Tải bản đầy đủ (.doc) (19 trang)

phuong trinh mat cau giai chi tiet BTN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (457.5 KB, 19 trang )

NHÓM 8.2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Định nghĩa:
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả
những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là
mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu: S ( I ; R ) ⇒ S ( I ; R ) = { M / IM = R}
2/ Các dạng phương trình mặt cầu :
Dạng 2 : Phương trình tổng quát
Dạng 1 : Phương trình chính tắc
Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R > 0 .

( S ) : ( x − a)

2

+ ( y − b) + ( z − c) = R
2

2

2

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

(2)
⇒ Điều kiện để phương trình (2) là phương trình

mặt cầu:

a 2 + b2 + c2 − d > 0





(S) có tâm I ( a; b; c ) .



(S) có bán kính: R = a 2 + b 2 + c 2 − d .

3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu S ( I ; R ) và mặt phẳng ( P ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( P )

⇒ d = IH là

khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) . Khi đó :
+ Nếu d > R : Mặt cầu và mặt + Nếu d = R : Mặt phẳng tiếp xúc + Nếu d < R : Mặt phẳng ( P )
phẳng không có điểm chung.
mặt cầu. Lúc đó: ( P ) là mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là
đường tròn có tâm I' và bán
tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp
điểm.
kính r = R 2 − IH 2

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó
được gọi là đường tròn lớn.
4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :
Cho mặt cầu S ( I ; R ) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ . Khi đó :
+ IH > R : ∆ không cắt mặt + IH = R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu. + IH < R : ∆ cắt mặt cầu tại
cầu.
∆ là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp hai điểm phân biệt.

điểm.

* Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:


+ Xác định: d ( I ; ∆ ) = IH .
2

+ Lúc đó:

 AB 
R = IH + AH = IH + 
÷
 2 
2

2

2

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng (α ) .

( S) :
(α ) :

x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
Ax + By + Cz + D = 0

I

R

* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).
+ Tâm I ' = d ∩ ( α ) .
Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp (α )
+ Bán kính R ' = R − ( II ' ) = R − d ( I ; ( α ) ) 
2

2

2

2

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
+ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S) ⇔
+ Mặt phẳng ( α ) là tiếp diện của (S)
* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) .

d ( I ; ∆ ) = R.

⇔ d ( I ; ( α ) ) = R.

uuuur
 IM 0 ⊥ ard
 IM 0 ⊥ d
⇔  uuuur r
Sử dụng tính chất : 
 IM 0 ⊥ nα
 IM 0 ⊥ ( α )


α

R'

I'


B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1:
Phương pháp:

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

* Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I ( a; b; c ) .
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính R .
(S ) :

( x − a)

2

+ ( y − b ) + ( z − c ) = R2
2

2

* Thuật toán 2: Gọi phương trình ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d . ( a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 )

Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) ( S ) có tâm I ( 2; 2; −3) và bán kính R = 3 .
b) ( S ) có tâm I ( 1; 2;0 ) và (S) qua P ( 2; −2;1) .
c) ( S ) có đường kính AB với A ( 1;3;1) , B ( −2;0;1) .
Bài giải:
a) Mặt cầu tâm I ( 2; 2; −3) và bán kính R = 3 , có phương trình:
(S): ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9
uur
b) Ta có: IP = ( 1; −4;1) ⇒ IP = 3 2 .
2

2

2

Mặt cầu tâm I ( 1; 2;0 ) và bán kính R = IP = 3 2 , có phương trình:
(S): ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 18
uuur
c) Ta có: AB = ( −3; −3;0 ) ⇒ AB = 3 2 .
2

2

 1 3 
Gọi I là trung điểm AB ⇒ I  − ; ;1÷.
 2 2 
 1 3 
AB 3 2
Mặt cầu tâm I  − ; ;1÷ và bán kính R =
, có phương trình:

=
2
2


2
2
2

2

1 
3
9
2

(S):  x + ÷ +  y − ÷ + ( z − 1) = .
2 
2
2


Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:
a) (S) qua A ( 3;1;0 ) , B ( 5;5;0 ) và tâm I thuộc trục Ox .
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng ( α ) : 16 x − 15 y − 12 z + 75 = 0 .
c) (S) có tâm I ( −1; 2;0 ) và có một tiếp tuyến là đường thẳng ∆ :

x +1 y −1 z
=
= .

