phuong trinh bpt logarit hay giai chi tiet

Chủ đề 3.5. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.

Định nghĩa
• Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
• Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2.

Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho a, b > 0, a ≠ 1
• Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log a f ( x) = b
• Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:
log a f ( x) > b; log a f ( x) ≥ b; log a f ( x) < b; log a f ( x) ≤ b

3.

Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit
• Đưa vê cùng cơ sô
 f ( x) > 0
 log a f ( x) = log a g ( x ) ⇔ 
, với mọi 0 < a ≠ 1
 f ( x ) = g ( x)
 g ( x) > 0
 Nếu a > 1 thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ 
 f ( x ) > g ( x)
 f ( x) > 0
 Nếu 0 < a < 1 thì log a f ( x) > log a g ( x ) ⇔ 
 f ( x ) < g ( x)
• Đặt ẩn phu
• Mũ hóa

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Điều kiện xác định của phương trình
Câu 1: Điêu kiện xác định của phươg trình log( x 2 − x − 6) + x = log( x + 2) + 4 là
A. x > 3
B. x > −2
C. ¡ \ [ − 2;3]
D. x > 2
2. Kiểm tra xem giá trị nào là nghiệm của phương trình
Câu 2: Phương trình log 3 (3 x − 2) = 3 có nghiệm là:
29
11
B. x =
3
3
3. Tìm tập nghiệm của phương trình
A. x =

C. x =

25
3

D. x = 87

Câu 3: Phương trình log 22 ( x + 1) − 6 log 2 x + 1 + 2 = 0 có tập nghiệm là:
A. { 3;15}
B. { 1;3}
4. Tìm sô nghiệm của phương trình

C. { 1; 2}

D. { 1;5}

Câu 4: Số nghiệm của phương trình log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
5. Tìm nghiệm lớn nhất, hay nhỏ nhất của phương trình
Câu 5: Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình log 3 x − 2 log 2 x = log x − 2 là


1
1
B. x =
C. x = 2
D. x = 4
2
4
6. Tìm môi quan hệ giữa các nghiệm của phương trình (tổng, hiệu, tích, thương…)
A. x =

Câu 6: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình log x 2 − log16 x = 0 . Khi đó tích x1.x2 bằng:
A. 1
B. −1
C. −2
D. 2
7. Cho một phương trình, nếu đặt ẩn phu thì thu được phương trình nào (ẩn t )
1

2
+
= 1 trở thành phương trình
Câu 7: Nếu đặt t = log 2 x thì phương trình
5 − log 2 x 1 + log 2 x
nào
A. t 2 − 5t + 6 = 0
B. t 2 + 5t + 6 = 0
C. t 2 − 6t + 5 = 0
D. t 2 + 6t + 5 = 0
8. Tìm điều kiện của tham sô m để phương trình thỏa điều kiện về nghiệm sô (có nghiệm,
vô nghiệm, 2 nghiệm thỏa điều kiện nào đó…)
2
Câu 8: Tìm m để phương trình log 3 x + 2 log 3 x + m − 1 = 0 có nghiệm
A. m ≤ 2
B. m < 2
C. m ≥ 2
D. m > 2
2
2
Câu 9: Tìm m để phương trình log 3 x + log3 x + 1 − 2m − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
3
đoạn 1;3 
A. m ∈ [0; 2]
B. m ∈ (0; 2)
9. Điều kiện xác định của bất phương trình

C. m ∈ (0; 2]

D. m ∈ [0; 2)

Câu 10: Điêu kiện xác định của bất phương trình log 1 (4 x + 2) − log 1 ( x − 1) > log 1 x là:
2

A. x > 1

C. x > −

B. x > 0

2

1
2

2

D. x > −1

10. Tìm tập nghiệm của bất phương trình
x
x
Câu 11: Bất phương trình log 2 (2 + 1) + log 3 (4 + 2) ≤ 2 có tập nghiệm:

A. (−∞;0]

B. (−∞;0)

C. [0; +∞)

D. ( 0; +∞ )

2
Câu 12: Bất phương trình log 2 ( x − x − 2 ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + 1 có tập nghiệm là:

)

)

(

(

A. 1 + 2; +∞
B. 1 − 2; +∞
C. −∞;1 + 2 
D. −∞;1 − 2 
11. Tìm nghiệm nguyên (tự nhiên) lớn nhất, nguyên (tự nhiên) nhỏ nhất của bất phương
trình
Câu 13: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log 2 ( log 4 x ) > log 4 ( log 2 x ) là:
A. 17

B. 16

C. 15

D. 18

12. Tìm điều kiện của tham sô m để bất phương trình thỏa điều kiện về nghiệm sô (có

nghiệm, vô nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện nào đó…)
x
x
Câu 14: Tìm m để bất phương trình log 2 (5 − 1).log 2 (2.5 − 2) ≤ m có nghiệm x ≥ 1

A. m ≥ 3

B. m > 3

C. m ≤ 3

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

D. m < 3


Câu 1.

