, T; L2 ) \ L2 (0, T; H 1 ) \ L p ( Q T ),
1.3

tu 2 L∞ (0, T; H 1 ), tut 2 L2 ( Q T ).

Để xét dáng điệu tiệm cận của nghiệm u(t) khi t ! +∞, ta cần bổ sung thêm các giả thiết
trên các hàm µ( x, t), f 1 ( x, t), g1 (t), g2 (t) như sau:

( H300 )

( H400 )
( H500 )
( H600 )

g0 , g1 2 W 1,1 (R+ ),
µ 2 C1 ([0, 1]

R+ ), µ( x, t)

µ0 > 0, 8( x, t) 2 [0, 1]

f 1 2 L∞ (0, ∞; L2 ),

R+ ,

Tồn tại các hằng số dương C1 , γ1 , g0∞ , g1∞ và các hàm
µ∞ 2 C1 ([0, 1]), f 1∞ 2 L2 , sao cho:

(i )
(ii )

j g0 ( t )

g0∞ j

C1 e

γ1 t ,

j g1 ( t )

g1∞ j

C1 e

γ1 t ,

(iii ) kµ(t)
(iv)

k f 1 (t)

C1 e

µ∞ k L∞
f 1∞ k

C1 e

8t

0,

8t

0,

γ1 t ,
γ1 t ,

8t
8t

0, µ∞ ( x )

µ0 > 0, 8 x 2 [0, 1],

0.

Trước hết, ta xét bài toán dừng sau
8
∂
<
[µ ( x )u x ] + f (u) = f 1∞ ( x ), 0 < x < 1,
∂x ∞
:
u x (0) = h0 u(0) + g0∞ ,
u x (1) = h1 u(1) + g1∞ .

(1.3.1)

Định nghĩa 1.3.1. Ta gọi một hàm u∞ 2 H 1 là nghiệm yếu bài toán (1.3.1) nếu

a∞ (u∞ , v) + h f (u∞ ), vi = h f 1∞ , vi
với mọi v 2 H 1 , trong đó
a∞ (u, v) =

Z 1
0

µ∞ (0) g0∞ v(0)

µ∞ (1) g1∞ v(1)

(1.3.2)

µ∞ ( x )u x ( x )v x ( x )dx + h0 µ∞ (0)u(0)v(0)

+h1 µ∞ (1)u(1)v(1), 8u, v 2 H 1 .

(1.3.3)

Định lý 1.3.2. Giả sử ( H6 ), ( H300 ) ( H600 ) thỏa mãn. Khi đó, bài toán (1.3.1) có nghiệm yếu u∞ . Hơn
nữa, nếu f thỏa thêm giả thiết
( H700 ) f (u) + δu là hàm không giảm theo biến u, với 0 < δ < a0 ,
thì nghiệm trên là duy nhất.
Liên quan đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm u(t) khi t ! +∞. Ta có định lý sau đây

Định lý 1.3.3. Dưới các giả thiết ( H1 ) , ( H2 ) , ( H6 ) , ( H300 ) ( H600 ) , ( H700 ) . Khi đó ta có
4C
e 2γt , 8t 0,
k u ( t ) u ∞ k2
k u0 u ∞ k2 +
ε ( γ1 γ )
trong đó
0 < γ < minfγ1 , a0 δ 4εg, 0 < 4ε < a0 δ.
7

(1.3.4)

Nhận xét chương 1.
Nhờ giả thiết ( H6 ) mà ta thu được bất đẳng thức tích phân (1.1.3), bất đẳng thức này
cũng được tìm thấy trong Long [J. Comput. Appl. Math. 196 (2006)]. Giả thiết ( H6 ) trên hàm
f (u) là đủ rộng để chứa một lớp hàm đủ lớn cho các bài toán biên phi tuyến, chẳng hạn như
k

hàm f (u) =

∑ a i j u j pi

2

u, pi > 1, ai > 0 (i = 1, 2, ..., k ) cũng thuộc lớp hàm này.

i =1

Chương 2
Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với
điều kiện biên Robin phụ thuộc
Trong chương này, chúng tôi khảo sát phương trình nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn
hồi nhớt
Z
ut

∂
∂x

t

[µ( x, t)u x ] +

0

g(t

∂
s) ∂x
[µ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f 1 ( x, t),

(2.0.1)

0 < x < 1, t > 0,

liên kết với điều kiện biên Robin dạng phụ thuộc
µ(0, t)u x (0, t) = h0 u(0, t) + g0 (t),
µ(1, t)u x (1, t) = h1 u(1, t) + g1 (t),
(2.0.2)
và điều kiện đầu
u( x, 0) = u0 ( x ),
(2.0.3)
trong đó h0 0, h1 0 là các hằng số thỏa h0 + h1 > 0, còn µ, g, f , f 1 , u0 , g0 , g1 là các hàm
cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Các kết quả chính liên quan đến bài toán này được trình bày trong ba mục, từ mục 2.1 đến
mục 2.3. Trong mục 2.1, bằng phương pháp xấp xỉ Feado-Galerkin và phương pháp compact,
chúng tôi thiết lập kết quả về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu với dữ kiện thỏa những
điều kiện "yếu" và "mạnh". Trong mục 2.2 và 2.3, chúng tôi xét bài toán với µ = µ( x ) độc
lập với t: Mục 2.2, chúng tôi thu được kết quả về sự bùng nổ của nghiệm ở thời gian hữu hạn.
Mục 2.3, bằng cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov phù hợp tính tắt dần mũ của nghiệm cũng
được thiết lập.