−1
1
−3

Bài giải:

uu
r
uur
a) Gọi I ( a;0;0 ) ∈ Ox . Ta có : IA = ( 3 − a;1;0 ) , IB = ( 5 − a;5;0 ) .
Do (S) đi qua A, B ⇔ IA = IB ⇔

( 3 − a)

2

+1 =

( 5 − a)

2

+ 25 ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

⇒ I ( 10;0;0 ) và IA = 5 2 .
Mặt cầu tâm I ( 10;0;0 ) và bán kính R = 5 2 , có phương trình (S) : ( x − 10 ) + y 2 + z 2 = 50
2


b) Do (S) tiếp xúc với ( α ) ⇔ d ( O, ( α ) ) = R ⇔ R =


75
= 3.
25

Mặt cầu tâm O ( 0;0;0 ) và bán kính R = 3 , có phương trình (S) : x 2 + y 2 + z 2 = 9
uu
r
c) Chọn A ( −1;1;0 ) ∈ ∆ ⇒ IA = ( 0; −1;0 ) .
uu
r r
r
Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là u∆ = ( −1;1; −3) . Ta có:  IA, u∆  = ( 3;0; −1) .
uu
r
 IA, ur∆ 
Do (S) tiếp xúc với ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ R =  r  = 10 .
u∆
11
10
2
2
10
2
.
Mặt cầu tâm I ( −1; 2;0 ) và bán kính R =
, có phương trình (S) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + z =
121
11
Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

a) (S) qua bốn điểm A ( 1; 2; −4 ) , B ( 1; −3;1) , C ( 2; 2;3 ) , D ( 1;0; 4 ) .
b) (S) qua A ( 0;8;0 ) , B ( 4;6; 2 ) , C ( 0;12; 4 ) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Bài giải:

a) Cách 1: Gọi I ( x; y; z ) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
 IA2 = IB 2
 IA = IB
− y + z = −1  x = −2
 2



2
Theo giả thiết:  IA = IC ⇔  IA = IC ⇔  x + 7 z = −2 ⇔  y = 1 .
 IA = ID
 IA2 = ID 2
 y − 4z = 1
z = 0




Do đó: I ( −2;1;0 ) và R = IA = 26 . Vậy (S) : ( x + 2 ) + ( y − 1) + z 2 = 26 .
2

2

2
2
2

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 , ( a + b + c − d > 0 ) .

Do A ( 1; 2; −4 ) ∈ ( S ) ⇔

−2a − 4b + 8c + d = −21

(1)

Tương tự: B ( 1; −3;1) ∈ ( S ) ⇔ −2a + 6b − 2c + d = −11

(2)

C ( 2; 2;3) ∈ ( S ) ⇔ −4a − 4b − 6c + d = −17

(3)

D ( 1;0; 4 ) ∈ ( S ) ⇔ −2a − 8c + d = −17

(4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy ra phương trình mặt cầu (S) :

( x + 2)

2

+ ( y − 1) + z 2 = 26 .
2

b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) ⇒ I ( 0; b; c ) .

 IA2 = IB 2
b = 7
IA
=
IB
=
IC


Ta có:
.
 2

2
 IA = IC
c = 5
Vậy I ( 0;7;5 ) và R = 26 . Vậy (S): x 2 + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 26.
2

2

x = t

Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng ∆ :  y = −1 và (S) tiếp xúc với hai
 z = −t

mặt phẳng ( α ) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0 và ( β ) : x + 2 y + 2 z + 7 = 0 .
Bài giải:
Gọi I ( t ; −1; −t ) ∈ ∆ là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: d ( I , ( α ) ) = d ( I , ( β ) ) ⇔


1− t
3

=

5−t
3

1 − t = 5 − t
⇔
⇒ t = 3.
1 − t = t − 5


Suy ra: I ( 3; −1; −3) và R = d ( I , ( α ) ) =

2
4
2
2
2
. Vậy (S) : ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) = .
3
9

Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A ( 2;6;0 ) , B ( 4;0;8 ) và có tâm thuộc d:
x −1 y z + 5
= =
.