Điêu kiện xác định của phươg trình log 2 x−3 16 = 2 là:
3 
A. x ∈ ¡ \  ; 2  .
2 

Câu 2.

B. x ≠ 2 .

Câu 7.

D. x ∈ ( 0; +∞ ) .

x
là:
x +1
C. x ∈ ¡ \ [ − 1;0] .

D. x ∈ ( −∞;1) .

D. x ∈ ( −∞;1) .

Phương trình log 2 (3 x − 2) = 2 có nghiệm là:
4
.
3

B. x =

2
.
3

C. x = 1 .

Phương trình log 2 ( x + 3) + log 2 ( x − 1) = log 2 5 có nghiệm là:
A. x = 2 .
B. x = 1 .
C. x = 3 .

D. x = 2 .

D. x = 0 .

2
Phương trình log 3 ( x − 6) = log 3 ( x − 2) + 1 có tập nghiệm là:

B. T = ∅ .

C. T = {3} .

D. T = {1;3} .

Phương trình log 2 x + log 2 ( x − 1) = 1 có tập nghiệm là:
A. { −1;3} .

Câu 9.

C. x ∈ ( 0;1) .

2x
1
= là:
x +1 2
B. x ∈ ¡ \ [ − 1;0] .
C. x ∈ ( −1;0 ) .

A. T = {0;3} .
Câu 8.

3

.
2

Điêu kiện xác định của phươg trình log 9

A. x =
Câu 6.

B. x ∈ ( −∞;0 ) .

B. x ∈ ( −1;0 ) .

A. x ∈ ( −1; +∞ ) .
Câu 5.

D. x >

Điêu kiện xác định của phương trình log 5 ( x − 1) = log 5
A. x ∈ ( 1; +∞ ) .

Câu 4.

3
< x ≠ 2.
2

2
Điêu kiện xác định của phươg trình log x (2 x − 7 x − 12) = 2 là:

A. x ∈ ( 0;1) ∪ ( 1; +∞ ) .

Câu 3.

C.

B. { 1;3} .

C. { 2} .

D. { 1} .

Phương trình log 22 ( x + 1) − 6 log 2 x + 1 + 2 = 0 có tập nghiệm là:
A. { 3;15} .

B. { 1;3} .

C. { 1; 2} .

D. { 1;5} .

Câu 10. Số nghiệm của phương trình log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 là:
A. 0.

B. 2.

C. 3.

Câu 11. Số nghiệm của phương trình log 2 x.log 3 (2 x − 1) = 2 log 2 x là:
A. 2.
B. 0.
C. 1.

D. 1.
D. 3.

3
2
Câu 12. Số nghiệm của phương trình log 2 ( x + 1) − log 2 ( x − x + 1) − 2 log 2 x = 0 là:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 13. Số nghiệm của phương trình log 5 ( 5 x ) − log 25 ( 5 x ) − 3 = 0 là :
A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

2
Câu 14. Phương trình log 3 (5 x − 3) + log 1 ( x + 1) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 trong đó x1 < x2 .Giá trị
3

của P = 2 x1 + 3 x2

A. 5.

là
B. 14.

C. 3.

D. 13.


2
Câu 15. Hai phương trình 2 log 5 (3 x − 1) + 1 = log 3 5 (2 x + 1) và log 2 ( x − 2 x − 8) = 1 − log 1 ( x + 2)
2

lần lượt có 2 nghiệm duy nhất là x1 , x2 . Tổng x1 + x2 là?
A. 8.
B. 6.
C. 4.

D. 10.

Câu 16. Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình log x 2 − log16 x = 0 . Khi đó tích x1.x2 bằng:
A. −1 .
B. 1.
C. 2.
D. −2 .
Câu 17. Nếu đặt t = log 2 x thì phương trình
A. t 2 − 5t + 6 = 0 .

B. t 2 + 5t + 6 = 0 .

Câu 18. Nếu đặt t = lg x thì phương trình
A. t 2 + 2t + 3 = 0 .

1
2
+
= 1 trở thành phương trình nào?
5 − log 2 x 1 + log 2 x
C. t 2 − 6t + 5 = 0 .