Một kết quả đặc sắc mà luận án thu được ở đây là trong phần tồn tại nghiệm yếu thì số
hạng phi tuyến f (u) cho bài toán chỉ cần giả thiết là f liên tục, bỏ qua điều kiện bị chặn bởi
một hàm lũy thừa dương của juj , mà điều kiện này cần phải có trong các bài toán trước đây.
Để làm được điều này, chúng tôi đã phát hiện ra một tính chất cổ điển là: Mọi hàm f liên tục
thì bị chặn bởi một hàm Φ dương, không giảm và liên tục [xem Bổ đề 2.1.2]. Theo hiểu biết
của chúng tôi, trước đây chúng tôi chỉ biết hàm này liên tục bên trái, nay chúng tôi đã kiểm
tra được nó liên tục và đã áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán như đã nói
ở trên. Các kết quả trong chương này được công bố trong [Y2].
2.1

Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu
Ta thành lập các giả thiết sau:

8


( H1 )

h0 , h1

( H2 )

g0 , g1 2 W 1,∞ (0, T );

( H3 )

µ 2 C1 ([0, 1]

( H4 )

0 sao cho h0 + h1 > 0;

[0, T ]), µ( x, t)

µ0 > 0, 8( x, t) 2 [0, 1]

[0, T ];

W 1,∞ (0, T );

g2

( H5 )

f 1 2 L2 ( Q T );

( H6 )

f 2 C (R; R).

Định nghĩa 2.1.1. Ta gọi một hàm u là nghiệm yếu bài toán (2.0.1)-(2.0.3) trên (0, T ) nếu
thỏa

u 2 L∞ (0, T; H 1 ), u0 2 L2 (0, T; L2 )
u (0) = u0

và với mọi v 2 H 1 , ta có

Z t

u0 (t), v + a(t; u(t), v)

0

g(t

= h f (u(t)), vi + h f 1 (t), vi

với a.e. t 2 (0, T ), trong đó
gei (t) = gi (t)

a(t; u, v) =

Z 1

0
H1 , 0

với mọi u, v 2

Z t
0

g(t

s) a(s; u(s), v)ds
ge0 (t)v(0)

ge1 (t)v(1),

s) gi (s)ds, i = 0, 1,

µ( x, t)u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0) + h1 u(1)v(1),
t

(2.1.1)

(2.1.2)

T.

Trước hết, để thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, ta cần hai bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.2. [Y2] Với f 2 C (R; R) nếu ta đặt
8
< sup j f (u)j , r > 0,
juj r
Φ (r ) =
: j f (0)j ,
r = 0,
thì Φ 2 C (R+ ; R+ ) là hàm số không giảm sao cho

(2.1.3)

Φ (juj) , 8u 2 R.

j f (u)j

(2.1.4)

Bổ đề 2.1.3. [Y2] Giả sử x : [0, T ] ! R+ là một hàm liên tục thỏa mãn bất đẳng thức

x (t)

M+

Đặt

Ψ(u) =

(i) Nếu
x (t)

0

k (s)ω ( x (s))ds, t 2 [0, T ],

0, k : [0, T ] ! R+ là hàm liên tục và ω : R+ ! (0, ∞) là hàm liên tục và không giảm.

trong đó M

Khi đó

Z t

Z u
0

dy
, u
ω (y)

Z +∞
dy
0

Ψ

ω (y)

1

0.

= +∞ thì ta có đánh giá

Ψ( M) +

Z t
0

k (s)ds , 8t 2 [0, T ];

9


(ii) Nếu

Z +∞
dy

ω (y)

0

Ψ

x (t)

1

< +∞ thì ta có đánh giá

Ψ( M) +

trong đó T được xác định
Z T
0

k (s)ds <

Z +∞
M

Z t
0

k (s)ds , 8t 2 [0, T ],

dy
.
ω (y)

Định lý 2.1.4. Giả sử ( H1 ) ( H6 ) thỏa mãn và dữ kiện đầu u0 2 H 1 . Khi đó,
Z +∞
dy
(i) Nếu
p = +∞ thì bài toán (2.0.1)-(2.0.3) có nghiệm yếu trên (0, T ).
1 + y + Φ2
y
0
(ii) Nếu

Z +∞
0

dy
p < +∞ thì bài toán (2.0.1)-(2.0.3) có nghiệm yếu trên (0, T ),
1 + y + Φ2
y

với một T đủ nhỏ.

Hơn nữa, nếu f thỏa thêm điều kiện
( H 6 ) 8 M > 0, 9CM > 0 : j f (u)
thì nghiệm là duy nhất.

f (v)j

CM ju

vj , 8u, v 2 [ M, M ]

Tiếp theo ta sẽ khảo sát tính trơn của nghiệm. Muốn vậy, ta cần thêm các giả thiết sau:

( H50 )
( H60 )

f 1 , f 10 2 L2 ( Q T );
f 2 C1 (R, R).