−1 2
1
Bài giải:
x = 1− t

Ta có d :  y = 2t
. Gọi I ( 1 − t ; 2t ; −5 + t ) ∈ d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
 z = −5 + t

uu
r
uur
Ta có: IA = ( 1 + t ;6 − 2t ;5 − t ) , IB = ( 3 + t ; −2t ;13 − t ) .
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B ⇔ AI = BI


( 1+ t )

2

+ ( 6 − 2t ) + ( 5 − t ) =
2

( 3+t)

2

2

+ 4t 2 + ( 13 − t )


⇔ 62 − 32t = 178 − 20t ⇔ 12t = −116 ⇔ t = −

2

29
3

 32 58 44 
⇒ I  ; − ; − ÷ và R = IA = 2 233 . Vậy (S):
3
3 
 3

2

2

2

32  
58  
44 

 x − ÷ +  y + ÷ +  z + ÷ = 932 .
3  
3  
3 



Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( 2;3; −1) và cắt đường thẳng ∆ :

x +1 y −1 z
=
= tại
1
−4
1

hai điểm A, B với AB = 16 .
Bài giải:
uuur
r
Chọn M ( −1;1;0 ) ∈ ∆ ⇒ IM = ( −3; −2;1) . Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là u∆ = ( 1; −4;1) .
uuur
 IM , ur∆ 
uuur r
Ta có:  IM , u∆  = ( 2; 4;14 ) ⇒ d ( I , ∆ ) =  r  = 2 3 .


u∆
2
AB 2
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : R = d ( I , ∆ )  +
= 2 19.
4

Vậy (S): ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 76 .
2


2

2

Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng

( P ) : 5 x − 4 y + z − 6 = 0, ( Q ) :

2 x − y + z + 7 = 0 và đường thẳng

x −1 y z −1
= =
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và ∆ sao cho (Q) cắt (S)
7
3
−2
theo một hình tròn có diện tích là 20π .
Bài giải:
(1)
 x = 1 + 7t
 x = 1 + 7t
 y = 3t
(2)


Ta có ∆ :  y = 3t
. Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: 
(3)
 z = 1 − 2t
 z = 1 − 2t


5 x − 4 y + z − 6 = 0 (4)
∆:

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5 ( 1 + 7t ) − 4 ( 3t ) + ( 1 − 2t ) − 6 = 0 ⇔ t = 0 ⇒ I ( 1;0;1) .

5 6
.
3
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 20π = π r 2 ⇔ r = 2 5.
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Ta có : d ( I , ( Q ) ) =


Theo giả thiết: R =  d ( I , ( Q ) )  + r 2 =
2

110
2
2
330
2
.
. Vậy (S) : ( x − 1) + y + ( z − 1) =
3
3

 x = −t

Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0 và đường thẳng d :  y = 2t − 1 .

z = t + 2

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao
tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài giải:
Gọi I ( −t ; 2t − 1; t + 2 ) ∈ d : là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
Theo giả thiết : R =  d ( I ; ( P ) )  + r 2 = 4 + 9 = 13 .
2

Mặt khác: d ( I ; ( P ) ) = 2 ⇔

* Với t =

−2t − 2t + 1 − 2t − 4 − 2
4 +1+ 4

 1
t = 6
= 2 ⇔ 6t + 5 = 6 ⇔ 
t = − 11

6

2
2
2
1
 1 2 13 
1 
2   13 


: Tâm I1  − ; − ; ÷, suy ra ( S1 ) :  x + ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 13 .
6
 6 3 6
6 
3 
6


2
2
2
11
 11 2 1 
11  
2 
1

* Với t = − : Tâm I 2  ; − ; ÷, suy ra ( S2 ) :  x − ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 13 .
6
 6 3 6
6 
3 
6


x −1 y +1 z −1
=
=
. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm

2
1
2
I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho ∆IAB vuông tại I.
Bài giải :
r
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u = ( 2;1; 2 ) và P ( 1; −1;1) ∈ d .
uur
uur
ur, IP 
uur
r
Ta có: IP = ( 0; −1; −2 ) ⇒ u , IP  = ( 0; −4; −2 ) . Suy ra: d ( I ; d ) =  r  = 20 .
u
3
Bài tập 9: Cho điểm I ( 1;0;3) và đường thẳng d :

Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, ∆IAB vuông tại I
1
1
1
2
40
= 2 + 2 = 2 ⇔ R = 2 IH = 2d ( I , d ) =
2
IH
IA IB
R
3
40

2
2
2
Vậy (S) : ( x − 1) + y + ( z − 3) =
.
9


Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 4 y − 4 z = 0 và điểm A ( 4; 4;0 ) . Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài giải :
(S) có tâm I ( 2; 2; 2 ) , bán kính R = 2 3 . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp R / =
2
/
Khoảng cách : d ( I ; ( P ) ) = R − ( R ) =
2

OA 4 2
=
.
3
3

2
.
3

2
2

2
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ax + by + cz = 0 ( a + b + c > 0 )

Do (P) đi qua A, suy ra: 4a + 4b = 0 ⇔ b = −a .

( *)


Lúc đó: d ( I ; ( P ) ) =

2( a + b + c)

=

2c



2c

=

2
3

a +b +c
2a + c
2a + c
c = a
⇒ 2a 2 + c 2 = 3c 2 ⇒ 

. Theo (*), suy ra ( P ) : x − y + z = 0 hoặc x − y − z = 0.
 c = −1
2

2

2

2

2

2

2

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi r là bán kính của (C):

r = R 2 −  d ( I ; ( P ) ) 

2

Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 3 = 0 cắt mặt phẳng (P): x − 2 = 0 theo
giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài giải :
* Mặt cầu (S) có tâm I ( 1;0;0 ) và bán kính R = 2 .

Ta có : d ( I , ( P ) ) = 1 < 2 = R ⇔ mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m)
r
* Đường thẳng d qua I ( 1;0;0 ) và vuông góc với (P) nên nhận nP = ( 1;0;0 ) làm 1 vectơ chỉ phương, có
x = 1+ t

phương trình d :  y = 0 .
z = 0

x = 1+ t
x = 2
y = 0


⇔  y = 0 ⇒ I / ( 2;0;0 ) .
+ Tọa độ tâm I / đường tròn là nghiệm của hệ : 
z = 0
z = 0

 x − 2 = 0
+ Ta có: d ( I , ( P ) ) = 1 . Gọi r là bán kính của (C), ta có : r = R 2 −  d ( I , ( P ) )  = 3.
2

Dạng 2 :
SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC
Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:
+ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d ( I ; ∆ ) = R.
+ Mặt phẳng (α ) là tiếp diện của (S)

⇔ d ( I ; ( α ) ) = R.


* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.
x y −1 z − 2
=
Bài tập 1: Cho đường thẳng ( ∆ ) : =
và và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z + 1 = 0 . Số
2
1
−1
điểm chung của ( ∆ ) và ( S ) là :
A. 0.B.1.C.2.D.3.
Bài giải:

r
Đường thẳng ( ∆ ) đi qua M ( 0;1; 2 ) và có một vectơ chỉ phương là u = ( 2;1; − 1)
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1;0; − 2 ) và bán kính R = 2.

r uuu
r
u , MI 
r uuu
r
uuu
r
498


=
Ta có MI = ( 1; −1; −4 ) và u , MI  = ( −5;7; −3) ⇒ d ( I , ∆ ) =
r
6

u


Vì d ( I , ∆ ) > R nên ( ∆ ) không cắt mặt cầu ( S ) .
Lựa chọn đáp án A.
Bài tập 2: Cho điểm I ( 1; −2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
A. ( x − 1) + ( y + 2 )
2

2

( z − 3)

2

= 10.

B. ( x − 1) + ( y + 2 )

C. ( x + 1) + ( y − 2 )

2

( z + 3)

2

= 10.

D. ( x − 1) + ( y + 2 )


2

2

2

2

2

( z − 3)
( z − 3)

2

2

= 10.
= 9.