D. t 2 + 6t + 5 = 0 .

1
2
+
= 1 trở thành phương trình nào?
4 − lg x 2 + lg x

B. t 2 − 3t + 2 = 0 .

C. t 2 − 2t + 3 = 0 .

D. t 2 + 3t + 2 = 0 .

3
2
Câu 19. Nghiệm bé nhất của phương trình log 2 x − 2 log 2 x = log 2 x − 2 là:

B. x =

A. x = 4 .

1
.
4

D. x =

C. x = 2 .

1
.
2

……………..
Câu 96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

1 + log 5 ( x + 1) ≥ log 5 ( mx + 4 x + m ) có nghiệm đúng ∀x.
2

A. m ∈ ( 2;3] .

để bất phương trình

2

B. m ∈ ( −2;3] .

C. m ∈ [ 2;3) .

D. m ∈ [ −2;3) .


D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 3.5
1
C

2
A

3
A

4
B

5
D

6
A

7
B

8

C

9
B

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D A A C B A B A B D C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A D C A C D A A D C B A B A D A C A A A
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
C A A D B A C B A A B C A A A A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
(Ở phần này các đáp án bị lệc không cần để ý vì sau này sẽ xóa)
Câu 1.

Câu 2.

Điêu kiện xác định của phươg trình log 2 x−3 16 = 2 là:
3
3 
A. x ∈ ¡ \  ; 2  .
B. x ≠ 2 .
C. < x ≠ 2 .
2

2 
Hướng dẫn giải
3

2 x − 3 > 0
3
x >
⇔
2⇔ Biểu thức log 2 x−3 16 xác định ⇔ 
2
2 x − 3 ≠ 1
 x ≠ 2
2
Điêu kiện xác định của phươg trình log x (2 x − 7 x − 12) = 2 là:

A. x ∈ ( 0;1) ∪ ( 1; +∞ ) .

B. x ∈ ( −∞;0 ) .

C. x ∈ ( 0;1) .

D. x >

3
.
2

D. x ∈ ( 0; +∞ ) .

Hướng dẫn giải
Biểu thức log x (2 x − 7 x − 12) xác định
2


x > 0
x > 0


⇔ x ≠ 1
⇔ x ≠ 1
⇔ x ∈ (0;1) ∪ (1; +∞)
2 x 2 − 7 x + 12 > 0

7
47

2 ( x − )2 +  > 0

4
16 
 
Câu 3.

x
là:
x +1
C. x ∈ ¡ \ [ − 1;0] .

Điêu kiện xác định của phương trình log 5 ( x − 1) = log 5

A. x ∈ ( 1; +∞ ) .

B. x ∈ ( −1;0 ) .

D. x ∈ ( −∞;1) .

Hướng dẫn giải
 x
>0
 x < −1 ∨ x > 0
x

⇔
⇔ x >1
Biểu thức log 5 ( x − 1) và log 5
xác định ⇔  x + 1
x +1
x > 1
 x − 1 > 0


chọn đáp án A.

Câu 4.

2x
1
= là:
x +1 2
B. x ∈ ¡ \ [ − 1;0] .

C. x ∈ ( −1;0 ) .

Điêu kiện xác định của phươg trình log 9
A. x ∈ ( −1; +∞ ) .

D. x ∈ ( −∞;1) .

Hướng dẫn giải
Biểu thức log 9
⇔
Câu 5.

2x
xác định :
x +1

2x
> 0 ⇔ x < −1 ∨ x > 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞)
x +1

Phương trình log 2 (3 x − 2) = 2 có nghiệm là:
4
2
A. x = .
B. x = .
C. x = 1 .
3
3
Hướng dẫn giải
3


3x − 2 > 0
x >
⇔
2 ⇔ x=2.
PT ⇔ 
3x − 2 = 4
 x = 2

Câu 95. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
log 2 ( 7 x 2 + 7 ) ≥ log 2 ( mx 2 + 4 x + m ) , ∀x ∈ ¡ .
A. m ∈ ( 2;5] .

B. m ∈ ( −2;5] .

D. x = 2 .

m

để bất phương trình

C. m ∈ [ 2;5 ) .

D. m ∈ [ −2;5 ) .

Hướng dẫn giải
Bất phương trình tương đương 7 x + 7 ≥ mx 2 + 4 x + m > 0, ∀x ∈ ¡
2

( 7 − m ) x 2 − 4 x + 7 − m ≥ 0 (2)

⇔ 2
, ∀x ∈ ¡ .
(3)
mx + 4 x + m > 0
 m = 7 : (2) không thỏa ∀x ∈ ¡
 m = 0 : (3) không thỏa ∀x ∈ ¡
7 − m > 0

2
∆′2 = 4 − ( 7 − m ) ≤ 0
⇔
(1) thỏa ∀x ∈ ¡ ⇔ 
m
>
0

 ∆′ = 4 − m 2 < 0
 3

m < 7

m ≤ 5
⇔ 2 < m ≤ 5.

m
>
0

 m > 2

Câu 96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
1 + log 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m ) có nghiệm đúng ∀x.
A. m ∈ ( 2;3] .