Ta có định lý sau
Định lý 2.1.6. Giả sử ( H1 )
tương thích sau

( H4 ), ( H50 ), ( H60 ) đúng và dữ kiện đầu u0 2 H 2 . Giả sử các điều kiện

µ(0, 0)u0x (0) = h0 u0 (0) + g0 (0),

(2.1.5)

µ(1, 0)u0x (1) = h0 u0 (1) + g1 (0)

được thỏa mãn.
Khi đó,
Z
(i) Nếu

+∞

0

dy
p = +∞ thì bài toán (2.0.1)-(2.0.3) có nghiệm yếu trên (0, T ) thỏa
1 + y + Φ2
y

u 2 L∞ (0, T; H 2 ), u0 2 L2 (0, T; H 1 ) \ L∞ (0, T; L2 ).
(2.1.6)
Z +∞
dy
(ii) Nếu
p < +∞ thì bài toán (2.0.1)-(2.0.3) có nghiệm yếu trên (0, T )
1 + y + Φ2
y
0
thỏa
u 2 L∞ (0, T ; H 2 ), u0 2 L2 (0, T ; H 1 ) \ L∞ (0, T ; L2 ),
(2.1.7)
với một T đủ nhỏ.
2.2

Tính bùng nổ của nghiệm
Trong mục này, ta xét bài toán (2.0.1) – (2.0.3) với g0 = g1 0, f 1
như sau
8
Z t
>
∂
∂
>
ut ∂x

[µ( x )u x ] + g(t s) ∂x
[µ( x )u x ( x, s)] ds = f (u),
>
>
>
0
>
>
<
0 < x < 1, t > 0,
>
>
> µ(0)u x (0, t) h0 u(0, t) = µ(1)u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0,
>
>
>
>
:
u( x, 0) = u0 ( x ).
10

0 và µ( x, t)

µ( x )

(2.2.1)


Trước hết, để thu được kết quả bùng nổ của nghiệm, ta thành lập các giả thiết sau:

( H3 )

µ 2 C1 ([0, 1]), µ( x )

( H6 )

f 2 C (R; R) sao cho tồn tại hai hằng số p > 2, γ > 0 thỏa

µ0 > 0, với mọi x 2 [0, 1];

(i) f (0) = 0,
γ j y j p , 8 y 2 R,

(ii) y f (y)
(iii) y f (y)

( H4 )

p

Z y
0

f (z)dz, 8y 2 R;

g 2 C1 (R+ ; R) thỏa các điều kiện
g(0), g(0) > 0, g0 (t)

(i) 0

g(t)

(ii) 0 <

Z +∞
0

p

g(s)ds <

p

2
2+

1
p

0, 1

Z +∞
0

g(s)ds = L > 0,

.

Chú thích 2.2.1. Một ví dụ của hàm f thỏa giả thiết ( H 6 ) như sau
f (y) = γ jyj p

2

N

y + ∑ βi j y j qi

2

y,

i =1

trong đó γ > 0, p > 2, βi

0, qi > 2 là các hằng số, với 2 < p

qi , i = 1, 2, ..., N.

Bây giờ, ta định nghĩa phiếm hàm năng lượng liên kết với bài toán (2.2.1) như sau
E(t) =

1
2

Z t

1

0

và đặt
H (t) =

E(t) =

1
g(s)ds ku(t)k2a + ( g u)(t)
2
1
2

1

Z t
0

g(s)ds ku(t)k2a

Z 1
0

dx

Z u( x,t)
0

1
( g u)(t) +
2

trong đó
8
Z t
>
>
( g v)(t) =
g(t s) kv(s) v(t)k2a ds,
>
>
>
0
>
<
p
kuk a = a(u, u),
>
>
>
Z 1
>
>
>
: a(u, v) =
µ( x )u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0) + h1 u(1)v(1).

f (z)dz,

Z 1
0

dx

Z u( x,t)
0

(2.2.2)

f (z)dz, (2.2.3)

(2.2.4)

0

Khi đó ta có kết quả sau

Định lý 2.1.2. Giả sử ( H1 ), ( H 3 ), ( H 4 ), ( H 6 ) thỏa mãn. Khi đó, với mọi u0 2 H 1 sao cho H (0) =
Z 1 Z u0 ( x )
1
dx
f (z)dz > 0, ta có nghiệm yếu u của bài toán (2.2.1) bùng nổ ở thời gian hữu
ku0 k2a +
2
0
0
hạn.
2.3

Tính tắt dần mũ của nghiệm
Trong mục này, ta xét tính tắt dần mũ của nghiệm cho bài toán (2.0.1) - (2.0.3) với

g0 = g1 0 và µ( x, t) µ( x ).
Ta chứng minh rằng nếu ku0 k2a

p

Z 1
0

dx

Z u0 ( x )
0

f (z)dz > 0 và năng lượng ban đầu đủ nhỏ,

k f 1 (t)k đủ nhỏ, thì năng lượng của nghiệm tắt dần mũ khi t ! +∞. Với mục đích này, ta
11


thành lập các giả thiết sau:
µ 2 C1 ([0, 1]), µ( x )

( H3 )
0
( H4 )

µ0 > 0, với mọi x 2 [0, 1];

g 2 C1 (R+ ; R) thỏa các điều kiện
g(0), g(0) > 0, g0 (t)

g(t)

(i) 0

(ii) g0 (t)
0
( H5 )

ξ 1 g ( t ), 8 t

Z +∞

0, 1

0

g(s)ds = L > 0,

0, ξ 1 > 0;

f 1 2 L2 (R+ ; L2 ), và tồn tại hai hằng số dương C0 , γ0 sao cho

k f 1 (t)k

0
( H6 )

C0 e

γ0 t ,

8t

0;
p > 2, d2 > p, d20 > 0 thỏa

f 2 C (R; R) sao cho tồn tại các hằng số q
(i) f (0) = 0, y f (y) > 0, 8y 2 R, y 6= 0,
(ii) y f (y)
Z y

(iii)

0

d2

Z y

f (z)dz

0

f (z)dz, 8y 2 R,

d 2 j y j p + j y j q , 8 y 2 R.
0

Chú thích 2.3.1. Một ví dụ về hàm f thỏa giả thiết ( H 6 ) như sau

f (y) = γ jyj p 2 y + β jyjq 2 y,
trong đó γ > 0, β 0, p > 2, q > 2 là các hằng số, với 2 < p

q.