Bài giải:
Gọi M là hình chiếu của I ( 1; −2;3) lên Oy, ta có : M ( 0; −2;0 ) .
uuur
IM = ( −1;0; −3) ⇒ R = d ( I , Oy ) = IM = 10 là bán kính mặt cầu cần tìm.
Phương trình mặt cầu là : ( x − 1) 2 + ( y + 2 ) 2 ( z − 3) 2 = 10.
Lựa chọn đáp án B.
Bài tập 3: Cho điểm I ( 1; −2;3) và đường thẳng d có phương trình
cầu tâm I, tiếp xúc với d là:
A. ( x + 1) 2 + ( y − 2 ) 2 + ( z + 3) 2 = 50.


B. ( x − 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3) 2 = 5 2.

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 5 2.
2

2

x +1 y − 2 z + 3
=
=
. Phương trình mặt
2
1
−1

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 50.

2

2

2

2

Bài giải:

r uuuu
r

u, AM 
r


=5 2
Đường thẳng ( d ) đi qua I ( −1; 2; −3) và có VTCP u = ( 2;1; − 1) ⇒ d ( A, d ) =
r
u
Phương trình mặt cầu là : ( x − 1) + ( y + 2 )
2

2

( z − 3)

2

= 50.

Lựa chọn đáp án D.
Bài tập 4: Mặt cầu ( S ) tâm I ( 2;3;- 1) cắt đường thẳng d :

x − 11 y z + 25
= =
tại 2 điểm A, B sao cho
2
1
−2

AB = 16 có phương trình là:

A. ( x − 2 ) 2 + ( y − 3) 2 + ( z + 1) 2 = 17.

B. ( x + 2 ) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 1) 2 = 289.

C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289.

D. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 280.

2

2

2

2

2

2

Bài giải:
Đường thẳng ( d ) đi qua M ( 11; 0; −25 ) và có vectơ chỉ
r
phương u = ( 2;1; − 2 ) .
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có:
r uuu
r
2
u , MI 
AB 




2
IH = d ( I , AB ) =
= 15 ⇒ R = IH + 
r
÷ = 17 .
u
 2 

I
R
B

A

d

H

Vậy ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 289.
2

2

2

Lựa chọn đáp án C.
Bài tập 5: Cho đường thẳng d :


x+5 y −7 z
=
= và điểm I (4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có
2
−2
1

tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . Phương trình của mặt cầu ( S ) là:


A. ( x − 4 ) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 6 ) 2 = 18.

B. ( x + 4 ) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 6 ) 2 = 18.

C. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) = 9.

D. ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) = 16.

2

2

2

2

Bài giải :
Đường thẳng d đi qua M (−5;7;0) và có vectơ chỉ phương
r

u = (2; −2;1) . Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :
r uuu
r
2
u , MI 
AB 


IH = d ( I , AB ) =
= 3 ⇒ R = IH 2 + 
r
÷ = 18
u
 2 
Vậy ( S ) : ( x − 4 ) + ( y − 1) + ( z − 6 ) = 18.
2

2

2

2

2

I
R
B

A


d

H

Lựa chọn đáp án A.
x −1 y −1 z + 2
=
=
. Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I
1
2
1
và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
20
20
2
2
2
2
2
2
A. ( x + 1) + y + z = .
B. ( x − 1) + y + z = .
3
3
16
5
2
2

2
2
2
2
C. ( x − 1) + y + z = .
D. ( x − 1) + y + z = .
4
3
Bài giải:
Đường thẳng ( ∆ ) đi qua M = ( 1;1; − 2 ) và có vectơ chỉ
r
phương u = ( 1; 2;1)
r uuu
r
uuu
r
Ta có MI = ( 0; −1; 2 ) và u, MI  = ( 5; −2; −1)
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :
r uuu
r
I
u , MI 


R
IH = d ( I , AB ) =
= 5.
r
u
B d

A
H
3
2 IH 2 15
⇒R=
=
Xét tam giác IAB, có IH = R.
2
3
3
Bài tập 8: Cho điểm I ( 1;0;0 ) và đường thẳng d :

2
2
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + y + z =
2

20
.
3

Lựa chọn đáp án A.
Bài tập 9: Cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y − 6 z + 5 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu
(S) qua A ( 0;0;5 ) biết:

r
a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương u = ( 1; 2; 2 ) .
b) Vuông góc với mặt phẳng (P) : 3 x − 2 y + 2 z + 3 = 0.