B. m ∈ ( −2;3] .

m

để bất phương trình

C. m ∈ [ 2;3) .

Hướng dẫn giải

2
2
Bất phương trình tương đương 7 ( x + 1) ≥ mx + 4 x + m > 0, ∀x ∈ ¡

( 5 − m ) x 2 − 4 x + 5 − m ≥ 0 (2)
⇔ 2
(*), ∀x ∈ ¡ .
(3)
mx + 4 x + m > 0
 m = 0 hoặc m = 5 : (*) không thỏa ∀x ∈ ¡

D. m ∈ [ −2;3) .


5 − m > 0


2
∆′2 = 4 − ( 5 − m ) ≤ 0
 m ≠ 0 và m ≠ 5 : (*) ⇔ 
m > 0
∆′ = 4 − m 2 < 0
 3

⇔ 2 < m ≤ 3.

8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12
Giải chi tiết
** Quà tặng : Bộ 50 đề thi minh họa THPT 2018 – đáp án chi tiết **

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU
Nhấn giữ phím Ctrl

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ

8

1. Khảo sát và vẽ đồ thị
hàm sô ứng dung của đạo

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái vào đường

link gạch chân dưới để XEM bản PDF đầy đủ
/>

CHUYÊN
ĐỀ
LUYỆN
THI THPT
đ

(200.000 )
(2331 câu hỏi
giải chi tiết )

hàm
2.

( 400 câu giải chi tiết )
Khảo sát và vẽ đồ thị
hàm sô ứng dung của đạo

X3ssre5aUlhXNGlNdkY4c3c/view?usp=sharing

/>
hàm
( 180 câu giải chi tiết )
3.Phương trình, Bất PT mũ

và logarit
( 349 câu giải chi tiết )
4. Nguyên hàm Tích phân

( 410 câu giải chi tiết )

/> />
5. Sô Phức
( 195 câu giải chi tiết )

/>
6. Lãi suất + bài tập
( 72 câu giải chi tiết )

/>
7. HH không gian bộ lớp 11
( 290 câu giải chi tiết )
8. HH tọa độ không gian
( 435 câu giải chi tiết )

/> />
CAM KẾT!
- Chế độ chữ : Times New Roman.
- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đê ôn thi,
NHCH…
- Các đáp án A,B,C,D đêu căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.
- Vê thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên
đê nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản PDF xem trước bên dưới.
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903 Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0988 360 309
Hoặc nhắn tin “ Xem 8 chuyên đề 12 + địa chỉ gmail của thầy cô” chúng
tôi sẽ gửi 8 chuyên đê bản PDF vào mail để thầy cô tham khảo

8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU
Nhấn giữ phím Ctrl

STT

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

Giữ phím Ctrl và bấm chuột vào
đường link gạch chân bên dưới để
xem tài liệu

1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PTLG

/>
2

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

/>
3

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

/>
4

GIỚI HẠN

/>
ĐẠO HÀM

/>
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

/>
QUAN HỆ SONG SONG

/>
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

/>
KHOẢNG CÁCH

/>
5
6

7

8


- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đê ôn thi,
Ngân hàng câu hỏi …
- Các đáp án A,B,C,D đêu căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word
chuyên đê nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản xem trước .
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem trọn bộ 11 + địa chỉ gmail
của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đê vào mail để thầy cô xem tham
khảo trước khi mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiêu tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo
và rất nhiêu quà tặng đi kèm


9 CHUYÊN ĐỀ HHKG NÂNG CAO
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 9 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
Nhấn giữ phím Ctrl

STT

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

Giữ phím Ctrl Bấm vào đường
link gạch chân bên dưới để xem tài
liệu

1

CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quôc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11}

/>iew?usp=sharing

2

CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quôc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21}

/>iew?usp=sharing

3

CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 />JiEpOQTzZlQVc0Z2xGTmJrVkk/vie
w?usp=sharing
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quôc gia 2017

(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26}
CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang}
/>Tặng 10 đề word thi thử THPT Quôc gia 2017
w?usp=sharing
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36}

4

5

CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang}
Tặng 12 đề word thi thử THPT Quôc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49}

/>ew?usp=sharing

6

CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quôc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54}

/>w?usp=sharing

7

CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CÁC KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang}
JiEpOQTzZlbGNqckR0YzhBOEk/vie
w?usp=sharing
Tặng 8 đề word thi thử THPT Quôc gia 2017

(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63}

Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem bộ HHKG NÂNG CAO + địa
chỉ gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đê vào mail để thầy cô xem
tham khảo trước khi mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiêu tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo
và rất nhiêu quà tặng đi kèm

MUA NHIỀU KHUYẾN MÃI NHIỀU...