Trước tiên, ta xây dựng phiếm hàm Lyapunov như sau
δ
L(t) = E(t) + ku(t)k2 E(t) + δL1 (t),
2
với δ > 0 được chọn sau và
E(t)

Z

t
1
1
g(s)ds ku(t)k2a +
2
0
1
1
1
( g u)(t) +
1
2
2
p

=

=

với
I (t) =

1

Z t
0

g(s)ds ku(t)k2a

p

Z 1
0

1
( g u)(t)
2
Z t
0

dx

(2.3.1)

Z 1
0

dx

Z u( x,t)
0

g(s)ds ku(t)k2a +

Z u( x,t)
0

f (z)dz

1
I ( t ),
p

(2.3.2)

f (z)dz.

(2.3.3)

1
1
ξ ( g u)(t) +
k f (t)k2 ,
2 1
2ε1 1

(2.3.4)

Khi đó, ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.2. Hàm năng lượng E(t) thỏa
1
ε1
2
E0 (t)
1
u0 (t)
g(t) ku(t)k2a
2
2
với mọi ε1 > 0.
0

Bổ đề 2.3.3. Giả sử rằng ( H1 ), ( H 3 ), ( H 4 )
η =L

p ( p 2)/2

pd2 C p E

q (q

+ Cq E

0

( H 6 ) thỏa mãn. Giả sử rằng I (0) > 0 và
p

2)/2
>1
> 0,
d2

12

(2.3.5)


trong đó
E =

2p
1
E (0) +
( p 2) L
2

Khi đó I (t) > 0, 8t

Z ∞
0

k f 1 (t)k2 dt , Cr = sup

06 = v 2 H 1

0.

k v k Lr
, r > 2.
kvk a

Bổ đề 2.3.4. Giả sử I (0) > 0 và (2.3.5) đúng. Đặt
E1 (t) = ( g u)(t) + ku(t)k2a + I (t).

(2.3.6)

β1 E1 (t)

(2.3.7)

Khi đó, tồn tại hai hằng số dương β1 , β2 sao cho

L(t)

β2 E1 (t), 8t

0.

Bổ đề 2.3.5. Giả sử I (0) > 0 và (2.3.5) đúng. Khi đó hàm L1 (t) thỏa đánh giá

L10 (t)

1
2ε2

( g u) (t)
1

d2
p

(1

ε3 d2
p

(1

1
2ε2

I (t) +

k f 1 (t)k2

ε3 ) η ) +

d2
p

với mọi ε2 > 0 và ε3 2 (0, 1).
0

1

ε2
2

Z t
0

g(s)ds

ε2 2
2 C2

ku(t)k2a ,

(2.3.8)

0

Định lý 2.3.6. Giả sử rằng ( H1 ), ( H 3 ), ( H 4 ) ( H 6 ) thỏa mãn và u0 2 H 1 . Giả sử I (0) > 0 và năng
lượng ban đầu E(0) thỏa (2.3.5). Khi đó, tồn tại các hằng số dương C, γ sao cho
E1 (t)

Ce

γt

, 8t

(2.3.9)

0.

Nhận xét chương 2

1. Bổ đề 2.1.2 đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm. Chính kết
quả này đã giúp cho chúng tôi làm nhẹ đi giả thiết cho hàm f (u) khá nhiều mà vẫn thu được
kết quả như mong muốn, điều này trong trường hợp nhiều chiều không thực hiện được (xem
Liu [Acta Appl. Math. 103 (2008)]).
2. Bổ đề 2.1.3 cho phép ta chỉ ra hằng số T trong đánh giá tiên nghiệm cho hai trường hợp
với ý nghĩa là sự tồn tại nghiệm là toàn cục và địa phương. Trong khi nếu áp dụng bổ đề
Gronwall-Bellman-Bihari, ta chỉ thu được nghiệm địa phương mà đôi khi bỏ qua kết quả về
sự tồn tại của nghiệm toàn cục. Hiển nhiên rằng nếu f (u) là hàm dưới tuyến tính thì nghiệm
thu được là toàn cục.
3. Các kết quả thu được trong chương này góp phần tổng quát một phần các kết quả trong
Fang [J. KSIAM. 16 (4) (2012)], Liu [Math. Meth. Appl. Sci. 37 (2014)], Messaoudi [Abstr.
Appl. Anal. 2005 (2) (2005)].
4. Trường hợp hàm µ( x, t)
µ( x ) là hàm phụ thuộc theo biến x đã được xét đến trong các
mục 2.2 và mục 2.3. Còn trường hợp µ( x, t) phụ thuộc cả x và t vẫn còn là vấn đề mở mà
chúng tôi đang tiếp tục nghiên cứu.