Bài giải:

x = t
r

a) Đường thẳng d qua A ( 0;0;5 ) và có một vectơ chỉ phương u = ( 1; 2; 2 ) , có phương trình d:  y = 2t .
 z = 5 + 2t

r
b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là nP = ( 3; −2; 2 ) .


Đường thẳng d qua A ( 0;0;5 ) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương
 x = 3t
r

nP = ( 3; −2; 2 ) , có phương trình d:  y = −2t .
 z = 2t + 5

Bài tập 10: Cho ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 6 y + 2 z + 3 = 0 và hai đường thẳng ∆1 :
∆2 :

x +1 y +1 z −1
=
=
;
3
2
2

x y −1 z − 2
=

=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ∆1 và ∆ 2 đồng thời tiếp xúc với
2
2
1

(S).
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I ( 3;3; −1) , R = 4 .

r
Ta có: ∆1 có một vectơ chỉ phương là u1 = ( 3; 2; 2 ) .
r
∆ 2 có một vectơ chỉ phương là u2 = ( 2; 2;1) .
r
Gọi n là một vectơ pháp của mặt phẳng (P).
r r
( P ) / / ∆1
 n ⊥ u1
r r r
⇔  r r ⇒ chọn n = [ u1 , u2 ] = ( −2; −1; 2 )
Do: 
( P ) / / ∆ 2
 n ⊥ u2
Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : −2 x − y + 2 z + m = 0 .
Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I ;( P ) ) = R ⇔

5+ m
3


=4

m = 7
⇔ 5 + m = 12 ⇔ 
.
 m = −17
Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là : −2 x − y + 2 z + 7 = 0, − 2 x − y + 2 z − 17 = 0 .
2
2
2
Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2 x − 4 y − 6 z + 5 = 0 , biết tiếp diện:

a) qua M ( 1;1;1) .
b) song song với mặt phẳng (P) : x + 2 y − 2 z − 1 = 0 .
x − 3 y +1 z − 2
=
=
b) vuông góc với đường thẳng d :
.
2
1
−2
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I ( −1; 2;3) , bán kính R = 3 .

uuur
a) Để ý rằng, M ∈ ( S ) . Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là IM = ( 2; −1; −2 ) , có phương trình :

( α ) : 2 ( x − 1) − ( y − 1) − 2 ( z − 1) = 0 ⇔ 2 x − y − 2 z + 1 = 0.
b) Do mặt phẳng ( α ) / / ( P ) nên ( α ) có dạng : x + 2 y − 2 z + m = 0 .

 m = −6
= 3 ⇔ m−3 = 9 ⇔ 
.
3
 m = 12
* Với m = −6 suy ra mặt phẳng có phương trình : x + 2 y − 2 z − 6 = 0.
* Với m = 12 suy ra mặt phẳng có phương trình : x + 2 y − 2 z + 12 = 0.
r
c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud = ( 2;1; −2 ) .
r
Do mặt phẳng ( α ) ⊥ d nên ( α ) nhận ud = ( 2;1; −2 ) làm một vectơ pháp tuyến.
Do ( α ) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I , ( α ) ) = R ⇔

m−3

Suy ra mặt phẳng ( α ) có dạng : 2 x + y − 2 z + m = 0 .


 m = −3
=3⇔ m−6 =9 ⇔ 
.
3
 m = 15
* Với m = −3 suy ra mặt phẳng có phương trình : x + 2 y − 2 z − 3 = 0.
* Với m = 15 suy ra mặt phẳng có phương trình : x + 2 y − 2 z + 15 = 0.
m−6

Do ( α ) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I , ( α ) ) = R ⇔

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1.

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?
A. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x = 0.
B. x 2 + y 2 − z 2 + 2 x − y + 1 = 0.
C. 2 x 2 + 2 y 2 = ( x + y ) − z 2 + 2 x − 1.