Chương 3
Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với
điều kiện biên Robin độc lập

13


Trong chương này, chúng tôi khảo sát phương trình nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn
hồi nhớt dạng
ut

∂
∂x

[µ1 ( x, t)u x ] +

Z t
0

g(t

∂
s) ∂x
[µ2 ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f 1 ( x, t),

(3.0.1)

0 < x < 1, t > 0,
liên kết với điều kiện biên Robin độc lập dạng
u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) =
và điều kiện đầu

(3.0.2)

g1 ( t ) ,

u( x, 0) = u0 ( x ),
(3.0.3)
trong đó h0
0, h1
0 là các hằng số thỏa h0 + h1 > 0, còn µ1 , µ2 , g, u0 , f , f 1 , g0 , g1 là các
hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Chương này cũng thu được tất cả kết quả của chương 2 trong trường hợp µ1 ( x, t) = µ2 ( x, t).

Hơn thế nữa, các kết quả về tính chất bùng nổ và tắt dần trong chương 3 cũng đúng với
µ2 = µ2 ( x ), µ1 = µ1 ( x, t) (µ1 phụ thuộc cả x, t), trong khi phương pháp và kỹ thuật đã xử lý ở
chương 2 bị hạn chế chỉ làm với hàm µ = µ( x ) độc lập với t cho phần bùng nổ và tắt dần. Mặt
khác phương pháp và điều kiện đặt ra ở chương 2 không giải quyết được hai ví dụ ở chương 3
trong trường hợp tắt dần. Các kết quả trong chương này được công bố trong [Y3].
Các điểm khác biệt giữa hai chương 2 và 3: Với hai hàm µ1 ( x, t), µ2 ( x, t) xuất hiện ở chương
3 cho thấy phương trình trong chương 3 tổng quát hơn chương 2, nhưng điều kiện biên khác
nhau giữa hai chương, cho nên cũng không thể nói hai bài toán này là trường hợp riêng của nhau,
điều này cũng không có nghĩa là chương 3 tổng quát hơn chương 2. Hơn nữa xử lý về mặt ý
tưởng và kỹ thuật ở chương 3 cũng khác chương 2, chẳng hạn như xử lý họ các dạng song
tuyến tính a(t; u, v) [xem (2.1.2), trang 8] và ak (t; u, v), k = 1, 2 [xem (3.1.3), trang 13] cũng
khác nhiều. Việc trình bày hai chương 2, 3 của luận án cho thấy sự khác biệt, đồng thời cũng
làm nổi bậc kết quả của hai bài báo [Y2], [Y3].
3.1

Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu
Ta thành lập các giả thiết sau:

( A1 )

h0 , h1

( A2 )

g0 , g1 2 H 1 (0, T );

( A3 )

µ1 2 C1 ([0, 1]

[0, T ]), µ1 ( x, t)

µ > 0, 8( x, t) 2 [0, 1]

[0, T ];

( A4 )

µ2 2 C1 ([0, 1]

[0, T ]), µ2 ( x, t)

µ > 0, 8( x, t) 2 [0, 1]

[0, T ];

( A5 )

f 2 C0 (R; R);

( A6 )

g 2 H 1 (0, T );

( A7 )

0 sao cho h0 + h1 > 0;

1
2

f 1 2 L2 ( Q T ).

Định nghĩa 3.1.1. Ta gọi một hàm u là nghiệm yếu bài toán (3.0.1)-(3.0.3) trên (0, T ) nếu
u 2 L∞ (0, T; H 1 ), u0 2 L2 (0, T; L2 )
thỏa
u (0) = u0

14

(3.1.1)


và với mọi v 2 H 1 , ta có

Z t

u0 (t), v + a1 (t; u(t), v)

0

g(t

s) a2 (s; u(s), v)ds

= h f (u(t)), vi + h f 1 (t), vi ge0 (t)v(0) ge1 (t)v(1),
với a.e. t 2 (0, T ), trong đó
8
Z t
>

>
e
g(t s)µ2 (i, s) gi (s)ds, (i = 0, 1),
g
(
t
)
=
µ
(
i,
t
)
g
(
t
)
i
>
1
< i
0
Z

(3.1.2)

1

ak (t; u, v) =
µk ( x, t)u x ( x )v x ( x )dx + h0 µk (0, t)u(0)v(0)

>
>
>
0
:
+ h1 µk (1, t)u(1)v(1), 8u, v 2 H 1 , 0 t T (k = 1, 2).

(3.1.3)

Trong chương này ta vẫn sử dụng hàm Φ tương ứng với hàm f như ở bổ đề 2.1.2 chương 2.
Khi đó ta có
Định lý 3.1.2. Giả sử ( A1 ) ( A7 ) thỏa mãn và dữ kiện đầu u0 2 H 1 . Khi đó,
Z +∞
dy
(i) Nếu
p = +∞ thì bài toán (3.0.1)-(3.0.3) có nghiệm yếu trên (0, T ).
1 + y + Φ2
y
0
(ii) Nếu

Z +∞
0

dy
p < +∞ thì bài toán (3.0.1)-(3.0.3) có nghiệm yếu trên (0, T ),
1 + y + Φ2
y

với một T đủ nhỏ.

Hơn nữa, nếu f thỏa thêm điều
( A7 ) 8 M > 0, 9CM > 0 : j f (y)
thì nghiệm yếu trên là duy nhất.

f (z)j

zj , 8y, z 2 [ M, M ],

CM jy

3.2

Tính bùng nổ của nghiệm
Trong phần này, ta xét bài toán (3.0.1) - (3.0.3) với g0 = g1 0, f 1 0 và µ2 ( x, t)
như sau
Z t
8
∂
∂
>
< ut ∂x
[µ1 ( x, t)u x ] + g(t s) ∂x
[µ2 ( x )u x ( x, s)] ds = f (u), 0 < x < 1, t > 0,
0

>
: u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0,
u( x, 0) = u0 ( x ),

µ2 ( x ),

(3.2.1)

Trước tiên, để thu được kết quả bùng nổ nghiệm, ta thành lập các giả thiết sau:
∂µ1
∂t

( A30 )

µ1 2 C1 ([0, 1]

( A40 )

µ2 2 C1 ([0, 1]), µ2 ( x )

( A50 )

f 2 C (R; R) sao cho tồn tại hai hằng số p > 2, γ > 0 thỏa

R+ ), µ1 ( x, t)

1

0, với mọi ( x, t) 2 [0, 1]

µ > 0, với mọi x 2 [0, 1];
2

γ j u j p , 8 u 2 R,

(i) u f (u)
(iii) u f (u)

( A60 )

µ > 0,

pF (u)

p

Z u
0

f (z)dz, 8u 2 R;

g 2 C1 (R+ ; R+ ) thỏa các điều kiện
g(t) > 0, g0 (t)

(i) g(0)
(ii) 0 <

Z +∞
0

g(s)ds <

µ

1

µ2

0,
1

1

(p

Chú thích 3.2.1.
15

1)2

, với µ2 = max µ2 ( x ).
0 x 1

R+ ;


1. Một ví dụ của hàm f thỏa giả thiết ( A50 ) như sau
f (u) = γ juj p

2

N

u + ∑ α i j u j qi

2

(3.2.2)

u,

i =1

trong đó γ > 0, p > 2, αi

0, qi > 2 là các hằng số, với 2 < p

qi , i = 1, 2, ..., N.

2. Một ví dụ khác của hàm f thỏa giả thiết ( A50 ) là
f (u) = juj p 2 u lnk (e + u2 ),
trong đó k > 1, p > 2 là các hằng số.
Trên H 1 , ta xét các dạng song tuyến tính a( , ), a( , ),
a(u, v)

=

Z 1
0

b(u, v)

=

∂a1
(t; u, v)
∂t

=

Z 1
0

Z 1
0

(3.2.3)
∂a1
(t; , ) như sau
∂t

u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0) + h1 u(1)v(1),
µ2 ( x )u x ( x )v x ( x )dx + h0 µ2 (0)u(0)v(0) + h1 µ2 (1)u(1)v(1),
µ10 ( x, t)u x ( x )v x ( x )dx + h0 µ10 (0, t)u(0)v(0) + h1 µ10 (1, t)u(1)v(1),

với mọi u, v 2 H 1 .
Dễ dàng kiểm tra được rằng các dạng song tuyến tính đối xứng a( , ), b( , ) là liên tục trên
H 1 và bức trên H 1 , hơn nữa các chuẩn sinh bởi các dạng song tuyến tính a( , ), b( , ):
p
p
1/2
là ba
v 7! kvk a = a(v, v), v 7! kvkb = b(v, v), cùng với v 7! kvk H 1 = kvk2 + kv x k2
H1

chuẩn tương đương trên H 1 . Hơn nữa, ta có các bổ đề sau.

Bổ đề 3.2.2. Tồn tại các hằng số dương a, a, µ , µ1 , µ , µ2 sao cho
a(u, u)

(ii)

j a(u, v)j

(iii)

b(u, u)

(iv)

jb(u, v)j

(v)

a1 (t; v, v)

(vi)

j a1 (t; u, v)j

=

µ1

µ kuk2H 1 ,
2

µ2 k u k H 1 k v k H 1 ,

=

µ kvk2a ,
1

µ1 k u k a k v k a ,
0,
0, trong đó

sup µ1 ( x, 0), µ2 = max µ2 ( x ),

0 x 1

a1

2

a kuk H1 kvk H1 ,

∂a1
(t; v, v)
∂t
với mọi u, v 2 H 1 , với mọi t
(vii)

1

a kuk2H 1 ,

(i)

0 x 1

1
minf1; maxf h0 , h1 gg, a1 = 1 + 2h0 + 2h1 .
3

Bổ đề 3.2.3. Trên H 1 , các chuẩn v 7! kvk a , v 7! kvkb là tương đương và
p
p
µ2 k v k a , 8 v 2 H 1 .
µ kvk a kvkb
2

16


Bây giờ, ta định nghĩa phiếm hàm năng lượng liên kết với bài toán (3.2.1) như sau
E(t)

=

1
1
( g u) (t) + a1 (t; u(t), u(t))

2
2
Z t
Z 1 Z u( x,t)
1
g(s)ds ku(t)k2b
dx
f (z)dz,
2
0
0
0

trong đó

( g v)(t) =

Z t
0

g(t

(3.2.4)

v(t)k2b ds.

s) kv(s)