D. ( x + y ) = 2 xy − z 2 − 1.

2

Câu 2.

Câu 3.

Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?
A. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x = 0.

B. 2 x 2 + 2 y 2 = ( x + y ) − z 2 + 2 x − 1.

C. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y + 1 = 0.

D. ( x + y ) = 2 xy − z 2 + 1 − 4 x.

2

2

Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?
A. ( x − 1) + ( 2 y − 1) + ( z − 1) = 6.


B. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 6.

C. ( 2 x − 1) + ( 2 y − 1) + ( 2 z + 1) = 6.

D. ( x + y ) = 2 xy − z 2 + 3 − 6 x.

2

2

2

Câu 4.

2

2

2

2

2

Cho các phương trình sau:

( x − 1)

2


2

2

2

+ y 2 + z 2 = 1; x 2 + ( 2 y − 1) + z 2 = 4;
2

x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0; ( 2 x + 1) + ( 2 y − 1) + 4 z 2 = 16.
2

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
A. 4.
B. 3.
Câu 5.

2

Câu 8.

C. I ( 1; 2;0 ) .

D. I ( −1; −2;0 ) .

2
2
2
Mặt cầu ( S ) : x + y + z − 8 x + 2 y + 1 = 0 có tâm là:


B. I ( −4;1;0 ) .

C. I ( −8; 2;0 ) .

D. I ( 4; −1;0 ) .

2
2
2
Mặt cầu ( S ) : x + y + z − 4 x + 1 = 0 có tọa độ tâm và bán kính R là:

A. I ( 2;0;0 ) , R = 3.

B. I ( 2;0;0 ) , R = 3.

C. I ( 0; 2;0 ) , R = 3.

D. I ( −2;0;0 ) , R = 3.

Phương trình mặt cầu có tâm I ( −1; 2; −3) , bán kính R = 3 là:
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9.

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 3.

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9.

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9.

2


2

Câu 9.

D. 1.

2

B. I ( −1; 2;0 ) .

A. I ( 8; −2;0 ) .
Câu 7.

C. 2.

Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + z 2 = 9 có tâm là:
A. I ( 1; −2;0 ) .

Câu 6.

2

2

2

2

2


2

2

2

2

2

2

Mặt cầu ( S ) : ( x + y ) = 2 xy − z 2 + 1 − 4 x có tâm là:
2

A. I ( −2;0;0 ) .

B. I ( 4;0; 0 ) .

C. I ( −4;0;0 ) .

D. I ( 2;0;0 ) .

Câu 10. Đường kính của mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + ( z − 1) = 4 bằng:
2

A. 4.

B. 2.


C. 8.

D. 16.


D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.2
1
A

2
B

3
A

4
C

5
A

6
D

7
A

8

C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A A B C A B D A A D A B B A B A C A D A
81 82 83 84 85 86 87 88 89
A A B A C A D A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?
A. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x = 0.
B. x 2 + y 2 − z 2 + 2 x − y + 1 = 0.
C. 2 x 2 + 2 y 2 = ( x + y ) − z 2 + 2 x − 1.
2

D. ( x + y ) = 2 xy − z 2 − 1.
2

Hướng dẫn giải:


Phương trình mặt cầu ( S ) có hai dạng là:
(1) ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 ;
2

2

2

(2) x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 .
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình
cho trước về một trong hai dạng trên.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 2.

Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?
A. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x = 0.

B. 2 x 2 + 2 y 2 = ( x + y ) − z 2 + 2 x − 1.

C. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y + 1 = 0.

D. ( x + y ) = 2 xy − z 2 + 1 − 4 x.

2

2

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu ( S ) có hai dạng là :

(1) ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 ;
2

2

2

(2) x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 .
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương
trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Tuy nhiên ở đáp án A thì
phương trình: 2 x 2 + 2 y 2 = ( x + y ) − z 2 + 2 x − 1 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 x + 1 = 0 không đúng
2

dạng phương trình mặt cầu.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 3.

Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?
A. ( x − 1) + ( 2 y − 1) + ( z − 1) = 6.

B. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 6.