Khi đó ta có kết quả sau.
Định lý 3.2.3. Giả sử ( A1 ), ( A30 ) ( A60 ) thỏa mãn. Khi đó, mọi u0 2 H 1 sao cho E(0) < 0, ta có

nghiệm yếu u của bài toán (3.2.1) bùng nổ ở thời gian hữu hạn.
3.3

Tính tắt dần mũ của nghiệm
Trong mục này, ta xét tính tắt dần mũ của nghiệm cho bài toán (3.0.1) - (3.0.3) với
g0 = g1 0, µ2 ( x, t) µ2 ( x ).
Ta chứng minh rằng nếu I (0) = a1 (0; u0 , u0 )

p

Z 1
0

dx

Z u0 ( x )
0

f (z)dz > 0 và năng lượng ban

đầu đủ nhỏ, k f 1 (t)k đủ nhỏ, thì năng lượng của nghiệm tắt dần mũ khi t ! +∞. Với mục
đích này, ta thành lập các giả thiết sau:

( A500 )

f 2 C (R; R) sao cho tồn tại các hằng số d2 > 0, d2 > p > 2, qi > 2, với
2
qi , i = 1, 2, ..., N thỏa mãn

(i) f (0) = 0, u f (u) > 0, 8u 2 R, u 6= 0,

( A600 )

(ii) u f (u)

d2 F ( u )

(iii) F (u) =

Z u

Z u
0

f (z)dz, 8u 2 R,

d2 juj p + ∑iN=1 jujqi , 8u 2 R;

f (z)dz

g 2 C1 (R+ ; R) thỏa các điều kiện
(i) 0 < g(t)
(ii) g0 (t)

( A700 )

0

d2

g (0), g 0 ( t )
ζ 1 g ( t ), 8 t

0, 8t

0, L

µ

1

µ2

Z +∞
0

g(s)ds > 0,

0, ζ 1 > 0;

f 1 2 L2 (R+ ; L2 ), và tồn tại hai hằng số dương C0 , γ0 sao cho

k f 1 (t)k

C0 e

γ0 t ,

8t

0.

Chú thích 3.3.1.
1. Một ví dụ về hàm f thỏa giả thiết ( A500 ) có thể lấy như sau
f (u) = γ juj p

2

N

u + ∑ α i j u j qi

trong đó γ > 0, p > 2, αi

2

(3.3.1)

u,

i =1

0, qi

2 là các hằng số, với 2 < p

2. Một ví dụ khác về hàm f thỏa giả thiết ( A500 ) là
f (u) = juj p 2 u lnk (e + u2 ),
17

qi , i = 1, 2, ..., N.
(3.3.2)


trong đó k > 1, p > 2k là các hằng số.
Trước tiên, ta xây dựng phiếm hàm Lyapunov như sau
δ
L(t) = E(t) + ku(t)k2 E(t) + δL1 (t),
2
trong đó
E(t)

=

=

(3.3.3)

1
1
( g u)(t) + a1 (t; u(t), u(t))
2
2
Z 1 Z u( x,t)
Z t
1
dx
f (z)dz
g(s)ds ku(t)k2b

2
0
0
0
1
1
( g u)(t) + I (t)
2
p
Z t
1
1
g(s)ds ,
+
a1 (t; u(t), u(t)) ku(t)k2b
2
p
0

với

Z t

ku(t)k2b

I (t) = I (u(t)) = a1 (t; u(t), u(t))

0

g(s)ds

p

Z 1
0

dx

Z u( x,t)
0

(3.3.4)

f (z)dz.

Khi đó, ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 3.3.2. Hàm năng lượng E(t) thỏa
ε1
1
2
E0 (t)
1
u0 (t)
g(t) ku(t)k2b
2
2
Bổ đề 3.3.3. Giả sử rằng ( A1 ), ( A30 ), ( A40 ), ( A500 )
η =L

e pp R p

pd2 D

thỏa mãn, trong
s đó
R =

2p
( p 2) L

Khi đó I (t) > 0, 8t

2

N e qi qi
+ ∑ i =1 D
qi R

E (0) +

1
2

Z ∞
0

2

1
1
ζ ( g u)(t) +

k f (t)k2 , 8ε1 > 0. (3.3.5)
2 1
2ε1 1

( A007 ) thỏa mãn. Giả sử rằng I (0) > 0 và
p
> 1
µ1 > 0,
(3.3.6)
d2

e r = sup kvk Lr , r > 2.
k f 1 (t)k2 dt , D
kvk a
06 = v 2 H 1

0.

Bổ đề 3.3.4. Giả sử I (0) > 0 và (3.3.6) đúng. Đặt
E1 (t) = ( g u)(t) + ku(t)k2a + I (t).
Khi đó, tồn tại hai hằng số dương β1 , β2 sao cho
β1 E1 (t)

L(t)

β2 E1 (t), 8t

(3.3.7)

0.

Bổ đề 3.3.5. Giả sử I (0) > 0 và (3.3.6) đúng. Khi đó hàm L1 (t) thỏa đánh giá

L10 (t)

1
ε3 d2
1
I (t) +
( g u) (t)
k f (t)k2
2ε2
p
2ε2 1
d
d2
ε2 e 2
(1 ε3 ) 2 η
1 µ1
D ku(t)k2a
p
p
2 2
Z t
d2
ε2
1
ku(t)k2b g(s)ds,
p
2

0
18

(3.3.8)


với mọi ε2 > 0 và ε3 2 (0, 1).
Định lý 3.3.6. Giả sử rằng ( A1 ), ( A30 ), ( A40 ), ( A500 ) ( A007 ) thỏa mãn và u0 2 H 1 . Giả sử I (0) > 0
và năng lượng ban đầu E(0) thỏa (3.3.6). Khi đó, tồn tại các hằng số dương C, γ sao cho
E1 (t)

Ce

γt

, 8t

(3.3.9)

0.

Nhận xét chương 3
1. Các kết quả thu được trong chương này góp phần tổng quát một phần các kết quả trong
Fang [J. KSIAM. 16 (4) (2012)], Liu [Math. Meth. Appl. Sci. 37 (2014)], Messaoudi [Abstr.
Appl. Anal. 2005 (2) (2005)] và [Y2].
2. Trường hợp hàm µ1 ( x, t) µ1 ( x, t), µ2 ( x, t) µ2 ( x ) đã được xét đến trong các mục 3.2 và
mục 3.3. Còn trường hợp µ2 ( x, t) phụ thuộc cả x và t vẫn còn là vấn đề mở mà chúng tôi đang
tiếp tục nghiên cứu.

Kết luận

Trong luận án chúng tôi đã sử dụng các phương pháp của giải tích hàm phi tuyến để khảo
sát một số bài toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến một chiều. Nội dung của luận án
tập trung vào ba bài toán biên cho ba phương trình nhiệt phi tuyến có liên quan đến các mô
hình cổ điển trong khoa học kỹ thuật, vật lý, hóa học, sinh học, ... Thứ nhất là bài toán biên
cho phương trình nhiệt phi tuyến không chứa số hạng đàn hồi nhớt (Chương 1). Thứ hai và
thứ ba là bài toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt (Chương
2, Chương 3).
Những kết quả mới được trình bày trong luận án bao gồm:
1. Chứng minh được sự tồn tại duy nhất, tính bị chặn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu
của phương trình nhiệt phi tuyến dạng
∂
ut
[µ( x, t)u x ] + f (u) = f 1 ( x, t), ( x, t) 2 (0, 1) (0, T ),
∂x
kết hợp với các điều kiện biên Robin
u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t),
và điều kiện đầu
u ( x, 0) = u0 ( x ) .
2. Bài 8
toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng
Z t
>
∂
∂
>
u
µ
(
x,
t

)
u
+
g(t s) ∂x
[
]
[µ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f 1 ( x, t),
t
x
>
∂x
>
>
0
<
x 2 (0, 1), t > 0,
>
>
>
µ
(
0,
t
)
u
(
0,
t
)
h

u
(
0,
t
)
=
g
(
t
)
,
µ
(
1,
t
)
u
(
1,
t
)
+
h
u
(
1, t) = g1 (t),
x
x
0
0

1
>
>
:
u( x, 0) = u0 ( x ),
có duy nhất nghiệm yếu. Hơn nữa tính trơn của nghiệm phụ thuộc vào tính trơn của các dữ
kiện u0 , f , f 1 cũng được thiết lập. Ngoài ra dưới một số giả thiết thích hợp, chúng tôi cũng
thu được kết quả về tính bùng nổ của nghiệm ở thời gian hữu hạn cũng như tính tắt dần mũ
của nghiệm khi t ! +∞.
3. Chứng minh rằng với những giả thiết thích hợp, phương trình
Z t
∂
∂
ut
[µ1 ( x, t)u x ] + g(t s) [µ2 ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f 1 ( x, t),
∂x
∂x
0
0 < x < 1, t > 0,

19


liên kết với các điều kiện Robin dạng
u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t),
và điều kiện đầu
u( x, 0) = u0 ( x ),
có duy nhất nghiệm yếu. Hơn nữa chúng tôi cũng thu được kết quả về tính bùng nổ của nghiệm
ở thời gian hữu hạn cũng như tính tắt dần mũ của nghiệm khi t ! +∞.
Trên cơ sở những kết quả đã có, để kết thúc, chúng tôi cũng nêu ra đây một số vấn đề có

thể nghiên cứu, phát triển tiếp như sau:
Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất cũng như một số tính chất của nghiệm yếu của bài toán
(1.0.1)-(1.0.3) khi f (u) ở vế phải của phương trình hoặc điều kiện biên Robin tuyến tính
thay bằng điều kiện biên Robin phi tuyến.
Nghiên cứu tính chất bùng nổ và tắt dần của nghiệm yếu của bài toán (2.0.1)-(2.0.3)
khi µ là hàm số phụ thuộc hai biến x và t.
Nghiên cứu tính chất bùng nổ và tắt dần của nghiệm yếu của bài toán (3.0.1)-(3.0.3)
khi µ2 là hàm số phụ thuộc hai biến x và t.

20


DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

[Y1] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Van Y, Alain Pham Ngoc Dinh, Nguyen
Thanh Long, On a nonlinear heat equation associated with Dirichlet - Robin
conditions, Numerical Functional Analysis and Optimization, 33 (2) (2012)
166-189. (SCIE).
/>[Y2] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Van Y, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh
Long, On a nonlinear heat equation with viscoelastic term associated with Robin
conditions, Applicable Analysis, 96 (16) (2017) 2717-2736 (SCIE).
/>[Y3] Nguyen Thanh Long, Nguyen Van Y, Le Thi Phuong Ngoc, Exponential
decay and blow-up results for a nonlinear heat equation with a viscoelastic term
and Robin conditions, Annales Polonici Mathematici, 119 (2) (2017) 121-145.
(SCIE).