C. ( 2 x − 1) + ( 2 y − 1) + ( 2 z + 1) = 6.

D. ( x + y ) = 2 xy − z 2 + 3 − 6 x.

2

2


2

Hướng dẫn giải:

2

2

2

2

2

2

2


Phương trình mặt cầu ( S ) có hai dạng là:
(1) ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 ;
2

2

2

(2) x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 .
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương

trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Phương trình ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Ví dụ :
2

2

2

1 
1 
1
3

C. ( 2 x − 1) + ( 2 y − 1) + ( 2 z + 1) = 6 ⇔  x − ÷ +  y − ÷ +  z + ÷ = .
2 
2 
2
2

2

2

2

D. ( x + y ) = 2 xy − z 2 + 3 − 6 x ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 6 x − 3 = 0.
2

Lựa chọn đáp án A.



GIỚI THIỆU

8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12
Giải chi tiết
** Quà tặng : Bộ 50 đề thi minh họa THPT – đáp án chi tiết **

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU

Nhấn giữ phím Ctrl

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ

8
CHUYÊN
ĐỀ
LUYỆN
THI THPT
(200.000đ)
(2331 câu hỏi
giải chi tiết )

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái vào đường
link gạch chân dưới để XEM bản PDF đầy đủ


1. Khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số ứng dụng của đạo />hàm
( 400 câu giải chi tiết )
2. Khảo sát và vẽ đồ thị

hàm số ứng dụng của đạo

/>
hàm
( 180 câu giải chi tiết )
3.Phương trình, Bất PT mũ
/>

X3ssre5aeFFSSDV0UnlPVjg/view?usp=sharing

và logarit
( 349 câu giải chi tiết )
4. Nguyên hàm Tích phân

( 410 câu giải chi tiết )

/>
/>
5. Số Phức
( 195 câu giải chi tiết )

/>
6. Lãi suất + bài tập
( 72 câu giải chi tiết )

7. HH không gian bộ lớp 11
( 290 câu giải chi tiết )
8. HH tọa độ không gian
( 435 câu giải chi tiết )

/>
/>
CAM KẾT!
- Chế độ chữ : Times New Roman.
- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi,
NHCH…
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản PDF xem trước bên dưới.
Điện thoại hỗ trợ : 0912

801 903 Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0988 360 309
Hoặc nhắn tin “ Xem 8 chuyên đề 12 + địa chỉ gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ
gửi 8 chuyên đề bản PDF vào mail để thầy cô tham khảo


8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU


Nhấn giữ phím Ctrl

STT

1
2

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PTLG

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Giữ phím Ctrl và bấm chuột vào
đường link gạch chân bên dưới để
xem tài liệu
/>
/>
DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

/>
GIỚI HẠN

/>
5


ĐẠO HÀM

/>
6

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

/>
QUAN HỆ SONG SONG

/>
3
4

7


8

QUAN HỆ VUÔNG GÓC

/>
KHOẢNG CÁCH

/>
- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi, Ngân
hàng câu hỏi …
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.

- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản xem trước .
Điện thoại hỗ trợ : 0912

801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem trọn bộ 11 + địa chỉ gmail của
thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham khảo trước
khi mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm


9 CHUYÊN ĐỀ HHKG NÂNG CAO
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 9 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
Nhấn giữ phím Ctrl

STT

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

Giữ phím Ctrl Bấm vào đường

link gạch chân bên dưới để xem tài
liệu

1

CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11}

/>iew?usp=sharing

2

CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21}

/>iew?usp=sharing

3

CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 />JiEpOQTzZlQVc0Z2xGTmJrVkk/vie
w?usp=sharing
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26}
CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang}
/>Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
w?usp=sharing
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36}


4

5

CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang}
Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49}

/>ew?usp=sharing

6

CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54}

/>w?usp=sharing

7

CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CÁC KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang}
JiEpOQTzZlbGNqckR0YzhBOEk/vie
w?usp=sharing
Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017


(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63}

Điện thoại hỗ trợ : 0912


801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem bộ HHKG NÂNG CAO + địa chỉ
gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham
khảo trước khi mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm

MUA NHIỀU KHUYẾN MÃI NHIỀU...



×